Click here to load reader

Matematikk på småskoletrinnet

  • View
    254

  • Download
    11

Embed Size (px)

Text of Matematikk på småskoletrinnet

  • Bokml

    Kartleggingav

    matematikkforstelse

    Matematikkp

    smskoletrinnet

  • Bjrnar Alseth

    Matematikk

    p

    smskoletrinnet

    Kartlegging

    av

    matematikkforstelse

  • Utdanningsdirektoratet 1998

    Trykk: GAN Grafisk AS

    ISBN 82-7726-508-5

  • FORORD

    Dette veiledningsheftet er skrevet av hgskolelektor Bjrnar Alseth ved Telemarksforsking-

    Notodden som en del av KIM-prosjektet (Kvalitet i matematikkundervisningen). Prosjektet blir

    utfrt p oppdrag fra Kirke-, utdannings- og forskningsdepartementet av Telemarksforsking-

    Notodden og Institutt for lrerutdanning og skoleutvikling ved Universitetet i Oslo.

    I tillegg til dette veiledningsheftet er det tidligere utviklet veiledningshefter til diagnostiske

    oppgaver innenfor omrdene:

    Tall og tallregning Funksjoner

    Det er ogs utviklet et hefte, Introduksjon til diagnostisk undervisning i matematikk, som dis-kuterer matematisk kompetanse og arbeidsmter i faget. Alle heftene er tilgjengelige fra

    Nasjonalt lremiddelsenter.

    Veiledningshefter til diagnostiske oppgaver innen omrdene Algebra og Mling og enheter erunder utarbeiding. Likeledes har et arbeid med veiledningshefte for Tall og tallregning forvidere gende opplring startet.

    En underskelse av elevers tanker om matematikkfaget og deres holdninger til undervisningen

    i faget er gjennomfrt. Et veiledningshefte knyttet til dette temaet er under utarbeiding.

  • INNHOLD

    INNLEDNING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    DEL 1 LRINGSTEORETISK GRUNNLAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1 Hvorfor trenger vi lringsteori? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2 Hva er kompetanse i matematikk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    3 Matematisk kunnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.1 Fakta og ferdigheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    3.2 Strategier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3.3 Begrepsdanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4 Prinsipper for aktivitetsbasert undervisning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    4.1 Ta utgangspunkt i en situasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    4.2 Gi oppgaver som involverer noe ukjent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    4.3 Tolkning og refleksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.4 Konsolidering, repetisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    5 uttrykke matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    DEL 2 GRUNNLEGGENDE BEGREPSDANNING OG UNDERVISNINGSAKTIVITETER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    6 Tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    6.1 Den begynnende tallforstelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    6.2 Tallenes forskjellige egenskaper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    6.2.1 Telling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    6.3 Gruppering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    6.4 Elevers forstelse av titallsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    6.5 Brk og desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    6.5.1 Elevaktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    7 Tallregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    7.1 Begynnende begrepsdanning i regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    7.2 Additive strukturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    7.2.1 Problemstrukturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    7.2.2 Lsningsstrategier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

  • 7.3 Multiplikative strukturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    7.3.1 Problemstrukturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    7.3.2 Lsningsstrategier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    7.3.3 Misoppfatninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    8 Mling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    8.1 Forskjellige typer mlinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    8.1.1 Lengde og vekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    8.1.2 Penger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    8.1.3 Tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    8.1.4 Forholdsstrrelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    8.1.5 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    8.2 Hjelpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    9 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    9.1 Standardfigurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    9.2 Mnstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    9.3 Dimensjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    9.4 Perspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    9.5 Strrelser og plassering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    9.5.1 Plassering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    9.5.2 Areal og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    9.5.3 Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    9.6 Transformasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

  • INNLEDNING

    Dette veiledningsheftet om matematikk p smskoletrinnet, som er produsert innen KIM-pro-

    sjektet, skiller seg ut fra de tidligere heftene fra prosjektet. Dette heftet er ikke basert p en dis-

    kusjon av viktige faglige problemer med bakgrunn i innsamlede data om elevprestasjoner.

    Heftet baserer seg p utprving av lringsaktiviteter knyttet til prosjektet og p erfaringer fra

    klasseromsforskning i mange land knyttet til den frste matematikkopplringen.

    Hensikten med heftet er presentere og diskutere viktige sider ved den faglige utviklingen hos

    elever p smskoletrinnet innen faglige emner i matematikk. De utvalgte emnene er sentrale

    i lreplanen L97. Det blir fokusert bde p hva det vil si kunne matematikk p dette

    alderstrinnet, og p forskjellige mter matematikken kan mtes p. Dette blir vist gjennom

    illustrasjoner av konkrete aktiviteter som sikter mot bestemte lringselementer.

    Heftet er ment som noe mer enn en samling av gode aktiviteter som elevene kan arbeide

    med. Derfor blir det lagt vekt p knytte aktivitetene til en teoretisk bakgrunn som kan lfte

    oppmerksomheten fra de enkelte eksemplene. Ved knytte praktiske aktiviteter til teoretiske

    betraktninger vil heftet kunne vre med p danne en gjennomtenkt holdning til faglige og

    didaktiske utfordringer som ligger i det undervise i matematikk i de frste rene i skolen.

    Del 1 gir et lringsteoretisk grunnlag for undervisning og lring i matematikk. Denne delen er

    skrevet slik at leseren gjennom eksempler kan f innblikk i viktige elementer ved dette grunn-

    laget.

    I del 2 er de ulike delene av faginnholdet i de frste rene i skolen presentert mer utfrlig med

    vekt p elevers oppfatninger av matematiske begreper og p hvordan disse oppfatningene

    utvikles. Det er mulig lese del 2 fr del 1, men betydningen av ha et teoretisk fundament nr

    en str overfor valg i undervisningen, understrekes. P den mten kan en parallell lesning av

    de to delene vre aktuell.

    7

  • DEL 1 LRINGSTEORETISK GRUNNLAG

    1 Hvorfor trenger vi lringsteori?I begynneropplringen i matematikk bruker man gjerne det frste halvret av frste klasse til

    introdusere tallene opp til ti. Dette gjres ofte ved at elevene arbeider med mange forskjellige

    aktiviteter hvor tallene fra en til ti inngr. Det vil ofte dreie seg om arbeid med oppgaver i ei

    arbeidsbok, som det skrive lange rekker av de forskjellige tallsymbolene, telle opp for-

    skjellig antall objekter og utfre forskjellige addisjons- og subtraksjonsstykker.

    Hvorfor starter matematikkundervisningen p denne mten?

    Hva er det elevene lrer av en slik undervisning?

    Her ser du hvordan ei jente p 7 r lste denne tekstoppgaven:

    Hun tegnet alts de tre pakkene med 6 tyggegummier i hver. Deretter telte hun seg fram til svaret.

    I en klasse med 14-ringer, som jeg var lrer for, klarte kun 2 av 25 elever denne oppgaven:

    En kilo kjttdeig koster 87,50 kr/kg. En mann kjper 0,78 kg. Hvor mye m han betale?

    Hvordan kan det ha seg at ei jente p 8 r svarer riktig p en multiplikasjonsoppgave

    mens nesten ingen av 14-ringene svarer riktig p en annen?

    Mange lrere har opplevd at elevene liker arbeide med arbeidsbkene nr de begynner p

    skolen. Men s etter noen rs skolegang synes de ikke det er like morsomt lenger. Under -

    skelser viser at i 5.-6. klasse begynner ganske mange elever mislike matematikkfaget.

    Hvorfor liker elever i frste klasse arbeide med lrebkene sine, og hvorfor synes de

    ikke det er noe stas et par r seinere? Hva er det ved matematikkundervisningen eller

    matematikkfaget som gjr at s mange elever begynner mislike faget?

    Slike sprsml er en lrers hverdag fylt med. For noen lrere skaper alle disse sprsmlene

    usikkerhet, men for de fleste er det disse utfordringene som gjr jobben spennende. En forut-

    setning for at en slik usikkerhet vendes til noe positivt, til en mulighet til stadig forbedring, er

    at man har verkty mte usikkerheten med, at man har redskaper til behandle alle sprs -

    mlene. I dette heftet blir enkelte teorier for lring og undervisning presentert som kan fungere

    som slike redskaper. Teoriene blir grundig illustrert med praktiske erfaringer, bde fra aktiv-

    iteter utviklet og utprvd innen KIM-prosjektet og fra aktuell forskning innen dette omrdet.

    Det er umulig gi noen entydige svar p hvordan man br undervise, til det er fagstoffet, elev-ene, lrerne og skolenes omgivelser for forskjellige. Mlet med dette heftet er at leseren selv

    skal kunne gi rasjonelle og begrunnede svar p sprsml som dukker opp i klasseromssitua-

    sjoner. Til det trengs teori; som lrere trenger vi teoretiske begreper som

    9

    Kristian har 3 tyggegummipakker med 6 tyggegummieri hver pakke. Hvor mange tyggegummier har han?

  • gir en god og troverdig beskrivelse av det vi observerer

    hjelper oss i planleggingen og gjennomfringen av en undervisningssekvens

    gjr oss i stand til begrunne og reflektere over de valgene vi gjr

    Er det s ndvendig med slike teorier? Hva med den gode lreren vi husker fra vr egen

    skolegang, hadde hun en lringsteori eller undervisningsteori? Det hadde hun ganske sikkert.

    De aller fleste lrere gjr seg en rekke tanker om sin virksomhet, om hvordan man best under-

    viser, om hvordan elevene reagerer p forskjellige aktiviteter, om hvilket lrestoff som passer

    til hvilket alderstrinn, og s videre. I tillegg er alle lrere preget av den tradisjonen de virker i.

    Enhver lrer blir pvirket av lrings- og undervisningsteorier for eksempel gjennom sin egen

    skolegang, bde nr hun selv var elev og gjennom sin profesjonsutdanning. For eksempel er det

    god grunn til tro at lrere med bakgrunn fra frskolelrerutdanning til en viss grad vil ha en

    annen undervisningspraksis enn de med bakgrunn fra allmennlrerutdanning. S selv om en

    lrer ikke gjr egne refleksjoner, ikke stiller sprsml til sin virksomhet, s vil hun likevel

    vre pvirket av et (eller flere) teorisyn. Hvis det er tilfellet, vil lreren ha et ubevisst teori-grunnlag. Alle lrere har alts en teori for lring og undervisning, enten den er uttalt ogreflektert eller ikke. Dette blir ofte kalt praksisteori (Selle, 1995).

    Vil man imidlertid utvikle seg som lrer, skjer det ved at man stiller sprsml tilknyttet sinegen undervisningspraksis. En teori for lring og undervisning vil gi hjelp bde til det stille

    slike sprsml og til det nrme seg svar. Det er i dette mtet mellom teori og praksis at mulig-

    heten for vekst ligger.

    Best utviklingsmuligheter har dermed den lreren som har et bevisst teorigrunnlag. Med kjenn-skap til forskjellige teorier vil hun kunne reflektere over elevenes og sine egne handlinger, en

    refleksjon som p sikt forhpentligvis frer til en forbedret undervisningspraksis. Motsatt vil

    det at hun knytter de teoriene hun har til sin egen praksis fre til at hennes forstelse av de

    teoriene utvikles. P den mten oppstr en spiral hvor teori og praksis pvirker og utvikler

    hverandre. Det er viktig ppeke at begge sidene er avhengig av den andre for skape slik

    utvikling. Hvis man kun beskjeftiger seg med teori, vil man kunne bli det som noe ondskaps-

    fullt kalles skrivebordspedagog; man bruker begreper som nok utgjr fine teoretiske bygg-

    verk, men som er lite egnet til fange den praksisen som en lrer opplever. Hvis man p den

    andre siden utelater teoretiske aspekter fullstendig, vil praksisen bli svrt tilfeldig. Det vil for

    eksempel vre tilfeldig hvilke hjelpemidler man bruker i undervisningen fordi man ikke

    reflekterer over hvorvidt et hjelpemiddel er bedre egnet enn et annet.

    I denne frste delen av heftet forsker vi derfor legge et teoretisk grunnlag for lring og

    undervisning. Dette gjre vi gjennom en presentasjon av noen prinsipper for undervisning

    i matematikk. Gjennom hele kapitlet blir teorien belyst med praktiske eksempler. Hoved -

    tyngden av praktiske eksempler kommer seinere, i del 2, i tilknytning til de forskjellige faglige

    emnene.

    2 Hva er kompetanse i matematikk?I matematikkdelen i L97 str det:

    Elever som strever med multiplikasjonstabellen, m likevel f arbeide videre med begreper og oppgaversom bygger p ideer om multiplikasjon. Mer vesentlig enn pugge tabellen er det forst selve begrepetmultiplikasjon og kunne bruke det.

    10

  • Elevene skal p den ene siden lre seg bestemte faktakunnskaper og ferdigheter. P den andre

    siden framhever planen at det er viktigere forst selve begrepene og kunne bruke dem.

    Forstelse av begrepene er avgjrende nr en trenger kunne bruke fakta og ferdigheter i prak -

    tiske sammenhenger. Nr det gjelder begrepet multiplikasjon, kan man si at en side av det kunne multiplikasjon er kunne gangetabellen og ulike utregningsmetoder for multiplika-

    sjon. Det vite nr en skal multiplisere i en praktisk situasjon man str ovenfor, er en annenside av den matematiske kompetansen knyttet til multiplikasjon. Grovt sett kan den mate -

    matiske kompetansen deles i to:

    Med ordet problemlsning menes bde begrepsforstelse og strategier for problemlsning. Mer

    om dette flger nedenfor. Det kan hevdes at tradisjonell matematikkundervisning i Norge har

    lagt stor vekt p fakta- og ferdighetsdelen av kompetansen. Dette kan blant annet ses gjennom

    lrebkenes utstrakte bruk av oppgaver som fokuserer p dette aspektet. Det er imidlertid ikke

    slik at den ene kunnskapen flger direkte av den andre. Det er derfor ndvendig rette under-

    visningen mot begge aspektene:

    Det er viktig bde med gode regneferdigheter og med evne til kunne bruke disse ferdighetene i forskjellige sammenhenger.

    Dette er ogs poengtert i L97. I et godt matematisk begrep inngr begge disse komponentene,

    og elevene trenger utvikle begge disse formene for kunnskap.

    3 Matematisk kunnskapI dette kapitlet fokuseres det p hva kunnskap i matematikk kan vre. Kunnskap er noe som

    sitter inni hodet til hvert enkelt menneske, og det er derfor umulig dissekere og beskrive

    kunnskap p samme mte som man kan med for eksempel en frosk. Kunnskapene til en person

    er resultater av modning og refleksjoner over erfaringer som denne personen har gjort seg. I til-

    legg vil kunnskap ha mange dynamiske trekk. Med det menes at tenkning i en viss grad er

    situasjonsbestemt. Flgen av det er at den formen en bestemt kunnskap hos en person har, vil

    vre avhengig av den situasjonen hvor kunnskapen tas i bruk. I matematikk kan det komme til

    uttrykk ved at noen elever kan vre flinke til regne nr de fr praktiske oppgaver utenfor

    skolen, mens de gjr det drlig p tilsvarende oppgaver i matematikktimene.

    Dette gjr det umulig gi en korrekt eller fullstendig beskrivelse av en persons matematiske

    kunnskap. Det man kan gjre, er lage en modell for hvordan man antar at denne kunnskapen

    er bygd opp, og hvordan den fungerer. Ved studere hvordan elever lrer og ved diskutere

    med lrere og forskere i matematikkdidaktikk, kan en slik modell enten forkastes, eller den kan

    stadig forbedres. Seinere i dette kapitlet legges det fram en modell som kan brukes til

    beskrive hvordan elever tenker nr de arbeider med matematikk.

    11

    Matematiskkompetanse

    Fakta og ferdigheter Problemlsning

  • Ls flgende oppgave:

    Oddvar kjper et dusin malingbokser. Hver boks koster 34 kr. Hvor mye m han betale?

    Hvilke kunnskaper er ndvendig for lse denne oppgaven? En viktig ting man m vite for

    komme i gang, er innse at dette er en matematikkoppgave. Det betyr at det er en oppgave

    som lses med de reglene som gjelder for denne typen oppgaver. Det betyr at oppgaven har ett

    riktig svar. Dette svaret kan man finne ved multiplisere 34 med 12, noe som gir 408 kroner.

    Hvis dette i stedet hadde vrt et realistisk tilfelle, kunne Oddvar i stedet ha kjpt noen strre

    bokser, eller han kunne ha ftt avslag fordi han kjpte s mange. Slike vurderinger skal man

    vanligvis ikke inkludere i lsningen av matematikkoppgaver, man skal holde seg strengt til de

    opplysningene som er gitt i oppgaven. Det er vanskelig komme utenom at det gjelder andre

    regler i et klasserom enn utenfor, men det er viktig at lrere bde kjenner til disse reglene, og

    at de vet at slike regler styrer hvordan elevene lser oppgaver i matematikktimene. Da frst kan

    de arbeide aktivt for minske avstanden mellom skolematematikken og matematikken i

    hverdagslivet.

    Nr man skal lse oppgaven om malingsboksene, m man videre vite at et dusin er det samme

    som 12. Deretter m man kjenne igjen strukturen i oppgaven. Det vil si at man m vite at det

    her er snakk om multiplikasjon (eller at en m addere 34 tolv ganger). Til slutt m man vre

    i stand til utfre selve multiplikasjonen: 12 34. En mte lse den p er ved den skalte

    standardalgoritmen for multiplikasjon av store tall. En litt annen mte er dele opp 12 i 10 + 2,

    s regne ut 10 34 = 340 og 2 34 = 68. Svaret blir da 340 + 68 = 408. Til lse en slik opp-

    gave trengs derfor faktakunnskaper som at et dusin er 12 og at 2 4 = 8. I tillegg trengs ferdig-heter som det gjennomfre en multiplikasjonsalgoritme. I tillegg trengs kunnskaper om det multiplisere, for eksempel det vite at i denne situasjonen er det snakk om det vi kaller en

    multi plikativ struktur. Multiplikasjon er et matematisk begrep som vi kommer grundig tilbaketil i kapitlet om tallregning. Kunnskap om multiplikasjonsbegrepet m man ha for eksempel for vite at man her skal multiplisere og ikke dividere.

    Disse forskjellige kunnskapsformene blir beskrevet nrmere nedenfor, men frst et eksempel

    til:

    Noen mennesker gr p kaf. Der kjper de kaffe til 5 kr per kopp og kake til 9 kr per stykke. Alle bestillerdet samme, og til sammen mtte de betale 133 kr. Hvor mange kopper kaffe drakk hver person?

    Denne oppgaven kan lses p flere mter. Her flger noen:

    1) Bestem hvor mange personer som var p kafeen. Her er vi ndt til prve oss fram. Hvis det

    var to personer der, mtte de ha betalt 133 : 2 = 66,50 kr. Men siden bde kaffen og kakene

    kostet heltallige belp, er det umulig at de betalte 66,50 hver. Tilsvarende undersker vi om

    det var 3, 4, ... personer i kafeen:

    Antall 2 3 4 5 6 7

    Hver m betale 66,50 44,33 33,25 26,60 22,17 19,00

    Vi ser at det kan vre 7 personer som betalte 19 kr hver. I s fall m vi finne ut hvordan de

    kunne betale 19 kr. Den eneste mten f til det p er ved at hver kjpte to kopper kaffe og

    et kakestykke. Siden 7 19 er den eneste mten faktorisere 133, er dette den eneste mulige

    lsningen. Vi kunne ogs hatt 19 personer som betalte 7 kr hver, men siden kaffen kostet 5

    og kakene 9 kr, gr det ikke an at de betalte 7 kr hver.

    2) Vi undersker systematisk p et samlet antall kakestykker som blir kjpt, og ser om resten

    12

  • kan fordeles p kaffekopper. Hvis de kjpte ett stykke til sammen, blir det igjen 124 kr til

    kaffe, men 124 lar seg ikke dele p 5 (prisen p en kaffekopp) og derfor er dette umulig.

    Hvis de kjpte to kakestykker, blir det igjen 115 kr. Dette tilsvarer 23 kaffekopper. Belpet

    kan alts deles opp i 2 kakestykker og 23 kaffekopper. Men siden det er to personer som

    kjper hvert sitt kakestykke, er ikke dette mulig fordi 23 kaffekopper ikke kan deles likt p

    2. Vi fortsetter prve med 3, 4, 5 ... kakestykker. Neste gang vi fr noe som lar seg dele p

    5, er ved 7 kakestykker. Det gir 133 - 7 9 = 70 kroner til kaffe. Dette tilsvarer 14 kaffe-

    kopper, og vi er framme: 7 kakestykker og 14 kaffekopper passer hvis det var 7 personer

    som spiste ett kakestykke og drakk to kaffekopper hver.

    3) Vi vet at alle kaffekoppene vil koste noe i 5-gangen, noe som ender enten p 0 eller 5. Hvis

    vi trekker dette fra 133, str vi igjen med at belpet til kakene m ende p 3 eller 8. Siden

    kakene kostet 9 kroner, m vi underske hva det er i 9-gangen som ender p 3 eller 8. En

    mulighet er 18, det gir 2 kakestykker og svrt mange kaffekopper. Vi prver videre. Den

    neste muligheten i 9-gangen er 63. Det gir 7 kakestykker og 70 kroner til kaffe, alts 14

    kaffekopper. Dette gir lsningen.

    Hvilke kunnskaper m til for lse denne oppgaven? Her er det ogs snakk om fakta og ferd-

    igheter. Vi m ha slike basiskunnskaper om alle de fire regneartene. Denne oppgaven ble gitt til

    50 elever i frste klasse p videregende skole. Det var kun 6 elever som svarte riktig. Hvorfor

    er denne oppgaven s vanskelig? Den kan, som vist over, lses med enkel bruk av de fire regne-

    artene, men det er ndvendig med kunnskaper utover dette. Det som trengs i tillegg, er stra-tegikunnskap. Man m vite hvilke fakta og ferdigheter som br tas i bruk etter hvert som manarbeider med problemet. Det er alts ikke nok bare ha evnen til gjre utregningene, man m

    ogs vite hva man skal regne p.

    Det er spesielt nyttig kjenne til forskjellige strategier nr man skal lse problemer. Med pro-blemer i matematikk menes utfordringer hvor lseren ikke umiddelbart vet hvordan han skalfinne et svar. Man vet ikke om fakta eller algoritmer som kan tas i bruk direkte og som vil gi en

    lsning av problemet. Det vil vre tilfellet for mange i oppgaven over. En strategi man da kan

    bruke, kalles gjett-og-sjekk. Den innebrer at man gjetter p en av de ukjente i situasjonen

    og ser om det fungerer. Hvis ikke gjetter man noe annet. Svaralternativ 1) er et eksempel p

    dette. Her gjettes det systematisk p antall personer som beskte kafeen, og nr man kommer til

    7 personer, fr man en lsning som stemmer med premissene i oppgaveteksten. Nr elever p

    ungdomstrinnet skal lage en konstruksjon i geometri, blir de ofte oppfordret til tegne en

    hjelpefigur. Hensikten med det er at en slik figur kan gi elevene en bedre oppfatning av opp-

    gaven, en bedre forstelse av hvordan den ferdige tegningen skal se ut. Dermed vil det kunne

    vre enklere finne ut hvilke konstrueringer som m gjres.

    I det flgende kapitlet blir disse kunnskapsformene diskutert mer i detalj. Disse er tidligere

    beskrevet i KIM-prosjektet i heftet Introduksjon til diagnostisk undervisning.

    3.1 Fakta og ferdigheter

    Med faktakunnskap menes den type kunnskap som brukes nr man besvarer et sprsml

    umiddelbart etter at sprsmlet er stilt. I matematikk finnes mange kunnskaper av denne typen

    som elevene m lre. Noen av de frste faktakunnskapene som sm barn lrer, er uttalelsen av

    tallordene og rekkeflgen av dem. Seinere lres navn p geometriske objekter som linje, tre-

    kant og kule. P smskoletrinnet vil elevene utvikle sine faktakunnskaper til ogs omfatte

    13

  • kunnskaper knyttet til regning med de fire regneartene. Etter hvert vil de for eksempel vite at

    det dobbelte av 3 er 6, at 5 + 2 = 7 osv. Nr voksne ser et slikt regnestykke, kan vi svare med en

    gang, vi behver ikke tenke oss om eller regne ut et svar. Derfor er slike faktakunnskaper

    svrt nyttige i matematisk tenkning. Hvis man vet svaret p slike forholdsvis enkle oppgaver

    umiddelbart, kan man bruke tenkekapasiteten sin p andre, mer kompliserte forhold.

    Faktakunnskap kan alts vre navn knyttet til et begrep. De kan ogs vre definisjoner ellerkonvensjoner som man har funnet det tjenlig lage. Definisjoner og konvensjoner er ikke ut -ledet av noe annet, og de behver ikke vre logiske. Et eksempel p en slik konvensjon er

    mten vi skriver tallsymboler p. Hevdvunne notasjoner er ogs faktakunnskap som m lres.

    De er eksempler p at menneskene har blitt enige om symbolisere et bestemt meningsinnhold

    p en entydig mte. Det er ikke naturgitt eller selvinnlysende at meningsinnholdet til det sam-

    mensatte tallsymbolet 32 er verdien 3 multiplisert med 10 og addert til 2. Det er verdt merke

    seg at det har tatt svrt lang tid utvikle denne konvensjonen. Mange fakta er alts menneske-

    skapte. Dette gjelder bde navn p matematiske objekter og mter symbolisere matematiske

    strrelser. f et meningsfylt forhold til symboliseringen av faktakunnskaper kan vre svrt

    vanskelig. Dette er diskutert grundig av Hines (1987).

    Ferdigheter er en type kunnskap som kommer til syne nr vi lser en oppgave ved bruke en

    bestemt framgangsmte. I slike tilfeller kan man ikke svare umiddelbart, men man er ndt til

    utfre en eller annen operasjon for komme fram til et svar. Et barn som ikke vet svaret p

    5 + 2, kan telle opp fem fingrer p den ene hnden, to p den andre og deretter telle hvor mange

    dette blir til sammen. Han bruker en bestemt framgangsmte, og dette er dermed en ferdighet

    barnet besitter. En slik framgangsmte kalles i matematikken ofte en algoritme.

    En algoritme bestr av et avgrenset antall operasjoner. Nr man har lrt seg en algoritme, vet

    man akkurat hvordan hver operasjon skal utfres og i hvilken rekkeflge de skal utfres. Nr

    man skal bruke algoritmen for addisjon av flersifrede tall, skal frst tallene settes under hver-

    andre slik at enerne kommer under hverandre, tierne under hverandre osv. S skal enerne

    legges sammen. Hvis den summen blir over ti, skrives antall tiere over tierkolonnen, mens

    antall enere skrives under enerne i svarfeltet. Deretter summeres tierne osv. P den mten vil en

    algoritme alltid gi et svar hvis den blir fullfrt. Det kan hende at svaret er feil fordi algoritmen

    er blitt utfrt feil, eller fordi det ikke passet bruke akkurat den algoritmen ved det tilfellet,

    men en algoritme leder alltid fram til et svar.

    Det krever mer av den som arbeider med et matematisk problem utfre en algoritme enn det

    gjr hente fram faktakunnskap. Men siden det er hplst lre seg svar p alle mulige sprs-

    ml i form av faktakunnskap, er man ndt til lre ferdigheter som er mer generelle mter

    komme fram til et svar p. Slike algoritmer vil vre til hjelp nr man skal lse oppgaver hvor

    man ikke sitter inne med et faktasvar. Algoritmene blir spesielt nyttige nr de blir automati-

    serte. Er man godt drillet i multiplikasjonsalgoritmen for flersifrede tall, kan man multiplisere

    svrt store tall p en enkel mte. Det hadde vrt atskillig vanskeligere f til hvis man var

    ndt til utvikle en metode hver gang en slik multiplikasjon skulle utfres. Det at trinnene i

    algoritmen er automatiserte, frer bde til at arbeidet gr lettere, og til at man gjr frre feil.

    Automatiserte algoritmer krever ikke s mye tenking, noe som frer til at man kan konsentrere

    seg om andre sider ved arbeidet med lse et problem.

    Et spesielt aspekt ved mange matematiske begreper er at de bde har en ferdighetsside og en

    faktaside. Som nevnt lser sm barn enkle addisjonsoppgaver ved hjelp av en eller annen

    algoritme. Seinere utvikles dette til faktakunnskap som igjen kan inng i andre algoritmer som

    14

  • addisjonsalgoritmen. Et annet eksempel er knyttet til multiplikasjon. Det lres ofte som gjen-

    tatt addisjon, at 5 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4. P denne mten kan elevene finne svar p multiplika-

    sjonsoppgaver ved utfre en algoritme: Skriv opp multiplikasjonen p addisjonsform, utfr

    addisjonen. Deretter vil de fleste elevene lre den lille multiplikasjonstabellen som faktakunn-

    skap. Da behver de ikke lenger g veien om addisjon, g veien om en algoritme. De vet

    umiddelbart at 5 4 = 20. Tilsvarende blir divisjon frst sett p som en prosess, som noe man

    skal gjre, for eksempel at man skal fordele 8 druer likt mellom 4 barn. Dette er ogs en fer-

    dighet som etter hvert utvikles til faktakunnskap. Elevene vil vite at 8 : 4 = 2.

    Det er svrt viktig for elevenes matematiske kompetanse at de gjr slike utvidelser av ferdig-

    hetene sine til ogs omfatte faktakunnskap. Grunnen til det er at nr elevene seinere skal lse

    mer kompliserte oppgaver og utvikle mer avanserte algoritmer, vil det vre et stort, kanskje

    uoverkommelig hinder hvis elevene ikke har lrt enkelte faktakunnskaper. Det er mye enklere

    lre addisjonsalgoritmen hvis man har en god del faktakunnskaper om addisjon. Motsatt er

    det svrt vanskelig lse multiplikasjonsoppgaver hvis man alltid er ndt til g veien om

    mange og lange addisjonsstykker. Derfor br det vre et ml med matematikkundervisningen

    at elevene utvikler nyttige faktakunnskaper i tillegg til algoritmer. I L97 legges det opp til dette

    gjennom en kt vektlegging av hoderegning. For kunne lse oppgaver i hodet, m man ha

    gode faktakunnskaper. Ogs ved hoderegning er det nyttig kunne effektive algoritmer som

    ikke er mer omfattende enn at man kan utfre dem i hodet, uten penn og papir.

    3.2 Strategier

    Kafoppgaven viser at det er mer som skal til for lse matematiske oppgaver enn bare fakta

    og ferdigheter. Det er ogs ndvendig vite nr de forskjellige faktaene skal brukes, og hvilkeferdigheter som er passende. Dette er dels avhengig av at man har utviklet gode begreper, noe

    som diskuteres nedenfor, og det er avhengig av at man har strategier for hvordan bestemte pro-

    blemer kan lses.

    Med strategier menes overordnede framgangsmter som kan brukes i forskjellige sammen-

    henger og ved forskjellige oppgaver. Som tidligere nevnt bygger det frste lsningsforslaget til

    kafoppgaven p en strategi som kan kalles gjett-og-sjekk. Det er en strategi som ofte er nyttigi arbeidet med matematiske problemer. Ved gjette p en lsning (at det var to personer som

    beskte kafeen) og sjekke om det stemmer (finne ut hvor mye hver enkelt da m betale), vil

    man kunne f en bedre forstelse av problemet, og man vil kunne nrme seg en lsning. Det er

    imidlertid ikke slik at en strategi ndvendigvis frer til en lsning av problemet. Mens en

    algoritme alltid gir en, om enn feilaktig, lsning, kan det vise seg under lsningsarbeidet at det

    er umulig fortsette med den strategien man har valgt. Derfor er det viktig at man vurderer

    strategien man bruker underveis: er jeg p rett vei, kan jeg effektivisere denne strategien, br

    jeg heller velge en annen strategi?

    Den mest nyttige strategien i arbeidet med matematiske problemer er antakeligvis det lage en

    tegning eller et diagram av det aktuelle problemet. Helt i starten av Del 1 var det et eksempel

    hvor ei jente p 7 r lste oppgaven Kristian har 3 tyggegummipakker med 6 tyggegummieri hver pakke. Hvor mange tyggegummier har han? Hun gjorde det ved lage en tegning avpakkene. P den mten klarte hun lse en noks vanskelig tekstoppgave. Seinere i heftet,

    bde i resten av denne delen og i del 2, presenteres mange flere slike eksempler hvor elever

    lser oppgaver ved lage en tegning eller diagram. Nr man lager et diagram, vil man kunne f

    en bedre forstelse av det problemet man vil lse. I tillegg kan et diagram gi direkte hjelp til

    15

  • hvordan man kan finne en lsning. 7-ringen som fant antall tyggegummier, ville neppe klart

    dette hvis hun ikke hadde laget en tegning til hjelp. Strategien med lage en tegning gjorde at

    hun kunne liste opp pakke for pakke p papiret og deretter bruke dette til finne en lsning p

    oppgaven. Det er derfor gunstig at elever tidlig ser nytten av det kunne lage gode diagrammer

    eller tegninger av matematiske problemsituasjoner.

    3.3 Begrepsdanning

    Tradisjonell matematikkundervisning har lagt stor vekt p formidle faktakunnskaper og ferd-

    igheter. Det har likevel vist seg at elever ofte har problemer med lse selv enkle tekstopp-

    gaver i matematikk. Det er et av KIM-prosjektets hovedsikteml studere grundig hvordanelever tenker nr de lser oppgaver innen forskjellige matematiske emner og forske beskrive

    hvilke vanlige oppfatninger elever har av forskjellige matematiske begreper. Et begrep er

    sjelden fullstendig utviklet ved at en har gjort erfaringer p et avgrenset felt. Vi kaller ufull-

    stendige tanker knyttet til et begrep for misoppfatninger.

    Det er viktig forst forskjellen p de feil elevene gjr, og de misoppfatninger de har. En feilkan komme mer eller mindre tilfeldig, fordi en ikke er oppmerksom nok eller ikke leser en opp-

    gave godt nok, osv. Misoppfatninger er ikke tilfeldige. Bak dem ligger det en bestemt tenkning

    en id som brukes noks konsekvent. Ofte er dette et resultat av det en kan kalle en over -

    generalisering av tidligere kunnskaper til nye omrder der disse kunnskapene ikke gjelder fullt

    ut. En kan se p dette som forsk p skape mening og sammenheng i det en lrer. I KIM-

    heftet Introduksjon til diagnostisk undervisning er det gitt en mer utfrlig diskusjon om mis-oppfatninger og betydningen av fokusere p slike ideer i matematikkundervisningen.

    KIM-prosjektet har s langt vist at det kan vre stor forskjell mellom det fagstoffet som blir

    undervist, og de begrepene som den enkelte eleven danner. I del 2 vil vi presentere noen av de

    ideene elever p smskoletrinnet har knyttet til spesifikke matematiske begreper.

    En konsekvens av resultatene fra KIM-prosjektet er at det er viktig at lrere i matematikk -

    undervisningen legger vekt p at de matematiske begrepene er svrt mangfoldige. De mate-

    matiske begrepene henger sammen p mange mter, de eksisterer i nettverk (se heftet

    Introduksjon til diagnostisk undervisning). Dette er framhevet i L97 hvor det lre matemat-ikk sammenlignes med det klatre i et tre. Her er et lite eksempel: En klasse med 7-ringer

    lste et problem hvor de skulle fordele 14 ntter p 3 ekornunger. Noen av elevene gjorde det

    ved gjette p et rimelig antall, for eksempel at hver unge fikk 3 ntter hver. Da hadde ekorn-

    mora delt ut 3 + 3 + 3 = 9 ntter. Da var det 14 - 9 = 5 ntter igjen. S delte de ut ei ntt til hver,

    slik at ekornungene fikk 4 hver. Da hadde mora delt ut 9 + 3 = 12 ntter, og det var kun 14 - 12

    = 2 ntter igjen. Disse ble til overs. For lse denne oppgaven, som vi kanskje vil kalle en divi-

    sjonsoppgave, brukte disse elevene bde addisjon og subtraksjon. Dette viser at bruk av mate-

    matikk i en praktisk situasjon svrt ofte inkluderer flere matematiske begreper, samtidig og p

    en integrert mte.

    I kapitlene som omhandler de forskjellige matematiske begrepene i Del 2, presenteres grundig-

    ere hva som ligger i skalte rike begreper. Her flger noen eksempler:

    16

  • Eksempel 1

    Her ser du hvordan en elev kan speile pila til venstre om linja l:

    Her speiler eleven pila som om linja l er vertikal, han bryr seg ikke om at linja str p skr.Dette er en vanlig misoppfatning. Det er viktig ppeke at slike misoppfatninger ikke er noe

    som lreren har fortalt elevene. Som vi pekte p ovenfor, er misoppfatninger som regel gener-

    aliseringer som elevene har gjort ut fra de erfaringene de har gjort. I dette eksemplet skyldes en

    slik misoppfatning antakeligvis at elevene stort sett har gjort erfaringer med speiling om verti-

    kale og horisontale linjer. Hvis det er tilfellet, kan elevene utvikle algoritmer og tenkemnstre

    som er effektive i akkurat de tilfellene, men, som her, ikke lar seg overfre til andre situasjoner.

    Erfaringer med begrepet speiling fra et lite utvalg situasjoner, gir en snever begrepsoppfatning

    hos elevene.

    Eksempel 2

    Mange elever tror at multiplikasjon alltid gir et svar som er strre enn det man startet med.

    Dette vil vre tilfellet ved oppgaver hvor multiplikasjon kan erstattes med gjentatt addisjon:

    Anne har lagt ei halv lakrisstang i 3 bokser. Hvor mange lakrisstenger har hun totalt? Denneoppgaven kan lses bde med multiplikasjon, 0,5 3, og med gjentatt addisjon, 0,5 + 0,5 + 0,5.

    Multiplikasjon gir ogs alltid et strre svar s lenge det tallet det multipliseres med, er et heltall.

    Elever som kun gjr erfaringer med multiplikasjon gjennom oppgaver med heltall og som har

    en struktur bygd p gjentatt addisjon, vil lett danne en slik oppfatning. Denne oppfatningen vil

    dessverre vre feilaktig i andre sammenhenger hvor man multipliserer med et tall mindre enn

    1. Denne misoppfatningen kommer ofte til uttrykk nr elever skal velge et regneuttrykk som gir

    rett svar p problemet i en oppgavetekst:

    Kaker skal fylles i bokser med 0,75 kg i hver. Hvor mange bokser kan fylles med 6 kg kaker?

    6 0,75 6 : 0,75 0,75 : 6 0,75 6 6 - 0,75 6 + 0,75

    I oppgaveteksten er utgangspunktet n kakeboks som tar 0,75 kg. Nr man skal fylle opp med

    6 kg kaker, trengs mer enn denne ene boksen, og dermed foresls multiplikasjon som den rik-

    tige regneoperasjonen. Grunnen til denne misoppfatningen ligger, som nevnt over, i det at elev -

    ene i overveiende grad har arbeidet med multiplikasjon og divisjon med hele tall. Da gjelder

    regelen multiplikasjon gjr strre. Vi kommer som nevnt tilbake til slike misoppfatninger

    seinere. Misoppfatninger som elever kan ha tilknyttet tall og regning, er grundig beskrevet

    i KIM-heftet Veiledning til tall og tallregning.

    Eksempel 3

    Hvilke av disse trekantene er rettvinklet?

    17

    l

  • Her er det mange elever som svarer at kun den midterste trekanten er rettvinklet. Faktisk er alle

    tre rettvinklet, den eneste forskjellen er at ved hyre og venstre trekant er den rette vinkelen,

    den som er 90, verst. Nr elever sier at kun den midterste er rettvinklet, skyldes det antake-

    ligvis at de tidligere kun har sett rettvinklete trekanter av denne typen. Igjen skyldes misopp-

    fatningen at elevene generaliserer fra en begrenset erfaringsbakgrunn. Johnsen (1996) viser at

    mange slike misoppfatninger er vanskelige bli kvitt, slik at de gjr seg gjeldende ogs hos

    eldre elever.

    I matematikkundervisningen prver vi som lrere ofte gjre lrestoffet enklere for elevene

    ved forenkle situasjonene og ved velge enkle tall. Det er ofte ndvendig gjre slike for-

    enklinger for at elevene skal kunne sette seg inn i nye og uvante situasjoner. Men utbredelsen

    av misoppfatninger, slik det er vist her, tyder p at lrere kan gjre elevene en bjrnetjeneste

    hvis de kun gir oppgaver fra slike forenklede situasjoner. Skal man unng at elevene danner

    misoppfatninger og i stedet utvikler allsidige og rike matematiske begreper, m elevene gjre

    erfaringer med begrepene i mange forskjellige situasjoner. De matematiske begrepene er

    mange sidige, og dette m avspeiles i undervisningen. Hvis undervisningen skal dreie seg om

    speiling, m elevene f anledning til arbeide med speiling i s mange forskjellige sammen-

    henger som mulig. Det samme gjelder ved multiplikasjon. Multiplikasjon er mye mer enn gjen-

    tatt addisjon, og et godt multiplikasjonsbegrep utvikles kun hvis elevene fr mte multiplika-

    sjonsbegrepet i alle dets avskygninger.

    Det kan argumenteres for at tradisjonell matematikkundervisning i overveiende grad har dreid

    seg om oppve elevenes faktakunnskaper og ferdigheter. I dette heftet legges det opp til en

    undervisning som sikter mot en mer allsidig matematisk kompetanse. Kort fortalt er den ekstra

    komponenten kalt problemlsning. Ordet problemlsning blir dermed brukt i en videre betyd-ning enn det som ble betont i M87. I denne komponenten ligger mange elementer. I arbeidet

    med kafoppgaven ble noen av dem brakt p bane:

    analysere, 133 er et ganske spesielt tall, det kan bare deles p 7 og 19klassifisere, se p hvilke penger som gr til a) kaffe og b) kaker?sammenligne, hva fikk dere?, hvordan regnet dere?trekke slutning, n har jeg det! Hvis vi gjetter p hvor mange personer det var, s forklare, svare p hvorfor noe er riktigestimere, svare p hva kan vre et passende antall kaffekopper per person?organisere, gjette systematisk og ordne resultatene i en tabellse mnstre, spesielt det siste forslaget: trekker du fra kaffekopper, vil du ha igjen 128, 123,118, 113, 108, 103 kroner.

    representere, la tallene st for antall kroner eller antall personervurdere, er vi p rett vei, er framgangsmten og svaret riktig?

    Anvendelige og solide matematiske begreper dannes av gode faktakunnskaper, godt innvde

    ferdigheter og ved at begrepene blir satt sammen til helhetlige begrepsstrukturer. For at elevene

    i tillegg skal bli gode til bruke matematikk til lse problemer, trengs gode strategiske kunn-

    skaper. En undervisning som skal bygge opp kompetanse p alle disse feltene, m vre variert.

    Elevene trenger vanlige regneoppgaver for ve opp faktakunnskaper og ferdigheter. I til-

    legg trengs erfaringer fra arbeid med praktiske problemer. I neste kapittel presenteres noen

    prinsipper for matematikkundervisning bygd opp omkring slike praktiske problemer, kalt

    aktivitetsbasert undervisning.

    18

  • 4 Prinsipper for aktivitetsbasert undervisningI matematikkdelen i L97 heter det: Opplringen m ta hensyn til de enkelte elevers forutset-ninger. Planen framhever viktigheten av at undervisningen m bygge p det den enkelte elevenalt vet. Dette poengteres seinere i planen hvor det framheves at elever konstruerer ny kunnskap

    p grunnlag av tidligere erfaringer: Elevenes erfaringer, deres tidligere kunnskaper og de opp-gaver de stilles overfor, blir vesentlige elementer i lringsprosessen. Videre skisseres et godtundervisningsopplegg gjennom det at det har meningsfylte situasjoner som utgangspunkt.Deretter dannes begreper gjennom samtale og ettertanke. Nr det gjelder smskoletrinnet,

    hevder planen at dette gjelder med spesiell styrke: P smskoletrinnet spiller elevenes egneerfaringer og opplevelser en spesielt viktig rolle.

    Den aktivitetsbaserte undervisningen som presenteres i dette kapitlet, har dette som utgangs-

    punkt. Undervisningen skal bygge p noe som elevene har kjennskap til fra fr, fortrinnsvis

    situasjoner som er meningsfulle for elevene. Ut fra et slikt startsted skal elevene arbeide med

    oppgaver hvor de mter noe ukjent. Det er i et slikt mte mellom noe kjent og ukjent at elevene

    lrer. Det ukjente tolkes i forhold til de erfaringene den enkelte eleven har gjort tidligere, i for-

    hold til det eleven kjenner fra fr. En aktivitetsbasert undervisning har dermed flgende grunn-

    leggende prinsipper:

    1 Start med noe som elevene har et visst kjennskap til fra fr.

    2 Gi oppgaver som involverer noe ukjent.

    3 La elevene f anledning til tolke dette nye og til reflektere over de erfaringene de

    har gjort.

    4 Konsolidering, repetisjon

    I det flgende blir disse punktene utdypet, og det blir forskt vist hvordan de vil arte seg i kon-

    kret matematikkundervisning.

    4.1 Ta utgangspunkt i en situasjon

    I stedet for direkte gi oppgaver som elevene skal arbeide med, kan undervisningen ha en eller

    annen situasjon som utgangspunkt. En slik situasjon kan fungere som et springbrett for elev-

    enes utvikling. Det betyr at situasjonen m inneholde elementer som elevene har god kjennskap

    til. Et eksempel som vi skal flge videre, er et undervisningsopplegg knyttet til noen ekorn og

    deres arbeid med fordele ntter. Dette opplegget ble prvd ut p en klasse med 7-8-ringer, og

    det startet med en time hvor elevene lrte litt om ekorn. Her fikk elevene fortelle om egne

    mter med ekorn, se p bilder av ekorn og lignende. Da de kom til matematikktimen, fortalte

    lreren om ekornenes arbeid med fordele ntter. Alt dette hadde som hensikt sette en situa-

    sjon for elevene, danne en bakgrunn for det videre arbeidet. P dette tidspunktet hadde det enn

    ikke vrt noe snakk om hva elevene skulle gjre, hvilke oppgaver de skulle arbeide med, ellerhva de skulle komme fram til. Fokus var rettet mot gi elevene en oppfatning av den praktiske

    situasjonen som elevene skulle arbeide innenfor, ikke p hva det var tenkt de skulle gjre.

    Slike situasjoner m vre spass kjente for elevene at de kan leve seg inn i dem. Dette kan

    gjres med utgangspunkt i elevenes hverdag. Det kan ogs gjres gjennom forskjellige spill

    eller leiker. Dette kan enten vre spill og leiker som er spesielt designet med tanke p

    matematikk undervisning, eller det kan vre frie former for leik og spill som man utnytter i

    ettertid. En tredje mulighet er ta utgangspunkt i et eventyr eller en annen fantasisituasjon. Det

    19

  • viktigste kravet er at elevene noks raskt kan f en felles forstelse av hva som er hovedideene

    i situa sjonen.

    Et annet, og viktig, krav til slike situasjoner er at de rommer de matematiske begrepene som

    lreren vil at elevene skal arbeide med. Nr det gjelder ekorneksemplet, vil lrerens fokuser-

    ing p antall ntter og fordeling av disse fre til at elevene antakeligvis vil arbeide med divisjon

    eller multiplikasjon. Vi kommer nrmere tilbake til disse begrepene i kap. 7.

    Situasjonene m ogs vre rike i den forstand at de stimulerer til at elevene tar i bruk sin egenfantasi, at elevene bruker av seg selv, og at de fr mulighet til pvirke arbeidet i situasjonen.

    Dette sikrer at arbeidet blir meningsfullt, samtidig som det motiverer til deltakelse i aktivitet-

    ene. Ved at elevene fr arbeide innenfor kjente situasjoner, vil de g inn i arbeidet med sin egen

    forstelse. Dette gjr at de kan bruke sin egen fornuft, og ikke kun akseptere noe som riktig

    fordi lreren eller lreboka har sagt at slik er det. Elever i alle aldrer er i stand til selv

    utvikle algoritmer for lse mange problemer. Slike selvutviklede algoritmer vil ha en helt

    annen status hos eleven enn de som er kopiert av noe lreren eller lreboka har vist. En stor

    srafrikansk underskelse blant 7- og 8-ringer (Olivier et al, 1990) viser at nr elever bruker

    framgangsmter som de selv har kommet fram til, lser de regneoppgaver bde med frre feil

    og de feilene de gjr er mindre. En forutsetning for at elevene utvikler egne algoritmer, er at de

    har en god forstelse av den situasjonen som arbeidet springer ut av. Da vil de i stor grad kunne

    knytte den nye kunnskapen til det de vet fra fr. De kan reflektere over og skape fornuft ut av

    de erfaringene de gjr.

    Et siste krav til slike situasjoner som matematikkundervisning kan bygges p, er at de br kunne

    gi rom for differensiering. Situasjonene br vre spass enkle at alle elevene forstr grunnid-

    ene. I tillegg br de vre spass pne at de kan utvides slik at ogs de flinkeste elevene kan

    finne passende utfordringer. I ekorneksemplet ble dette sikret ved at elevene selv mtte finne p

    hvilke antall ntter de skulle arbeide med. Det viste seg at noen elever kun arbeidet med strr-

    elser under ti, mens andre arbeidet med antall opptil hundre. Ved undervise med utgangspunkt

    i situasjoner, vil differensieringsproblematikken dermed kunne dempes. Siden elevene kommer

    til matematikkundervisningen med til dels svrt forskjellige utgangspunkt, blir differensiering

    en stor utfordring. Nr elevene slippes mer ls, nr de selv fr vre med p bestemme hvordan

    og med hva de skal arbeide, vil de selv kunne finne seg passende utfordringer (med innspill fra

    lreren), og differensieringen vil dermed kunne g nrmest av seg selv.

    Men n er det ikke snn at elevene slippes helt fri. L97 spesifiserer faglige ml som matemat-

    ikkundervisningen skal forske n, og alle lrere nsker at elevene skal ha utbytte av under-

    visningen i form av matematiske kunnskaper. Derfor legges rammer for elevenes aktivitet

    gjennom presentasjonen av den aktuelle situasjonen og gjennom spesifisering av arbeidsopp-

    gaver. Mer om dette i kapittel 4.2. I hvilken grad vi velger spesifisere, vil vre avgjrende for

    hvor stort rom elevene fr boltre seg i. Dette diskuteres ogs nrmere nedenfor.

    Problemsituasjoner kan som nevnt ha mange forskjellige utspring:

    Fra elevenes egne interesser, en uuttmmelig kilde til problemsituasjoner. Disse kan

    utvikles gjennom bruk av bilder eller historier.

    Fra hendelser i klasserommet, elever som stiller sprsml eller bringer med seg ting av

    interesse til skolen.

    Temaer, gjerne tverrfaglige.

    Leik, spill.

    20

  • Nr utgangspunktet for undervisningen er fra en verden elevene har kjenskap til eller kan leve

    seg inn i, skapes det et handlingsrom i henhold til det finne lsninger p oppgavene som blir

    stilt i situasjonene.

    4.2 Gi oppgaver som involverer noe ukjent

    Nr det kjente er etablert gjennom en presentasjon av den situasjonen lreren vil at elevene

    skal arbeide innenfor, er det ndvendig spesifisere hva man vil at elevene skal arbeide med.Ved spesifisering av oppgaver gis aktiviteten en retning, elevenes arbeid blir rettet mot dematematiske begrepene som lreren vil at elevene skal gjre erfaringer med.

    I ekorneksemplet dreide den frste oppgaven seg om fordeling av et antall ntter til noen

    ekornunger. Til den aller frste oppgaven fikk elevene et ark hvor det stod hvor mange ntter

    som skulle deles ut (14) og hvor mange unger som skulle dele disse nttene (3). I tillegg var de

    14 nttene tegnet som sm sirkler p arket. Dette er dermed en oppgave hvor det er noks

    grundig spesifisert hva mlet for arbeidet er. Imidlertid er det et viktig poeng at det ikke er

    antydet noe om hvordan oppgaven skal lses. Her blir det alts fire ntter til hver unge, og tontter blir til overs. Det er heller ikke spesifisert hva elevene skal gjre nr divisjonen ikke gr

    opp. Dette viste seg imidlertid ikke vre noe problem. Etter et elevene hadde tenkt seg litt

    om, haglet det med forskjellige lsningsforslag: Noen ville gi de ekstra nttene til ekornmora,

    noen ville spise dem selv, mens andre ville g ut i skogen og plukke ei ntt til.

    To elever som lreren karakteriserte som svake i matematikk, hadde problemer med komme

    i gang. Det kunne virke som om de 14 tegnede nttene ikke ga noen srlig mening. Disse elev -

    ene fikk da hver sin eske med sm terninger, og de ble oppfordret til late som om disse tern-

    ingene var ntter. Da gikk oppgavelsningen mye greiere. Etter ha lst et par oppgaver med

    hjelp av terninger, begynte begge elevene tegne ntter i stedet. De hadde da ftt en bedre for-

    stelse av hva som skjedde i denne situasjonen, og de var dermed i stand til lse oppgavene

    ved tegning. Dette illustrerer et viktig prinsipp i undervisning i matematikk: Nr elever skal

    lse problemer, m de arbeide med symboler eller representasjoner som gir mening for dem.

    For elever p smskoletrinnet vil det kunne vre konkrete objekter, som terninger, det kan

    vre tegninger eller diagrammer, og etter hvert vil det kunne vre matematiske symboler, som

    skrevne tall, bokstaver og andre tegn.

    Etter denne frste oppgaven ble elevene bedt om selv finne p tall, bde for antall ntter og

    antall unger. Det var stor variasjon p hvilke tall elevene valgte, men de aller fleste valgte

    tegne nttene som en hjelp i lsningsarbeidet.

    Lreren som hadde disse elevene til daglig, var en smule skeptisk til hvorvidt elevene klarte

    lse disse oppgavene. De fleste lrebkene etter M87 presenterte divisjon med rest i 4.

    klasse, og her skulle elevene arbeide med det i 1. klasse. Det viste seg imidlertid at alle elevene

    klarte lse oppgavene. Her ser du noen eksempler p hvordan elevene lste den frste opp -

    gaven med 14 ntter fordelt p 3 unger:

    21

  • Denne eleven har tegnet inn de tre ekornungene og fordelt ntt for ntt. Dette er en svrt kon-

    kret bruk av de 14 ringene som alt er tegnet inn. Denne eleven fortsatte bruke denne mten

    tegne p ogs p de neste oppgavene, men han forenklet tegningene stadig mer. Han brukte

    for eksempel kun sirkler for angi hodene uten tegne inn yne og munn.

    Her har eleven antakeligvis telt seg fram mens han holdt styr p hvilke han har fordelt ved

    tegne en strek fra ntt til ntt. De to nttene som ble til overs, er tydelig angitt. Ved de neste

    oppgavene tegnet denne eleven kun det antall ntter som oppgaven oppga, ikke streken. Det

    indikerer at streken ikke tjener noen betydelig rolle for denne eleven i det finne et svar.

    22

    14 ntter 3 unger

    14 ntter 3 unger

    14 ntter 3 unger

  • Denne eleven har antakelig lst problemet frst, sett at svaret ble fire og s angitt det ved

    ringe inn de fire som hver unge skal f. De neste oppgavene ble lst p samme mte.

    En grunn til at elevene klarte dette s fint, er at de kunne leve seg inn i situasjonen, og spille

    seg fram til en lsning. I noen av eksemplene skjer det en faktisk fordeling: Ntt for ntt blir

    fordelt til de tre ungene. Problemet med de to nttene som ble til overs, viser ogs at elevene

    levde seg inn i situasjonen. Hvis aktiviteten ikke var rotfestet i en meningsfull situasjon, ville

    elevene antakeligvis hatt mye strre problemer med finne brukbare lsninger. Da ville de ikke

    hatt en kjent referanseramme som de kunne bruke til skape forstelse av oppgaven, og til

    lete etter brukbare lsningsmetoder.

    Nr lreren gir bestemte oppgaver i en situasjon, vil graden av spesifisering pvirke aktiviteten

    i klasserommet. Hvis man lar elevene velge fritt hvilke oppgaver det skal arbeides med, fr vi

    noe nr fri leik. Denne formen for aktivitet har mange positive sider pedagogisk sett, som

    det er viktig at lrere verdsetter. Nr det gjelder matematikkundervisning, s vil den i overvei-

    ende grad fokusere p et bestemt lringsinnhold. Derfor vil det i de aller fleste tilfellene vre

    ndvendig gi aktiviteten en retning gjennom bestemme noen oppgaver som elevene skal

    arbeide med. Det er imidlertid viktig ppeke at ogs fri leik kan brukes som et utgangspunkt

    for diskusjon omkring matematiske begreper. Ofte vil barnas leik inneholde matematikk, ved at

    de bruker tall, regner, bruker geometriske former o.l. Etter at leiken er ferdig, kan lreren ta tak

    i denne matematikken og bruke leiken som en situasjon, et utgangspunkt for undervisningen.

    I s fall kommer matematikken inn i etterkant. Aktiviteten er ikke planlagt p forhnd med

    tanke p undervisning av et bestemt fagstoff.

    Et eksempel p en motsatt undervisningssituasjon, hvor det faglige innholdet i strre grad er

    bestemt p forhnd, er gitt av Ahlberg (1995). Her skulle en klasse med 6-ringer arbeide med

    temaet tre i en periode, og lreren hadde p forhnd laget bestemte oppgaver som elevene

    skulle arbeide med. En av oppgavene gikk ut p finne alderen p forskjellige trr. Mlet med

    aktiviteten var dermed bestemt, men nr det gjaldt framgangsmten, stod elevene svrt fritt.

    De som stod bak undervisningen, hadde tenkt fokusere p rringer og telling av disse, men

    elev ene lste oppgaven annerledes. De ville heller se p hvor tykke trestammene var, og de

    mente nok at det var et like fint ml p alderen til et tre. Dermed ble det matematiske utbyttet

    knyttet til mlinger, ikke kun til telling. Elevene fant metoder for mle denne tykkelsen, og de

    fant passende mleenheter. Dette eksemplet viser at det matematiske lringsutbyttet kan bli

    stort selv med oppgaver som elevene tolker annerledes enn det lreren hadde tenkt p forhnd.

    Ved gi mer klart definerte oppgaver er lreren sikrere p at elevene vil arbeide med de mate-

    matiske begrepene som hun nsker. Det man taper ved mindre frie oppgaver, er at elevene ikke

    fr pvirke aktiviteten like mye, og slik mister man mange av fordelene ved dette. Det er lrer-

    ens oppgave vurdere i de forskjellige tilfellene hvor styrende oppgavene skal vre.

    Til slutt er det viktig nevne at nr en situasjon frst er etablert, vil det ofte vre nskelig gi

    varierte oppgaver i den situasjonen. Dette er slik av flere grunner. For det frste tar det tid

    etablere en situasjon som elevene er fortrolig med. Dette gjr det gunstig utnytte den aktuelle

    situasjonen s mye som mulig. I stedet for etablere en ny situasjon straks man har lst noen

    oppgaver, kan man for eksempel variere tallene som inngr. Dette kan enten gjres ved at lr-

    eren foreslr andre tall, eller ved at elevene selv finner p tall. Fordelen med det siste er at elev -

    ene da vil velge tall de er fortrolige med, tall som ligger innenfor deres beherskelse. Noen

    ganger kan lreren nske utfordre noen elever ved be dem arbeide med noe strre tall enn

    de er vant til. Dette kan bde utvide deres fortrolighet med slike tall, og det kan spore dem til

    utvikle nye algoritmer som er mer passende i dette tallomrdet. I en situasjon kan man ogs

    23

  • variere oppgavetypen. I ekorneksemplet kan det gjres ved at man snur problemstillingen. I

    stedet for 14 ntter fordeles p 3 unger, hvor mye p hver? kan man sprre hver av ungene

    vil ha 5 ntter til middag, hvor mange m moren plukke? eller 24 ntter skal fordeles slik at

    hver ekornunge fr 4 ntter hver. Hvor mange unger rekker nttene til?. Slike variasjoner gir

    elev ene erfaringer med det bruke en bestemt metode p forskjellige tall (variasjon av tallene

    som inngr) og med det velge lsningsmetode avhengig av hva som er kjent/ukjent (variasjon

    av hvilke strrelser som er kjent/ukjent). Dermed blir den aktuelle situasjonen mer utnyttet enn

    om elevene kun skulle lse n oppgave innenfor denne konteksten - det er det som er vanlig

    med matematiske tekststykker.

    4.3 Tolkning og refleksjon

    Som nevnt er ekornoppgaven et eksempel p en noks styrt aktivitet. Imidlertid fikk elevene

    selv utvikle egne framgangsmter, og det viste seg at det klarte de utmerket. I timen etter at de

    hadde arbeidet med selve oppgavene, lot lreren elevene komme fram p tavla for forklare

    for de andre hvordan de hadde arbeidet. Da viste det seg at i denne klassen p 18 elever hadde

    de lst oppgaven med 6 forskjellige metoder. Under framleggingen ble de forskjellige metod -

    ene kommentert, og ved et par tilfeller kom elevene med forslag til hvordan de metodene som

    ble presentert, kunne utvides/modifiseres. Dette viser at frsteklassinger er i stand til snakke

    om og beskrive egne framgangsmetoder. De er ogs i stand til reflektere over andres metoder.

    P denne mten skapte lreren en arena for refleksjon over forskjellige lsningsmetoder for

    dette problemet. Hun kunne ogs gjort tilsvarende for lsningsstrategier. Som tidligere nevnt er

    strategier mer overordnede framgangsmter, og den strategien de fleste elevene brukte her, var

    lage tegning eller diagram.

    Det tar tid for elevene sette seg inn i nye situasjoner slik det er foresltt her. Det er derfor nd-

    vendig for et godt lringsutbytte at elevene fr anledning til bruke den tiden de trenger til

    dette. Frst da vil oppgavene bli meningsfulle slik at elevene har mulighet til bruke sine egne

    kunnskaper i arbeidet med finne en lsning. Et annet viktig sprsml er: Hva er den egentlige

    hensikten med de aktivitetene som elevene engasjeres i? I frste omgang vil det vre finne

    lsninger p de aktuelle oppgavene. Men hovedhensikten er at elevene skal gjre erfaringer

    som gir dem kunnskaper som de ogs kan bruke ved seinere anledninger nr de blir stilt over-

    for andre oppgaver i nye situasjoner. Vi vil poengtere at det er svrt viktig for den matematiske

    lringen at elevene ikke blir vrende i situasjonen, men at de fr hjelp av lreren til trekke

    matematikken ut av de praktiske forholdene som situasjonen har skapt. En slik synliggjring av

    matematikken i en aktivitet skjer ved at elevene reflekterer over de handlingene de har gjort. En

    slik refleksjon kan blant annet skje etter at aktiviteten er ferdig ved at elevene forteller hva de

    har gjort, og hvordan de lste oppgavene. Fokusering p framgangsmter kan ogs skje under-

    veis ved at elevene blir bedt om sammenligne hverandres lsningsmetoder; Hvilken metode

    er enklest, gir alle metodene samme lsning, eventuelt hvorfor ikke, osv. Gjennom slike disku-

    sjoner vil fokus rettes vekk fra den praktiske situasjonen og mot lsningsmetodene og det

    matematiske innholdet. Derfor er denne fasen spesielt viktig for elevenes lringsutbytte.

    Refleksjon kan ogs skapes ved at lreren varierer situasjonen, ved at hun gir noks like opp-

    gaver fra to forskjellige situasjoner. N kan elevene vurdere sine egne lsningsmetoder p opp-

    gavene fra de to situasjonene; Kunne man bruke samme lsningsmetode, hvorfor/hvorfor ikke?

    I kapittel 4.2 framhevet vi viktigheten av variere oppgavene fra en bestemt situasjon. Det var

    ndvendig for avdekke s mye matematikk som mulig fra den aktuelle situasjonen. Men som

    vi ser her, s er det ogs viktig variere situasjonene. I ekorneksemplet kan det gjres ved at

    24

  • man introduserer en ny situasjon hvor det ogs er snakk om fordeling, for eksempel at noen

    barn har samlet skjell i en haug p stranda og nr de skal dra hjem, vil de fordele skjellene likt

    mellom seg. Ved lse oppgaver med samme struktur (her: fordeling) fra forskjellige situa-sjoner, gis elevene en mulighet til avdekke hva som er felles, underliggende prinsipper i situa-

    sjonen. Dermed fr de ogs se at de lsningsmetodene som de bruker, har en viss generalitet.

    Her er det ikke snakk om abstrahering i streng matematisk forstand, men generalitet i betyd-

    ningen at samme lsningsmetode kan brukes i forskjellige situasjoner. I kap. 7 gis en gjennom-

    gang av hvilke strukturer som gir opphav til oppgaver i de fire regneartene. Der blir det blant

    annet vist at det er mange forskjellige underliggende strukturer som gir opphav til divisjons-

    oppgaver.

    Variasjon antas alts vre av stor betydning for elevenes lring. Dette fordi det er variasjon

    som gjr at man fester oppmerksomheten p et eller annet. Hvis elever blir bedt om regne

    flere sider med tosifret multiplikasjon, hvor eneste variasjon er strrelsen p tallene, s vil

    fokus bli rettet nettopp mot tosifret multiplikasjon med forskjellige tallstrrelser. Hvis de deri-

    mot blir bedt om lse tekstoppgaver hvor man m variere regneart, vil fokus bli rettet mot det

    finne riktig regneart til varierte tekstoppgaver. Tradisjonell matematikkundervisning har i stor

    grad fokusert p det frste, regnetekniske aspektet og i mindre grad p det andre, problem -

    lsende aspektet. I ei tradisjonell lrebok presenteres den aktuelle regnemetoden og deretter en

    rekke oppgaver som alle kan lses med denne metoden. Det som varierer, er tallene som inngr

    i de forskjellige oppgavene. Ut fra dette kan man tro at norske elever blir drlige til finne

    riktig regneart, men gode til beregne svaret hvis regnearten er oppgitt. Denne pstanden blir

    underbygd med resultater fra andre deler av KIM-prosjektet i del 2 i dette heftet.

    Her foresls alts to mter skape refleksjon p: enten ved at elevene sammenligner egne ls-

    ningsmetoder med andres, eller ved at de lser noks like oppgaver fra forskjellige situasjoner.

    I begge tilfellene er det elevenes egne metoder som danner utgangspunkt for diskusjon, enten

    ved sammenligne egne metoder mot andres eller egne metoder i to forskjellige sammen-

    henger. Mange vil stille seg sprsml om hva som vil skje hvis elevene regner feil, hvis de

    kommer fram til en feilaktig framgangsmte. Dette vil vanligvis skape en uoverensstemmelse

    som elevene selv vil kunne oppdage. Det kan for eksempel skje ved at to elever som har brukt

    forskjellige metoder, kommer fram til forskjellige svar. Lrerens rolle blir da gjre elevene

    oppmerksomme p denne uoverensstemmelsen og med det skape det Piaget kaller en akko-modasjonskonflikt. Det betyr at den mten en elev tenker p, ikke helt passer med virkelig-heten. For lse en slik konflikt er det ndvendig at eleven selv blir klar over at hans tenkning

    er utilstrekkelig eller feilaktig. Det er ikke nok at lreren forteller ham det og s viser hvordan

    han br tenke. Eleven m selv fornemme konflikten og innse at det er noe ved hans tenkning

    som m endres. Det er svrt viktig at elevene selv innser at det er noe som ikke stemmer, og at

    dette ikke kun er noe som lreren hevder. Frst da kan eleven ta et skikkelig oppgjr med den

    feilaktige tenkningen. Undervisning som tar sikte p skape en kognitiv konflikt som elevene

    fr anledning til lse gjennom en fokusering p misoppfatninger, er grundig beskrevet i KIM-

    heftet Introduksjon til diagnostisk undervisning.

    Det lse slike konflikter kan vre vanskelig. Noen ganger kan det skje gjennom diskusjoner

    med andre elever. I klassediskusjoner kan lreren forske f alle elevene til uttrykke

    hvordan de har lst enkelte oppgaver. Dette forutsetter en fortrolig atmosfre. Det m vre lov

    ogs legge fram feilaktige metoder uten at dette blir sett p som noe negativt. Det viktige i

    slike diskusjoner er at alle elevene engasjeres i samtaler om hvordan man kan lse de aktuelleoppgavene. Hvis to metoder gir forskjellige lsninger, br elevene selv f diskutere hvorfor det

    er tilfellet, og hvis en metode er feil, argumentere for hvilken de tror er den riktige.

    25

  • For noen elever kan det legge fram egne lsningsmetoder virke truende, spesielt fr de blir

    vant til denne formen for diskusjon. Da kan man be elevene frst diskutere i smgrupper og at

    en elev fra hver gruppe legger fram gruppas syn. Da minskes denne trusselen i og med at det

    ikke er ens eget syn man forsvarer, men gruppas.

    Det at elevene fr en slik tillit, bde til utvikle egne metoder og at de selv er med og

    bestemmer hva som er riktig, gir kt trygghet i forhold til egne evner i matematikk.

    4.4 Konsolidering, repetisjon

    Nr elevene har vrt gjennom innledende aktiviteter hvor de har utviklet egne metoder og ftt

    anledning til reflektere over disse, er det ndvendig med en konsolideringsperiode. I denne

    fasen br elevene lse noks like oppgaver med den framgangsmten de nettopp har utviklet,

    for eksempel ved lse oppgaver i lreboka. En slik repetisjon bidrar til at den enkelte eleven

    blir sikrere i bruken av metoden, kunnskapen fester seg bedre i hukommelsen. Eleven har

    kunnskapsstrukturer som passer til de oppgavene han skal lse, og oppgavelsningen gr

    nrmest av seg selv. Med Piagets terminologi kalles dette assimilasjon. Gjennom repetisjon vildisse kunnskapsstrukturene bli styrket, og elevene blir tryggere p de framgangsmtene de har

    utviklet.

    En annen positiv effekt ved en slik fase er at elevene ofte vil modifisere lsningsmetodene sine.

    Dette gjelder spesielt nr undervisningen er lagt opp etter de prinsippene som presenteres

    i dette heftet. Grunnen til det er at hvis elevene har utviklet egne lsningsmetoder, vil de ha et

    eiendomsforhold til disse metodene. Dette gjelder bde skrevne algoritmer og i srlig grad

    metoder for hoderegning. Metodene man bruker for hoderegning, vil i svrt stor grad vre

    ens egne og utviklet p egen hnd.

    Det at elevene utvikler egne metoder, alene og i diskusjon med andre, leder til to viktige

    momenter. For det frste er metodene logiske for elevene. De har selv gjort overgangen fra den

    situasjonen som dannet utgangspunktet og funnet en algoritme som har gitt et svar. For det

    andre str eleven fritt til modifisere denne algoritmen. Det vil ikke alltid vre tilfellet hvis

    algoritmen er formidlet av lreren eller lreboka. Da vil algoritmen f et stempel av autoritet:

    Dette er den offisielle og beste lsningsmetoden. Hvorfor skulle lreren ellers ta seg bryet med

    undervise den for elevene? Holdningsunderskelser blant ungdomsskoleelever viser at de

    ofte tror at matematikk er utviklet av noen f genier, og at de selv aldri kan klare finne p

    noe selv. De tror at matematikk er kopiere andre, enten lreren eller lreboka. Med en slik

    holdning vil man, nr man har lrt seg en offisiell algoritme, holde fast ved denne uansett

    hvilke problemer man str overfor. Har man derimot funnet p en lsningsalgoritme selv, str

    man fritt til gjre endringer p den.

    Hvis elevene blir vant til utvikle egne algoritmer, fr de etter hvert tillit til egne evner i den

    retning. Derfor vil det ofte kunne skje at nr elever blir bedt om lse mange noks likelydende

    oppgaver, vil de gjre endringer i mten de lser den typen oppgaver. De vil kunne lete etter

    stadig mer effektive algoritmer. Det kan hende de gjr mindre endringer p den algoritmen de

    alt bruker, eller det kan vre at de prver ut helt nye algoritmer. P den mten vil gjentatt

    arbeid med noks likelydende oppgaver fre til at elevene blir sikrere til utfre en bestemt

    algoritme, eller til at de finner bedre og mer effektive mter lse slike oppgaver p.

    Det lse mange noks likelydende oppgaver vil alts i seg selv kunne fre til at enkelte elever

    26

  • prver finne mer effektive framgangsmter. I tillegg kan slik effektivisering stimuleres i

    denne repetisjons- og konsolideringsfasen ved:

    fjerning av konkreter

    bruk av strre tall

    se p spesielle egenskaper

    diskusjon med andre

    Fjerning av konkreterDette punktet er nrmest penbart. Man kan tenke seg en elev som bruker en strategi hvor det

    telle opp og flytte rundt p terninger er sentralt. Hvis terningene blir fjernet, vil denne eleven

    bli ndt til endre strategi. Han kan i stedet for la terninger representere de aktuelle objekt-

    ene, for eksempel lage tegninger av objektene.

    Bruk av store tallMange elever bruker telling til lse praktiske problemer. Dette er gunstig p smskoletrinnet

    siden det gir elevene mulighet til arbeide med noks kompliserte matematiske aktiviteter og

    det gir fortrolighet med tallinja. Imidlertid er telling en svrt tungvint mte regne p. Derfor

    er det nskelig utover i 1. og 2. klasse at elevene begynner bruke mer effektive metoder. En

    mte gjre det p er be elevene lse oppgaver med forholdsvis store tall. Telling, enten

    i hodet eller p tegninger/konkreter, er greit med tall opp til 20-30, men blir tallene strre enn

    det, er det en ugunstig strategi. Det tar lang tid og mye arbeid utfre selv enkle addisjonsopp-

    gaver. Dette vil elevene innse selv, noe som kan gi dem insentiv til lete etter andre og raskere

    mter gjre regnestykkene p.

    Se p spesielle egenskaperVed se p spesielle egenskaper ved tallene/regningen kan elevene f ider til mer effektive

    algoritmer. Hvis man nsker at noen elever skal innse nytten av bruke faktakunnskaper ved

    addisjon i stedet for telling, er det flere mulige egenskaper man kan fokusere p. En egenskap

    er knyttet til kommutativitet, det at nr du legger sammen to tall, blir svaret det samme uansett

    hvilken rekkeflge tallene kommer i. Lreren kan holde opp lapper med addisjonsstykker som

    elevene skal regne ut i hodet, annethvert stykke er en ombytting av det forrige:

    Hvis elevene teller for finne svarene ved de frste oppgavene, vil de etter hvert kunne finne ut

    at annethvert svar blir det samme. Dermed er ikke veien lang til innse at nr man adderer, har

    ikke rekkeflgen noen betydning for svaret. Har man innsett det, behver man ikke huske s

    mange lsrevne fakta. Man behver ikke lre seg hva 2 + 5 er hvis man har lrt seg at 5 + 2 =

    7. En annen egenskap til hjelp ved addisjon er at noen tallkombinasjoner er lettere huske enn

    andre. Et eksempel p det er dobling; at 4 + 4 = 8, 6 + 6 = 12 o.l. En lrer kan hjelpe elever til

    huske slike doblinger ved gi oppgaver som fokuserer p dette. Hvis for eksempel to tvill-

    inger har akkurat like mange av forskjellige ting, kan man regne p hvor mange ting de har til

    sammen. Hvis hver har 5 lekebamser, har de 10 bamser til sammen, hvis hver har 3 hrbnd,

    har de 6 til sammen, osv. Seinere kan man bruke lapper som i eksemplet over. Gjennom denne

    formen for hoderegning oppfordres elevene til finne enklere mter lse oppgaver p enn

    telling. Det er ogs enklere huske de summene som gir 10 til svar enn mange andre summer.

    Det at 3 + 7 blir 10 til sammen, gjr at 3 og 7 kan kalles tiervenner. Elevene kan f i oppgave

    finne andre slike tiervenner, to tall som man vet blir 10 til sammen. Nr elevene har etablert

    det som faktakunnskap, kan dette utnyttes til finne andre summer: 7 + 4 er det samme som

    27

    3 + 2 = 2 + 3 = 2 + 6 = 6 + 2 = 7 + 4 = 4 + 7 =

  • 7 + 3 + 1 alts 10 + 1 = 11. Ogs dobling kan utvides til andre summer: 8 + 7 = 8 + 8 - 1 = 16 -

    1 = 15 (eller = 7 + 7 + 1).

    I tillegg kan man bruke tallinja til finne summer hvor man legger til en eller to. Dette vil

    kunne vre en mer effektiv mte gjre utregninger p enn ved telling. Anta at noen elever

    teller nr de skal legge sammen 7 + 1. Det vil si at de teller frst opp 7, s en til, og til slutt teller

    de alle 8. Ved arbeide mye med g opp (og ned) p tallinja, vil disse elevene etter hvert

    kunne se at det legge til en er det samme som det finne det neste tallet i tallrekka.

    Et siste eksempel er utnytte tieroppbyggingen av tallene for finne summer. Skal man legge

    sammen 13 og 25 ved telling, s er det en veldig tid- og arbeidskrevende oppgave. Ved hjelp av

    konkretiseringsmateriell som samler tiere og enere for seg, kan elevene erfare at man kan legge

    tierne sammen for seg og enerne for seg. Da blir 13 + 25 et atskillig enklere regnestykke; det

    blir til sammen 3 tiere og 8 enere, alts 38.

    Diskusjon med andreSom nevnt tidligere, er det veldig viktig at elevene gr gjennom en refleksjonsfase etter at de

    har arbeidet med noen oppgaver. I denne refleksjonsfasen br elevene f legge fram sine ls-

    ningsmetoder for andre, enten i ei gruppe eller for hele klassen. Nr de m legge fram sin

    algoritme for de andre, m de samtidig g gjennom trinnene i algoritmen p en annen mte enn

    nr de bruker den til beregne et svar. Dette gir en betydelig lringseffekt. Det er en kjent

    erfaring at nr man forklarer ting for andre, fr man en bedre forstelse av stoffet selv. I en slik

    framlegging vil de andre elevene som hrer p, i tillegg kunne f ider til hvordan de selv kan

    lse denne typen oppgaver p en bedre og mer effektiv mte. Man kan f lure tips av det de

    andre presenterer. Dermed vil slik sammenligning av lsningsmetoder kunne fre til effek-

    tivisering av ens egne algoritmer.

    5 uttrykke matematikkSom tidligere nevnt i dette heftet, kan elever lse enkle tekstoppgaver allerede fr de begynner

    p skolen. Da bruker de gjerne ineffektive algoritmer og uttrykker seg p tungvinte mter.

    Spesielt vil de intuitive metodene vre uhensiktsmessige ved store tall. Se for eksempel p

    flg ende oppgave:

    Berit har 8 pakker med 10 skjell i hver pakke. En dag finner hun 15 nye skjell p stranda. Hvor mangeskjell har hun n til sammen?

    Skal man lse denne oppgaven ved tegne alle skjellene og deretter telle dem, s tar det for det

    frste svrt lang tid, og i tillegg er det stor sjanse for gjre en feil fr eller siden. Matematiske

    algoritmer er utviklet nettopp for gjre slike og andre beregninger enklere. Derfor m lreren

    legge opp til leik og aktiviteter som stimulerer elevene til utvikle gode matematiske begreper

    og effektive algoritmer. Som tidligere nevnt, er det gunstig ta hensyn til barnas ststed og i til-

    legg gjennomfre en undervisning hvor elevene fr anledning til arbeide med nye, formelle

    aspekter ved matematikken.

    Med formell matematikk menes blant annet det presentere matematikk p en mer formell

    mte, med matematikkens formelle symbolsprk. Matematikk kan imidlertid uttrykkes p

    mange forskjellige mter. Vi skal her se grundigere p hvilke mter matematisk tenkning kan

    representeres, og p styrker og svakheter ved de forskjellige representasjonsformene:

    28

  • 1 Direkte modell

    2 Konkret modell

    3 Bruk av billedlige representanter

    4 Bruk av ikoner (en-til-en)

    5 Bruk av symboler

    Hvis du skal lse en oppgave hvor utgangspunktet er 8 epler, s kan dette representeres ved at

    du henter 8 epler. Dette danner en direkte modell. Styrken med en direkte modell er naturligvis

    dens nrhet til problemstillingen. Hvis oppgaven er Du har 8 epler og spiser opp 2, hvormange har du igjen?, kan du spise 2 av de 8 eplene og regne ut hvor mange du har igjen. Ellerrettere sagt: Du behver ikke engang regne det ut, du kan bare vise fram de resterende og si:

    S mange har jeg igjen!. Svakhetene ved direkte modeller er at man ikke alltid har de tingene

    man regner p like tilgjengelig, og at arbeidet med utregningen er svrt knyttet til den aktuelle

    problemstillingen. Den framgangsmten som blir brukt til finne et svar, kan ikke uten videre

    overfres til andre situasjoner.

    I en konkret modell brukes andre konkrete objekter i stedet for eplene. Man kan for eksempelbruke sm terninger eller brikker og late som om hver terning/brikke er et eple. En studie av

    Carpenter & al (1993) viser at 5 r gamle barn som har ftt opplring i det representere tekst -

    oppgaver med klosser, kan lse regneoppgaver innen alle 4 regnearter med tall opp til 30.

    Barna i studien lrte bruke terninger til representere de strrelsene som inngikk i de opp-

    gavene de arbeidet med. Ved bruke terningene kunne de spille det som foregikk, og

    omtrent 75 % av barna klarte lse oppgaver som Tad hadde 15 guppier. Han puttet 3 guppieri hvert glass. Hvor mange glass puttet Tad guppiene oppi?. Som tidligere nevnt, var det toelever som lste ekorn-oppgaven ved bruke terninger til representere de nttene som skulle

    fordeles. Denne formen for representasjon avspeiler den konkrete problemsituasjonen, man

    bruker terninger eller lignende i stedet for de faktiske tingene i situasjonen. Som ved direkte

    modeller gjr konkrete modeller det enkelt for sm barn leve seg inn i situasjonen og dermed

    finne svar p oppgaver. En fordel med konkrete modeller framfor de virkelige objektene er

    naturligvis at terninger eller lignende er mer tilgjengelig. En ulempe er at ogs dette er en tung-

    vint mte finne svar p.

    En annen mte representere en mengde p er ved tegne de aktuelle tingene. I eksemplet her

    kan det gjres ved tegne tte epler. En mer abstrakt framstillingsmte er tegne ikoner. Et

    ikon er en svrt forenklet tegning av objektet. For eksempel kan man lage tellestreker, en strek

    for hvert objekt. tte epler kan p denne mten framstilles ved tte streker eller slik: |||| |||

    Det spise to epler kan illustreres p tegningen ved enten viske ut to streker, eller ved angi

    p en annen mte at de blir spist. Deretter kan man finne svaret ved telle de resterende. Det er

    mange fordeler med diagrammer og tegninger, og som tidligere nevnt er dette en av de mest

    nyttige strategiene for problemlsning i matematikk (Hembree, 1992). Grunnen til det er at ved

    representere en oppgave ved hjelp av et diagram eller en tegning, vil eleven kunne f en mye

    klarere oppfatning av problemstillingen, og han vil kunne f hjelp til selve utregningen av et

    svar. I tillegg er dette en strategi som ofte lar seg gjennomfre fordi man som regel har papir og

    blyant tilgjengelig. Det hjelper ogs at selv sm barn er vant til lage tegninger hvor selve

    tegn ingen representerer virkelige figurer eller objekter. Dette er illustrert ved ekornoppgaven

    hvor de aller fleste frsteklassingene klarte dele 14 ntter p 3 ekornunger ved bruke de 14

    nttene som alt var tegnet p det arket de fikk utlevert. Nr de etterp skulle finne svar p andre

    oppgaver, ble disse oppgavene i de aller fleste tilfellene ogs lst ved at elevene frst tegnet de

    nttene som skulle fordeles, og deretter hvordan selve fordelingen skulle foreg. P den mten

    29

  • fungerte tegningen som et hjelpemiddel til bde f klarhet i problemsituasjonen og til

    beregne en lsning. Svakheten ved slike tegninger er igjen at de ogs er noks tungvinte. Det

    gr atskillig raskere lse ekornoppgaven symbolsk: 14:3 = 4 og 2 til rest.

    Den mest abstrakte mten representere antall p, er ved bruke symboler. For eksempel

    bruker vi et bestemt tallsymbol for hvert antall. N brukes dette symbolet for tte: 8. Til andre

    tider og i andre kulturer har andre symboler blitt brukt. Romerne brukte VIII, Maya-indianerne

    ville ha skrevet:

    . Den fundamentale forskjellen mellom bruk av symboler og de vrige

    representasjonsformene er at symbolene (som oftest) ikke har noen mening i seg selv. Nr man

    ser 8 streker, kan man forst at det dreier seg om tte av et eller annet. Men symbolet 8 gir ikke

    umiddelbart en assosiasjon til det bestemt antallet. Alle er ndt til lre hvilken mening som

    tillegges slike symboler. Selv om det som regel er raskest regne med symbolsk representa-

    sjon, m man i undervisningen huske p at det er en omstendelig prosess bli fortrolig med nye

    symboler. Meningen med et symbol kan sjeldent avledes direkte fra selve symbolet, meningen

    m avledes fra hvordan symbolet blir brukt, fra de erfaringene man gjr ved bruk av symbolet.

    Ved forskjellige representasjoner er den matematiske ideen alts den samme, men den framstr

    p forskjellige uttrykksmter. Nr man skal representere et antall, er konkreter og tegninger/

    ikoner de mest intuitive mtene. Skal man uttrykke seg ved symboler, m man frst lre seg

    hvordan dette gjres. Men nr man frst har lrt bruke alle de forskjellige representasjons-

    formene, er den konkrete modelleringen den mest tungvinte, og bruk av symboler den letteste.

    Aller lettest er det bruke de matematiske symbolene de er laget nettopp for gjre beregn -

    inger lettest mulig. Derfor legges det i matematikkundervisningen stor vekt p at elevene skal

    lre bruke matematiske symboler. For kunne lse et problem ved hjelp av symboler og

    symbolmanipulasjon, m man bde ha godt innblikk i problemsituasjonen og ha god behersk-

    else av symbolene.

    Den tradisjonelle matematikken har i stor grad fokusert p oppving av elevenes evne til

    bruke de formelle matematiske symbolene. Dette ses blant annet ved det at elevene i frste

    klasse kun arbeider med tallene (tallsymbolene) opp til ti. Svrt mange 6-ringer er i stand til

    arbeide med atskillig strre tall, men dette vil ofte fordre at de uttrykker disse tallstrrelsene

    p andre mter enn ved de formelle symbolene. I kap. 6 blir det vist eksempler p elever i

    1. klasse (7 r gamle) som gjr beregninger med tall over 1000. Selv om det er viktig utvikle

    elevenes fortrolighet med de formelle symbolene, er det svrt gunstig for utvikle elevenes

    matematiske kompetanse at de fr anledning til arbeide med utfordrende problemstillinger

    med mer familire representasjonsformer. Det er tidligere vist i forbindelse med ekornopp -

    gaven at nr elever lrer uttrykke seg med tegninger og diagrammer, vil de vre i stand til

    lse kompliserte matematiske problemer. Dermed kan det legges opp til en atskillig mer

    utfordrende og spennende matematikkundervisning. Det forlsende er at elevene fr uttrykke

    seg p en mte som er naturlig for dem.

    30

  • DEL 2 GRUNNLEGGENDE BEGREPS -DANNING OG UNDERVISNINGS-AKTIVITETER

    I denne delen presenteres de ulike matematiske emnene som er mest aktuelle p smskole-

    trinnet. Emnene presenteres i hovedsak langs tre dimensjoner: som matematiske begreper, slik

    begrepene blir brukt i dagliglivet og slik begrepene oppfattes av elevene. Hele presentasjonen

    ledsages av praktiske undervisningsaktiviteter.

    6 TallI L97 framheves tall og tallregning som de viktigste emnene i matematikkfaget: Tallforstelse,behandling av tall og bruk av regneartene vektlegges og skal vre et fundament i arbeidet medfaget. Tallbegrepet er et komplekst begrep ved at det er sammensatt av mange ulike aspekter. Viskal i dette kapitlet se p noen av disse. Vi kommer tilbake til tallregning i neste kapittel selv

    om dette er to emner som er nrt knyttet til hverandre.

    Nr dannes tallbegrepet? Det er nok ikke mulig svare p et slikt sprsml. Den enkeltes tall-

    forstelse utvikles gjennom hele livet. For eksempel er det grunn til tro at ditt eget tallbegrep

    vil endres/utvides mens du leser dette kapitlet. En begynnende tallforstelse kan man spore hos

    svrt sm barn. Det er gjort underskelser med barn som kun er noen mneder gamle, hvor

    hvert barn fikk se et ark med to figurer av et eller annet slag. Dette syntes barna var interessant,

    noe som kom til uttrykk gjennom barnas bevegelser (yne, armer o.a.). S ble arket fjernet, og

    et annet med to andre figurer ble holdt fram. Slik forts