Male oscilacije - pmfst.unist.hr zeljko/Male_   1 MALE OSCILACIJE 1. Male oscilacije sustava Razmatrajmo

  • View
    219

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Male oscilacije - pmfst.unist.hr zeljko/Male_   1 MALE OSCILACIJE 1. Male oscilacije sustava...

  • 1

    MALE OSCILACIJE

    1. Male oscilacije sustava Razmatrajmo konzervativni izolirani fizikalni sustav s n stupnjeva slobode gibanja. Stanje gibanja sustava opisano je skupom od n generaliziranih koordinata i n generaliziranih brzina

    ( q i ,

    q i) gdje je i = 1, 2, ...... , n. Sustav je opisan Lagrangian-om:

    L( q i ,

    q i) = T U , gdje je potencijalna energija funkcija poloaja U = U(q) . Sustav je u poloaju ravnotee kada generazirane sile koje djeluju na njega iezavaju:

    Qi = 0

    iq

    U = 0 , (1.1)

    to znai da u ravnotenom poloaju sustava (q10, q20, .... , qn0) potencijalna energija ima ekstrem. Ravnoteni poloaj je jedina konfuguracija u kojoj sustav moe mirovati. Skoro svaki fizikalni sustav ima poloaj ravnotee: nukleus, atom, molekula, kruto tijelo, zvijezda, planetarni sustav, galaktika, .... Ravnoteni poloaj moe biti stabilan, nestabilan i indiferentan. stabilan = minimum od U nestabilan = maksimum od U indiferentan = ekstrem vieg reda od U . Ravnoteni poloaj je stabilan ako mali pomak iz tog poloaja rezultira jedino ogranienim gibanjem u blizini tog poloaja. Bilo kakav infinetizimalni pomak (perturbacija) sustava iz nestabilnog (labilnog) ravnotenog poloaja proizvodi neogranieno gibanje koje trajno odvodi sustav iz tog poloaja. Mali pomak iz indiferentnog ravnotenog poloaja je opet indiferentni ravnoteni poloaj. Primjer: estica u gravitacijskom polju u udolini, na vrhu brijega ili na ravnini

    Fig. 1. Oblik krivulja potencijalne energije u blizini poloaja ravnotee

  • 2

    Zanima nas gibanje sustava u blizini poloaja stabilne ravnotee. U sluaju malih oscilacija, pomaci iz ravnotenog poloaja su mali pa sve funkcije koje opisuju sustav moemo razviti u Taylor-ov red oko poloaja stabilne ravnotee. Prvo uvedimo nove generalizirane koordinate xi koje se mjere od ravnotenog poloaja (ovo je uvijek mogue, jer znai samo translaciju ishodita):

    xi = qi qi0 ; i = 1,....., n . (1.2) Razvijajui potencijalnu energiju U oko qi0 , tj. oko xi = 0 , dobijamo;

    U(q1,....,qn) = U(q10,....,qn0) + ii

    ix

    qU

    0

    +

    21

    jiji

    jixx

    qqU

    0

    2

    .

    + .... . (1.3)

    lanovi linearni po xi automatski iezavaju kao posljedica uvjeta ravnotee (1.1). Budui da je potencijalna energija definirana do na konstantu, moemo odabrati da je njena vrijednost u poloaju stabilne ravnotee jednaka nuli: U0 = U(q10,....,qn0) = 0 . Zanemarujui infinitezimalne lanove vieg reda po xi , dobijamo izraz za potencijalnu energiju sustava za sluaj malih oscilacija oko poloaja stabilne ravnotee koji je kvadratna funkcija generaliziranih koordinata xi :

    U = 21

    jiji

    jixx

    qqU

    0

    2

    .

    =

    21

    jiijjixxV

    . ; i,j = 1,....,n (1.4)

    gdje smo druge derivacije potencijalne energije U u poloaju stabilne ravnotee oznaili konstantama Vij . Oigledno je iz definicije da su konstante Vij simetrine, tj. Vij = Vij i tvore elemente realne simetrine n x n matrice V . Razmotrimo sada razvoj u red kinetike energije sustava. Budui da za izolirani sustav generalizirane koordinate ne sadre vrijeme eksplicitno, kinetika energija je homogena kvadratna funkcuja generaliziranih brzina:

    T = 21

    jiijjiqqt

    . =

    21

    jiijjixxt

    . . (1.5)

    Koeficijenti tij su funkcije generaliziranih koordinata qi , tj. xi , i mogu se razviti u red oko poloaja stabilne ravnotee:

    tij = tij(q10,....,qn0) + kk

    ij

    kx

    qt

    0

    + ..... . (1.6)

    Kako je (1.5) ve kvadratno po infinitezimalnim generaliziranim brzinama

    ix , aproksimacija najnieg reda za kinetiku energiju dobije se zanemarujui sve osim prvog lana u razvoju (1.6). Oznaavajui konstantne vrijednosti funkcija tij u poloaju ravnotee s Tij , kinetiku energiju moemo pisati:

  • 3

    T = 21

    jiijjixxT

    . . (1.7)

    Opet je oigledno da konstante Tij moraju biti simetrine jer ix

    i jx

    komutiraju. Iz (1.4) i (1.7) vidimo da je Lagrangian sustava koji vri male oscilacije oko poloaja stabilne ravnotee kvadratna funkcija generaliziranih koordinata i brzina:

    L = 21

    ji.

    +

    jiijjiij xxVxxT . (1.8)

    Pripadne Lagrange-ove jednadbe su:

    jijj xT + jijj xV = 0 . (1.9)

    Ovo je sustav od n diferencijalnih jednadbi drugog reda s konstantnim koeficijentima. Sada trebamo nauiti kako ih rjeiti!

  • 4

    2. Jednadba svojstvenih vrijednosti Vidjeli smo da su jednadbe gibanja (1.9) svakog fizikalnog sustava koji ima poloaj stabilne ravnotee u blizini tog poloaja u prvoj aproksimaciji:

    jijj xT + jijj xV = 0 . (1.10)

    Da pojednostavnimo notaciju preimo na matrini oblik smatraemo Tij elementima realne, simetrine n x n matrice T , a Vij elementima matrice V istog tipa. Lagrange-ove jednadbe gibanja za male oscilacije u matrinom obliku glase:

    T

    x + V x = 0 (1.11)

    gdje je x vektor-stupac tj. n x 1 matrica.

    Mnoei (1.11) slijeva s matricom T 1, inverznom matricom od T (T 1 uvijek postoji, tj. T je regularna matrica jer bismo, u protivnom, imali linearnu zavisnost generaliziranih koordinata to je, po definiciji, nemogue), dobivamo:

    x + Ax = 0 , (1.12)

    gdje je A = T 1V .

    elimo da rjeenje bude jednostavno harmonijsko titranje x = e iwt s kutnom frekvencijom w koje zadovoljava jednadbu gibanja:

    x + w2x = 0 ; w2 = const. (1.13) Iz (1.12) i (1.13) je oigledno da je neophodan uvjet da imamo takvo rjeenje: Ax = w2x , (1.14) tj. ako je x svojstveni vektor matrice A koji pripada svojstvenoj vrijednosti w2 , tj. svojstvenoj frekvenciji sustava w . Znai, rjeavanje problema malih oscilacija svodi se na rjeavanje svojstvenog problema (1.14) matrice A = T 1V . Svojstvene vrijednosti matrice A su korijeni karakteristine jednadbe:

    det ( Akj w2kj ) = 0 , (1.15) ili, mnoei slijeva s det Tik :

    det ( Vij w2Tij ) = 0 . (1.16) Ovo je algebarska jednadba stupnja n po w2 i njena rjeenja su n svojstvenih frekvencija malih oscilacija fizikalnog sustava. Pripadne svojstvene vektore odreujemo iz (1.14) ili iz ekvivalentne jednadbe:

    ( V w2T ) x = 0 . (1.17)

  • 5

    Kako su V i T realne simetrine matrice slijedi da su svojstvene vrijednosti w2 matrice A realne. To je lako dokazati. Hermitski konjugirana jednadba (1.17) je:

    x+V 2w x+T = 0 . (1.18) Mnoei (1.17) slijeva s x+ , a (1.18) zdesna s x , dobivamo: x+V x = w2 x+T x

    x+V x = 2w x+T x ,

    pa oduzimanjem slijedi da je: w2 = 2w , tj. w R . U linearnoj algebri se pokazuje da svaka hermitska matrica reda n ima n svojstvenih vektora po jedan za svaku svojstvenu frekvenciju wk . Napomena: Jasno je da su matrice V i T hermitske jer su realne i simetrine, tako da je i matrica T 1 hermitska. No, produkt dvije hermitske matrice je hermitska matrica, ako i samo ako one komutiraju. U svakom pojedinom sluaju moe se provjeriti da li matrice V i T 1 komutiraju. No, bez velikog ogranienja openitosti u klasinoj fizici, to se moe pretpostaviti i mi emo tako uiniti bez provjere. Tada je i matrica A = T 1V hermitska, te njen svojstveni problem ima rjeenje, tj. postoji n svojstvenih frekvencija wk i njima pripadnih svojstvenih vektora. Oznaimo svojstvene vektore matrice A s x(k), gdje je (k = 1,2, ., n). Za pojedine komponente svojstvenih vektora uvedimo notaciju : xi(k) xik . Svojstvene vrijednosti w2 matrice A su, osim toga, i pozitivne to se vidi na slijedei nain. Pomnoimo (1.17) s xik i sumirajmo po i :

    jkikijji xxV, = jkikijjik xxTw ,2 ,

    to daje:

    2kw = jkikij

    jkikij

    xxTxxV

    .

    Na desnoj strani i brojnik i nazivnik su nenegativni nazivnik je dvostruka kinetika energija za brzine xik a, brojnik je potencijalna energija za koordinate xik uz uvjet da je minimum te potencijalne energije nula, to znai da je: 2kw 0 . Sluaj nulte svojstene frekvencije zahtijeva posebno razmatranje: titranje s frekvencijom w = 0 ustvari nije titranje nego translacijsko ili rotacijsko gibanje cijelog sustava kao krutog tijela i u praksi se eliminira dodatnim zahtjevom da je brzina centra mase sustava jednaka nuli. Dosad smo pokazali da svaki konzervativni fizikalni sustav s n stupnjeva slobode gibanja u blizini poloaja stabilne ravnotee ima n svojstvenih frekvencija koje su realne i nenegativne. U zavisnosti da li su te svojstvene frekvencije meusobno razliite ili nisu imamo dva sluaja:

    i) NEMA DEGENERACIJE svih n svojstvenih frekvencija wk su razliite Rjeavanjem karakteristine jednadbe (1.15) ili (1.16) nalazimo svojstvene frekvencije, a zatim odreujemo pripadne svojstvene vektore iz jednadbe:

  • 6

    ( A w2I ) x = 0 ili ( V w2T ) x = 0 uvrtavanjem svojstvenih vrijednosti. PRIMJER 1. Rjeimo svojstveni problem matrice:

    A =

    001020100

    tj. matrinu jednadbu: Ax = x , gdje smo svojstvene vrijednosti oznaili s .

    Karakteristina jednadba: det ( A I ) = 0 , odnosno:

    0102010

    = 0 2 ( 2 ) 2 + = 0

    Svojstvene vrijednosti su: 1 = 1 ; 2 = 1 ; 3 = 2 ;

    Sad treba nai svojstvene vektore uvrtavanjem vrijednosti i u jednadbu: (A I ) x = 0 .

    a) 1 = 1

    101030101

    3

    2

    1

    xxx

    = 0 0

    030

    31

    2

    31

    =+==+

    xxx

    xx

    Ovo je sustav od 3 homogene linearne jednadbe s 3 nepoznanice (no samo dvije linearno nezavisne