Click here to load reader

Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 3)

  • View
    92

  • Download
    7

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Dinamika i OscilacijeIsak KarabegovicPoglavlje 3

Text of Isak Karabegovic - Dinamika i Oscilacije (Poglavlje 3)

  • Dinamika materijalne take

  • Ako su dimenzije krutoga tijela pri kretanju ili mirovanju zanemarivane, tada ga moemo zamijeniti kretanjem (ili mirovanjem) jedne njegove take u kojoj smatramo da je saeta cjelokupna masa tijela. Ova taka naziva se materijalna taka i razlikuje se od geometrijske take time to ima konanu masu. Na isti nain materijalnom takom moemo smatrati sve materijalne djelie - estice, na koje moemo (zamisliti) rastaviti jedno tijelo, pri odreivanju ovih ili onih dinamikih karakteristika tijela. Materijalna taka je odreena svojim poloajem u prostoru, to jest svojim koordinatama u odnosu na jedan usvojeni koordinatni sistem, i svojom masom. Da bi smo prouili kretanje materijalne take, moramo uspostaviti vezu izmeu sila koje djeluju na materijalnu taku i ubrzanja koje taka dobije od sila koje na nju djeluju. 3.1. DIFERENCIJALNE JEDNAINE KRETANJA

    SLOBODNE MATERIJALNE TAKE Materijalnu raku smatramo slobodnom ukoliko se ona pod dejstvom datog sistema sila moe kretati proizvoljno u prostoru u saglasnosti sa jednainom (2.3.) (drugi Newtonov zakona). Pretpostavimo da se slobodna materijalna taka M (mase m) na koju djeluje sistem sila ,,..., 21 nFFF

    rrrkree

    u odnosu na inercijalni sistem referencije 0xyz (slika 3.1.). Ako je poloaj materijalne take M (mase m) odreen vektorom poloaja rr u odnosu na inercijalni sistem referencije, onda je na osnovu jednaine (2.3.) - drugi Newtonov zakon:

    Slika 3.1. Slobodna materijalna taka M pod djejstvom sistema sila

    Diferencijalne jednaine kretanja materijalne take i njihova integracija

    x

    z

    y

    x y

    z

    M(m) 1Fr

    3Fr

    nFr

    2Fr

    iFr

    FFrrr

    =

    ar

    0

    rr

  • =

    ==

    ++++=n

    iri

    n

    FFam

    FFFFam

    1

    321 ...rsr

    rrrrr

    (3.1.)

    Odnosno, jednainu (3.1.) moemo napisati u slijedeoj formi:

    ( ).,,22

    tvrFdt

    rdmamrsrrr

    == (3.2.)

    gdje je: -= 22

    dtrdars

    vektor ubrzanja materijalne take M, a =

    =n

    iiFF

    1

    rspredstavlja rezultantu

    svih sila koje djeluju na materijalnu taku. Rezultanta Fr

    moe da zavisi od vektora poloaja r

    r materijalne take M, brzine v

    r materijalne take M i od vremena t. Jednaina (3.2.) naziva se diferencijalna jednaina kretanja slobodne materijalne take izraena u vektorskom obliku. Ovom jednainom uspostavljena je veza izmeu geometrijsko-kinetikih veliina i parametra t (vremena) sa dinamikom veliinom F

    r- silom. Ova

    vektorska jednaina je osnovna jednaina dinamike. Vektorsku jednainu (3.2.) mogue je projektovati na ose utvrenog inercijalnog sistema referencije te na taj nain dobivamo razne oblike skalarnih diferencijalnih jednaina kretanja materijalne take M (mase m). a) Diferencijalne jednaine kretanja za Descartesove koordinate Slika 3.2. Descartesov koordinatni sistem

    Ukoliko vektorsku jednainu (3.2.) projiciramo na ose Descartesovog nepokretnog pravouglog koordinatnog sistema, dobit emo tri skalarne diferencijalne jednaine u slijedeem obliku:

    ( )tzyxzyxFdt

    xdmxm x ; ,, ; ,,22

    &&&&& ==

    ( )tzyxzyxFdt

    ydmym y ; ,, ; ,,22

    &&&&& == (3.3.)

    ( ), ; ,, ; ,,22

    tzyxzyxFdt

    zdmzm z &&&&& ==

    gdje su , , , 22

    2

    2

    2

    2

    dtzdz

    dtydy

    dtxdx === &&&&&& projekcije vektora ubrzanja as materijalne take na

    ose Descartesovog sistema referencije, a ,,, zyx FFF projekcije rezultante rFr

    na ose inercijalnog sistema referencije 0xyz. jednaine (3.3.) predstavljaju diferencijalne jednaine kretanja materijalne take u Descartesovom koordinatnom sistemu 0xyz.

    x

    z

    y

    M(m)

    x

    z

    y

    ar

    rFr

    rr

    0

  • Slika 3.3. Kretanje slobodne materijalne

    take M (mase m), u ravni 0xy

    Pretpostavimo da se materijalna taka M (mase m) kree u ravni 0xy (kao to je prikazano na sl. 3.3.) i da sile koje djeluju na materijalnu taku lee u toj ravnini. Tada se jednaine (3.3.) svode na slijedei oblik:

    ( )tyxyxFdt

    xdmxm x ; , ; ,22

    &&&& ==

    ( )tyxyxFdt

    ydmym y ; , ; ,22

    &&&& == (3.4.)

    U sluaju da se slobodna materijalna taka M (mase m) kree du 0x ose, tada diferencijalna jednaina pravolinijskog kretanja materijalne take M ima oblik:

    ( ). ; ;22

    txxFdt

    xdmxm x &&& == (3.5.)

    b) Diferencijalne jednaine kretanja za cilindrine koordinate Kada se slobodna materijalna taka M (mase m) kree u prostoru, diferencijalne jednaine kretanja take mogue je izraziti u cilindrinim koordinatama (slika (3.4.). Projektovanjem vektorske jednaine (3.3.) na tri ortogonalna pravca: radijalni, cirkularni i aksijalni, dobit emo tri skalarne jednaine [vodei rauna o jednainama (4.42.) i (4.43.) iz poglavlja 4.2.3. Tehnika mehanika 2 - Kinematika] u slijedeem obliku:

    [ ]

    =

    ==

    =-=

    -=

    n

    irir

    r

    FF

    rrmdtdr

    dtrdmma

    1

    22

    2

    2j

    j &&&

    [ ]

    =

    ==

    =+=

    +=

    n

    ii FF

    rrmdtd

    dtdr

    dtdrmma

    1

    2

    222

    jj

    j jjjj &&&&

    zz Fdtzdmma == 2

    2 (3.6.)

    Slika 3.4. Kretanja slobodne materijalne

    take M (mase m) u cilindrinom koordinantnom sistemu

    x

    y

    0 M(m)

    yar

    xar

    xFr

    yFr

    z

    x

    y 0

    kr

    jer

    rer

    j

    rr

    A' p'

    rar

    jar

    rFr

    jFr

    A

    p ar r

    zar

    zFr

    ar = i ir

    FFrr

  • c) Diferencijalne jednaine kretanja za prirodne koordinate Pretpostavimo da posmatramo kretanje slobodne materijalne take M (mase m) u odnosu na prirodni inercijalni sistem referencije kao to je prikazano na slici 3.5. Ako vektorsku diferencijalnu jednainu (3.3.) projektujemo na ose prirodnog koordinatnog sistema poznato je iz poglavlja 4.2.2. jednaine (4.25.) Tehnika mehanika 2 - Kinematika, da vektor ubrzanja lei u oskulatornoj ravnini, dobit emo slijedee skalarne jednaine:

    b

    nk

    t

    F

    FRvm

    Fdt

    sdmdtdvm

    =

    =

    ==

    0

    2

    2

    2

    (3.7.)

    Slika 3.5. Kretanje slobodne materijalne

    take M (mase m) u prirodnom koordinatnom sistemu

    Jednaine (3.7.) predstavljaju sistem diferencijalnih jednaina kretanja materijalne take M (mase m) u prirodnim koordinatama, te one potvruju zakljuak iz Tehnike mehanike 2 - Kinematika poglavlje 4.22., da vektor ubrzanja take i rezultirajua sila koja na nju djeluje lee u oskulatornoj ravnini. 3.2. INTEGRACIJA DIFERENCIJALNIH JEDNAINA SLOBODNE MATERIJALNE TAKE Problem dinamike sastoji se u tome da se:

    a) na osnovu poznatog kretanja materijalne take odredi sila koja u svakom trenutku djeluje na materijalnu taku, i to se naziva prvi zadatak dinamike; i

    b) na osnovu poznate mase i sile koja djeluje na materijalnu taku odrede konane jednaine kretanja take, odnosno zakon kretanja take, a to se naziva drugi zadatak dinamike.

    Odreivanje konanih jednaina kretanja svodi se na integraciju diferencijalnih jednaina kretanja. Za slobodnu materijalnu taku M (mase m) najee se koriste diferencijalne jednaine kretanja izraene u vektorskom obliku

    ( ).,, tvrFrmam rrrr&&rr == (3.8.) Sile koje djeluju na materijalnu taku M (mase m) mogu da zavise istovremeno od vremena t, vektora poloaja rv i brzine vr materijalne take, to jest ( ).,, vrtFF rr

    rr=

    Za slobodnu materijalnu taku najee se koriste odgovarajui sistemi skalarnih diferencijalnih jednaina iji oblik, kao to smo vidjeli u predhodnom poglavlju, zavisi od

    b

    n

    t k

    M(m)

    ber

    ter

    tar

    ner

    nar

    ar

    =i

    ir FFrr

    p Rk

  • izbora koordinatnog sistema. Tako npr. najee se rjeava sistem tri diferencijalne jednaine u Descartesovim koordinatama:

    ( )

    ( )

    ( ),,,;,,

    ,,;,,

    ,,;,,

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    zyxyxtFdt

    zdmzm

    zyxyxtFdt

    ydmym

    zyxzxtFdt

    xdmxm

    z

    y

    x

    &&&&&

    &&&&&

    &&&&&

    ==

    ==

    ==

    (3.9.)

    Sistemom diferencijalnih jednaina (3.9.) opisuje se proizvoljno kretanje slobodne materijalne take. Poto se radi o diferencijalnim jednainama drugog reda, to emo nakon izvrene integracije sistema diferencijalnih jednaina dobiti ope rjeenje u koje se uvodi est skalarnih integracionih konstanti. Integracione konstante odreujemo iz poetnih uslova kretanja, to jest u poetnom trenutku materijalna taka ima odreen poloaj i odreenu brzinu. Nakon odreivanja proizvoljnih integracionih konstanti iz poetnih uslova i njihovom zamjenom u sistem jednaina dobivamo konane jednaine kretanja materijalne take: ( )0000001 ,,,,,, zyxzyxtfx &&&= ( )0000002 ,,,,,, zyxzyxtfy &&&= (3.10.) ( ).,,,,,, 0000003 zyxzyxtfz &&&= Poznavanjem sistema jednaina (3.10.) kretanje materijalne take u prostoru jednoznano je odreeno. 3.3. PRAVOLINIJSKO KRETANJE MATERIJALNE TAKE Pretpostavimo da se materijalna taka M (mase m) kree pravolinijski du ose 0x. Kod pravolinijskog kretanja materijalne taka M vektor brzine v

    r i ubrzanja dr

    take usmjereni su du pravolinijske t

Search related