Click here to load reader

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 · PDF file 2011. 11. 10. · Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 · PDF file 2011. 11. 10. ·...

  • Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

    Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag

    11. november 2011

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 3

    Taylor-polynomer

    Definisjon (Taylorpolynomet av grad n generert av f (x))

    La f (x) ha deriverte av minst orden n i et intervall som inneholder x = a. Taylorpolynomet til f (x) av orden n er

    n ∑

    k=0

    f (k)(a) k!

    (x − a)k

    = f (a) + f ′(a)(x − a) + f ′′(a) 2!

    (x − a)2 + · · · + f (n)(a) n!

    (x − a)n

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 4

    Taylorpolynomer av sin x om x = 0

    1

    −1 1 2 3 4 5 6 7

    sin x ≈

    = P(x)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 4

    Taylorpolynomer av sin x om x = 0

    1

    −1 1 2 3 4 5 6 7

    P1

    sin x ≈ x

    = P1(x)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 4

    Taylorpolynomer av sin x om x = 0

    1

    −1 1 2 3 4 5 6 7

    P1

    P3

    sin x ≈ x− 13!x 3

    = P3(x)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 4

    Taylorpolynomer av sin x om x = 0

    1

    −1 1 2 3 4 5 6 7

    P1

    P3

    P5

    sin x ≈ x− 13!x 3+ 15!x

    5

    = P5(x)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 4

    Taylorpolynomer av sin x om x = 0

    1

    −1 1 2 3 4 5 6 7

    P1

    P3

    P5

    P7

    sin x ≈ x− 13!x 3+ 15!x

    5− 17!x 7

    = P7(x)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 4

    Taylorpolynomer av sin x om x = 0

    1

    −1 1 2 3 4 5 6 7

    P1

    P3

    P5

    P7

    P9

    sin x ≈ x− 13!x 3+ 15!x

    5− 17!x 7+ 19!x

    9

    = P9(x)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 4

    Taylorpolynomer av sin x om x = 0

    1

    −1 1 2 3 4 5 6 7

    P1

    P3

    P5

    P7

    P9

    P11

    sin x ≈ x− 13!x 3+ 15!x

    5− 17!x 7+ 19!x

    9− 111!x 11

    = P11(x)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 4

    Taylorpolynomer av sin x om x = 0

    1

    −1 1 2 3 4 5 6 7

    P1

    P3

    P5

    P7

    P9

    P11

    P13

    sin x ≈ x− 13!x 3+ 15!x

    5− 17!x 7+ 19!x

    9− 111!x 11+ 113!x

    13

    = P13(x)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 4

    Taylorpolynomer av sin x om x = 0

    1

    −1 1 2 3 4 5 6 7

    P1

    P3

    P5

    P7

    P9

    P11

    P13

    P15

    sin x ≈ x− 13!x 3+ 15!x

    5− 17!x 7+ 19!x

    9− 111!x 11+ 113!x

    13− 115!x 15

    = P15(x)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 4

    Taylorpolynomer av sin x om x = 0

    1

    −1 1 2 3 4 5 6 7

    P1

    P3

    P5

    P7

    P9

    P11

    P13

    P15

    P17

    sin x ≈ x− 13!x 3+ 15!x

    5− 17!x 7+ 19!x

    9− 111!x 11+ 113!x

    13− 115!x 15+ 117!x

    17

    = P17(x)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 5

    En tankevekker-rekke

    Taylorrekken til

    f (x) =

    {

    0 x = 0

    e−|1/x| x 6= 0

    1

    1 2 3 4−1−2−3−4

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 5

    En tankevekker-rekke

    Taylorrekken til

    f (x) =

    {

    0 x = 0

    e−|1/x| x 6= 0

    1

    1 2 3 4−1−2−3−4 = 0

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 7

    Taylors teorem (Teori)

    Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n+1) er

    kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 7

    Taylors teorem (Teori)

    Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n+1) er

    kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 7

    Taylors teorem (Teori)

    Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n+1) er

    kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at

    f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) + f ′′(a) 2!

    (b − a)2 + · · ·

    · · · + f (n)(a) n!

    (b − a)n + f (n+1)(c) (n + 1)!

    (b − a)n+1

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 8

    Spesialtilfelle

    Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f ′ er kontinuerlige

    på et lukket intervall mellom a og b.

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 8

    Spesialtilfelle

    Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f ′ er kontinuerlige

    på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 8

    Spesialtilfelle

    Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f ′ er kontinuerlige

    på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at

    f (b) = f (a) + f ′(c)(b − a)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 9

    Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem)

    1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 9

    Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem)

    1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a

    2 Da gjelder at f (x) = Pn(x) + Rn(x).

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 9

    Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem)

    1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a

    2 Da gjelder at f (x) = Pn(x) + Rn(x).

    Pn(x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved

    Rn(x) = f (n+1)(c) (n + 1)!

    (x − a)n+1

    der c ligger mellom a og x.

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 9

    Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem)

    1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a

    2 Da gjelder at f (x) = Pn(x) + Rn(x).

    Pn(x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved

    Rn(x) = f (n+1)(c) (n + 1)!

    (x − a)n+1

    der c ligger mellom a og x.

    f (x) = f (a) + f ′(a)(a − b) + f ′′(a) 2!

    (a − b)2 + · · · + f (n)(a) n!

    (a − b)n + Rn(x)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 10

    Et eksempel

    e = e1 = 1 + 1 + 12! + · · · + 1n! + Rn(1)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 10

    Et eksempel

    e = e1 = 1 + 1 + 12! + · · · + 1n! + Rn(1)

    Rn(1) < e

    (n + 1)! (<

    1 n!

    som oftest:)

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 10

    Et eksempel

    e = e1 = 1 + 1 + 12! + · · · + 1n! + Rn(1)

    Rn(1) < e

    (n + 1)! (<

    1 n!

    som oftest:)

    Matematisk nøtt: Kan e skrives som en brøk?

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 11

    Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet)

    M positiv konstant. ∣

    ∣f (n+1)(t) ∣

    ∣ ≤ M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten

    |Rn(x)| ≤ M |x − a|n+1 (n + 1)!

    Anvendelser:

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 11

    Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet)

    M positiv konstant. ∣

    ∣f (n+1)(t) ∣

    ∣ ≤ M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten

    |Rn(x)| ≤ M |x − a|n+1 (n + 1)!

    Anvendelser:

    Taylor rekken for ex konvergerer mot ex for alle reelle tall x .

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 11

    Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet)

    M positiv konstant. ∣

    ∣f (n+1)(t) ∣

    ∣ ≤ M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten

    |Rn(x)| ≤ M |x − a|n+1 (n + 1)!

    Anvendelser:

    Taylor rekken for ex konvergerer mot ex for alle reelle tall x .

    Taylor rekken for cos x konvergerer mot cos x for alle reelle tall x .

    www.ntnu.no H.J. Rivertz, Potensrekker

  • 11

    Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet)

    M positiv konstant. ∣

    ∣f (n+1)(t) ∣

    ∣ ≤ M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten

    |Rn(x)| ≤ M |x − a|n+1 (n + 1)!

    Anvendelser:

Search related