TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 - NTNU · 2013. 9. 16. · Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning skal vi se på følgende:

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

Forelesning 11

www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11

Transcendentale funksjoner

Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner.

I dagens forelesning skal vi se på følgende:

1 Inverse funksjoner.2 Eksponensialfunksjoner.3 Logaritmer.

www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11, side 2

Algebraiske og transcendentalefunksjoner

En algebraisk funksjon er en funksjon som består avrasjonale potenser av rasjonale funksjoner (kvotienter avpolynomier).En transcendental funksjon er en funksjon som ikke eralgebraisk.

De eneste transcendentale funksjoner vi har sett til nå ertrigonometriske funksjoner (cos x , sin x , tan x , cot x , sec x ogcsc x).Vi skal i dette temaet se på andre klasser av transcendentalefunksjoner.


Injektive funksjoner

Definisjon 1: Injektive funksjonerEn funksjon f er injektiv (eller en-til-en) dersom f (x1) 6= f (x2)for x1 6= x2.

Ekvivalent, er en funksjon f injektiv hvis (og bare hvis)

f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2for alle x1, x2 for hvilke f (x) er definert.En funksjon f er injektiv hvis og bare hvis en hver horisontallinje høyest skjærer grafen til f en gang.


Eksempel 1

La f (x) =√

x . Hvis f (x1) = f (x2), er

x1 = (√

x1)2 = (f (x1))2 = (f (x2))2

= (√

x2)2 = x2.

Altså er f injektiv.x

y


Eksempel 2

La g(x) = x2.Da er for eksempel g(−1) = g(1).Altså er g ikke injektiv.

x

y


Injektive funksjoner

En funksjone er injektiv hvis den er strengt voksendeeller avtagende.Så en funksjon f er injektiv hvis den er deriverbar ogf ′(x) > 0 for alle x eller f ′(x) < 0 for alle x .


Inverse funksjoner

Definisjon 2La f være en injektiv funksjon. Da er den inverse funksjon(eller omvendte funksjon) til f funksjonen f−1 definert ved atf−1(x) er det entydig bestemte tall y slik at f (y) = x .

Merk at f−1(x) bare er definert for de x for hvilke det finnesen y slik at f (y) = x .


Eksempel 3.1.2La g(x) =

√2x + 1. Merk at g(x)

bare er definert for x ≥ −1/2.For alle x > −1/2 erg′(x) = 1√2x+1 > 0. g er altså strengtvoksende og derfor injektiv. Så deninverse funksjonen g−1 eksisterer.La y = g−1(x). Da erx = g(y) =

√2y + 1. Det følger at

x ≥ 0 og at x2 = 2y + 1. Følgelig erg−1(x) = y = x

2−12 .

Vi har altså at g−1 er gitt ved at

g−1(x) =x2 − 1

2for x ≥ 0.

x

y

g

g−1


Egenskaper ved inverse funksjonerLa f være en injektiv funksjon og f−1 den inverse funksjonentil f .Da har vi at f−1(x) = y hvis og bare hvis f (y) = x . Det følgerat (x , y) ligger på grafen til f−1 hvis og bare hvis (y , x) liggerpå grafen til f . Grafen til f−1 er altså speilingen til grafen for f ilinjen y = x .Det følger også at f (f−1(x)) = x og at f (f−1(y)) = y .Hvis f−1(x1) = f−1(x2), så er

x1 = f (f−1(x1)) = f (f−1(x2)) = x2.

Dvs. at f−1 er injektiv, og f−1 har derfor en inverse. Vi har at(f−1)−1(x) = y hvis og bare hvis f−1(y) = x , dvs. hvis ogbare hvis f (x) = y . Dvs. (f−1)−1(x) = f (x) for alle de x forhvilke f (x) er definert.


Definisjonsmengden ogverdimengden til en funskjon

La f være en funksjon.Mengden av alle x for hvilke f (x) er definert kaller vi fordefinisjonsmengden til f og betegnes med D(f ).Mengden av alle verdier som f (x) har kaller viverdimengden til f og betegnes med V(f ).V(f ) = {f (x) | x ∈ D(f )}.Hvis f er injektiv er f−1(x) bare definert for de x for hvilkedet finnes en y slik at f (y) = x . Vi har altså atD(f−1) = V(f ).Omvendt har vi at f (y) er definert hvis og bare hvis detfinnes en x slik at f−1(x) = y . Dvs. D(f ) = V(f−1).


Egenskaper ved inverse funksjoner

La f være en injektiv funksjon og f−1 den inverse funksjonentil f . Da gjelder:

1 y = f−1(x) ⇐⇒ x = f (y).2 Definisjonsmengden til f−1 er lik verdimengden til f .3 Verdimengden til f−1 er lik definisjonsmengden til f .4 f−1(f (x)) = x for alle x i definisjonsmengden til f .5 f (f−1(x)) = x for alle x i definisjonsmengden til f−1.6 (f−1)−1(x) = f (x) for alle x i definisjonsmengden til f .7 Grafen til f−1 er speilingen til grafen for f i linjen y = x .


Selv-inverse funksjoner

Definisjon 3En funksjon f er selv-inverse hvis f−1 = f , dvs. f (f (x)) = x foralle x i definisjonsmengden til f .


Eksempel 3

La f (x) = xx−1 . Da er f (x) definert for alle x 6= 1, og

f (f (x)) =f (x)

f (x)− 1=

xx−1

xx−1 − 1

=x

x − (x − 1)=

x1= x

for alle x 6= 1.Altså er f selv-inverse.


Den deriverte til inverse funksjoner

Anta at f er deriverbar på intervallet (a,b) og at f ′(x) > 0 foralle x ∈ (a,b) eller at f ′(x) < 0 for alle x ∈ (a,b).Da er f enten strengt voksende eller strengt avtagende på(a,b), så f er injektiv på (a,b). Altså er den inversefunksjonen f−1 definert.En kan vise at f−1 er deriverbar. Da f (f−1(x)) = x for allex ∈ (a,b) følger det av kjerneregelen og implisitt derivasjonat

1 =ddx

x =ddx

f (f−1(x)) = f ′(f−1(x))ddx

f−1(x).


Den deriverte til inverse funksjoner

Altså erddx

f−1(x) =1

f ′(f−1(x)).

Hvis y = f−1(x) kan dette skrives som

dydx

∣∣∣x=

1dxdx

∣∣y=f−1(x)

.


Eksempel 4

La f (x) = x3 + x .Da er f ′(x) = 3x2 + 1 > 0 for alle x . Det følger at f er strengtvoksende og dermed injektiv, så den inverse funksjonen f−1

er definert.f−1(x) er deriverbar og

ddx

f−1(x) =1

f ′(f−1(x)).

Da f (1) = 2 er f−1(2) = 1, såddx

f−1(2) =1

f ′(f−1(2))=

13x2 + 1

∣∣∣∣x=1

=14.


Eksponentialfunksjon

La a > 0. Da er

a0 = 1,an = a · a · · · a︸︷︷︸

n faktorer

hvis n = 1,2,3, . . . ,

a−n = 1an hvis n = 1,2,3, . . . ,

am/n = n√

am hvis n = 1,2,3, . . . og m = ±1,±2,±3, . . . .

Vi skal senere se at vi utvide definisjonen av ax slik at ax bliren deriverbar funksjon definert for alle x slik at ax er somovenfor hvis x er et rasjonalt tall.


Regneregler foreksponentialfunksjoner

Anta at a > 0 og b > 0 og at x og y er reelle tall. Da gjelder:

1 a0 = 12 ax+y = axay

3 a−x = 1ax4 ax−y = a

x

ay

5 (ax)y = axy

6 (ab)x = axbx .


Egenskaper vedeksponentialfunksjoner

Hvis a > 1 er limx→−∞

ax = 0

og limx→∞

ax =∞.

Hvis a ∈ (0,1) erlim

x→−∞ax =∞ og

limx→∞

ax = 0.

x

y2x

(1/2)x


LogaritmerHvis a > 0 og a 6= 1 er funksjonen f (x) = ax injektiv og denhar dermed en inverse funksjon.

Definisjon 5La a > 0 og a 6= 1. Funksjonen loga x kalles logaritmen medgrunntall a og er den inverse funksjonen til funksjonen ax .

loga x er karakterisert ved at loga x = y ⇐⇒ ay = x .Da verdimengden til ax er (0,∞), er loga x definert foralle x > 0.Da definisjonsmengden til ax er (−∞,∞), erverdimengden til loga x (−∞,∞).aloga x = x for alle x > 0.loga(a

x) = x for alle x .


Egenskaper ved logaritmer

Hvis a > 1 erlim

x→0+loga x = −∞ og

limx→∞

loga x =∞.

Hvis a ∈ (0,1) erlim

x→0+loga x =∞ og

limx→∞

loga x = −∞. x

y

log2 x

log1/2 x


Regneregler for logaritmer

Anta at x > 0, y > 0, a > 0, a 6= 1, b > 0 og b 6= 1. Dagjelder:

1 loga 1 = 02 loga(xy) = loga x + loga y3 loga(1/x) = − loga x4 loga(x/y) = loga x − loga y5 loga(x

y) = y loga x6 loga x =

logb xlogb a

.


Eksempel 5La oss forenkle uttrykketlogπ(1− cos x) + logπ(1 + cos x)− 2 logπ(sin x).

logπ(1− cos x) + logπ(1 + cos x)− 2 logπ(sin x)

= logπ

((1− cos x)(1 + cos x)

sin2 x

)= logπ

(1− cos2 x

sin2 x

)= logπ

(sin2 xsin2 x

)= logπ(1) = 0.


Eksempel 6

La oss løse likningen 2 log3 x + log9 x = 10.

2 log3 x + log9 x = 10

⇐⇒ 2 log3 x +log3 xlog3 9

= 10

⇐⇒ 2 log3 x +log3 x

2= 10

⇐⇒ log3 x5/2 = 10⇐⇒ x5/2 = 310

⇐⇒ x = (310)2/5 = 320/5 = 34 = 81.


Documents

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 - NTNU · 2013. 9. 16. · Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning skal vi se på følgende: