Upload
ngominh
View
232
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Ekstremi funkcije jednevarijable
• maksimum funkcije y = f (x) je vrijednost f (x0)za koju vrijedi
f (x0 + h) < f (x0) (1)
za po volji male vrijednosti h• minimum funkcije y = f (x) je vrijednost f (x0) za
koju vrijedif (x0 + h) > f (x0) (2)
za po volji male vrijednosti h
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• neprekinuta funkcija može imati ekstrem samo utockama u kojima prva derivacija išcezava iliuopce ne postoji
• kod traženja ekstrema funkcije prvo trebamonaci tocke x0 u kojima vrijedi
f ′(x0) = 0
• vrstu ekstrema možemo odrediti racunajuci višederivacije
• ako je f ′′(x0) < 0 tocka x0 je maksimum• ako je f ′′(x0) > 0 tocka x0 je minimum• ako je f ′′(x0) = 0 racunamo više derivacije• ako je red prve derivacije razlicite od nula
neparan funkcija nema ni minimum nimaksimum
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• ako je red prve derivacije razlicite od nula parani derivacija je pritom negativna funkcija imamaksimum
• ako je red prve derivacije razlicite od nulaneparan i derivacija je pritom pozitivna funkcijaima minimum
Primjer 1: f (x) = x2
x
yy = x2 • 1. derivacija: f ′(x) = 2x
• nultocka 1. derivacije:x0 = 0
• 2. derivacija: f ′′(x0) = 2 jepozitivna pa funkcija imaminimum
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Primjer 2: f (x) = −x2
xy
y = −x2
• 1. derivacija: f ′(x) = −2x• nultocka 1. derivacije:
x0 = 0• 2. derivacija: f ′′(x0) = −2 je
negativna pa funkcija imamaksimum
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Primjer 3: f (x) = x3
x
y
y = x3
• 1. derivacija: f ′(x) = 3x2
• nultocka 1. derivacije:x0 = 0
• 2. derivacija: f ′′(x0) = 0• 3. derivacija: f ′′′(x0) = 6
• prva derivacija razlicita od nule ima neparni red(3. derivacija)
• funkcija nema ni minimum ni maksimum, negotocku infleksije
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Ekstremi funkcije dvijevarijable
• funkcija z = f (x , y) ima ekstrem u tockiP0 = (x0, y0) ako možemo naci ǫ takav dapodrucje
x0 − ǫ < x < x0 + ǫ i y0 − ǫ < y < y0 + ǫ
ulazi u podrucje definicije funkcije i pri tomevrijedi
f (x , y) < f (x0, y0) u slucaju maksimuma (3)
f (x , y) > f (x0, y0) u slucaju minimuma (4)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• nužni uvjet postojanja ekstrema u tockiP0 = (x0, y0)
∂f∂x
∣
∣
∣
∣
x0,y0
= 0 i∂f∂y
∣
∣
∣
∣
x0,y0
= 0 (5)
• prvi korak u traženju ekstrema je rješavanjesustava jednadžbi (5)
• vrstu ekstrema možemo odrediti na sljedecinacin
• dobivena rješenja uvrstimo u Hessian
H =
∣
∣
∣
∣
∣
∂2f∂x2
∂2f∂x∂y
∂2f∂y∂x
∂2f∂y2
∣
∣
∣
∣
∣
(6)
• ako je Hessian negativan funkcija nema nimaksimum ni minimum
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• ako je Hessian pozitivan tada funkcija ima
• maksimum ako vrijedi∂2f∂x2 < 0
• minimum ako vrijedi∂2f∂x2 > 0
• ako je Hessian jednak nuli, moramo koristitisloženije metode provjere vrste ekstrema
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Primjer 1: f (x , y) = x2 + y2
x y
z
• prve derivacije išcezavaju u tocki (0, 0)
• Hessian u istoj tocki iznosi 4• osim toga vrijedi ∂2
x f∣
∣
(0,0)= 2
• funkcija ima minimum
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Primjer 2: f (x , y) = −x2 − y2
y
z
x
• prve derivacije išcezavaju u tocki (0, 0)
• Hessian u istoj tocki iznosi 4• osim toga vrijedi ∂2
x f∣
∣
(0,0)= −2
• funkcija ima maksimum
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Primjer 3: f (x , y) = x2 − y2
yx
z
• prve derivacije išcezavaju u tocki (0, 0)
• Hessian u istoj tocki iznosi −4• funkcija nema ni minimum ni maksimum, nego
sedlenu tocku
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Ekstremi funkcije viševarijabli
• da bi diferencijabilna funkcija f (x1, x2, . . . , xn)imala ekstrem u tocki T mora vrijediti
∂f∂x1
∣
∣
∣
∣
T
= 0 ,∂f∂x2
∣
∣
∣
∣
T
= 0 , . . . ,∂f∂xn
∣
∣
∣
∣
T
= 0 (7)
• tocku T zovemo stacionarna tocka• prirodu stacionarne tocke provjeravamo
racunajuci Hessian• elementi Hessiana
aij =∂2f
∂xi∂xj
∣
∣
∣
∣
T
, i , j = 1, . . . , n (8)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• Hessian napisan u obliku matrice
H =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
...an1 an2 · · · ann
, aij =∂2f
∂xi∂xj
∣
∣
∣
∣
T
(9)• funkcija f ima minimum u tocki T ako vrijedi
a11 > 0,
∣
∣
∣
∣
a11 a12
a21 a22
∣
∣
∣
∣
> 0, . . . (10)
• sve minore moraju biti pozitivne∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 · · · a1k
a21 a22 · · · a2k...
......
...ak1 ak2 · · · akk
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
> 0, k ≤ n (11)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• funkcija f ima maksimum u tocki T ako vrijedi
a11 < 0,
∣
∣
∣
∣
a11 a12
a21 a22
∣
∣
∣
∣
> 0, . . . (12)
• minore naizmjenicno mijenjaju predznak
(−1)k
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 · · · a1k
a21 a22 · · · a2k...
......
...ak1 ak2 · · · akk
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
> 0, k ≤ n (13)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Uvjeti ravnoteže
• promatramo sustav opisan Lagrangianom
L =12
∑
i ,j
aij(q1, . . . , qn)qi qj −U(q1, . . . , qn) (14)
• E-L jednadžba za k−ti stupanj slobode
ddt
(
∂L∂qk
)
−∂L∂qk
= 0 (15)
• koeficijenti aik su simetricni (aik = aki )
∂L∂qk
=12
∑
j
akj(q)qj +∑
i
aik (q)qi
=∑
j
akj(q)qj
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• deriviramo prethodni izraz po vremenu
ddt
(
∂L∂qk
)
=∑
j
akj(q)qj +∑
i ,j
∂akj(q)
∂qiqi qj (16)
• druga derivacija potrebna za E-L jednadžbu
∂L∂qk
=12
∑
i ,j
∂aij(q)
∂qkqi qj −
∂U(q)
∂qk(17)
• E-L jednadžba za k-ti stupanj slobode
∑
j
akj qj +∑
i ,j
∂akj
∂qiqj qi −
12
∑
i ,j
∂aij(q)
∂qkqi qj
+∂U(q)
∂qk= 0 (18)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• da bi sistem mirovao u tocki konfiguracionogprostora
q(0) =(
q(0)1 , . . . q(0)
n
)
(19)
mora vrijediti
qi = q(0)i , qi = 0, qi = 0, ,
...q i = 0, . . . (20)
• uvrstimo uvjete (20) u E-L jednadžbu (18)
=⇒∂U(q1, . . . , qn)
∂qi
∣
∣
∣
∣
q=q(0)
= 0 i = 1, . . . , n
(21)• tocke ravnoteže se poklapaju s ekstremima
potencijala
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Linearizacija-sustavi sjednim stupnjem slobode
• promatramo mala odstupanja od tockeravnoteže q0
• Taylorov razvoj potencijala
U = U(q0)+∂U∂q
∣
∣
∣
∣
0
(q−q0)+12
∂2U∂q2
∣
∣
∣
∣
0
(q−q0)2+· · ·
(22)• prvi clan možemo ignorirati jer je potencijal
definiran do na konstantu• drugi clan išcezava jer smo u tocki ravnoteže
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• koristimo oznake
k ≡∂2U(q)
∂q2
∣
∣
∣
∣
q=q0
i x = q − q0 (23)
• potencijal možemo napisati u obliku
U(q) ≈ U(q0) +12
kx2 (24)
• kineticka energija sustava
T =12
a(q)q2 =12
a(q)x2 (25)
• x je mala velicina pa u Taylorovom razvojukoeficijenta a(q) trebamo zadržati samo nulticlan
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• kineticka energija u blizini tocke ravnoteže
T =12
a(q0)x2 =12
mx2 (26)
gdje je m ≡ a(q0)
• Lagrangian malih oscilacija
Ls.o. =12
mx2 −12
kx2 (27)
• E-L jednadžba
mx + kx = 0 =⇒ x + ω2x = 0 (28)
gdje je kutna frekvencija
ω =
√
km
(29)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• jednadžba gibanja je linearna diferencijalnajednadžba drugog reda
• opce rješenje je linearna kombinacija dvalinearno nezavisna rješenja
x(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt (30)
• slobodni parametri C1 i C2 odredeni su pocetnimuvjetima
x(t = 0) = x0 i x(t = 0) = x0 (31)
• rješenje (30) možemo napisati u obliku
x = A cos (ωt + φ) (32)
A =√
C21 + C2
2 i φ = arctan(
−C2
C1
)
(33)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• koeficijent A odreduje amplitudu titranja, akoeficijent φ fazu
• ako promatramo gibanja u blizini tocke stabilneravnoteže (minimum potencijala) koeficijent k urazvoju je pozitivan
• kutna frekvencija ω je realna pa rješenje (30)zaista opisuje oscilacije
• ako promatramo gibanja u blizini tockenestabilne ravnoteže (maksimum potencijala)koeficijent k u razvoju je negativan
• kutna frekvencija ω je imaginarna pa rješenje(30) ne opisuje oscilacije, nego udaljavanje odtocke ravnoteže (hiperbolne funkcije)
• svojstvo nestabilne ravnoteže: po volji malipomak je dovoljan da se sustav sasvim udalji odte tocke
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Primjer: matematicko njihalo• promatramo matematicko njihalo koje se giba u
ravnini
l
mz
θ
• kineticka energija
T =m2
l2θ2 (34)
• potencijalna energija
U = −mgl cos θ (35)
• Lagrangian njihala
L =m2
l2θ2 + mgl cos θ (36)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• tocke ravnotež slijede iz
∂U∂θ
= 0 =⇒ sin θ = 0 (37)
• uvjet ravnoteže ispunjavaju dvije tocke
θst = 0 i θnest = π (38)
• stabilna tocka ravnoteže: θst = 0
l
m
θ
x
Razvoj potencijala:
U(θ) = −mgl cos θ
= −mgl(
1 −12θ2
)
= −mgl +12
mglθ2 (39)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• pomak njihala od tocke stabilne ravnoteže
lθ = x =⇒ l θ = x (40)
• Lagrangian malih oscilacija
Lst. =12
[
mx2 −gml
x2]
(41)
• nestabilna tocka ravnoteže: θst = π
l
m
θ
x
π − θ
Razvoj potencijala:
U(θ) = −mgl cos [π + (θ − π)]
= mgl cos [π − θ]
= mgl −12
mgl (π − θ)2
(42)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• pomak njihala od tocke stabilne ravnoteže
l(π − θ) = x =⇒ −l θ = x (43)
• Lagrangian malih oscilacija
Lnest. =12
[
mx2 +gml
x2]
(44)
• oba Lagrangiana se poklapaju s opcenitimLagrangianom malih oscilacija (27) akodefiniramo
kst. =gml
i knest. = −gml
(45)
• kutne frekvencije
ωst. =
√
gl
i ωnest. =
√
−gl
(46)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
stabilna tocka ravnoteže: θst. = 0• kutna frekvencija ωst. je realna pa njihalo uvijek
ostaje u blizini tocke ravnoteže• mali pomak sistema od stabilne tocke ravnoteže
uzrokuje male oscilacije oko tocke ravnoteže
nestabilna tocka ravnoteže: θnest. = π
• kutna frekvencija ωnest. je imaginarna pa surješenja zapravo hiperbolne, a ne oscilatornefunkcije
• mali pomak, pa makar i infinitezimalan, sistemaod nestabilne tocke ravnoteže nakon dovoljnodugo vremena vodi do potpunog udaljavanjasistema od te tocke
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
kineticka energija
• pretpostavimo da sustav s n stupnjeva slobodeopisan Lagrangianom
L =12
∑
i ,k
aik(q)qi qk − U(q) (47)
ima tocku ravnoteže
q0 ={
q01 , q0
2 , . . . , q0n
}
(48)
• generalizirani pomak za i − ti stupanj slobode
xi = qi − q0i (49)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
razvoj potencijala
• potencijalna energija u blizini tocke ravnoteže
V (q) = V (q0) +12
∑
i ,j
kijxixj (50)
razvoj kineticke energije
• kineticka energija u blizini tocke ravnoteže
T =12
∑
i ,j
mij xi xj (51)
• koeficijenti u prethodne dvije jednadžbe susimetricni
kij = kji i mij = mji (52)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• konstantni clan V (q0) u potencijalnoj energiji(50) možemo ignorirati
• Lagrangian sustava u blizini tocke ravnoteže
L =12
∑
i ,j
[mij xi xj − kijxixj ] (53)
• E-L jednadžba za k−ti stupanj slobode
ddt
(
∂L∂xk
)
−∂L∂xk
= 0 (54)
• racunamo derivacije potrebne za E-L jednadžbu
∂L∂xk
=12
∑
i ,j
[mijδik xj + mij xiδjk ]
=12
∑
j
mkj xj +∑
i
mik xi
(55)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• iskoristimo simetricnost koeficijenata mij = mji
∂L∂xk
=12
∑
j
mkj xj +∑
i
mkj xi
(56)
• indeks sumacije druge sume u jedn. (56)možemo preimenovati i → j
∂L∂xk
=∑
j
mkj xj (57)
• jednakim postupkom dolazimo do
∂L∂xk
=∑
j
kkjxj (58)
Male oscilacije
Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable
Ekstremi funkcije dvijevarijable
Ekstremi funkcije viševarijabli
Uvjeti ravnoteže
Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode
Sustavi s više stupnjevaslobode
• E-L jednadžba za k -ti stupanj slobode
n∑
j=1
[mkj xj + kkjxj ] = 0 , k = 1, . . . , n (59)
• došli smo do sustava od n linearnih homogenihjednadžbi drugog stupnja s konstantnimkoeficijentima
Male oscilacijepovratak
• kineticku energiju za sustav od p cestica uvijekmožemo napisati u Kartezijevom sustavu
T =12
p∑
i=1
mi(
x2i + y2
i + z2i
)
(60)
• pretpostavimo da cijeli sustav možemo opisati sn nezavisnih generaliziranih koordinata tako davrijedi
xi = xi(q1, . . . , qn) (61)
yi = yi(q1, . . . , qn) (62)
zi = zi(q1, . . . , qn) (63)
• pritom smo se ogranicili na transformacije kojene ovise eksplicitno o vremenu
Male oscilacije• komponente brzine u Kartezijevom sustavu
xi =n
∑
k=1
∂xi
∂qkqk =⇒ x2
i =n
∑
k ,j=1
∂xi
∂qk
∂xi
∂qjqk qj (64)
yi =n
∑
k=1
∂yi
∂qkqk =⇒ y2
i =n
∑
k ,j=1
∂yi
∂qk
∂yi
∂qjqk qj (65)
zi =
n∑
k=1
∂zi
∂qkqk =⇒ z2
i =
n∑
k ,j=1
∂zi
∂qk
∂zi
∂qjqk qj (66)
• kineticka energija sustava
T =12
p∑
i=1
mi
n∑
k ,j=1
(
∂xi
∂qk
∂xi
∂qj+
∂yi
∂qk
∂yi
∂qj
+∂zi
∂qk
∂zi
∂qj
)
qk qj
]
(67)
Male oscilacije• promjenimo poredak sumacije u prethodnoj
jednadžbi
T =12
n∑
k ,j=1
[
qk qj
p∑
i=1
mi
(
∂xi
∂qk
∂xi
∂qj+
∂yi
∂qk
∂yi
∂qj
+∂zi
∂qk
∂zi
∂qj
)]
(68)
• definiramo koeficijente
akj(q) =
p∑
i=1
mi
(
∂xi
∂qk
∂xi
∂qj+
∂yi
∂qk
∂yi
∂qj+
∂zi
∂qk
∂zi
∂qj
)
(69)koji su simetricni
akj(q) = ajk(q) (70)
Male oscilacije• kineticka energija se svela na sljedecu
kvadratnu formu
T =12
n∑
i ,j=1
aij(q)qi qj (71)
Male oscilacijepovratak
• Taylorov razvoj funkcije od n varijabli oko tocke{q0
1 , . . . , q0n}
V (q1, . . . , qn) = V (q01 , . . . , q0
n)
+
n∑
i=1
∂V∂qi
∣
∣
∣
∣
0
(qi − q0i )
+12!
n∑
i ,j=1
∂2V∂qi∂qj
∣
∣
∣
∣
0
(qi − q0i )(qj − q0
j )
+13!
n∑
i ,j ,k=1
∂3V∂qi∂qj∂qk
∣
∣
∣
∣
0
×
× (qi − q0i )(qj − q0
j )(qk − q0k ) + · · ·
(72)
Male oscilacije• koristimo oznaku: xi ≡ qi − q0
i
• ako je q0 tocka ravnoteže linearni clanoviišcezavaju
∂V∂qi
∣
∣
∣
∣
0
= 0 (73)
• u harmonickoj aproksimaciji se zadržavamo nakvadraticnim clanovima
• definiramo koeficijente
kij ≡∂2V
∂qi∂qj
∣
∣
∣
∣
0
(74)
koji su ocito simetricni kij = kji
• potencijal možemo napisati u sljedecem obliku
V (q) = V (q0) +12
n∑
i ,j=1
kijxixj (75)
Male oscilacijepovratak
• kineticku energiju smo napisali u obliku
T =12
n∑
i ,j=1
aij(q)qi qj (76)
• tražimo razvoj kineticke energije oko tockeravnoteže {q0
1 , . . . , q0n}
• pomak od ravnoteže
xi ≡ qi − q0i =⇒ xi = qi (77)
• uvrstimo qi u kineticku energiju
T =12
n∑
i ,j=1
aij(q)xi xj (78)
Male oscilacije• u harmonickoj aproksimaciji se zadržavamo na
kvadraticnim clanovima malih velicina• xi su vec male velicine pa u Taylorovom razvoju
koeficijenata aij(q) stanemo na nultom clanu• definiramo koeficijente
mij = aij(q0) (79)
koji su ocito simetricni• kineticka energija blizu tocke ravnoteže
T =12
n∑
i ,j=1
mij xi xj (80)