Click here to load reader

Leksehjelp i matematikk

  • View
    223

  • Download
    5

Embed Size (px)

DESCRIPTION

For foreldre og elever i 1. til 10. klasse

Text of Leksehjelp i matematikk

  • Illustrasjoner: Geir Florhaug

    LEKSEHJELP I MATEMATIKK

    HAVARD TJORAO

  • 2014 Kagge Forlag AS

    Layout og omslagsdesign: Kine RstOmslagsfoto: Billybonkers.noAlle tegninger: Geir FlorhaugPapir: Arctic matt 130 gBoka er satt med Museo 300Repro: Lvaas Lito ASTrykk og innbinding: Print Best

    ISBN: 978-82-489-1537-9

    Kagge Forlag ASStortingsg. 120161 Oslo

    www.kagge.no

  • Forord 6Ordliste 8Titallssystemet 10Pluss (addisjon) 12Med tieroverganger 13

    Minus (subtraksjon) 15Med lning 16

    Ganging (multiplikasjon) 189-gangen 20Fingerganging 21Multiplikasjon med flere siffer 22

    Deling (divisjon) 27Divisjon med komma 35

    Utvide og forkorte med 10, 100, 1000 osv 37Avrunding 38Negative tall 39Systematisk lsning gjr jobben lettere 40Hoderegningsstrategier 41Likhetstegnet 42Regnerekkeflge 43Brk 44Faktorisering 56Algebra 58Likninger 67Flytting og bytting 75Likninger med to ukjente 77

    INNHOLD

  • Prosent 83Finne prosenten av et tall 85 Prosentvis avslag og pslag, innfring 85

    Hvor mye kostet jakka fr salget? 87Utregninger av hva noe kostet fr avslag, hvor mange

    prosent noe er og hva noe kostet etter et avslag 87Utregninger av hva noe kostet fr pslag, hvor mange

    prosent noe er og hva noe kostet etter et pslag 89Prosentregning med penger i banken: renter og rentesrente 91

    Rentesrente 95

    Potens 98Tall p standardform 101

    Kvadratrot 101Koordinatsystemer, funksjoner og grafer 102Veien om 1 106Regne med tid 107

    Omgjring av tid til titallssystemet 108Vei, fart og tid 110

    Omgjringer med vei, fart og tid 111

    Geometri 113Noen begreper ta med seg 113

    Omkrets 114Areal 115

    Areal av rektangel, trekant, parallellogram, trapes, rombe 115Trekanter 121

    Typer trekanter : stump, spissvinklet, likesidet, likebeint, rettvinklet 121

    Pytagoras setning 122Pytagoras og trekanter med vinklene 90o,60o,30o 125

    Sirkler 126Pi 127 finne omkretsen av en sirkel 127Arealet av en sirkel 129

    Mlestokk 131

  • Konstruksjon 132Konstruere vinkler med 60o og 90o 132Halvere vinkler 134Bygging av vinkler 136

    Finne midtnormalen 138 nedfelle en normal 139Konstruksjon av en parallell linje 140

    Formlike figurer 141Omgjring mellom enheter 143

    Omgjring mellom kvadratenheter 148Omgjring mellom kubikkenheter 149Forholdet mellom kubikk og liter 150

    Volum av forskjellige figurer 152Massetetthet 155Statistikk og sannsynlighetsregning 156

    Frekvens, frekvenstabell, prosent og diagrammer 156Kakediagram/sektordiagram 157

    Gjennomsnitt 160Median, typetall, variasjonsbredden 160

    Sannsynlighetsregning del 1 162Kombinatorikk 162

    Multiplikasjonsregel, fakultet, ordnet utvalg med tilbakelegging, ordnet utvalg uten tilbakelegging, uordnet utvalg uten tilbakelegging 163

    Sannsynlighetsregning del 2 169Multiplikasjonsregelen, addisjonsregelen 169

    Fasit p V DEG!-oppgaver 170

  • 6FORORDJeg har i lang tid blitt bedt om skrive denne boka, men har sagt nei.

    Undervisning er et sammensatt emne, og i altfor mange r har en nesten

    tatt for gitt at foreldrene skal undervise barna sine nr det gjelder lekse-

    arbeidet. Som oftest m foreldre tr til der vi mislykkes i skolen.

    Jeg har seks rs utdanning og 15 rs yrkeserfaring, men bruker fort-

    satt tid p tenke ut veier inn til elever som strever med matematikken.

    God og gjennomtenkt undervisning krever innsikt og kunnskap om

    faget, men ogs kunnskap om didaktikk ikke minst om hvordan barna

    tenker. En god undervisningssituasjon krever i tillegg at rollen elevlrer

    er etablert, og de frreste barna ser sine foreldre som lrere, de er frst

    og fremst mamma og pappa. Barn har som oftest mindre tlmodighet

    med sine foreldre enn de har med sine lrere, og lrerne har ofte mer

    tlmodighet med elevene enn foreldre har med sine barn. Ingen bok

    eller noe nettsted kan erstatte en utdannet lrer med innsikt i faget sitt

    og elevene sine. Derfor har jeg i lang tid sagt nei til skrive denne boka.

    Nr den likevel skrives, er det fordi vi vet at svrt mange barn og

    voksne strever med matematikk. Slik situasjonen er n, er det fortsatt

    mange foreldre som ikke har noe annet alternativ enn prve for-

    klare matematikken til barna sine. Problemene med matematikk henger

    oftest sammen med sm misforstelser, eller at en mangler litt innsikt i

    deler av faget. Disse sm manglene gjr at all matematikk framstr som

    stadig nye formler og regler uten faste holdepunkter, slik at alt flyter.

    De elevene som sliter med faget, mangler stort sett grunnleggende

    trygghet i at alt i matematikken bygger p logikk, og at svrt mye av matematikken flger de samme prinsippene. Nr de blir helt trygge i de

    fire regneartene (pluss, minus, ganging og deling), vet om alle mulig-

    hetene likhetstegnet gir, og har lrt seg systematisere utregningene,

  • faller gjerne svrt mange brikker p plass. Disse hovedomrdene er

    det jeg kaller grunnpakka, for denne pakka ligger til grunn for nesten

    alle utregninger og prinsipper for finne lsninger, som vi sker etter i

    grunnskolen.

    Mitt hp er at denne boka kan vre med p skape trygghet i mte

    med faget, og at bde elever og foreldre kan legge bort forestillinger om

    at de ikke kan lre seg matematikk.

    Et stort hinder for mange er at de m vite hvorfor matematikken er som den er, for komme seg videre og kunne ta metodene i bruk. Det

    holder ikke si at vi kan flytte og bytte nr det kommer til likninger,

    de fleste vil vite hvorfor vi flytter og bytter. S langt det lar seg gjre, har

    jeg her prvd forklare prinsippene og hva som skjer. Hvis du ikke har

    behov for forklaringene p hvorfor, kan du hoppe rett til formlene og de siste eksemplene i kapitlene. De gr gjerne fortere fram.

    Til de fleste temaene er det oppgaver, og fasiten finner du bakerst i

    boka.

    Lykke til!

    Hvard Tjorajuni 2014

  • 8I boka har jeg med vilje valgt de mer dagligdagse begrepene i

    matematikk, som legge sammen og trekke fra i stedet for addere og

    subtra here. I en forklaringssituasjon br en luke vekk mest mulig som

    kan forvirre eller gjre at barna er ndt til tenke seg om for skjnne

    hva som menes. De aller fleste matematikklrere nsker likevel bruke

    korrekte begreper i matematiske sammenhenger. Nedenfor flger en

    liten ordliste over ord og begreper vi mter i matematikken.

    ORDLISTEAddisjon: legge sammen. Nr vi adderer to tall, legger vi

    sammen to tall.

    Dividend: I et delingsstykke, for eksempel 32 : 16 = 2, er det

    tallet 32 som er dividend.

    Dividere: dele.

    Divisor: I delingsstykket 32 : 16 = 2 er tallet 16 divisor.

    Faktor: Tallene som er med i et gangestykke, kalles faktorer.

    faktor faktor = produkt.

    Kvotient: I delingsstykket 32 : 16 = 2 er tallet 2 kvotient.

    Ledd: Tallene som er med i regnestykket nr vi legger sammen

    og trekker fra, kaller vi ledd.

    Likning: Et regnestykke med minst en ukjent. Den ukjente

    er som oftest kalt X.

    Multiplikasjon: Ganging.

  • Origo: Nullpunktet i et koordinatsystem.

    Produkt: Svaret i et gangestykke.

    Siffer: 321 er et tall som er satt sammen av tre siffer.

    Sifrene er enkelttall som er med p bygge opp et annet tall.

    Posisjonen til et siffer bestemmer verdien sifferet har.

    Sirkel: Det samme som en runding. Alle punktene p sirkelen ligger

    like langt fra sentrum til sirkelen.

    Skjringspunkt: Punktet der to grafer krysser hverandre, kalles

    skjringspunkt.

    Subtraksjon: trekke fra. Nr vi skal trekke fra, sier vi at vi subtraherer.

    Sum: Svaret i et pluss- eller minusstykke.

    Tiervenner: Tall som sammen gir tallet 10: 3 og 7, 9 og 1 osv.

    Vinkelbein og toppunkt: En vinkel har to vinkelbein og et toppunkt.

    Punktet der vinkelbeina skjrer hverandre eller mtes, kaller vi topp-

    punktet. Sett fra toppunktet har vi hyre og venstre vinkelbein.

    Vinkelsum: Summen av alle vinklene i en mangekant (trekanter,

    firkanter, femkanter osv.). Vinkelsummen i en trekant er 180. Firkanter

    har vinkelsummen 360.

  • 10

    TITALLSSYSTEMETOpp gjennom historien har det eksistert mange tallsystemer Ogs i dag er det flere forskjellige tallsystemer som er i bruk Det vanligste er nok det binre tallsystemet, eller totallssystemet, som brukes til programmere datamaskin-er Vrt eget tallsystem heter titallssystemet og brukes over hele verden Det fungerer ved at enere, tiere, hundrere osv har sin bestemte plass i forhold til hverandre Det letteste er forklare det med et eksempel:

    Titallssystemet er bygd opp ved at ulike verdier har sin bestemte plass.

    La oss si at du skal telle opp hvor mange boller det er i et bakeri. For

    lage et bra system, legger du ti og ti boller i hver sin pose. Etter ha telt

    opp, kommer du kanskje fram til at du har tre bolleposer med ti i hver,

    og i tillegg har du fire boller til overs. I titallssystemet skriver vi det slik:

    34. Her ser du at 3-tallet str for hvor mange bolleposer (med ti i hver)

    du har, og 4-tallet str for hvor mange enkeltboller det er til overs. Det

    viktige er at tierne og enerne har hver sin plass. Titallssystemet er derfor

    et plassverdisystem. Den plassen sifferet str p, bestemmer verdien til

    sifferet. I tallet 34 ser du at 3-tallet str til venstre for 4-tallet. Det vil si at

    3-tallet hrer til tiergruppa.

    3 4

  • Hvis du er i et bakeri med svrt mange boller, la oss si flere hundre,

    m du utvide titallssystemet. Da teller du frst opp i grupper p ti og ti.

    Etter hvert kommer du til at du har ti bolleposer med ti i hver. Da har

    du til sammen 100 boller, og du m opp enda en plass til det vi kaller

    hundrerplassen. De hundre bollene som ligger i ti poser, legger du kan-

    skje i en eske. Etter at du har lagt bolleposene der, oppdager du at du har

    to poser til overs, pluss tre enkeltboller som ikke er nok til fylle en pose.

    Da har du en eske med hundre, to poser med ti (til sammen tjue) og tre

    enkeltboller. Vi skriver det slik: 123, ett hundre og tjuetre.

    Det finnes uendelig mange tall, og her er en oversikt over titallssystemet

    et godt stykke p vei:

    321

  • 12

    PLUSS (addisjon)

    Nr du har forsttt hvordan titallssystemet fungerer, kan du legge sammen kjempe store tall P matematikksprket heter det addere Den letteste mten er sette tallene under hverandre Nr du legger sammen tall, er det viktig at du alltid passer p legge enere sammen med enere og tiere med tiere Greier du holde tunga rett i munnen og plassere enere over enere og tiere over tiere, kan du legge sammen veldig store tall, selv om du ikke har regnet s mye fr

    Vi kan starte litt forsiktig med 12 + 5. Siden det er lettest

    skrive tallene under hverandre, setter vi det opp slik:

    Her ser du at 2-tallet i tallet 12 viser to enere og skal st

    p enerplassen. 1-tallet i tallet 12 viser en tier og skal

    derfor st p tierplassen. Tallet 5 hrer til enerne og

    skal st p enerplass. Vi fr da 7 enere og 1 tier, alts

    tallet 17.

  • 13

    Denne mten legge sammen p gjelder ogs nr vi har veldig store

    tall. Kan du framgangsmten, er det enkelt regne ut for eksempel

    1 457 832 + 8 342 156. Nr vi setter tallene under hverandre og er nye

    med plassere dem riktig, fr vi svaret 9 799 988.

    Framgangsmten fungerer fint s lenge sifrene vi legger sammen

    ikke blir strre enn 9. Blir de strre, m du kunne litt mer om addisjon.

    Vi forklarer det i neste avsnitt.

    Addisjon med tierovergangerVi tenker oss at vi teller opp penger etter en bestemt regel. Hver gang du

    teller opp ti enkroner, skal de veksles til en tikrone. Hvis du har 13 krone-

    stykker, kan du veksle inn ti av kronestykkene og f en tikrone. Tikronen

    er alts like mye verdt som ti kronestykker. Nr du flger denne regelen,

    blir alts 13 kronestykker etter veksling lik en tikrone og tre kronestykker.

    Det ser snn ut:

    Vi tenker oss s at du i tillegg til disse 13 kronene fr tte kronestykker til.

    Da har vi et addisjonsstykke (eller pluss-stykke) som ser slik ut:

    Her ender vi opp med to tiere og ett kronestykke, alts 21 kroner. Vi har

    vekslet ti kronestykker til en tier og har n ett kronestykke til overs.

  • Nr vi setter opp dette under hverandre, fr vi:

    Legg merke til 1-tallet vi har satt over tieren i 13. Det kalles minnetegn eller mente og minner oss p at vi har vekslet ti kronestykker til en tier. Siden det er en tier, setter vi minnetegnet p tierplassen.

    Det er alts ti enkroner i en tikrone. Du har sikkert sett at vi har

    hundre lapper og tusenlapper ogs. En hundrelapp er like mye verdt

    som ti tikroner. Dersom du har en kalkulator, kan du prve legge

    sammen 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10. Du ser at det blir 100.

    Vekslingsregelen som gjaldt for kronestykker, gjelder ogs for ti kro-

    nene. Fr du ti tikroner, kan de straks veksles til en hundrelapp. S hvis

    du har 15 tikroner, blir det en hundrelapp og fem tikroner:

    Her ser du at 15 tikroner er det samme som

    en hundrelapp og fem tikroner, alts 150 kroner.

    I tillegg til hundrelappen og de fem tikronene tenker vi oss n at du fr

    sju tikroner til. Da ser det slik ut:

    Skrevet som et regnestykke fr vi:

    Legg merke til at vi her fikk mer enn ti tiere, s vi mtte veksle til en hundrelapp. Siden det er en hundrelapp, skal

    minnetegnet st p hundrerplassen.

  • 15

    MINUS (subtraksjon)

    Subtraksjon er det samme som trekke fra Nr vi trekker fra, tar vi bort noe Hvis du for eksempel har sju boller og spiser tre, har du fire boller igjen P samme mte som nr vi adderer, setter vi subtraksjonsstykkene under hveran-dre Da ser det slik ut:

  • 16

    Ln og vekslingLa oss tenke oss at du har en tier i lomma, og at du skylder en venn

    4 kroner. Den eneste mten du kan f gjort opp for deg, er ved veksle

    tieren til kronestykker. Da kan du gi fra deg de fire kronene du skylder, og

    du sitter igjen med seks kronestykker. Vi skriver det som et regnestykke:

    Her ser du at vi har satt en strek over 1-tallet i 10

    og skrevet 10 over enerplassen. Det er fordi vi har

    vekslet inn tieren og ftt ti kronestykker. Streken

    over tieren viser alts at tieren du hadde, er blitt

    gjort om til kronestykker.

    Hvis du hadde hatt to tiere og skyldte en venn 4 kroner, ville regnestyk-

    ket sett slik ut:

    Siden du hadde to tiere, men ingen kronestykker,

    var du ndt til veksle den ene tieren til krone-

    stykker her ogs. Derfor har vi satt en strek over

    tierplassen. Det betyr at du har tatt den ene tieren

    og vekslet til ti kronestykker. Etter at du har betalt

    vennen din, har du igjen seks kronestykker og en

    tier.

    Hvis du har 220 kroner og skylder vennen din 30 kroner, blir det slik:

    Her har du ikke nok tiere, s du er ndt til veksle

    en hundrelapp i tiere. En hundrelapp kan veksles

    i ti tiere, derfor setter vi 10 over tierplassen. Den

    viser at vi har vekslet hundrelappen i ti tiere. Siden

    du hadde to tiere fra fr, har du til sammen tolv

    tiere. Etter at du har betalt de tre tierne du skyldte

    vennen din, har du igjen ni tiere, og dem frer vi opp p tierplassen

    i svaret. Siden du vekslet den ene av de to hundrelappene du hadde,

    har du bare en hundrelapp igjen.