Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 9)

  • View
    245

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 9)

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 9)

    1/30

    U V O D

    U prvom dijelu ovog udbenika prouili smo kretanje jedne materijalbne take. Utehnici e#e se sre#e problem kretanja vie materijalnih taaka, koje su me%usobno

    povezane kao tijela koja se kre#u. Tako, naprimjer, automobil, svaka maina, mehanizamitd., predstavlja mehaniki sistem materijalnih taaka, odnosno tijela.Do sada smo prouili kretanje jedne materijalne take i doli do zakljuka da se

    rjeavanje svakog od navedenih problema bazira na osnovnim Newtonovim zakonima. Istizakoni sainjavaju osnovu za prouavanje kretanja vie materijalnih taaka, tj. sistemamaterijalnih taaka.Pri kretanju vie materijalnih taaka, ija kretanja zavise jedna oddrugih, postoje izvjesne specifinosti, postoje teoreme koje olakavaju postavljanje iprouavanje pojedinog problema. Ovdje treba napomenuti da sve izvedene relacije,jednaine, dokazi, polaze od Newtonovih zakona, koji ine osnovu kretanja materijalnogsvijeta (uz pretpostavku da su brzine male u odnosu na brzinu svjetlosti).

    Dinamiku sistema predstavlja skup teorema, diferencijalnih jednaina, koje nanajpogodniji nain opisuju kretanje mehanikog tijela. Uzimaju#i u obzir dinamikekarakteristike (mase, raspored masa, itd.), sa jedne strane, i sila koje djeluju pri kretanju, sa

    druge strane. Osnovni zadatak dinamike sistema materijalnih taaka jeste postavljanjediferencijalnih jednaina kretanja ijim integriranjem dolazimo do zakona kretanja.

    Ovdje #emo sve zakone, odnosno jednaine kretanja izvjesti za sluaj diskretnoraspore%enih masa (skup materijalnih taaka na konanim rastojanjima), kao i u sluajukontinualno raspore%enih masa - kontinuuma. Pritom #e kontinuum biti uglavnom smatrannedeformabilnim. Tada su u pitanju kruta tijela.

    U pojedinim poglavljima ovog udbenika navedeni su i primjeri koji ilustrujuprimjenu teorije, naglaavaju#i nain kako treba razmiljati pri postavljanju problema.Ilustrovani primjeri treba da stvore sliku o tome koje zakone, teoreme treba primijeniti prirjeavanju pojedinih problema.

    Dinamika sistema materijalnihtaaka i krutog tijela

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 9)

    2/30

    9.1. MEHANI#KI SISTEM. SILE KOJE DJELUJU NA SISTEM

    Skup materijalnih taaka obrazuje materijalni sistem. Pod materijalnim sistemompodrazumjeva se skup materijalnih taaka u kome kretanje jedne take zavisi od kretanjasvih ostalih taaka. Materijalne take koje obrazuju sistem mogu da se nalaze name%usobnim konanim rastojanjima i da ih ima konaan broj, i tada imamo sluajdiskretnog sistema. Ukoliko su mase u nekom dijelu prostora neprekidno raspore%ene, tadataaka ima beskonano mnogo i sistem obrazuje neprekidnu sredinu. Oblast prostoraispunjena neprekidno raspore%enom masom predstavlja materijalno tijelo. Ako tijelo nemijenja svoj oblik i dimenzije za vrijeme djelovanja sila, kaemo da se radi o krutom tijelu.

    Sistem materijalnih taaka ije kretanje nije ogranieno nikakvim vezama naziva seslobodni materijalni sistem, a onaj sistem ije je kretanje ogranieno postojanjem veza,naziva se materijalni sistem ili neslobodni materijalni sistem.

    Promjena poloaja mehanikog sistema u prostoru vri se pod djelovanjem sila. Dotog zakljuka dolazi se posmatranjem izolovane materijalne take sistema. Kretanjeizolovane materijalne take zavisi od djelovanja sila na tu taku, shodno zakonimadinamike take, kretanje sistema, kao skupa materijalnih taaka, zavisi od sila koje djelujuna sistem.

    Pri prouavanju materijalnog sistema kao cjeline i svake njegove take posebno,potrebno je sve sile koje djeluju na take sistema podijeliti, na spoljanje i unutranje sile.Sile koje potjeu od tijela koja ne ulaze u posmatrani sistem nazivaju se spoljanje sile(slika 9.1.).

    Sile kojima djeluju jedna na drugu materijalne take (tijela) posmatranog sistemanazivaju se unutranje sile.

    Op%e mehanike karakteristikematerijalnog sistema

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 9)

    3/30

    U primjeru prikazanom na slici 9.1., spoljanje sile su reakcije zglobaA(xA,yA) silaF

    i sile koje djeluju na klip nF izme%u klipa i cilindra, te sila F = p A, kao posljedicapritiska u cilindru.

    Unutranje sile su sile me%usobnog djejstva izme%u taaka i tijela posmatranogsistema. To su sile u zglobovima B,D (sile izme%u poluga AB i ED te poluge ED i klipa).Ovdje treba napomenuti da i sile me%usobnog djejstva pojedinih taaka istoga tijela(kohezione, elastine sile, itd.), predstavljaju unutarnje sile mehanikog sistema.

    Unutranje sile razmatranog materijalnog sistema koje djeluju na take izdvojenogdijela, bi#e spoljanje sile u odnosu na izdvojeni dio. Tako, naprimjer, pri kretanju planetaSunevog sistema kao cjeline, privlana sila Sunca u odnosu na Zemlju je unutranja sila,ako se, pak, posmatra samo kretanje Zemlje oko Sunca, onda #e ta sila biti spoljanja.

    Slika 9.1. Primjer spoljanjih i unutranjih sila

    Postoji jo jedna podjela sila koje djeluju na mehaniki sistem, a to je da spoljanjei unutranje sile mogu biti aktivne i rekcije veze.

    Treba ista#i, unutranje sile javljaju se uvijek u parovima, one su uvijek istog

    pravca, istog intenziteta a suprotnih smjerova. Rezultanta svakog para unutranjih silajednaka je nuli, pa moemo zakljuiti da je vektorski zbir (glavni vektor) svih unutranjihsila materijalnog sistema jednak nuli.

    =

    ==n

    i

    u

    i

    u

    R FF1

    0rr

    (9.1.)

    Tako%er je i vektorski zbir momenata (glavni moment) svih unutranjih sila materijalnogsistema u odnosu na proizvoljno izabrani nepokretni pol O jednak nuli.

    E

    F

    A

    B

    F=pA

    nF

    D

    F=pA

    nF

    D

    Dy

    Dx

    E

    F

    By

    Bx

    BDy

    Dx

    A

    B

    By

    Bx

    Ax

    Ay

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 9)

    4/30

    = ==n

    i

    FFui

    uR

    MM 1 00 0

    rr rr

    (9.2.)

    Projektovanjem vektorske jednaine (9.2.) na ose Descartesovog koordinatnogsistema, dobijamo tri skalarne veliine

    ==

    ==

    ==

    =

    =

    =

    n

    i

    F

    zu

    z

    n

    i

    F

    y

    u

    y

    n

    i

    F

    x

    u

    x

    ui

    ui

    ui

    MM

    MM

    MM

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    r

    r

    r

    (9.3.)

    Izvrimo analizu unutranje povrinske i zapreminske sile sistema materijalnih

    taaka kontinuirano raspore%enih (kontinuum), kakav je sluaj kada se radi o tijelima ilifluidima.

    Posmatrajmo dio kontinuma dV, slika 9.2., koji je ogranien elementarnimpovrinama. Tako%er moemo konstatovati da se uticaj tvari van ovog dijela prenosi naelementarnu zapreminu dV preko povrinskih sila (koje, kada svedemo na jedinicupovrine, nazivamo naponima).

    Slika 9.2. Uz objanjenje unutranjih sila kontinuuma

    Na slici 9.2. oznaena je komponenta uyy

    Fd unutranje sile uy

    dF na povrinuy

    dA

    kao rezultanta normalnog napona y

    odnosno

    =

    =

    z

    y

    dA

    zzzz

    u

    zz

    dA

    yyyy

    u

    yy

    dAdAddF

    dAdAddF

    )(

    )(

    (9.3.)

    x

    0

    x

    i j

    k

    dAdV

    dAy

    dV

    uyyFd

    uyyFd

    uyxFd

    uyxFd

    uyzFd

    uyzFd

    uyFd

    uyFd

    z

    dAz

    uzzFd

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 9)

    5/30

    Na potpuno isti nain odre%ujemo i ostale komponente uyxFd iu

    yzFd kao rezultante

    tangencijalnih napona yzyx i

    ====

    zzy

    u

    zyzzx

    u

    zx

    yyzu

    yzyyxu

    yx

    dAdFdAdF

    dAdFdAdF

    (9.4.)

    pa imamo da je

    ++=++=++=++=

    zzzyzxzzzyzx

    u

    z

    yyzyyxyzyyyx

    u

    y

    dAkyiFdFdFdFd

    dAkyiFdFdFdFd

    )(

    )(rrrrrrr

    rrrrrr

    (9.5.)

    Ukoliko izvrimo integraciju po svim zamiljenim povrinama na koje smo kontinuumpodijelili te na taj nain pokupimo sve unutranje sile, dolazimo do zakljuka da je glavnivektor unutranjih sila jednak nuli

    =

    ==n

    i A

    i

    uu

    R

    i

    dAFF1

    0rr

    (9.6.)

    Na potpuno isti nain moemo dokazivati da je i glavni moment unutranjih povrinskihsila jednak nuli

    =

    ==n

    i A

    i

    uF

    i

    ur dAFrM

    10 0

    rrr

    (9.7.)

    9.2. MASA I SREDITE MASA SISTEMA

    Na osnovu dinamike take. moe se odmah

    re#i, bez dokazivanja, da kretanje materijalnogsistema, osim sila koje djeluju na njega, zavisi iod ukupne mase sistema i od rasporeda masa utom sistemu.

    Pretpostavimo da su nam poznate masematerijalnih taaka M1(m1), M2(m2),...,Mn(mn),od kojih se sastoji slika 9.3.

    Masa materijalnog sistema prikazanog na slici9.3. jednaka je algebarskom zbiru masa svihtaaka ili tijela koje obrazuju sistem:

    =

    =n

    i

    imm1

    (9.8.)

    Slika 9.3. Materijalni sistem od Mnmaterijalnih ta!aka

    Ovo se odnosi na diskretno raspore%ivanje masa u prostoru. Me%utim, za kontinuiranoraspore%en sistem materijalnih taaka (kontinuum) masa sistema je jednaka masikontinuuma. Za izraunavanje mase tijela ija je zapremina V, potrebno je poznavatifunkciju raspodjele mase u prostoru (slika 9.4.).

    0

    x

    M1(m1)M2(m2)

    Mi(mi)

    M (mn)

    C1r2r

    3r Cr

    M3(m3)

    ir

    nr

  • 7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 9)

    6/30

    Slika 9.4. Slika uz definiciju mase kontinuuma

    Karakteristika raspodjele mase u prostoru je gustina , koja predstavlja masu jedinicezapremine. Ako je Vmali volumen mase mposmatranog tijela, onda se odnos

    sV