Potensrekker
Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Hans Jakob Rivertz
Institutt for matematiske fag
11. november 2011
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
Kapittel 8.8.
Taylorrekker og Maclaurinrekker
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
3
Taylor-polynomer
Definisjon (Taylorpolynomet av grad n generert av f (x))
La f (x) ha deriverte av minst orden n i et intervall som inneholder
x = a.
Taylorpolynomet til f (x) av orden n er
n
∑
k=0
f (k)(a)
k!
(x − a)k
= f (a) + f ′(a)(x − a) + f
′′(a)
2!
(x − a)2 + · · · + f
(n)(a)
n!
(x − a)n
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−1
1 2 3 4 5 6 7
sin x ≈
= P(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−1
1 2 3 4 5 6 7
P1
sin x ≈ x
= P1(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−1
1 2 3 4 5 6 7
P1
P3
sin x ≈ x− 13!x
3
= P3(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−1
1 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
sin x ≈ x− 13!x
3+ 15!x
5
= P5(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−1
1 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
sin x ≈ x− 13!x
3+ 15!x
5− 17!x
7
= P7(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−1
1 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
P9
sin x ≈ x− 13!x
3+ 15!x
5− 17!x
7+ 19!x
9
= P9(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−1
1 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
P9
P11
sin x ≈ x− 13!x
3+ 15!x
5− 17!x
7+ 19!x
9− 111!x
11
= P11(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−1
1 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
P9
P11
P13
sin x ≈ x− 13!x
3+ 15!x
5− 17!x
7+ 19!x
9− 111!x
11+ 113!x
13
= P13(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−1
1 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
P9
P11
P13
P15
sin x ≈ x− 13!x
3+ 15!x
5− 17!x
7+ 19!x
9− 111!x
11+ 113!x
13− 115!x
15
= P15(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
4
Taylorpolynomer av sin x om x = 0
1
−1
1 2 3 4 5 6 7
P1
P3
P5
P7
P9
P11
P13
P15
P17
sin x ≈ x− 13!x
3+ 15!x
5− 17!x
7+ 19!x
9− 111!x
11+ 113!x
13− 115!x
15+ 117!x
17
= P17(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
5
En tankevekker-rekke
Taylorrekken til
f (x) =
{
0 x = 0
e−|1/x| x 6= 0
1
1 2 3 4−1−2−3−4
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
5
En tankevekker-rekke
Taylorrekken til
f (x) =
{
0 x = 0
e−|1/x| x 6= 0
1
1 2 3 4−1−2−3−4
= 0
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
Kapittel 8.9.
Konvergens av Taylorrekker
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
7
Taylors teorem (Teori)
Teorem (Taylors teorem)
1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n+1) er
kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
7
Taylors teorem (Teori)
Teorem (Taylors teorem)
1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n+1) er
kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.
2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
7
Taylors teorem (Teori)
Teorem (Taylors teorem)
1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n+1) er
kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.
2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at
f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) + f
′′(a)
2!
(b − a)2 + · · ·
· · · + f
(n)(a)
n!
(b − a)n + f
(n+1)(c)
(n + 1)!
(b − a)n+1
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
8
Spesialtilfelle
Teorem (Mellomverdisatsen)
1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f ′ er kontinuerlige
på et lukket intervall mellom a og b.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
8
Spesialtilfelle
Teorem (Mellomverdisatsen)
1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f ′ er kontinuerlige
på et lukket intervall mellom a og b.
2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
8
Spesialtilfelle
Teorem (Mellomverdisatsen)
1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f ′ er kontinuerlige
på et lukket intervall mellom a og b.
2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at
f (b) = f (a) + f ′(c)(b − a)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
9
Taylors teorem (og praksis)
Teorem (Taylors teorem)
1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som
inneholder a
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
9
Taylors teorem (og praksis)
Teorem (Taylors teorem)
1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som
inneholder a
2 Da gjelder at f (x) = Pn(x) + Rn(x).
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
9
Taylors teorem (og praksis)
Teorem (Taylors teorem)
1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som
inneholder a
2 Da gjelder at f (x) = Pn(x) + Rn(x).
Pn(x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved
Rn(x) =
f (n+1)(c)
(n + 1)!
(x − a)n+1
der c ligger mellom a og x.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
9
Taylors teorem (og praksis)
Teorem (Taylors teorem)
1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som
inneholder a
2 Da gjelder at f (x) = Pn(x) + Rn(x).
Pn(x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved
Rn(x) =
f (n+1)(c)
(n + 1)!
(x − a)n+1
der c ligger mellom a og x.
f (x) = f (a) + f ′(a)(a − b) + f
′′(a)
2!
(a − b)2 + · · · + f
(n)(a)
n!
(a − b)n + Rn(x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
10
Et eksempel
e = e1 = 1 + 1 + 12! + · · · + 1n! + Rn(1)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
10
Et eksempel
e = e1 = 1 + 1 + 12! + · · · + 1n! + Rn(1)
Rn(1) <
e
(n + 1)!
(<
1
n!
som oftest:)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
10
Et eksempel
e = e1 = 1 + 1 + 12! + · · · + 1n! + Rn(1)
Rn(1) <
e
(n + 1)!
(<
1
n!
som oftest:)
Matematisk nøtt: Kan e skrives som en brøk?
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
11
Estimering av restleddet
Teorem (Restledds-estimerings teoremet)
M positiv konstant.
∣
∣f (n+1)(t)
∣
∣ ≤ M for alle t mellom a og x
da tilfredstiller restleddet ulikheten
|Rn(x)| ≤ M
|x − a|n+1
(n + 1)!
Anvendelser:
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
11
Estimering av restleddet
Teorem (Restledds-estimerings teoremet)
M positiv konstant.
∣
∣f (n+1)(t)
∣
∣ ≤ M for alle t mellom a og x
da tilfredstiller restleddet ulikheten
|Rn(x)| ≤ M
|x − a|n+1
(n + 1)!
Anvendelser:
Taylor rekken for ex konvergerer mot ex for alle reelle tall x .
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
11
Estimering av restleddet
Teorem (Restledds-estimerings teoremet)
M positiv konstant.
∣
∣f (n+1)(t)
∣
∣ ≤ M for alle t mellom a og x
da tilfredstiller restleddet ulikheten
|Rn(x)| ≤ M
|x − a|n+1
(n + 1)!
Anvendelser:
Taylor rekken for ex konvergerer mot ex for alle reelle tall x .
Taylor rekken for cos x konvergerer mot cos x for alle reelle tall x .
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker
11
Estimering av restleddet
Teorem (Restledds-estimerings teoremet)
M positiv konstant.
∣
∣f (n+1)(t)
∣
∣ ≤ M for alle t mellom a og x
da tilfredstiller restleddet ulikheten
|Rn(x)| ≤ M
|x − a|n+1
(n + 1)!
Anvendelser:
