Harmonijske oscilacije - Predavanje

  • View
    105

  • Download
    4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

oscilacije

Text of Harmonijske oscilacije - Predavanje

SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Sistemi slobode

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Minimalan broj generalisanih koordinata kojim se u potpunosti definie poloaj dinamikih taaka sistema, predstavlja stepen slobode sistema. Za neki sistem kaemo da ima jedan stepen slobode ako se njegova geometrijska konfiguracija moe u svakom trenutku opisati jednim jedinim brojem. Mehaniki sistem sa n stepeni slobode je sistem koji za definisanje svoje konfiguracije zahteva n brojeva.Nepriguen sistem sa dva stepena slobode

Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Teorija sistema sa jednim stepenom slobode omoguuje da kod mnogih maina objasnimo pojavu rezonanse, da odredimo sopstvene frekvencije izvesnog broja konstrukcija, da shvatimo principe rada veine instrumenata za merenje vibracija, da razmotrimo problem oslanjanja na oprugama i izolaciju vibracija. Pored svega, izvestan broj praktinih problema moe biti idealizovan sa oznaenim sistemom, a izvedeni zakljuci znaajno pragmatini.

Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

SLOBODNE VIBRACIJE Horizontalni harmonijski oscilator Harmonijski oscilator koga ini masa m i opruga krutosti c, izvodi harmonijske oscilacije po glatkoj horizontalnoj ravni, kada se masa m izvede iz ravnotenog poloaja za amplitudu Az i pusti.

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

c mAz

Zanemarujui masu opruge i trenje na podlozi, a kako se sila teine mg ponitava sa normalnom komponentom otpora podloge Fn, to e se kretanja mase po podlozi vriti samo pod uticajem sile elastinosti podloge (cx), koja je proporcionalna izduenju opruge. Diferencijalna jednaina kretanja:

&& + cx = 0 mx

je istog oblika kao kod harmonijskog kretanja.Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Dobijena je homogena diferencijalna jednaina drugog reda.Opti integral ve opisane diferencijalne jednaine je:

z = C1 cos t + C2 sin t

Konstante C1 i C2 se odreuju iz poetnih uslova tako da je:t = 0, z (t ) = z (0) z (0) = C1 sin 0 0 + C2 cos 0 0 z (0) = C2

& (t ) = z & ( 0) t = 0, z & (0) = C1 0 cos 0 0 C 2 0 sin 0 0 z & (0) = C1 0 C1 = z & ( 0) z

0

z (t ) =

& ( 0) z

0

sin 0 t + z (0) cos 0 t

Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Vertikalni harmonijski oscilator

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

A

CB

O oprugu AB obeena je masa m ispod koje se nalazi podloga. Izmicanjem odloge nastae oscilovanje u vertikalnom pravcu, ija je diferencijalna jednaina kretanja:

&& = cz + mg mz&& mzCZ Z Z

&& z + 2z = g

Vertikalni harmonijski oscilator sa podlogom

nehomogena diferencijalna jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima, koja ima opti integral u obliku zbira opteg integrala homogene i partikularnog integrala nehomoge jednaine: g z = C1 cos t + C2 sin t + 2

Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Amlituda oscilovanja se postie za poluperiod oscilovanja:T = 2 Az = zmax = 2g

2

=2

G c

Az = 2 zs

gde je: zs statiki ugib opruge

Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

U drugom sluaju vertikalnog harmonijskog oscilatora, masa m, obeena na oprugu AB, AB krutosti c, pod uticajem sile teine mg izduie oprugu za:A

mg g pa e materijalna taka zauzeti l = z s = = 2 c ravnoteni poloaj.

A c c

B m B m mg

l = zs

Ako se nakon toga izvede iz ravnotenog poloa i pusti, nastupie oscilovanje u vertikalnom pravcu oko ravnotenog poloaja, koje opisuje diferencijalna jednaina kretanja,Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

&& + c ( z + zs ) = mg mz&& z + 2z = 0kao homogena sa konstantnim koeficijentima.

Opti integral ve opisane diferencijalne jednaine je:

z = C1 cos t + C2 sin tTeina tela mg nema nikakvog uticaja na proces oscilovanja, jer je uravnoteena sa silom elastinosti czs pa se problem svodi na problem horizontalnog oscilatora, odnosno na oscilovanje mase oko ravnotenog poloaja.

Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi pomeranje Az pomeranje

z = Az sin t

frekvencija

c

Period, Tn [s] 1 Frekvencija, f = [Hz=1/s]T

= 2f =

c m

Masa i opruga Kada je teorijski sistem mase i opruge jednom pokrenut, njegovo kretanje se nastavlja sa konstantnom frekvencijom i amplitudom. Sistem e tada oscilovati sinusoidalnom talasnom formom.Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Slobodne vibracije bez priguenja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Slobodne vibracije bez priguenja mogu se analizirati na primeru vertikalnog harmonijskog oscilatora koji je sastoji od mase i opruge. Oscilator se kree samo u jednom pravcu - z. Sistem sa jednim stepenom slobode ije se kretanje moe opisati samo jednom koordinatom -z.c B m z(t) A

Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Slobodne vibracije bez priguenja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Kretanje tela je harmonijsko sa periodom T:

m = 2 T= c 0

2

0 = 2f 0

i frekvencijom koja je jednaka sopstvenoj frekvenciji sistema:

1 f0 = 2

c 1 = m 2mg = cz s

g zs

Period, kruna frekvencija i frekvencija oscilovanja zavisi od parametara sistema krutosti opruge i mase tela. Mogu se odrediti ako je poznat statiki ugib opruge zs.

Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Slobodne vibracije bez priguenja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Teorijski nepriguene slobodne oscilacije traju zauvek. Meutim ovo se ne deava jer sve slobodne vibracije nestaju posle izvesnog vremena zbog priguenja koje postoji u svakom sistemu.

Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Sprezanje opruga

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Frekvencija oscilovanja, odnosno sopstvena frekvencija slobodnih oscilacija, moe se poveati poveanjem krutosti opruge.

1 f0 = 2

c m

Poveanje krutosti sistema masa/opruga moe se postii sprezanjem opruga. Opruge mogu biti spregnute u rednu i paralelnu vezu. Vie spregnutih opruga razliitih krutosti moe se zameniti jednom oprugom ekvivalente krutosti.Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Sprezanje opruga - paralelna veza

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Sistem kod koga je masa m vezana na dve paralelne opruge moe se zameniti jednom oprugom ekvivalentne krutosti c*. Kod sistema paralelnih opruga sve opruge e imati isto statiko izduenje usled delovanja teine tela mase m. Opruga vee krutosti definie statiko izduenje. z s = z1 = z 2c1z1 c2z2

U statikom ravnotenom poloaju sila teine i elastine sile u oprugama su u ravnotei:

mg

mg = c1 z1 + c 2 z 2Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

(1)

Sprezanje opruga - paralelna veza

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Kod ekvivalenetnog sistema opruga krutosti c* imae isto statiko izduenje usled delovanja teine tela mase m kao i pojedinne opruge u posmatranom sistemu. U statikom ravnotenom poloaju sila teine i elastina sile u opruzi krutosti c* su u ravnotei:

mg = c * z sc1z1 c2z2 c*z

(2) Izjednaavanjem (1) i (2) dobija se: izraza

mg = c * s = c1 z1 + c2 z 2z s = z1 = z 2

c* = c1 + c2mg mg Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Sprezanje opruga - paralelna veza (+) Prof. dr Dragan Cvetkovi

U sluaju kada sistem ima vie opruga ekvivalentna krutost se rauna kao:

c* =

cii =1

n

Ekvivalentna krutost jednaka je zbiru krutosti pojedinih opruga.c1z1 c2z2 c*z

mg

mg Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Sprezanje opruga - redna veza

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Sistem kod koga je masa m vezana na dve redne opruge moe se zameniti jednom oprugom ekvivalentne krutosti c*. Kod sistema rednih opruga masa m e usled teine tela razliito statiki izduiti opruge u zavisnosti od njihovih krutosti.mg mg = c1 z1 z1 = c1 mg = c2 z 2 z 2 = mg c2

c1z1 c2z2

mg Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Sprezanje opruga - redna veza (+) Prof. dr Dragan Cvetkovi

Kod ekvivalentnog sistema masa m e usled teine tela statiki izduiti oprugu u zavisnosti od njene krutosti c*: mg mg = c * z z = c* Ukupno statiko izduenje opruge krutosti c* jednako je zbiru statikih izduenja pojedinanih opruga:z = z1 + z 2c1z1 c2z2 c*z

mg mg mg = + c* c1 c2 1 1 1 = + c * c1 c 2 c* = c1c2 c1 + c2

mg

Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Sprezanje opruga - redna veza

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

U sluaju kada sistem ima vie opruga ekvivalentna krutost se rauna kao:1 = c*

1 i =1 ci

n

Reciprona vrednost evivalentne krutosti jednaka je zbiru recipronih vrednosti krutosti pojedinih opruga.c1z1 c2z2

c*z

mg Sistemi sa jednim stepenom slobode kretan