Areal mellom kurver -- Volum Forelesning i Matematikk 1 ... · Areal mellom kurver – Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27

Areal mellom kurver – VolumForelesning i Matematikk 1 TMA4100

Hans Jakob RivertzInstitutt for matematiske fag

27. september 2011

www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum

Kapittel 5.6.Substitusjon og arealet mellom

kurver


3

Areal mellom kurver

ProblemVi vil finne arealet av et områdemellom to grafer

y = f (x) og y = g(x)

på intervallet

a ≤ x ≤ b

y = g(x)

y = f (x)

x=

a

x=

by

x


4

Areal mellom kurver

y = g(x)

y = f (x)

x=

a

x=

by

x


4

Areal mellom kurver

y = g(x)

y = f (x)

x=

a

x=

by

x


4

Areal mellom kurver

y = g(x)

y = f (x)

x=

a

x=

by

x


4

Areal mellom kurver

x∗

k

y = g(x)

y = f (x)

x=

a

x=

by

x


4

Areal mellom kurver

x∗

k

g(x∗

k ) − f (x∗

k )

∆xy = g(x)

y = f (x)

x=

a

x=

by

x


4

Areal mellom kurver

x∗

k

g(x∗

k ) − f (x∗

k )

∆xy = g(x)

y = f (x)

x=

a

x=

by

x

Det typiske elementet har areal ∆Ak = [g(x∗

k ) − f (x∗

k )]∆x


4

Areal mellom kurver

x∗

k

g(x∗

k ) − f (x∗

k )

∆xy = g(x)

y = f (x)

x=

a

x=

by

x


k ) − f (x∗

k )]∆x

Samlet areal: A =

n∑

k=1

[g(x∗

k ) − f (x∗

k )]∆x


4

Areal mellom kurver

x∗

k

g(x∗

k ) − f (x∗

k )

∆xy = g(x)

y = f (x)

x=

a

x=

by

x


k ) − f (x∗

k )]∆x

Samlet areal: A =

n∑

k=1

[g(x∗

k ) − f (x∗

k )]∆x Areal som integral

A =

∫ b

a[g(x) − f (x)] dx


5

Eksempel, Areal mellom kurver

Eksempel

Finn arealet mellom y = 1 + x/2og y = 1/x på intervallet [1, 2]. y = g(x)

y = f (x)

x=

1

x=

3

y

x


5

Eksempel, Areal mellom kurver

Eksempel

Finn arealet mellom y = 1 + x/2og y = 1/x på intervallet [1, 2].Løsning:

A =

∫ 3

1

[

(1 + x/2) − 1/x]

dx

= 4 − ln 3 ≈ 2.9014.

y = g(x)

y = f (x)

x=

1

x=

3

y

x


6

Integrasjon med ySetning

Arealet av et område mellom gra-fene x = f (y) og x = g(y) på in-tervallet c ≤ y ≤ d er

∫ d

c[g(y) − f (y)] dy

x = f (y) x = gx = f (y) x = gx = f (y) x = gx = f (y) x = g

g(y∗

k ) − g(y∗

k )

∆y

x = f (y) x = g(y)

y = c

y = dy

x


7

Eksempel: Integrasjon med y

EksempelFinn arealet av området be-grenset av

x = y2− 4y

ogx = 2y − y2.


7



x = y2− 4y

ogx = 2y − y2.

y = 2x − x2

y = x2 − 4x

(−3, 3) y

x


7



x = y2− 4y

ogx = 2y − y2.

y = 2x − x2

y = x2 − 4x

(−3, 3) y

x


Kapittel 5.7.Logaritmen definert som et integral


9

Logaritmen definert ved integral

Definisjon (Naturlig logaritme, alternativ definisjon)Den naturlige logaritmen er definert ved hjelp avintegral-funksjonen:

ln x =

∫ x

1

1t

dt , x > 0

Setning (Den deriverte av ln x)

ddx

ln x =1x


10

Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x

Problem (Vise ln ax = ln a + ln x)

ln ax


10



ln ax =

∫ ax

1

1t

dt


10



ln ax =

∫ ax

1

1t

dt =

∫ a

1

1t

dt +

∫ ax

a

1t

dt


10



ln ax =

∫ ax

1

1t

dt =

∫ a

1

1t

dt +

∫ ax

a

1t

dt = ln a +

∫ ax

a

1t

dt


10



ln ax =

∫ ax

1

1t

dt =

∫ a

1

1t

dt +

∫ ax

a

1t

dt = ln a +

∫ ax

a

1t

dt

Gjenstår å vise∫ ax

a1t dt = ln x


10



ln ax =

∫ ax

1

1t

dt =

∫ a

1

1t

dt +

∫ ax

a

1t

dt = ln a +

∫ ax

a

1t

dt


a1t dt = ln x

Substituerer u = g(t) = t/a, t = a u, dt = a du


10



ln ax =

∫ ax

1

1t

dt =

∫ a

1

1t

dt +

∫ ax

a

1t

dt = ln a +

∫ ax

a

1t

dt


a1t dt = ln x


∫ ax

a

1t

dt


10



ln ax =

∫ ax

1

1t

dt =

∫ a

1

1t

dt +

∫ ax

a

1t

dt = ln a +

∫ ax

a

1t

dt


a1t dt = ln x


∫ ax

a

1t

dt =

∫ g(ax)

g(a)

1a u

a du


10



ln ax =

∫ ax

1

1t

dt =

∫ a

1

1t

dt +

∫ ax

a

1t

dt = ln a +

∫ ax

a

1t

dt


a1t dt = ln x


∫ ax

a

1t

dt =

∫ g(ax)

g(a)

1a u

a du =

∫ x

1

1u

du = ln x


11

Eksponentialfunksjonen ex definert somden inverse til ln x

Definisjon (Eksponensialfunksjonen)Eksponensialfunksjonen er implisitt gitt ved

x =

∫ ex

1

1t

dt

Setning (Den deriverte av ex )

ddx

ex = ex


Kapittel 6.1.Volum ved skivemetoden og

rotasjon om en akse


13

Rotasjonslegeme

1 Tegner området

x

y

y = f (x)


13

Rotasjonslegeme

1 Tegner området

x

y

y = f (x)


13

Rotasjonslegeme

1 Tegner området

x

y

y = f (x)


13

Rotasjonslegeme

1 Tegner området2 Tegner inn typisk

element

x

y

y = f (x)y = f (x)


13

Rotasjonslegeme


element3 Med målene ∆x og

radius. Finner ∆Vk

x

y

y = f (x)y = f (x)

x∗

kx∗

k

radius

radius

radius

∆x∆x∆x∆x∆x

∆Vk = π ·[

f (x∗

k )]2

· ∆x


13

Rotasjonslegeme


element3 Med målene ∆x og

radius. Finner ∆Vk

4 Summerer ∆Vk −→

π∫ b

a [f (x)]2 dx

x

y

y = f (x)y = f (x)y = f (x)

x∗

kx∗

k

radius

radius

radius

∆x∆x∆x∆x∆x

∆Vk = π ·[

f (x∗

k )]2

· ∆xVolumet av omdreiningslegemet

V =

∫ b

aA(x) dx =

∫ b

aπ · radius(x)2 dx =

∫ b

aπ ·

[

f (x)]2 dx


14

Skivemetoden

x

y

a

b


14

Skivemetoden

x

y

A(x)

A(x)

A(x)

A(x)

A(x)

a

b


14

Skivemetoden

x

y

A(x)

A(x)

A(x)

A(x)

A(x)

a

b

Volumet av legemet i figuren

V =

∫ b

aA(x) dx


15

Washer-metodenMed washer metoden finner vi volumet til et legeme nårsnittarealene er en skive med hull.

1

2

1 2 3

y = R(x) = 2 − x2

y = r(x) = x2+12


Kapittel 6.2.Volum ved sylindriske skall


17

Skall-metoden

1

2

1

2

3

−1

−2

1

2

12

3

−1

−2

z = g(x)

z = f (x)


17

Skall-metoden

1

2

1

2

3

−1

−2

1

2

12

3

−1

−2

z = g(x)

z = f (x)


17

Skall-metoden

1

2

1

2

3

−1

−2

1

2

12

3

−1

−2

∆xRadius = x

Høy

de

z = g(x)

z = f (x)


17

Skall-metoden

Volumet av“tønnebåndet” eromkrets · høyde · bredde

∆Vk = 2π · radius ·høyde ·∆x

1

2

1

2

3

−1

−2

1

2

12

3

−1

−2

∆xRadius = x

Høy

de

z = g(x)

z = f (x)


18

Formel for skallmetoden og eksempelVolumet til et legeme som dreies om linjen x = L er

V = 2π

∫ b

a(x − L) · Skallhøyde(x) dx

f (x) = x2− 6x + 9

g(x) = −x2 + 6x − 7

R(x) = x − 1www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum

18


V = 2π

∫ b


f (x) = x2− 6x + 9

g(x) = −x2 + 6x − 7


18


V = 2π

∫ b


f (x) = x2− 6x + 9

g(x) = −x2 + 6x − 7


18


V = 2π

∫ b


f (x) = x2− 6x + 9

g(x) = −x2 + 6x − 7


19

Volum-eksempelOmråde mellom f (x) = x2 − 6x + 9 og g(x) = −x2 + 6x − 7Rotasjon om x = 1Finn volumet


19


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse?3 Grenser?4 Radius?5 Høyde?6 Skall volum?

V?


19


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grenser?4 Radius?5 Høyde?6 Skall volum?

V?


19


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius?5 Høyde?6 Skall volum?

V?


19


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius = x − 15 Høyde?6 Skall volum?

V?


19


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius = x − 15 Høyde = −2x2 + 12x − 166 Skall volum?

V?


19


1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius = x − 15 Høyde = −2x2 + 12x − 166 Skall volumet er ∆V = 2π · (x − 1) · (−2x2 + 12x − 16) · ∆x

V?


19



V =

∫ 4

22π · (−2x3 + 14x2

− 28x + 16) dx


19



V =

∫ 4

22π · (−2x3 + 14x2

− 28x + 16) dx =32π

3


Documents

Areal mellom kurver -- Volum Forelesning i Matematikk 1 ... · Areal mellom kurver – Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27