Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 ... · Areal - difﬂikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag

Areal - difflikninger - arbeidForelesning i Matematikk 1 TMA4100

Hans Jakob RivertzInstitutt for matematiske fag

7. oktober 2011

www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal - difflikninger - arbeid

Kapittel 6.4.Areal til omdreiningslegemer


3

Overflate-areal av en rotasjonsflateEksempel

1

2

3

−1

−2

12

3

−1

Finn arealet til flate som frem-kommer ved å roterey = 2

√x , 1 ≤ x ≤ 2

om x-aksen.


3


1

2

3

−1

−2

12

3

−1


√x , 1 ≤ x ≤ 2

om x-aksen.


3


1

2

−1

−2

−3

1

2

−1

−2

−3

1

2

3

−1

−2

12

3

−1 2√

x∗ k

x ∗k


√x , 1 ≤ x ≤ 2

om x-aksen.


3


1

2

−1

−2

−3

1

2

−1

−2

−3

1

2

3

−1

−2

12

3

−1 2√

x∗ k

x ∗k

∆sFinn arealet til flate som frem-kommer ved å roterey = 2

√x , 1 ≤ x ≤ 2

om x-aksen.Arealet til typisk bånd (gult) er∆A = 2π · 2

√

x∗

k · ∆s

Der ∆s =√

1 + 1x∗

k· ∆x


3


1

2

−1

−2

−3

1

2

−1

−2

−3

1

2

3

−1

−2

12

3

−1 2√

x∗ k

x ∗k

∆sFinn arealet til flate som frem-kommer ved å roterey = 2

√x , 1 ≤ x ≤ 2

om x-aksen.Arealet til typisk bånd (gult) er∆A = 2π · 2

√

x∗

k · ∆s

Der ∆s =√

1 + 1x∗

k· ∆x

Areal: S =∫ 2

1 4π√

x + 1 dx ≈19,8358


4

Overflate-areal av en rotasjonsflate

Definisjon (Overflateareal ved rotasjon om x aksen)La f (x) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved årotere grafen y = f (x), x ∈ [a, b] om x-aksen er

S =

∫ b

a2πy

√

1 + [f ′(x)]2 dx =

∫ b

a2πf (x)

√

1 + [f ′(x)]2 dx


5

Overflate-areal av en rotasjonsflateDefinisjon (Overflateareal ved rotasjon om y aksen)La g(y) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved årotere grafen x = g(y), y ∈ [a, b] om y-aksen er

S =

∫ b

a2πx

√

1 + [g′(y)]2 dy =

∫ b

a2πg(y)

√

1 + [g′(y)]2 dy

∆s

x =g(y)

xOmkrets er 2π x Arealet er 2π x ∆s


6

Overflate-areal av en rotasjonsflateDefinisjon (Overflateareal ved rotasjon om y aksen)La g(y) være kontinuerlig på [a, b]. Arealet av flaten generert ved årotere grafen y = f (x), x ∈ [a, b] om y-aksen er

S =

∫ b

a2πx

√

1 + [f ′(x)]2 dx

∆s

y =f (x

)

xOmkrets er 2π x Arealet er 2π x ∆s


Kapittel 6.5.Eksponensiell endring og

separable differensiallikninger


8

Separable differensiallikningerDefinisjon

Generell differensiallikningdydx

= f (x , y)

DefinisjonSeparabel differensiallikning kan skrives på formen

h(y) dy = g(x) dx (1)

Definisjon (Separering)

Separering = å omforme en differensiallikning til formen (1)


9

Separable differensiallikninger eksempel

EksempelLøs den separable difflikningen

dydx

= y2 · sin x


9

Separable differensiallikninger eksempel

EksempelLøs den separable difflikningen

dydx

= y2 · sin x

Løsning:

y(x) =1

cos x − c


10

Eksponensiell endringDefinisjon (Eksponentiell endring)

En størrelse y(t) endrer seg eksponensielt hvis

y ′(t) = k y

Konstanten k kalles for endringsrate konstanten.

k > 0: Eksponentiell vekst, økning.k < 0: Eksponentiell nedgang, reduksjon, fall.

Definisjon (Startverdi-betingelse)

Betingelsen y = y0 når y = 0 kalles for en initalverdibetingelse.


11

Eksempel: RadioaktivitetRadioaktivt forfall.

N = antall atomer


11


N = antall atomerAntall henfall i per tidsenhet er proposjonalt med antall atomer

dNdt

= −k · N


11



dNdt

= −k · N

N(t) = N0 · e−k t


11



dNdt

= −k · N

N(t) = N0 · e−k t

Halveringstid N(t + Thalf ) = 12N(t).


11



dNdt

= −k · N

N(t) = N0 · e−k t

Halveringstid N(t + Thalf ) = 12N(t).

Formel for halveringstid:

Thalf =ln(2)

k


12

Newtons avkjølingslov

Temperaturøkningen til et legeme er proposjonalt medtemeraturdifferansen.

dTdt

= −k(T − Tomgivelser )


Kapittel 6.6.Arbeid


14

Arbeid definisjon

Definisjon (Arbeid ved konstant kraft)

Arbeid = Kraft · Vei

W = F · s

Måleenheter er ofte

Kraft måles i Newton. Eksempel F = 30,0 N.


14

Arbeid definisjon



W = F · s



Vei måles i meter. Eksempel s = 2,0 m.


14

Arbeid definisjon



W = F · s



Vei måles i meter. Eksempel s = 2,0 m.

Arbeid angis i joule = Newtonmeter. EksempelW = F · s = 60,0 Nm = 60,0 J.


15

Hookes lov for fjærerKraften for å strekke eller presse en fjær er proposjonal med hvormye vi strekker eller presser.

F = k · x

Konstanten k kalles for fjærkonstanten.

x

F

x


15


F = k · x


x

F

x


15


F = k · x


x

F

x


16

Eksempel Hookes lov

EksempelEn fjær har fjærkonstanten k = 2,0 N/cm, og er presset 1,0 cmsammen.

Hvor mye arbeid trengs for å presse den ytterligere sammen1cm

2 cm

F

F

x

W =

∫ b

aF (x) dx


17

Arbeid ved variabel kraftSituasjon:

Kraften varierer med posisjonen F = F (x).


17


Kraften varierer med posisjonen F = F (x).Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = b


17


Kraften varierer med posisjonen F = F (x).Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = bIdéen: Del opp strekningen i n små intervaller med lengde

∆x =b − a

n.


17



∆x =b − a

n.Arbeidet i et lite intervall ∆Wk = F (x∗

k ) · ∆x


17



∆x =b − a


k ) · ∆x

Samlet arbeid: W =

n∑

k=1

Wk =

n∑

k=1

F (x∗

k ) · ∆x


17



∆x =b − a


k ) · ∆x

Samlet arbeid: W =

n∑

k=1

Wk =

n∑

k=1

F (x∗

k ) · ∆x

Skriver som integral W =

∫ b

aF (x)dx


18

Arbeid mange masser og varierendestrekning

10 m10 m

hm5m

A(h)

Problem

Vi vil fylle opp en tank medvann. Tanken er 5 m høy

og er formet som enpyramide opp ned

med kvadratisk toppflatemed sider lik 10,0 m

Hva blir arbeidet hvis altskal fra grunn-nivå(spissen av pyramiden)?


Documents

Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 ... · Areal - difﬂikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag