Dinamika materijalne take
Ako su dimenzije krutoga tijela pri kretanju ili mirovanju zanemarivane, tada ga moemo zamijeniti kretanjem (ili mirovanjem) jedne njegove take u kojoj smatramo da je saeta cjelokupna masa tijela. Ova taka naziva se materijalna taka i razlikuje se od geometrijske take time to ima konanu masu. Na isti nain materijalnom takom moemo smatrati sve materijalne djelie - estice, na koje moemo (zamisliti) rastaviti jedno tijelo, pri odreivanju ovih ili onih dinamikih karakteristika tijela. Materijalna taka je odreena svojim poloajem u prostoru, to jest svojim koordinatama u odnosu na jedan usvojeni koordinatni sistem, i svojom masom. Da bi smo prouili kretanje materijalne take, moramo uspostaviti vezu izmeu sila koje djeluju na materijalnu taku i ubrzanja koje taka dobije od sila koje na nju djeluju. 3.1. DIFERENCIJALNE JEDNAINE KRETANJA
SLOBODNE MATERIJALNE TAKE Materijalnu raku smatramo slobodnom ukoliko se ona pod dejstvom datog sistema sila moe kretati proizvoljno u prostoru u saglasnosti sa jednainom (2.3.) (drugi Newtonov zakona). Pretpostavimo da se slobodna materijalna taka M (mase m) na koju djeluje sistem sila ,,..., 21 nFFF
rrrkree
u odnosu na inercijalni sistem referencije 0xyz (slika 3.1.). Ako je poloaj materijalne take M (mase m) odreen vektorom poloaja rr u odnosu na inercijalni sistem referencije, onda je na osnovu jednaine (2.3.) - drugi Newtonov zakon:
Slika 3.1. Slobodna materijalna taka M pod djejstvom sistema sila
Diferencijalne jednaine kretanja materijalne take i njihova integracija
x
z
y
x y
z
M(m) 1Fr
3Fr
nFr
2Fr
iFr
FFrrr
=
ar
0
rr
=
==
++++=n
iri
n
FFam
FFFFam
1
321 ...rsr
rrrrr
(3.1.)
Odnosno, jednainu (3.1.) moemo napisati u slijedeoj formi:
( ).,,22
tvrFdt
rdmamrsrrr
== (3.2.)
gdje je: -= 22
dtrdars
vektor ubrzanja materijalne take M, a =
=n
iiFF
1
rspredstavlja rezultantu
svih sila koje djeluju na materijalnu taku. Rezultanta Fr
moe da zavisi od vektora poloaja r
r materijalne take M, brzine v
r materijalne take M i od vremena t. Jednaina (3.2.) naziva se diferencijalna jednaina kretanja slobodne materijalne take izraena u vektorskom obliku. Ovom jednainom uspostavljena je veza izmeu geometrijsko-kinetikih veliina i parametra t (vremena) sa dinamikom veliinom F
r- silom. Ova
vektorska jednaina je osnovna jednaina dinamike. Vektorsku jednainu (3.2.) mogue je projektovati na ose utvrenog inercijalnog sistema referencije te na taj nain dobivamo razne oblike skalarnih diferencijalnih jednaina kretanja materijalne take M (mase m). a) Diferencijalne jednaine kretanja za Descartesove koordinate Slika 3.2. Descartesov koordinatni sistem
Ukoliko vektorsku jednainu (3.2.) projiciramo na ose Descartesovog nepokretnog pravouglog koordinatnog sistema, dobit emo tri skalarne diferencijalne jednaine u slijedeem obliku:
( )tzyxzyxFdt
xdmxm x ; ,, ; ,,22
&&&&& ==
( )tzyxzyxFdt
ydmym y ; ,, ; ,,22
&&&&& == (3.3.)
( ), ; ,, ; ,,22
tzyxzyxFdt
zdmzm z &&&&& ==
gdje su , , , 22
2
2
2
2
dtzdz
dtydy
dtxdx === &&&&&& projekcije vektora ubrzanja as materijalne take na
ose Descartesovog sistema referencije, a ,,, zyx FFF projekcije rezultante rFr
na ose inercijalnog sistema referencije 0xyz. jednaine (3.3.) predstavljaju diferencijalne jednaine kretanja materijalne take u Descartesovom koordinatnom sistemu 0xyz.
x
z
y
M(m)
x
z
y
ar
rFr
rr
0
Slika 3.3. Kretanje slobodne materijalne
take M (mase m), u ravni 0xy
Pretpostavimo da se materijalna taka M (mase m) kree u ravni 0xy (kao to je prikazano na sl. 3.3.) i da sile koje djeluju na materijalnu taku lee u toj ravnini. Tada se jednaine (3.3.) svode na slijedei oblik:
( )tyxyxFdt
xdmxm x ; , ; ,22
&&&& ==
( )tyxyxFdt
ydmym y ; , ; ,22
&&&& == (3.4.)
U sluaju da se slobodna materijalna taka M (mase m) kree du 0x ose, tada diferencijalna jednaina pravolinijskog kretanja materijalne take M ima oblik:
( ). ; ;22
txxFdt
xdmxm x &&& == (3.5.)
b) Diferencijalne jednaine kretanja za cilindrine koordinate Kada se slobodna materijalna taka M (mase m) kree u prostoru, diferencijalne jednaine kretanja take mogue je izraziti u cilindrinim koordinatama (slika (3.4.). Projektovanjem vektorske jednaine (3.3.) na tri ortogonalna pravca: radijalni, cirkularni i aksijalni, dobit emo tri skalarne jednaine [vodei rauna o jednainama (4.42.) i (4.43.) iz poglavlja 4.2.3. Tehnika mehanika 2 - Kinematika] u slijedeem obliku:
[ ]
=
==
=-=
-=
n
irir
r
FF
rrmdtdr
dtrdmma
1
22
2
2j
j &&&
[ ]
=
==
=+=
+=
n
ii FF
rrmdtd
dtdr
dtdrmma
1
2
222
jj
j jjjj &&&&
zz Fdtzdmma == 2
2 (3.6.)
Slika 3.4. Kretanja slobodne materijalne
take M (mase m) u cilindrinom koordinantnom sistemu
x
y
0 M(m)
yar
xar
xFr
yFr
z
x
y 0
kr
jer
rer
j
rr
A' p'
rar
jar
rFr
jFr
A
p ar r
zar
zFr
ar = i ir
FFrr
c) Diferencijalne jednaine kretanja za prirodne koordinate Pretpostavimo da posmatramo kretanje slobodne materijalne take M (mase m) u odnosu na prirodni inercijalni sistem referencije kao to je prikazano na slici 3.5. Ako vektorsku diferencijalnu jednainu (3.3.) projektujemo na ose prirodnog koordinatnog sistema poznato je iz poglavlja 4.2.2. jednaine (4.25.) Tehnika mehanika 2 - Kinematika, da vektor ubrzanja lei u oskulatornoj ravnini, dobit emo slijedee skalarne jednaine:
b
nk
t
F
FRvm
Fdt
sdmdtdvm
=
=
==
0
2
2
2
(3.7.)
Slika 3.5. Kretanje slobodne materijalne
take M (mase m) u prirodnom koordinatnom sistemu
Jednaine (3.7.) predstavljaju sistem diferencijalnih jednaina kretanja materijalne take M (mase m) u prirodnim koordinatama, te one potvruju zakljuak iz Tehnike mehanike 2 - Kinematika poglavlje 4.22., da vektor ubrzanja take i rezultirajua sila koja na nju djeluje lee u oskulatornoj ravnini. 3.2. INTEGRACIJA DIFERENCIJALNIH JEDNAINA SLOBODNE MATERIJALNE TAKE Problem dinamike sastoji se u tome da se:
a) na osnovu poznatog kretanja materijalne take odredi sila koja u svakom trenutku djeluje na materijalnu taku, i to se naziva prvi zadatak dinamike; i
b) na osnovu poznate mase i sile koja djeluje na materijalnu taku odrede konane jednaine kretanja take, odnosno zakon kretanja take, a to se naziva drugi zadatak dinamike.
Odreivanje konanih jednaina kretanja svodi se na integraciju diferencijalnih jednaina kretanja. Za slobodnu materijalnu taku M (mase m) najee se koriste diferencijalne jednaine kretanja izraene u vektorskom obliku
( ).,, tvrFrmam rrrr&&rr == (3.8.) Sile koje djeluju na materijalnu taku M (mase m) mogu da zavise istovremeno od vremena t, vektora poloaja rv i brzine vr materijalne take, to jest ( ).,, vrtFF rr
rr=
Za slobodnu materijalnu taku najee se koriste odgovarajui sistemi skalarnih diferencijalnih jednaina iji oblik, kao to smo vidjeli u predhodnom poglavlju, zavisi od
b
n
t k
M(m)
ber
ter
tar
ner
nar
ar
=i
ir FFrr
p Rk
izbora koordinatnog sistema. Tako npr. najee se rjeava sistem tri diferencijalne jednaine u Descartesovim koordinatama:
( )
( )
( ),,,;,,
,,;,,
,,;,,
2
2
2
2
2
2
zyxyxtFdt
zdmzm
zyxyxtFdt
ydmym
zyxzxtFdt
xdmxm
z
y
x
&&&&&
&&&&&
&&&&&
==
==
==
(3.9.)
Sistemom diferencijalnih jednaina (3.9.) opisuje se proizvoljno kretanje slobodne materijalne take. Poto se radi o diferencijalnim jednainama drugog reda, to emo nakon izvrene integracije sistema diferencijalnih jednaina dobiti ope rjeenje u koje se uvodi est skalarnih integracionih konstanti. Integracione konstante odreujemo iz poetnih uslova kretanja, to jest u poetnom trenutku materijalna taka ima odreen poloaj i odreenu brzinu. Nakon odreivanja proizvoljnih integracionih konstanti iz poetnih uslova i njihovom zamjenom u sistem jednaina dobivamo konane jednaine kretanja materijalne take: ( )0000001 ,,,,,, zyxzyxtfx &&&= ( )0000002 ,,,,,, zyxzyxtfy &&&= (3.10.) ( ).,,,,,, 0000003 zyxzyxtfz &&&= Poznavanjem sistema jednaina (3.10.) kretanje materijalne take u prostoru jednoznano je odreeno. 3.3. PRAVOLINIJSKO KRETANJE MATERIJALNE TAKE Pretpostavimo da se materijalna taka M (mase m) kree pravolinijski du ose 0x. Kod pravolinijskog kretanja materijalne taka M vektor brzine v
r i ubrzanja dr
take usmjereni su du pravolinijske t
