Illustrasjoner: Geir Florhaug

LEKSEHJELP I MATEMATIKK

HAVARD TJORAO

© 2014 Kagge Forlag AS

Layout og omslagsdesign: Kine RøstOmslagsfoto: © Billybonkers.noAlle tegninger: Geir FlorhaugPapir: Arctic matt 130 gBoka er satt med Museo 300Repro: Løvaas Lito ASTrykk og innbinding: Print Best

ISBN: 978-82-489-1537-9

Kagge Forlag ASStortingsg. 120161 Oslo

www.kagge.no

Forord 6Ordliste 8Titallssystemet 10Pluss (addisjon) 12Med tieroverganger 13

Minus (subtraksjon) 15Med låning 16

Ganging (multiplikasjon) 189-gangen 20Fingerganging 21Multiplikasjon med flere siffer 22

Deling (divisjon) 27Divisjon med komma 35

Utvide og forkorte med 10, 100, 1000 osv 37Avrunding 38Negative tall 39Systematisk løsning gjør jobben lettere 40Hoderegningsstrategier 41Likhetstegnet 42Regnerekkefølge 43Brøk 44Faktorisering 56Algebra 58Likninger 67Flytting og bytting 75Likninger med to ukjente 77

INNHOLD

Prosent 83Finne prosenten av et tall 85 Prosentvis avslag og påslag, innføring 85

Hvor mye kostet jakka før salget? 87Utregninger av hva noe kostet før avslag, hvor mange

prosent noe er og hva noe kostet etter et avslag 87Utregninger av hva noe kostet før påslag, hvor mange

prosent noe er og hva noe kostet etter et påslag 89Prosentregning med penger i banken: renter og rentesrente 91

Rentesrente 95

Potens 98Tall på standardform 101

Kvadratrot 101Koordinatsystemer, funksjoner og grafer 102Veien om 1 106Regne med tid 107

Omgjøring av tid til titallssystemet 108Vei, fart og tid 110

Omgjøringer med vei, fart og tid 111

Geometri 113Noen begreper å ta med seg 113

Omkrets 114Areal 115

Areal av rektangel, trekant, parallellogram, trapes, rombe 115Trekanter 121

Typer trekanter : stump, spissvinklet, likesidet, likebeint, rettvinklet 121

Pytagoras’ setning 122Pytagoras og trekanter med vinklene 90o,60o,30o 125

Sirkler 126Pi 127Å finne omkretsen av en sirkel 127Arealet av en sirkel 129

Målestokk 131

Konstruksjon 132Konstruere vinkler med 60o og 90o 132Halvere vinkler 134Bygging av vinkler 136

Finne midtnormalen 138Å nedfelle en normal 139Konstruksjon av en parallell linje 140

Formlike figurer 141Omgjøring mellom enheter 143

Omgjøring mellom kvadratenheter 148Omgjøring mellom kubikkenheter 149Forholdet mellom kubikk og liter 150

Volum av forskjellige figurer 152Massetetthet 155Statistikk og sannsynlighetsregning 156

Frekvens, frekvenstabell, prosent og diagrammer 156Kakediagram/sektordiagram 157

Gjennomsnitt 160Median, typetall, variasjonsbredden 160

Sannsynlighetsregning del 1 162Kombinatorikk 162

Multiplikasjonsregel, fakultet, ordnet utvalg med tilbakelegging, ordnet utvalg uten tilbakelegging, uordnet utvalg uten tilbakelegging 163

Sannsynlighetsregning del 2 169Multiplikasjonsregelen, addisjonsregelen 169

Fasit på ØV DEG!-oppgaver 170

6

FORORDJeg har i lang tid blitt bedt om å skrive denne boka, men har sagt nei.

Undervisning er et sammensatt emne, og i altfor mange år har en nesten

tatt for gitt at foreldrene skal undervise barna sine når det gjelder lekse-

arbeidet. Som oftest må foreldre trå til der vi mislykkes i skolen.

Jeg har seks års utdanning og 15 års yrkeserfaring, men bruker fort-

satt tid på å tenke ut veier inn til elever som strever med matematikken.

God og gjennomtenkt undervisning krever innsikt og kunnskap om

faget, men også kunnskap om didaktikk – ikke minst om hvordan barna

tenker. En god undervisningssituasjon krever i tillegg at rollen elev–lærer

er etablert, og de færreste barna ser sine foreldre som lærere, de er først

og fremst mamma og pappa. Barn har som oftest mindre tålmodighet

med sine foreldre enn de har med sine lærere, og lærerne har ofte mer

tålmodighet med elevene enn foreldre har med sine barn. Ingen bok

eller noe nettsted kan erstatte en utdannet lærer med innsikt i faget sitt

og elevene sine. Derfor har jeg i lang tid sagt nei til å skrive denne boka.

Når den likevel skrives, er det fordi vi vet at svært mange barn og

voksne strever med matematikk. Slik situasjonen er nå, er det fortsatt

mange foreldre som ikke har noe annet alternativ enn å prøve å for-

klare matematikken til barna sine. Problemene med matematikk henger

oftest sammen med små misforståelser, eller at en mangler litt innsikt i

deler av faget. Disse små manglene gjør at all matematikk framstår som

stadig nye formler og regler uten faste holdepunkter, slik at alt flyter.

De elevene som sliter med faget, mangler stort sett grunnleggende

trygghet i at alt i matematikken bygger på logikk, og at svært mye av

matematikken følger de samme prinsippene. Når de blir helt trygge i de

fire regneartene (pluss, minus, ganging og deling), vet om alle mulig-

hetene likhetstegnet gir, og har lært seg å systematisere utregningene,

faller gjerne svært mange brikker på plass. Disse hovedområdene er

det jeg kaller grunnpakka, for denne pakka ligger til grunn for nesten

alle utregninger og prinsipper for å finne løsninger, som vi søker etter i

grunnskolen.

Mitt håp er at denne boka kan være med på å skape trygghet i møte

med faget, og at både elever og foreldre kan legge bort forestillinger om

at de ikke kan lære seg matematikk.

Et stort hinder for mange er at de må vite hvorfor matematikken er

som den er, for å komme seg videre og kunne ta metodene i bruk. Det

holder ikke å si at vi kan «flytte og bytte» når det kommer til likninger,

de fleste vil vite hvorfor vi flytter og bytter. Så langt det lar seg gjøre, har

jeg her prøvd å forklare prinsippene og hva som skjer. Hvis du ikke har

behov for forklaringene på hvorfor, kan du hoppe rett til formlene og de

siste eksemplene i kapitlene. De går gjerne fortere fram.

Til de fleste temaene er det oppgaver, og fasiten finner du bakerst i

boka.

Lykke til!

Håvard Tjorajuni 2014

8

I boka har jeg med vilje valgt de mer dagligdagse begrepene i

matematikk, som å legge sammen og trekke fra i stedet for å addere og

subtra here. I en forklaringssituasjon bør en luke vekk mest mulig som

kan forvirre eller gjøre at barna er nødt til å tenke seg om for å skjønne

hva som menes. De aller fleste matematikklærere ønsker likevel å bruke

korrekte begreper i matematiske sammenhenger. Nedenfor følger en

liten ordliste over ord og begreper vi møter i matematikken.

ORDLISTEAddisjon: Å legge sammen. Når vi adderer to tall, legger vi

sammen to tall.

Dividend: I et delingsstykke, for eksempel 32 : 16 = 2, er det

tallet 32 som er dividend.

Dividere: Å dele.

Divisor: I delingsstykket 32 : 16 = 2 er tallet 16 divisor.

Faktor: Tallene som er med i et gangestykke, kalles faktorer.

faktor · faktor = produkt.

Kvotient: I delingsstykket 32 : 16 = 2 er tallet 2 kvotient.

Ledd: Tallene som er med i regnestykket når vi legger sammen

og trekker fra, kaller vi ledd.

Likning: Et regnestykke med minst en ukjent. Den ukjente

er som oftest kalt X.

Multiplikasjon: Ganging.

Origo: Nullpunktet i et koordinatsystem.

Produkt: Svaret i et gangestykke.

Siffer: 321 er et tall som er satt sammen av tre siffer.

Sifrene er enkelttall som er med på å bygge opp et annet tall.

Posisjonen til et siffer bestemmer verdien sifferet har.

Sirkel: Det samme som en runding. Alle punktene på sirkelen ligger

like langt fra sentrum til sirkelen.

Skjæringspunkt: Punktet der to grafer krysser hverandre, kalles

skjæringspunkt.

Subtraksjon: Å trekke fra. Når vi skal trekke fra, sier vi at vi subtraherer.

Sum: Svaret i et pluss- eller minusstykke.

Tiervenner: Tall som sammen gir tallet 10: 3 og 7, 9 og 1 osv.

Vinkelbein og toppunkt: En vinkel har to vinkelbein og et toppunkt.

Punktet der vinkelbeina skjærer hverandre eller møtes, kaller vi topp-

punktet. Sett fra toppunktet har vi høyre og venstre vinkelbein.

Vinkelsum: Summen av alle vinklene i en mangekant (trekanter,

firkanter, femkanter osv.). Vinkelsummen i en trekant er 180°. Firkanter

har vinkelsummen 360°.

10

TITALLSSYSTEMETOpp gjennom historien har det eksistert mange tallsystemer Også i dag er det flere forskjellige tallsystemer som er i bruk Det vanligste er nok det binære tallsystemet, eller totallssystemet, som brukes til å programmere datamaskin-er Vårt eget tallsystem heter titallssystemet og brukes over hele verden Det fungerer ved at enere, tiere, hundrere osv har sin bestemte plass i forhold til hverandre Det letteste er å forklare det med et eksempel:

Titallssystemet er bygd opp ved at ulike verdier har sin bestemte plass.

La oss si at du skal telle opp hvor mange boller det er i et bakeri. For å

lage et bra system, legger du ti og ti boller i hver sin pose. Etter å ha telt

opp, kommer du kanskje fram til at du har tre bolleposer med ti i hver,

og i tillegg har du fire boller til overs. I titallssystemet skriver vi det slik:

34. Her ser du at 3-tallet står for hvor mange bolleposer (med ti i hver)

du har, og 4-tallet står for hvor mange enkeltboller det er til overs. Det

viktige er at tierne og enerne har hver sin plass. Titallssystemet er derfor

et plassverdisystem. Den plassen sifferet står på, bestemmer verdien til

sifferet. I tallet 34 ser du at 3-tallet står til venstre for 4-tallet. Det vil si at

3-tallet hører til tiergruppa.

3 4

Hvis du er i et bakeri med svært mange boller, la oss si flere hundre,

må du utvide titallssystemet. Da teller du først opp i grupper på ti og ti.

Etter hvert kommer du til at du har ti bolleposer med ti i hver. Da har

du til sammen 100 boller, og du må opp enda en plass – til det vi kaller

hundrerplassen. De hundre bollene som ligger i ti poser, legger du kan-

skje i en eske. Etter at du har lagt bolleposene der, oppdager du at du har

to poser til overs, pluss tre enkeltboller som ikke er nok til å fylle en pose.

Da har du en eske med hundre, to poser med ti (til sammen tjue) og tre

enkeltboller. Vi skriver det slik: 123, ett hundre og tjuetre.

Det finnes uendelig mange tall, og her er en oversikt over titallssystemet

et godt stykke på vei:

321

12

PLUSS (addisjon)

Når du har forstått hvordan titallssystemet fungerer, kan du legge sammen kjempe store tall På matematikkspråket heter det å addere Den letteste måten er å sette tallene under hverandre Når du legger sammen tall, er det viktig at du alltid passer på å legge enere sammen med enere og tiere med tiere Greier du å holde tunga rett i munnen og plassere enere over enere og tiere over tiere, kan du legge sammen veldig store tall, selv om du ikke har regnet så mye før

Vi kan starte litt forsiktig med 12 + 5. Siden det er lettest

å skrive tallene under hverandre, setter vi det opp slik:

Her ser du at 2-tallet i tallet 12 viser to enere og skal stå

på enerplassen. 1-tallet i tallet 12 viser en tier og skal

derfor stå på tierplassen. Tallet 5 hører til enerne og

skal stå på enerplass. Vi får da 7 enere og 1 tier, altså

tallet 17.

13

Denne måten å legge sammen på gjelder også når vi har veldig store

tall. Kan du framgangsmåten, er det enkelt å regne ut for eksempel

1 457 832 + 8 342 156. Når vi setter tallene under hverandre og er nøye

med å plassere dem riktig, får vi svaret 9 799 988.

Framgangsmåten fungerer fint så lenge sifrene vi legger sammen

ikke blir større enn 9. Blir de større, må du kunne litt mer om addisjon.

Vi forklarer det i neste avsnitt.

Addisjon med tierovergangerVi tenker oss at vi teller opp penger etter en bestemt regel. Hver gang du

teller opp ti enkroner, skal de veksles til en tikrone. Hvis du har 13 krone-

stykker, kan du veksle inn ti av kronestykkene og få en tikrone. Tikronen

er altså like mye verdt som ti kronestykker. Når du følger denne regelen,

blir altså 13 kronestykker etter veksling lik en tikrone og tre kronestykker.

Det ser sånn ut:

Vi tenker oss så at du i tillegg til disse 13 kronene får åtte kronestykker til.

Da har vi et addisjonsstykke (eller pluss-stykke) som ser slik ut:

Her ender vi opp med to tiere og ett kronestykke, altså 21 kroner. Vi har

vekslet ti kronestykker til en tier og har nå ett kronestykke til overs.

Når vi setter opp dette under hverandre, får vi:

Legg merke til 1-tallet vi har satt over tieren i 13. Det kalles minnetegn eller mente og minner oss på at vi har vekslet ti kronestykker til en tier. Siden det er en tier, setter vi minnetegnet på tierplassen.

Det er altså ti enkroner i en tikrone. Du har sikkert sett at vi har

hundre lapper og tusenlapper også. En hundrelapp er like mye verdt

som ti tikroner. Dersom du har en kalkulator, kan du prøve å legge

sammen 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10. Du ser at det blir 100.

Vekslingsregelen som gjaldt for kronestykker, gjelder også for ti kro-

nene. Får du ti tikroner, kan de straks veksles til en hundrelapp. Så hvis

du har 15 tikroner, blir det en hundrelapp og fem tikroner:

Her ser du at 15 tikroner er det samme som

en hundrelapp og fem tikroner, altså 150 kroner.

I tillegg til hundrelappen og de fem tikronene tenker vi oss nå at du får

sju tikroner til. Da ser det slik ut:

Skrevet som et regnestykke får vi:

Legg merke til at vi her fikk mer enn ti tiere, så vi måtte veksle til en hundrelapp. Siden det er en hundrelapp, skal

minnetegnet stå på hundrerplassen.

15

MINUS (subtraksjon)

Subtraksjon er det samme som å trekke fra Når vi trekker fra, tar vi bort noe Hvis du for eksempel har sju boller og spiser tre, har du fire boller igjen På samme måte som når vi adderer, setter vi subtraksjonsstykkene under hveran-dre Da ser det slik ut:

16

Lån og vekslingLa oss tenke oss at du har en tier i lomma, og at du skylder en venn

4 kroner. Den eneste måten du kan få gjort opp for deg, er ved å veksle

tieren til kronestykker. Da kan du gi fra deg de fire kronene du skylder, og

du sitter igjen med seks kronestykker. Vi skriver det som et regnestykke:

Her ser du at vi har satt en strek over 1-tallet i 10

og skrevet 10 over enerplassen. Det er fordi vi har

vekslet inn tieren og fått ti kronestykker. Streken

over tieren viser altså at tieren du hadde, er blitt

gjort om til kronestykker.

Hvis du hadde hatt to tiere og skyldte en venn 4 kroner, ville regnestyk-

ket sett slik ut:

Siden du hadde to tiere, men ingen kronestykker,

var du nødt til å veksle den ene tieren til krone-

stykker her også. Derfor har vi satt en strek over

tierplassen. Det betyr at du har tatt den ene tieren

og vekslet til ti kronestykker. Etter at du har betalt

vennen din, har du igjen seks kronestykker og en

tier.

Hvis du har 220 kroner og skylder vennen din 30 kroner, blir det slik:

Her har du ikke nok tiere, så du er nødt til å veksle

en hundrelapp i tiere. En hundrelapp kan veksles

i ti tiere, derfor setter vi 10 over tierplassen. Den

viser at vi har vekslet hundrelappen i ti tiere. Siden

du hadde to tiere fra før, har du til sammen tolv

tiere. Etter at du har betalt de tre tierne du skyldte

vennen din, har du igjen ni tiere, og dem fører vi opp på tierplassen

i svaret. Siden du vekslet den ene av de to hundrelappene du hadde,

har du bare en hundrelapp igjen.