Embed Size (px)
Citation preview
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 1
Mehaničke oscilacije
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 2
• Oscilatorno kretanje je periodično kretanje koje se vrši po istoj putanji.
• Najprostiji slučaj – restituciona sila se menja proporcionalno sa
elongacijom:
• Period oscilovanja prostog harmonijskog oscilatora:
• Period oscilovanja fizičkog klatna:
• Energija oscilatornog kretanja kod prostog harmonijskog oscilatora:
Osnovni pojmovi
k
mT 2
222
p2
1
2
1xmxkE
F k x 00 sin txx
sgm
IT
2
22
0
22
k2
1
2
1xxmmE
2
0
2
2
1xmEEE pk
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 3
• Z1. Napisati jednačinu prostog harmonijskog oscilatornog kretanja ako
je amax = 49,3 cm/s2, period oscilovanja T = 2 s i u trenutku t = 0 s
elongacija iznosi x = 25 mm.
Rešenje:
Zadaci
0
2
max
2
00
2
0000
sind
d
cosd
d,sin
xaxtxt
a
txt
xtxx
cm54
rad/s
2
2
max0
Tax
cm6/sin5
6/2/1/sinsin0 00
tx
xxxtx
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 4
• Z2. Mala kuglica mase m = 2 g vrši harmonijsko oscilovanje sa
frekvencijom = 0,5 Hz. Amplituda oscilovanja je x0 = 3 cm. Odrediti:
a) brzinu kuglice u trenutku kada je njena elongacija x = 1,5 cm,
b) maksimalnu silu koja deluje na kuglicu.
Kuglicu smatrati materijalnom tačkom.
Rešenje:
a)
b)
Zadaci
2
02
22
00
00
cosd
d
sin
xxtx
t
x
txx
cm/s16,82 220
220 xxxx
22 2
max 0 02F k x m x F m x m x
mN6,0max F
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 5
• Z3. Harmonijski štap mase m i dužine l vrši male oscilacije oko
horizontalne ose koja prolazi kroz štap na rastojanju l/3 od njegovog
kraja. Odrediti period malih oscilacija štapa. Moment inercije štapa u
odnosu na osu koja prolazi kroz njegov centar mase je: .
Rešenje:
Zadaci
12/2
0 lmI
936126/3/2/
2222
0 lmlmlmI
llls
smII
3/l
s
g
l
sgm
IT
3
222
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 6
• Z4. Štap mase M i dužine l može da vrši male oscilacije oko horizo-
ntalne ose koja prolazi kroz kraj štapa pri čemu je period oscilovanja
štapa T0. Odrediti koliki će biti period oscilovanja štapa ako se na kraj
štapa doda kugla mase M. Kugla se u odnosu na štap može smatrati
materijalnom tačkom. Moment inercije štapa u odnosu na osu koja
prolazi kroz njegov centar mase je: .
Rešenje:
Zadaci
12/2C lMI
g
l
sgM
sMI
sgM
IT
3
2222
0
20C
0
00 0s
1s
g
l
sgM
lMI
sgM
IT
9
82
22
22
1
20
1
11
lM
lMlMs
4
3
2
2/1
3
2
0
1 T
T
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 7
• Z5. Fizičko klatno osciluje oko horizontalne ose malom ugaonom
amplitudom. Period oscilovanja je T. Osa rotacije nalazi se na rastojanju
s1 = 9 cm od centra mase klatna. Ako se osa rotacije paralelno pomeri
na rastojanje s2 = 16 cm od centra mase period oscilovanja se neće
promeniti. Odrediti minimalni period oscilovanja ovog klatna i rastojanje
centra mase klatna od ose rotacije u tom slučaju.
Rešenje:
Zadaci
20 min min 1 2
d0
d
TI m s s s s
s
minmin
22 0,983s
sT
g
cm12min s
1 2
1 2 0 1 2
2 21 0 1 2 0 2
2 2
,
I IT
m g s m g s I m s s
I I m s I I m s
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 8
• Z6. Telo mase M vezano je za oprugu krutosti k i privršćeno za
vertikalni zid. U to telo udara metak mase m koji se kreće brzinom 0.
Ako je sudar neelastičan, odrediti:
a) amplitudu oscilovanja opruge nakon sudara,
b) period oscilovanja opruge.
Rešenje:
a)
b)
Zadaci
0110
Mm
mMmm
Mmk
m
k
MmxxkMm
0
102
02
12
1
2
1
0
k
MmT
2
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 9
• Z7. Kuglica koja je vezana za elastičnu oprugu harmonijski osciluje na
glatkoj podlozi. Amplituda oscilovanja je x0, a kružna frekvencija .
Metak koji se kreće brzinom 1 u pravcu oscilovanja kuglice udari u nju i
zaustavi se u njoj u trenutku kada ona prolazi kroz ravnotežni položaj,
krećući se u istom smeru kao i metak. Odrediti novu amplitudu
oscilovanja x01, ako je masa metka jednaka masi kuglice. Masu opruge,
otpor vazduha i trenje zanemariti.
Rešenje:
Zadaci
00
k
20
2k
2
1
2
1xx
m
kxkm
2
'' 1
mk
1mkmk1mk
mm
mmmmmm
1
2
210
2
10k201
201
2mk
22
2
2
1'
2
1
xx
k
mxxkmm
2
1001
xx
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 10
• Z8. Na oprugu krutosti k okači se teg mase m = 60 g. Teg se izvede iz
ravnotežnog položaja za rastojanje x0 i u trenutku t0 = 0 pusti nakon čega
sistem počne harmonijski da osciluje. Ubrzanje slobodnog padanja iznosi
g = 9,81 m/s2. Odrediti:
a) krutost opruge k, ako je period oscilovanja T = 0,6 s,
b) rastojanje x0, ako energija elastične deformacije opruge nakon
vremena t1 = T/8 od početka oscilovanja iznosi Ep(t1) = 0,01 J,
c) rezultantnu silu koja deluje na teg u trenutku t2 = T/6.
Rešenje:
a)
b)
c)
Zadaci
m/N58,64
/22
2
T
mkkmT
2/00
cos
0
00
t
txkgmxxkgm /rr gm
xk
2/2/8/sin2/2
0r2
1r1p TxxkxxktE
2/2 1r0 ktExx p
rez 2 0 rez1 rez2/ 2, 0,159 N, 0,672 NF k x k x F F
cm43,20cm,85,4 0201 xx2/0
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 11
• D1. Čestica mase m = 1 g vrši harmonijske oscilacije, čija je amplituda
x0 = 1 m. U trenutku kada se čestica nalazi na rastojanju x = 0,4 m od
ravnotežnog položaja njena brzina iznosi = 0,5 m/s. Odrediti silu koja
deluje na česticu u tački u kojoj je njena potencijalna energija dva puta
veća od njene kinetičke energije.
Rešenje:
Zadaci
42,47 10 NF
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 12
• D2. Telo mase m = 0,05 kg pričvršeno je na kraj spiralne opruge krutosti
k = 5 N/m i vrši proste harmonijske oscilacije amplitude x0 = 2 cm po
glatkoj horizontalnoj podlozi. Odrediti:
a) frekvenciju i period oscilovanja,
b) maksimalnu kinetičku energiju i totalnu energiju tela.
Rešenje:
a)
b)
Zadaci
Hz1,59
s63,0
T
mJ1totmax,k EE
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 13
• D3. Disk osciluje kao fizičko klatno najpre oko horizontalne ose koja
prolazi kroz tačku O1 koja je udaljena s1 = R/3 od centra diska, a zatim
oko horizontalne ose koja prolazi kroz tačku O2 koja je udaljena
s2 = 2R/3 od centra diska. Moment inercije diska u odnosu na osu koja
prolazi kroz centar mase je . Odrediti odnos perioda malih
oscilacija diska u ova dva slučaja.
Rešenje:
Zadaci
136,12
1 T
T
2/20 RmI
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 14
• D4. Tanak homogeni disk mase m i poluprečnika R vrši male oscilacije u
vertikalnoj ravni oko horizontalne ose koja prolazi kroz disk na
rastojanju s = R/3 od oboda diska. Odrediti period malih oscilacija diska
oko ove ose. Moment inercije diska za osu koja prolazi kroz centar
mase diska je: . .
Rešenje:
Zadaci
g
RT
12
172
2/2C RmI
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 15
• D5. Na štap dužine L i mase m koji može da rotira u vertikalnoj ravni u
odnosu na horizontalnu osu koja prolazi kroz njegov vrh pričvršćena je
kugla mase m. Odrediti na kom rastojanju od vrha štapa treba da bude
pričvršćena kugla tako da period malih oscilacija ovog sistema bude
minimalan. Kugla se može smatrati materijalnom tačkom. Moment
inercije štapa u odnosu na osu koja prolazi kroz njegov centar mase
iznosi .
Rešenje:
Zadaci
2C /12I m L
7 / 3 1
2x L
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 16
• D6. Kuglica koja je vezana za elastičnu oprugu harmonijski osciluje na
glatkoj horizontalnoj podlozi. Amplituda oscilovanja je x0 = 0,1 m, a
kružna frekvencija = 120 rad/s. Metak koji se kreće u pravcu
oscilovanja kuglice brzinom 1 = 8 m/s udari u nju i zaustavi se u njoj u
trenutku kada ona prolazi kroz ravnotežni položaj krećući se u istom
smeru kao i metak. Odrediti novu amplitudu oscilovanja, ako je masa
metka tri puta manja od mase kuglice. Masu opruge, otpor vazduha i
trenje zanemariti.
Rešenje:
Zadaci
m106,032
3 1001
xx
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 17
• D7. Za slobodan kraj vertikalne opruge, čija se masa može zanemariti,
okačen je tas mase M = 20 g na kome se nalazi teg mase m1 = 5 g. Ako
se opruga izvede iz ravnotežnog položaja sistem osciluje periodom
T1 = /3 s. Nakon toga se teg mase m1 zameni tegom mase m2 = 25 g.
Odrediti izduženje (promenu dužine) opruge u ravnotežnom položaju.
Ubrzanje slobodnog padanja iznosi g = 9,81 m/s2.
Rešenje:
Zadaci
cm05,492r x
