Formelsamling for Matematikk IVEspen Løkseth

31. mars 2011

Sist kompilert 31.03.2011 kl. 22.16 ³P10

Innhold

Om dette dokumentet 3

1 Laplace-transformasjoner 41.1 Vanlige laplace-transformasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Heavisides enhetssprangfunksjon og tidsforskyvning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Fullstendig kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Litt Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Konvulsjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Eksempeloppgave, eksamen 12.02.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Fourier-rekker 72.1 Symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Funksjoner definert på [−L,L〉 eller 〈−L,L] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Funksjoner definert på [0, T 〉 = [0, 2L〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Halvperiodiske utvidelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.1 Likesymmetrisk - fouriercosinusrekke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.2 Oddesymmetrisk - fouriersinusrekke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Fourierrekker på kompleks form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Fouriertransform og -integral 103.1 Like og odde funksjoner generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Likesymmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Oddesymmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Konvolusjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 Diverse regler og sammenhenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Ordinære differensialligninger - løsningsmetoder 124.1 Karakteristisk likning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Integrerende faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Partielle difflikninger 145.1 Klassifisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Bølgelikningen og d’Alemerts løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 Separasjon av variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 Varmeledningslikningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.5 Fouriertransformasjon av partielle differensiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.6 Laplacetransformasjon av partielle differensiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Maple-koder/algoritmer 206.1 Difflikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2 Funksjoner definert på [−L,L〉 eller 〈−L,L] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

Om dette dokumentet

Mesteparten av dette dokumentet er basert på «Forelesningsnotater i matematikk 4 vårsemesteret 2011»av Kai F. Kristensens ved Høgskolen i Telemark. Noe er også hentet fra «Advanced Engineering Mathe-matics 9th ed.» av Erwin Kreyszig.

Ved maskinelle beregninger er CAS-programmet1 «Maple» benyttet. Mange av Maple-kommandoeneforutsetter at Maple-supplementet for Mathema-bøkene er installert. Supplementet kan hentes her:http://butikk.tapirforlag.no/no/node/1056.

Det er laget en ultimat mal for fourier-rekker i Maple. Denne kan lastes ned her:http://home.hit.no/∼080595/fouriermal.mw.

Espen Løkseth 2010–2011© LA7XNA

espen@frenabb.no

1Computer Algebra System, det vil si et symbolregnende matematikkprogram.

3

1 Laplace-transformasjoner

Definisjonen av laplacetransformen er

L{f(t)} = F (s) =

∫ ∞0

f(t)e−st dt

1.1 Vanlige laplace-transformasjoner

Vanlige transformasjoner er listet opp i tabellen under.

Spesielle transformasjoner

Tidsrom Laplacetransform Tidsrom Laplacetransform

kk

scosαt

s

s2 + α2

t1

s2sinαt

α

s2 + α2

tnn!

sn+1eat cosαt

s− a(s− a)2 + α2

eat1

s− aeat sinαt

α

(s− a)2 + α2

tneatn!

(s− a)n+1 δ(t) 1

u(t− a) 1

se−as δ(t− a) e−as

Generelle transformasjoner

Tidsrom Laplacetransform Tidsrom Laplacetransform

f ′(t) sF (s)− f(0) f ′′(t) s2F (s)− sf(0)− f ′(0)

f (n)(t) snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − f (n−1)(0)

f(t− a)u(t− a) F (s)e−as∫ t

0f(u) du

1

sF (s)

f(t)eat F (s− a) tf(t) − d

dsF (s)

f(t)

t

∫ ∞s

F (z) dz tnf(t) (−1)n dn

dsnF (s)∫ t

0y(u) · z(t− u) du Y (s)Z(s)

4

1.2 Heavisides enhetssprangfunksjon og tidsforskyvning

Enhetssparangfunksjonen u(t− a) er definert som

u(t− a) = H(t− a) ={

0, t < a1, t ≥ a

Figur 1-1: Grafen til funksjonen f(t) = u(t) · (1− u(t− 2)).

Dersom vi har en funksjon f(t) definert vha. delt forskrift, kan denne gjøres om til en funksjon som bestårav enhetssprangfunksjoner som «slår av og på» de ulike delene av funksjonen. I Maple kan funksjonenkonverteres begge veier.

Maple:f:=t->piecewise(t<0,0,t<1,t,t<2,2-t,0);convert(f(t),Heaviside);convert(%,piecewise);

1.3 Fullstendig kvadrat

For å løse visse oppgaver, er det lurt å danne fullstendige kvadrater. Et fullstendig kvadrat kan dannesav annengradsuttrykk slik

as2 + bs+ c = a

((s+

b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a2

)

Maple:f:=s∧2+4*s+29;completesquare(f);

a:=coeff(f,s,2);b:=coeff(f,s,1);c:=coeff(f,s,0);a*((s+b/(2*a))∧2-(b∧2-4*a*c)/(4*a∧2));

1.4 Litt Maple

• Maple-koder for difflikninger finnes i kapittel 6.1 Difflikninger.

• Imaginære svarDersom en diffligning gir imaginære svar, benytt koden evalc(%);.

• Delbrøkoppspalting

5

Maple:f:=(1/(s+2)+s+4)/(s∧2+4*s+4);convert(f,parfrac,s);

1.5 Konvulsjon

Anta at vi harX(s) = Y (s)Z(s)

og at, på vanlig måte,

X(s)⇔ x(t)

Y (s)⇔ y(t)

Z(s)⇔ z(t)

der y(t) og z(t) er enkle å finne ved inverstransformering. Hvis vi nå skal finne x(t) ut ifra y(t) og z(t)bruker vi konvolusjonsproduktet

x(t) = L−1 {Y (s)Z(s)} = (y ∗ z)(t) =∫ t

0y(u) · z(t− u) du

1.6 Eksempeloppgave, eksamen 12.02.10

Vi har gitt funksjonen

f(t) =

1, 0 ≤ t < 1

2− t, 1 ≤ t < 2

0, ellers

Etter litt enkel integrasjon finner vi

F (s) =1

s+

1

s2(e−2s − e−s)

Så kommer spørsmålet: Hvordan kan F (s) benyttes til å løse følgende integral?∫ ∞0

tf(t)e−2t dt

Løsning:Vi forenkler integralet litt ved å sette h(t) = tf(t), slik at det nye integralet blir∫ ∞

0h(t)e−2t dt

Så må vi vri hjernen, og sammenligne dette integralet med definisjonen på en laplacetransform. Defini-sjonen er

G(s) =

∫ ∞0

g(t)e−st dt

Vi ser at dersom vi setter s = 2 i dette integralet, finner vi integralet vi er ute etter!

H(2) =

∫ ∞0

h(t)e−2t dt

6

Løsningen på hele oppgaven blir altså H(2). Av laplacetabellen ser vi at når h(t) = tf(t) vil H(s) =− ddsF (s). Regner vi ut dette, får vi

H(s) =1

s2(1− e−s + 2e−2s

)− 2

s3(e−s + e−2s

)Nå er det bare å plugge inn s = 2 for å finne løsningen

H(2) =1

22(1− e−2 + 2e−2·2

)− 2

23(e−2 + e−2·2

)=

1

4− 1

2e−2 +

3

4e4

Vi har vist at ∫ ∞0

tf(t)e−2t dt = − d

dsF (s)

∣∣∣∣s=2

=1

4− 1

2e−2 +

3

4e4

2 Fourier-rekker

For at en funksjon f(x) skal kunne representeres av en fourierrekke må visse regularitetskrav oppfylles:

• Funksjonen f(x) må være begrenset, vi kan altså ikke ha funksjoner som «flyr til himmels».

• Funksjonen f(x) må være stykkevis monoton (enten voksende eller avtakende), noen rare funk-sjoner oppfyller ikke dette kravet.

• Funksjonen f(x) må være stykkevis kontinuerlig (delt funksjonsforskrift er lov).

En generell fourierrekke med periode T = 2L er

f(x) ∼ a02

+

∞∑n=1

an cos(nπxL

)+ bn sin

(nπxL

)Fourier-rekken blir lik funksjonen f i alle kontinuitetspunkter. I diskontinuitetspunkter blir fourier-rekkens verdi gjennomsnittet mellom høyre- og venstresidig grense. Vi har altså

• Dersom f(x0) er et kontinuitetspunkt:

f(x0) =a02

+∞∑n=1

an cos(nπx0

L

)+ bn sin

(nπx0L

)• Dersom f(x0) er et diskontinuitetspunkt:

f(x0+) + f(x0−)2

=a02

+

∞∑n=1

an cos(nπx0

L

)+ bn sin

(nπx0L

)

2.1 Symmetri

Oddesymmetri: Symmetrisk om origo, an = 0, men a0 behøver ikke å være 0.

Likesymmetri: Symmetrisk om y-aksen, bn = 0.

Maple:f:=x->3*x∧2+4;type(f(x), evenfunc(x));type(f(x), oddfunc(x));

7

2.2 Funksjoner definert på [−L,L〉 eller 〈−L,L]

For funksjoner med periode T = 2L definert på [−L,L〉 eller 〈−L,L] gjelder følgende formler for fourier-koeffisientene.

an =1

L

∫ L

−Lf(x) cos

(nπxL

)dx, n = 0, 1, 2, . . .

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sin

(nπxL

)dx, n = 1, 2, 3, . . .

NB! For å finne a0 må n = 0 settes inn før det integreres. Se Maple-kode i kap 6.2 Funksjoner definertpå [−L,L〉 eller 〈−L,L].

2.3 Funksjoner definert på [0, T 〉 = [0, 2L〉

For funksjoner med periode T = 2L definert på [0, T 〉 = [0, 2L〉 gjelder følgende formler for fourier-koeffisientene.

an =1

L

∫ 2L

0f(x) cos

(nπxL

)dx, n = 0, 1, 2, . . .

bn =1

L

∫ 2L

0f(x) sin

(nπxL

)dx, n = 1, 2, 3, . . .

2.4 Halvperiodiske utvidelser

• Oddesymmetri: Symmetrisk om origo, an = 0, men a0 behøver ikke å være 0.

• Likesymmetri: Symmetrisk om y-aksen, bn = 0.

EksempelFunksjonen f(x) = x2, 0 < x < 2 er utvidet til å bli oddesymmetrisk i figur 2-1 og likesymmetrisk ifigur 2-2. Legg merke til at perioden T = 2L til den utvidede funksjonen blir 4, altså det dobbelte avden øvre grensen for den opprinnelige funksjonen.

Figur 2-1: Oddeutvildese - symmetri om orego Figur 2-2: Likeutvidelse - symmetri om y-aksen

Vi ser også at fouriersinusrekken til oddeutvidelsen i figur 2-1 ikke blir kontinuerlig, vi må skrive f(x) ∼fourierrekka. For den likeutvidede funksjonen i figur 2-2 får vi en kontinuerlig fouriercosinusrekke, og vikan dermed skrive f(x) = fourierrekka.

8

2.4.1 Likesymmetrisk - fouriercosinusrekke

En funksjon f(x) som er definert i området [0, L〉 kan utvides med en likesymmetrisk halvperiode. Vifinner da funksjonens fouriercosinusrekke

f(x) ∼ a02

+∞∑n=1

an cos(nπxL

)hvor

an =2

L

∫ L

0f(x) cos

(nπxL

)dx, n = 0, 1, 2, . . .

Altså alle sinusleddene bn = 0.

Maple:f:=x->k*x*(1-x∧2);L:=1;assume(n,integer):a:=n->simplify(2/L*int(f(x)*cos(n*Pi*x/L),x=0..L)):[a[n]=a(n)];

2.4.2 Oddesymmetrisk - fouriersinusrekke

En funksjon f(x) som er definert i området [0, L〉 kan utvides med en oddesymmetrisk halvperiode. Vifinner da funksjonens fouriersinusinusrekke

f(x) ∼∞∑n=1

bn sin(nπxL

)hvor

bn =2

L

∫ L

0f(x) sin

(nπxL

)dx, n = 1, 2, 3, . . .

Altså alle cosinusleddene an = 0.

Maple:f:=x->k*x*(1-x∧2);L:=1;assume(n,integer):b:=n->simplify(2/L*int(f(x)*sin(n*Pi*x/L),x=0..L)):[b[n]=b(n)];

2.5 Fourierrekker på kompleks form

En fourierrekke for en funksjon f(x) med periode T = 2L kan uttrykkes på kompleks form på følgendemåte

f(x) ∼∞∑

n=−∞cne

nπxLi der cn =

1

2L

∫ L

−Lf(x)e−

nπxLi dx

9

3 Fouriertransform og -integral

Anta at en funksjon f er absolutt integrerbar, altså∫∞−∞ |f(x)| dx <∞. Samtidig oppfyller f de samme

kravene som gjelder for at en fourierrekke skal eksistere. Funksjonen kan da representeres ved fourierin-tegralet

f(x) ∼ 1

2π

∞∫−∞

F (ω)eiωx dω

som kan sammenlignes med en fourier-rekke. Fouriertransformen F (ω), som tilsvarer koeffisientene ifourier-rekka, er gitt ved

F {f(x)} = F (ω) =

∞∫−∞

f(x)e−iωx dx

På samme måte som ved fourier-rekker vil fourier-integralets verdi bli gjennomsnittet mellom høyre- ogvenstresidig grense dersom f(x0) er diskontinuerlig i punktet x = x0. Ellers er integralet lik funksjonen,altså

• Dersom f(x0) er et kontinuitetspunkt: f(x0) =1

2π

∞∫−∞

F (ω)eiωx0 dω

• Dersom f(x0) er et diskontinuitetspunkt:f(x0+) + f(x0−)

2=

1

2π

∞∫−∞

F (ω)eiωx0 dω

Maple:f:=x->piecewise(0<x<2,4);F:=omega->simplify(int(f(x)*exp(-I*omega*x),x=-infinity..infinity)):'F(omega)'=F(omega);'F(omega)'=simplify(fourier(f(x),x,omega));'F(omega)'=evalc(F(omega));'f(x)'= 1/(2*Pi)*int(F(omega)*exp(-I*omega*x),omega=-infinity..infinity);

3.1 Like og odde funksjoner generelt

For symmetriske funksjoner (enten like eller odde) gjelder reglene nedenfor.

like× like = likeodde× odde = likeodde× like = odde

Det er verdt å merke seg at∫ a

−ag(x) dx = 2

∫ a

0f(x) dx dersom g(x) er like.∫ a

−ag(x) dx = 0 dersom g(x) er odde.

10

3.2 Likesymmetri

En likesymmetrisk (om y-aksen) funksjon f(x) kan representeres ved fourier-integralet

f(x) ∼ 1

π

∞∫0

F (ω) cos(ωx) dω der F (ω) = 2

∞∫0

f(x) cos(ωx) dx

Legg merke til at fourier-transformen (og fourier-integralet) er rent reelt når funksjonen er likesymmet-risk.

3.3 Oddesymmetri

En oddesymmetrisk (om orego) funksjon f(x) kan representeres ved fourier-integralet

f(x) ∼ i

π

∞∫0

F (ω) sin(ωx) dω der F (ω) = −2i∞∫0

f(x) sin(ωx) dx

Her er fourier-transformen alltid rent imaginær.

3.4 Konvolusjon

Konvolusjonsproduktet kan også benyttes i forbindelse med fourier-transformasjoner. Anta at vi harfunnet

H(ω) = F (ω)G(ω)

derF {h(x)} = H(ω), F {f(x)} = F (ω) og F {g(x)} = G(ω)

Vi kjenner inverstransformen til F og G, men vi ønsker å finne inverstransformen til H, altså h(x). Tildette kan vi bruke konvolusjonsproduktet nedenfor.

h(x) = F−1 {F (ω)G(ω)} = (f ∗ g)(x) =∫ ∞−∞

f(x− u) · g(u) du

Legg merke til at grensene på integralet ikke er de samme som for konvolusjonsproduktet i forbindelsemed laplace-transformasjoner.

3.5 Diverse regler og sammenhenger

• Fouriercosinus- og sinustransform:

Fc {f(x)} = Fc(ω) =

∫ ∞0

f(x) cos(ωx) dx

Fs {f(x)} = Fs(ω) =

∫ ∞0

f(x) sin(ωx) dx

• Sammenhengen mellom Fc, Fs og F :

F {f(x)} = F (ω) = 2Fc(ω) dersom f er like

F {f(x)} = F (ω) = −2iFs(ω) dersom f er odde

11

• Fouriertransform til en skalert funksjon:Vi har g(x) = f(kx). Da vil fourier-transformen til g bli

G(ω) =1

|k|F(ωk

)• Fouriertransform til en forskjøvet funksjon:

Vi har g(x) = f(x− a). Da vil fourier-transformen til g bli

G(ω) = e−iaωF (ω)

• Fouriertransform til en derivert funksjon:For en derivert funksjon f ′(x) gjelder

F{f ′(x)

}= iωF (ω)

• Fouriertransform til en integrert funksjon:Dersom vi har g(x) =

∫ x−∞ f(u) du, vil fourier-transformen til g bli

G(ω) = − 1

ωF (ω)

4 Ordinære differensialligninger - løsningsmetoder

4.1 Karakteristisk likning

Dersom vi har en lineær homogen 2.-ordens differensialligning kan denne skrives på formen

ay′′ + by′ + cy = 0

med karakteristisk likning

ar2 + br + c = 0

Løsningene på den karakteristiske likningen finnes i ulike varianter:

Variant Generell homogen løsning

To ulike røtter, r1 og r2 yh = Aer1x +Ber2x

To like røtter, r = r1 = r2 yh = erx (A+Bx)

Komplekse røtter, r = α± iβ yh = eαx (A cosβx+B sinβx)

Én rot dersom a = 0 (separabel), r = − cb yh = Aerx

En partikulær løsning er den generelle homogene løsningen med kjente konstanter A og B.Dersom vi har en inhomogen likning på formen

ay′′ + by′ + cy = Q(x)

vil totalløsningen bliy(x) = yh(x) + yp(x)

der yh(x) er den homogene løsningen og yp(x) den partikulære løsningen. Den partikulære løsningenfinnes vha. tabeller!

12

4.2 Integrerende faktor

En likning på formeny′ + P (x)y = Q(x)

kan løses vha. metoden med integrerende faktor. Vi antar da at y kan skrives som et produkt, y = uv.Vi kan da utlede den deriverte med produktregelen som følger

y = uv

y′ = u′v + uv′

Dette settes så inn i den opprinnelige likningen slik

y′ + P (x)y =Q(x)

u′v + uv′ + P (x)uv =Q(x)

Så faktoriseres v og v′ ut, og vi oppnår(u′ + P (x)u

)v + uv′ = Q(x)

Videre fremgangsmåte er følgende punkter

1. Parentesen settes lik 0 og denne difflikningen løses (trenger ikke å ta med noen integrasjonskon-stant), altså

u′ + P (x)u = 0

du

dx= −P (x)u

1

udu = −P (x) dx

u = e−∫P (x) dx (integrerende faktor)

2. Det som står igjen etter at parentesen er satt lik null er uv′ = Q(x). Fra denne separable likningenkan v bestemmes, husk å legge til en integrasjonskonstant C. Nå benyttes u funnet i punkt 1.

uv′ = Q(x)

e−∫P (x) dx · dv

dx= Q(x)

v =

∫Q(x)e

∫P (x) dx dx

Nå kjenner vi både u og v. Siden y = uv er difflikningen løst. Metoden med integrerende faktor kanskrives ut fullstendig med formelen

y = uv = e−∫P (x) dx

∫Q(x)e

∫P (x) dx dx+ C

13

5 Partielle difflikninger

Varmeledningsoppgave En lineær 2.-ordens partiell differensiallikning med konstante koeffisienterkan skrives som

A∂2u

∂x2+B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y+D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ Fu = r(x, y)

5.1 Klassifisering

En partiell difflikning kalssifiseres etter koeffisientene A,B,C og D.

Egenskap Klassifisering

B2 − 4AC > 0 hyperbolsk (svingelikningen)

B2 − 4AC = 0 parabolsk (varmeledningslikningen)

B2 − 4AC < 0 ellipisk (laplaces likning)

5.2 Bølgelikningen og d’Alemerts løsning

Bølgelikningen, eller svingeligningen, beskriver hvordan en elastisk streng vil bevege seg som funksjonav tiden. Vi tar ikke hensyn til strengens masse og tykkelse. Den endimensjonale bølgelikningen er

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2der c2 =

S

ρ

Hvis vi sier at strengen har lengde L vil (vanlige) initial- og randkrav bli

Krav Forklaring

(1) u(0, t) = u(L, t) = 0 Endepunktene er fastholdte.

(2) u(x, 0) = f(x), 0 < x < L Initialformen for strengen.

(3) ut(x, 0) = 0 Hastighetsprofilen ved t = 0.

Bølgelikningen er en hyperbolsk partiell differensiallikning med konstante koeffisienter.

D’Alemerts løsning viser at utslaget u(x, t) kan betraktes som en sum av to bølger som beveger segi motsatt retning av hverandre:

u(x, t) =1

2(g(x− ct) + g(x+ ct))

der g er oddeutvidelsen av f med periode 2L og c er hastigheten til de to bølgene. Dersom f alleredeer odde og periodisk, må den ikke oddeutvides.

I Maple er det lurt å senke antall perioder hvor g(x) er gyldig, men da må vi være oppmerksommepå at verdien til x ± ct vil vokse utenom gyldighetsområde når t vokser. Det vil si at når vi lager enanimasjon så må vi passe på å begrense øvre grense for t tilstrekkelig. Følgene Maple-kode fungerer(tilsynelatende) på alle f(x).

14

Figur 5-1: Strengen fra Maple-eksempelet ved tidspunktet t =0.3.

Maple:f:=x->1-cos(2*Pi*x);L:=1:c:=1:if type(f(x),oddfunc(x)) thenh:=unapply(piecewise(-L<x<0,f(x),0<x<L,f(x)),x):elseh:=unapply(piecewise(-L<x<0,-f(-x),0<x<L,f(x)),x):end:printf("Oddesymmetrisk f(x) = %a",type(f(x),oddfunc(x)));printf("\nLikesymmetrisk f(x) = %a",type(f(x),evenfunc(x)));g:=unapply(sum(h(x+2*L*i),i=-10*L..10*L),x):u:=(x,t)->1/2*(g(x+c*t)+g(x-c*t)):'u(x,t)'= u(x,t);animate(plot,[u(x,t),x=0..L],t=0..2*L,frames=80);

5.3 Separasjon av variable

Metoden med separasjon av variable kan oppsummeres med følgende eksempel. Vi har bølgelikningenutt(x, t) = uxx(x, t) med initial- og randkrav u(x, 0) = f(x), u(0, t) = u(1, t) = 0 og ut(x, 0) = 0, altsåen streng med initiell form f(x), fastholdte endepunkt, lengde L = 1 og initiell hastighetsprofil null.

1. Skriv løsningen som et produkt av faktorer som hver er avhengig av bare én variabel

u(x, t) = F (x) ·G(t) = FG

2. Sett inn u = FG i likningen, og separer x- og t-avhengighet på hver side av likningen. Vi fårFG′′ = F ′′G når vi setter inn. Etter separasjon har vi

F ′′

F=G′′

G

.

3. Sett denne nye likningen lik −λ og del den opp i to likninger. NB: λ må alltid være positiv for åunngå den trivielle løsningen. Vi får F ′′

F = G′′

G = −λ, som kan deles opp i

F ′′

F= −λ og

G′′

G= −λ

4. Løs den ene likningen først, vi tar den x-avhengige. Vi har F ′′

F = −λ som gir F ′′+λF = 0. Dennehar løsningen

F (x) = A cos(√λx) +B sin(

√λx)

5. Se på initialkravet u(0, t) = u(1, t) = 0, dette tilsvarer F (0) = F (1) = 0. For å oppfylle kravet,må A = 0 og

√λ = nπ. Alle løsningene blir

Fn(x) = Bn sin(nπx)

6. Nå kan vi gå løs på den andre likningen, innsatt λ funnet i forrige punkt. Vi får i dette tilfelletdet samme resultatet for G,

G(t) = C cos(nπt) +D sin(nπt)

15

7. Kravet som går på initiell hastighet, ut(x, 0) = 0, må nå bakes inn. Kravet tilsvarer G′(0) = 0. Vifinner G′(t) = Cnπ sin(nπt)−Dnπ cos(nπt). Setter vi t = 0 finner vi D = 0, og alle løsningene

Gn(t) = Cn cos(nπt)

8. Nå kan vi sette opp de generelle løsningene

un(x, t) = FnGn = bn sin(nπx) cos(nπt) der bn = BnCn

Superposisjonsteoremet sier at en lineærkombinasjon av ulike un også vil være en løsning pådifferensiallikningen. Dette betyr f.eks. at vi kan summere alle un med n varierende fra 1 til ∞.

9. Til slutt må kravet om initiell form, u(x, 0) = f(x), tilfredsstilles. Her har vi f(x) = k sin(2πx).For å få dette til, setter vi un(x, 0) = f(x) og ser etter en enkel sammenheng. Vi får bn sin(nπx) =k sin(2πx), som har den meget enkle sammenhengen bn = k og n = 2. Løsningen på problemet er

u(x, t) = k sin(2πx) cos(nπt)

Dette er et meget spesielt tilfelle, ofte finnes ikke slike enkle sammenhenger. I slike tilfeller kanvi bruke en (utvidet) fourierrekke for f(x) med periode 2L. I Maple-koden nedenfor er f(x) =kx(1− x2) oddeutvidet.

Maple:f:=x->k*x*(1-x∧2);L:=1;assume(n,integer):b:=n->simplify(2/L*int(f(x)*sin(Pi*n*x/L),x=0..L)):[b[n]=b(n)];

Maple:declare(u(x,t));pde:=diff(u(x,t),t,t)=diff(u(x,t),x,x);f:=x->k*x*(1-x∧2);ini:=u(0,t)=0,u(L,t)=0,u(x,0)=f(x),D[2](u)(x,0)=0;assume(n,integer):L:=1;b:=n->simplify(2/L*int(f(x)*sin(n*Pi*x/L),x=0..L)):[b[n]=b(n)];k:=0.01;u:=(x,t)->sum(b(n)*sin(n*Pi*x)*cos(n*Pi*t),n=1..10):'u(x,t)'= u(x,t);animate(plot,[u(x,t),x=0..L],t=0..2*L);

5.4 Varmeledningslikningen

Varmeledningslikningen beskriver hvordan temperaturen i en stav vil utvikle seg som funksjon av tiden.Varmeledningslikningen er

∂u

∂t= c2

∂2u

∂x2der c2 =

K

σρ

16

hvor K = termisk konduktivitet, σ = spesifikk varmekapasitet og ρ = materialtetthet.Hvis vi sier at staven har lengde L vil (vanlige) initial- og randkrav bli

Krav Forklaring

(1) u(x, 0) = f(x), 0 < x < L Initiell temperaturprofil i staven.

(2a) u(0, t) = u(L, t) = 0 Endepunktene er holdt fast på 0 grader. Temperaturenover alt i staven vil gå mot 0 når t→∞.

(2b) ux(0, t) = ux(L, t) = 0 Endepunktene er isolerte slik at varmeenergien er be-vart. Temperaturen vil gå mot en gjennomsnittstem-peratur når t→∞.

Varmeledningslikningen er en parabolsk partiell differensiallikning med konstante koeffisienter. Krav (1)benyttes sammen med enten (2a) eller (2b). Avhengig av hvilke krav som er benyttet, vil løsningene fåulik struktur/form.

Dersom staven holdes til null grader på endene, krav (2a), vil den generelle løsningen på likningenbli

u(x, t) =a02

+∞∑n=1

an cos(nπxL

)e−(

nπcL )

2t

hvor an er fouriercosinuskoeffisientene til f(x) utvidet til en periode 2L-likefunksjon, gitt ved

an =2

L

∫ L

0f(x) cos

(nπxL

)dx, n = 0, 1, 2, . . .

Maple:f:=x->k*x*(1-x∧2);L:=1;assume(n,integer):a:=n->simplify(2/L*int(f(x)*cos(n*Pi*x/L),x=0..L)):[a[n]=a(n)];

Hvis stavens ender er isolert fra omgivelsene, krav (2b), vil den generelle løsningen på likningen bli

u(x, t) =∞∑n=1

bn sin(nπxL

)e−(

nπcL )

2t

hvor bn er fouriersinuskoeffisientene til f(x) utvidet til en periode 2L-oddefunksjon, gitt ved

bn =2

L

∫ L

0f(x) sin

(nπxL

)dx, n = 1, 2, 3, . . .

Maple:f:=x->k*x*(1-x∧2);L:=1;

17

assume(n,integer):b:=n->simplify(2/L*int(f(x)*sin(n*Pi*x/L),x=0..L)):[b[n]=b(n)];

5.5 Fouriertransformasjon av partielle differensiallikninger

En funksjon kan representeres med fourierintegralet beskrevet i kapittel 3. Vi gjentar formlene her.

f(x) ∼ 1

2π

∞∫−∞

F (ω)eiωx dω der F (ω) =

∞∫−∞

f(x)e−iωx dx

Dette kan også brukes på partielle differensiallikninger, så lenge de strenge betingelsene for fourier-transformen er oppfylt (se kap. 3). Vi transformerer mht. x når den ligger i området −∞ < x < ∞.Generelle transformasjoner av partielle difflikninger er som følger.

Generelle transformasjoner mht. x

Tidsrom Fouriertransform Tidsrom Fouriertransform

∂u

∂t

∂U(ω, t)

∂t

∂u

∂xiω U(ω, t)

∂2u

∂t2∂2U(ω, t)

∂t2∂2u

∂x2−ω2 U(ω, t)

∂u(x, 0)

∂t

∂U(ω, 0)

∂tu(x, 0) U(ω, 0)

Vi får ofte ganske store og kompliserte integraler når vi fourier-transformerer partielle differensialliknin-ger. Derfor husker vi på følgende fra underkapittel 3.1.

∫ a

−ag(x) dx = 2

∫ a

0f(x) dx dersom g(x) er like.

∫ a

−ag(x) dx = 0 dersom g(x) er odde.

Maple:assume(t>0,c>0,a>0);f:=x->piecewise(abs(x)<1,1,0);pde:=diff(u(x,t),t)=c∧2*diff(u(x,t),x,x);subs(fourier(u(x,t),x,omega)=U(omega,t),fourier(pde,x,omega));ode:=pdsolve(%,U(omega,t));subs(_F1(omega)=fourier(f(x),x,omega),ode);'u(x,t)'=1/(2*Pi)*Int(rhs(%)*exp(-I*omega*x),omega=-infinity..infinity);'u(x,t)'=value(rhs(%));u:=unapply(simplify(evalc(rhs(%))),x,t):'u(x,t)'=u(x,t);

18

5.6 Laplacetransformasjon av partielle differensiallikninger

Laplacetransform av partielle differensiallikninger gir ordinære differensiallikninger som kan løses medordinære metoder. Løsningen av den ordinære linkingen inverstransformeres for å finne den endeligeløsningen på den partielle difflikningen.Nedenfor er vanlige laplacetransformasjoner av partielle differensiallikninger listet opp.

Generelle transformasjoner mht. t

Tidsrom Laplacetransform Tidsrom Lapalcetransform

∂w

∂tsW (x, s)− w(x, 0) ∂w

∂x

∂W

∂x

∂2w

∂t2s2W (x, s)− sw(x, 0)− wt(x, 0)

∂2w

∂x2∂2W

∂x2

∂w(0, t)

∂tW (0, s)

∂2w

∂x∂t=

∂

∂x

(∂w

∂t

)s∂W

∂x− w(x, 0)

limx→∞

w(x, t) = 0 limx→∞

W (x, s) = 0

Maple:restart;declare(w(x,t));pde:=diff(w(x,t),x)+x*(diff(w(x,t),t))=x;ini:={w(0,t)=1,w(x,0)=1};assume(x,real);assume(t>0);subs(laplace(w(x,t),t,s)=W(x,s),L(pde));ode:=subs(ini,%);dsolve(ode,W(x,s));W:=unapply(rhs(%),x,s);isolate(subs(ini, W(0,s)=L(w(0,t))),_F1(s)); value(%);W:=unapply(subs(%, W(x,s)),x,s);w:=unapply(invL(subs(_F1(s)=0,W(x,s))),x,t);'w(x,t)'=convert(w(x,t),piecewise,x);animate(plot,[w(x,t),x=-4..4],t=0..10);

19

6 Maple-koder/algoritmer

6.1 Difflikninger

For eksakte diffligninger, bruk:

Maple:restart;y''(t)+4*y(t)=sin(t);L(%);subs(y(0)=0,y'(0)=0,%);isolate(%,Y(s));simplify(%);invL(%);y:=unapply(rhs(%),t);plot(y(t),t=-3..10);

Dersom det inngår desimaltall i likningen eller initialbetingelse, kan denne benyttes:

Maple:l:=y''(t)+3*y'(t)+2.25*y(t)=9*t∧3+64:ini:=y(0)=1,y'(0)=31.5:l:=convert(l,rational);ini:=op(convert({ini},rational));L(l);subs(ini,%);isolate(%,Y(s));simplify(%);convert(%,parfrac,s);invL(%);dsolve({l,ini},y(t));

6.2 Funksjoner definert på [−L,L〉 eller 〈−L,L]

Maple:f:=x->x∧2-2;T:=4;L:=T/2;plot(f(x),x=-L..L,legend=['f(x)']);assume(n,integer);a:=n->simplify(1/L*int(f(x)*cos(n*Pi*x/L),x=-L..L)):b:=n->simplify(1/L*int(f(x)*sin(n*Pi*x/L),x=-L..L)):[a[0]=a(0)],[a[n]=a(n)],[b[n]=b(n)];assume(n,even);[a[n partall]=a(n)],[b[n partall]=b(n)];assume(n,odd);[a[n oddetall]=a(n)],[b[n oddetall]=b(n)];assume(n,integer);N:='N':

20

Fur:=unapply(a(0)/2+Sum(a(n)*cos(n*Pi*x/L)+b(n)*sin(n*Pi*x/L),n=1..N),N);Fur(N);simplify(Fur(N));N:=40:omr:=-3*L..3*L;minFunk:=x->0;g:=PeriodicFunc(f,-L..L);p3:=plot(g(x),x=omr,thickness=2,color=black,legend=["Original funksjon"]):p4:=plot(Fur(N),x=omr,numpoints=1000,legend =["Fourierrekka"]):p5:=plot(minFunk(x),x=omr,numpoints=1000,thickness=1,color=blue,legend=["Din funksjon"]):display(p3,p4,p5,caption=typeset("Plotting av funksjonen sammen med fourierrekken med ", N, " ledd+ din egen funksjon hvis du har giddet å lagt den inn."));

21