Male oscilacije Ekstremi funkcije jedne - phy.pmf.unizg.hr .Male oscilacije Ekstremi funkcija Ekstremi

  • View
    218

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Male oscilacije Ekstremi funkcije jedne - phy.pmf.unizg.hr .Male oscilacije Ekstremi funkcija...

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    Ekstremi funkcije jednevarijable

    maksimum funkcije y = f (x) je vrijednost f (x0)za koju vrijedi

    f (x0 + h) < f (x0) (1)

    za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f (x) je vrijednost f (x0) za

    koju vrijedif (x0 + h) > f (x0) (2)

    za po volji male vrijednosti h

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    neprekinuta funkcija moe imati ekstrem samo utockama u kojima prva derivacija icezava iliuopce ne postoji

    kod traenja ekstrema funkcije prvo trebamonaci tocke x0 u kojima vrijedi

    f (x0) = 0

    vrstu ekstrema moemo odrediti racunajuci viederivacije

    ako je f (x0) < 0 tocka x0 je maksimum ako je f (x0) > 0 tocka x0 je minimum ako je f (x0) = 0 racunamo vie derivacije ako je red prve derivacije razlicite od nula

    neparan funkcija nema ni minimum nimaksimum

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    ako je red prve derivacije razlicite od nula parani derivacija je pritom negativna funkcija imamaksimum

    ako je red prve derivacije razlicite od nulaneparan i derivacija je pritom pozitivna funkcijaima minimum

    Primjer 1: f (x) = x2

    x

    yy = x2

    1. derivacija: f (x) = 2x nultocka 1. derivacije:

    x0 = 0 2. derivacija: f (x0) = 2 je

    pozitivna pa funkcija imaminimum

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    Primjer 2: f (x) = x2

    xy

    y = x2

    1. derivacija: f (x) = 2x nultocka 1. derivacije:

    x0 = 0 2. derivacija: f (x0) = 2 je

    negativna pa funkcija imamaksimum

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    Primjer 3: f (x) = x3

    x

    y

    y = x3

    1. derivacija: f (x) = 3x2

    nultocka 1. derivacije:x0 = 0

    2. derivacija: f (x0) = 0 3. derivacija: f (x0) = 6

    prva derivacija razlicita od nule ima neparni red(3. derivacija)

    funkcija nema ni minimum ni maksimum, negotocku infleksije

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    funkcija z = f (x , y) ima ekstrem u tockiP0 = (x0, y0) ako moemo naci takav dapodrucje

    x0 < x < x0 + i y0 < y < y0 +

    ulazi u podrucje definicije funkcije i pri tomevrijedi

    f (x , y) < f (x0, y0) u slucaju maksimuma (3)

    f (x , y) > f (x0, y0) u slucaju minimuma (4)

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    nuni uvjet postojanja ekstrema u tockiP0 = (x0, y0)

    fx

    x0,y0

    = 0 ify

    x0,y0

    = 0 (5)

    prvi korak u traenju ekstrema je rjeavanjesustava jednadbi (5)

    vrstu ekstrema moemo odrediti na sljedecinacin

    dobivena rjeenja uvrstimo u Hessian

    H =

    2fx2

    2fxy

    2fyx

    2fy2

    (6)

    ako je Hessian negativan funkcija nema nimaksimum ni minimum

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    ako je Hessian pozitivan tada funkcija ima

    maksimum ako vrijedi2fx2

    < 0

    minimum ako vrijedi2fx2

    > 0

    ako je Hessian jednak nuli, moramo koristitisloenije metode provjere vrste ekstrema

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    Primjer 1: f (x , y) = x2 + y2

    x y

    z

    prve derivacije icezavaju u tocki (0, 0) Hessian u istoj tocki iznosi 4 osim toga vrijedi 2x f

    (0,0)= 2

    funkcija ima minimum

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    Primjer 2: f (x , y) = x2 y2

    y

    z

    x

    prve derivacije icezavaju u tocki (0, 0) Hessian u istoj tocki iznosi 4 osim toga vrijedi 2x f

    (0,0)= 2

    funkcija ima maksimum

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    Primjer 3: f (x , y) = x2 y2

    yx

    z

    prve derivacije icezavaju u tocki (0, 0) Hessian u istoj tocki iznosi 4 funkcija nema ni minimum ni maksimum, nego

    sedlenu tocku

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    da bi diferencijabilna funkcija f (x1, x2, . . . , xn)imala ekstrem u tocki T mora vrijediti

    fx1

    T

    = 0 ,fx2

    T

    = 0 , . . . ,fxn

    T

    = 0 (7)

    tocku T zovemo stacionarna tocka prirodu stacionarne tocke provjeravamo

    racunajuci Hessian elementi Hessiana

    aij =2f

    xixj

    T

    , i , j = 1, . . . , n (8)

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    Hessian napisan u obliku matrice

    H =

    a11 a12 a1na21 a22 a2n...

    ......

    ...an1 an2 ann

    , aij =2f

    xixj

    T

    (9) funkcija f ima minimum u tocki T ako vrijedi

    a11 > 0,

    a11 a12a21 a22

    > 0, . . . (10)

    sve minore moraju biti pozitivne

    a11 a12 a1ka21 a22 a2k...

    ......

    ...ak1 ak2 akk

    > 0, k n (11)

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    funkcija f ima maksimum u tocki T ako vrijedi

    a11 < 0,

    a11 a12a21 a22

    > 0, . . . (12)

    minore naizmjenicno mijenjaju predznak

    (1)k

    a11 a12 a1ka21 a22 a2k...

    ......

    ...ak1 ak2 akk

    > 0, k n (13)

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    Uvjeti ravnotee

    promatramo sustav opisan Lagrangianom

    L =12

    i ,j

    aij(q1, . . . , qn)qi qj U(q1, . . . , qn) (14)

    E-L jednadba za kti stupanj slobode

    ddt

    (

    Lqk

    )

    Lqk

    = 0 (15)

    koeficijenti aik su simetricni (aik = aki )

    Lqk

    =12

    j

    akj(q)qj +

    i

    aik (q)qi

    =

    j

    akj(q)qj

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

    Ekstremi funkcije dvijevarijable

    Ekstremi funkcije vievarijabli

    Uvjeti ravnotee

    Linearizacijajednadbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

    Sustavi s vie stupnjevaslobode

    deriviramo prethodni izraz po vremenu

    ddt

    (

    Lqk

    )

    =

    j

    akj(q)qj +

    i ,j

    akj(q)qi

    qi qj (16)

    druga derivacija potrebna za E-L jednadbu

    Lqk

    =12

    i ,j

    aij(q)qk

    qi qj U(q)qk

    (17)

    E-L jednadba za k-ti stupanj slobode

    j

    akj qj +

    i ,j

    akjqi

    qj qi 12

    i ,j

    aij(q)qk

    qi qj

    +U(q)qk

    = 0 (18)

  • Male oscilacije

    Ekstremi funkcijaEkstrem