Undervisningskunnskap i matematikk for lærere på 5–10 trinn

Undervisningskunnskapi matematikk for lrerep 5.10. trinn 6

Arne Jakobsen, Janne Fauskanger, Reidar Mosvold og RaymondBjuland

E n lrer skal legge til rette for at alle elever lrer matematikk,og for gjre dette trenger lreren ulike typer fagkunnskap.I dette kapittelet vil vi sette matematikklreres undervisningskunnskapinn i en teoretisk sammenheng. Vi vil presentere en teori som kan vretil hjelp nr ulike aspekter av matematikklreres kunnskap skal diskuteresog videreutvikles. Vi vil belyse undervisningskunnskap i matematikki tilknytning til noen sentrale emner som det undervises i p 5.10. trinn.Diskusjonen blir srlig knyttet til fem episoder fra klasserommet relaterttil likhetstegnets betydning og til brkregning. I tillegg diskuteres enepisode hvor elevene samtaler om matematikk som ligger utenfor pensump elevenes klassetrinn. Sprsml fra klasserommet, som nr 9. klassingenspr hvorfor 34 :

12 34 2, hva m da lreren kunne?, vil tillegges stor

vekt.

6.1 Innledning

Innholdet i lrerutdanningen generelt, og innholdet i lrerutdanningenskurs i matematikk og matematikkdidaktikk spesielt, diskuteres stadig.Disse diskusjonene skjer bde i faglige og skolerelaterte fora og imassemedia. Et sprsml som ofte gr igjen, er: Hva m matematikk-lreren kunne? Mange har meninger om dette, og diskusjoner knyttet tillreres kunnskap dukker med jevne mellomrom opp i media. Foreksempel kunne en vren 2013 lese en fredagskronikk i Dagens Nringslivsom konkluderte med at dersom lrerutdanningen ikke klarer tiltrekkeseg de faglig sterke studentene, kan den like godt nedlegges, og framtidigelrere kan rekrutteres fra andre utdanninger (Kvaly, 2013). Hva detinnebrer vre faglig sterk, ble relatert til karakterer fra videregende

skole, og ikke til hvilken kunnskap en framtidig lrer faktisk trenger for atelevene vedkommende mter, skal lre mest mulig og f best muligresultater. Signaliseringsmodellen, som er utgangspunkt for Kvalyskronikk, baseres p at det ikke er hva en student lrer som er viktigst, menat verden fr se hva vedkommende er i stand til lre. I de gjeldendenasjonale retningslinjene for grunnskolelrerutdanningens matematikkursfor studenter som vil utdanne seg til lrere for elever p 5.10. trinn, erutgangspunktet en annen modell enn signaliseringsmodellen. Her ervekten lagt p hva studenter skal tilegne seg gjennom sin utdanning. Deskal:

[. . .] utvikle undervisningskunnskap i matematikk. Dette innebrer at de m haen solid og reektert forstelse for den matematikken elevene skal lre og hvordandenne utvikles videre p de neste trinnene i utdanningssystemet. Videre krevesmatematikkfaglig kunnskap som er sregen for lrerprofesjonen. Slik kunnskapomfatter, i tillegg til selv kunne gjennomfre og forst matematiske prosesserog argumenter, ogs kunne analysere slike som foresls av andre med tanke p vurdere deres holdbarhet og eventuelle potensial. Undervisningskunnskapinnebrer ogs ha didaktisk kompetanse som gjr at studentene kan sette seginn i elevenes perspektiv og lringsprosesser, og gjennom variasjon og tilpasningkunne tilrettelegge matematikkundervisning for elever med ulike behov og medulik kulturell og sosial bakgrunn p en slik mte at matematikk framstr somet meningsfullt fag for alle elever.

(Kunnskapsdepartementet, 2010, s. 34, vr utheving)

Matematikkfaglig kompetanse, mlt ved karakterer fra videregende skole,er et godt grunnlag for utvikle undervisningskunnskap, men undervis-ningsarbeidet fordrer ulike typer matematisk kunnskap. Det enmatematikklrer trenger for undervise i faget, dreier seg alts ikke bareom kunne selve fagstoet bedre enn elevene hva n bedre mtteinnebre. Undervisningskunnskap i matematikk handler om en typekunnskap som er forskjellig fra den matematikkunnskapen elevene skaltilegne seg.

Undervisningskunnskap i matematikk vil i dette kapittelet belyses ved trekke fram og diskutere relevante episoder fra grunnskolens 5.10. trinn,og den frste episoden omhandler likhetstegnet.

568 KAPITTEL 6 UNDERVISNINGSKUNNSKAP I MATEMATIKK FOR LRERE P 5.10. TRINN

Episode 1 Lise, som er lrer i en 5. klasse, ba elevene sine om nne tallet pden tomme linja i flgende oppgave:

8 15 9Hun observerte at ikke alle elevene kom fram til det korrekte tallet 14.En elev skrev 23, mens en annen skrev 32. Disse svarene flger vanligefeilmnstre, og Lise var forberedt p at de kunne dukke opp som muligeelevsvar. Hun hadde ogs planlagt hvordan hun eventuelt kunne hjelpeelever som kom fram til disse svarene. Fr du leser videre: Tenk over sprsmlene under, og diskuter dem meden medstudent.

Hvordan tenker elevene som fr svarene 23 og 32? Hva er det elevene forstr og ikke forstr? Hvordan kan Lise vite at disse feilsvarene vil forekomme? Hvilken

kunnskap er det Lise baserer sine antagelser p?

Hvordan vil du som lrer mte elevene som svarer 23 og 32, og vil dumte dem p samme mte? Hvilken type oppgaver ville du eksempelvisgi dem? Hvilke sprsml ville du stilt?

En utfordring i oppgaven Lise ga elevene, relateres til forstelse for lik-hetstegnet. Det skrive 23 p den tomme linja er et vanlig feilmnster somindikerer at elevene har det som kalles en operasjonell forstelse forlikhetstegnet; de ser p det som et tegn p at n kommer svaret(Kieran, 1981). De summerer rett og slett 8 og 15 og overser 9-tallet phyre side av likhetstegnet. Elever som skriver 32, ser p likhetstegnet somet tegn for at n skal noe gjres (Kieran, 1981) adderes i dette tilfellet og s adderer de tallene som inngr i oppgaven 8 15 9 32.En som derimot skriver 14 p den tomme linja, indikerer en relasjonellforstelse for likhetstegnet. P samme mte vil en elev uten relasjonellforstelse kunne skrive 7 p den tomme linja i flgende oppgave:29 22 6 28. Med friskt mot vil eleven fylle inn frst4 og s 11 nr vedkommende mter flgende oppgave:6 2 7 5 16 uten forst at det er matematiskproblematisk. Episode 1 oppleves kanskje som noe som hrer til psmskoletrinnet. Grunnlaget for forst likhetstegnet skal riktignoklegges der, men hva skal en gjre dersom mange elever kommer inn i en5. klasse uten god forstelse for dette viktige matematiske tegnet? Da er detavgjrende at lreren i 5. klasse har en dyp forstelse for likhetstegnet,

6.1 INNLEDNING 569

kunnskap om elevers (mis)forstelse av likhetstegnet og hvordan en somlrer kan f kjennskap til elevenes tenkning, og om hvordan en skalundervise for at elevene fr god forstelse for likhetstegnet. Hva skalLise foreta seg om mange elever i hennes 5. klasse skriver 23 eller 32, ogikke 14, p den tomme linja i den frste oppgaven eller 4 og 11 p detomme linjene i den siste oppgaven ovenfor? Dette er kunnskap enpotensiell lrerstudent med gode karakterer fra videregende skole ikkendvendigvis har. Hvis det er slik at undervisning er rsaken til at eleverikke har utviklet relasjonell forstelse for likhetstegnet (f.eks. Asquith,Stephens, Knuth, & Alibali, 2007; Behr, Erlwanger, & Nichols, 1980;Kieran, 1981), og elever est kan utvikle en relasjonell forstelse forlikhetstegnet om de gis relevant erfaring i en stttende undervisnings-kontekst (Seo & Ginsburg, 2003), kan det argumenteres for at lrereskunnskap relatert til likhetstegnet er viktig ogs p hyere trinn. I tilleggviser det seg at begrenset forstelse for likhetstegnet er en viktig rsaktil elevers utfordringer i algebra (Carpenter, Franke, & Levi, 2003;Knuth, Stephens, McNeil, & Alibali, 2006).

Episode 2 er hentet fra en 7. klasse og beskriver ogs en situasjonhvor mangelfull forstelse for likhetstegnet er sentral.

Episode 2 I en arbeidskt med fokus p likninger skal elevene til Per lse likningen7x 11 25. Per observerer at ere av elevene lser likninger uten bruke likhetstegnet riktig, og en av elevene lser likningen p flgendemte:

7x 11 25 7x 14 x 2Per som er fersk lrer i klassen er overrasket over at detteforekommer i 7. klasse. Fr du leser videre: Tenk over sprsmlene under, og diskuter demmed en medstudent.

Hvordan tenker elever som fr svaret x 2 p denne mten? Hva er det elevene forstr og ikke forstr? Hvordan kunne Per ha forutsagt at denne typen feil bruk av

likhetstegnet kan forekomme? Hvilken kunnskap kunne Per habasert sine antagelser p?

Hvordan vil du som lrer mte elevene som svarer x 2?


Denne episoden viser et eksempel p det som i litteraturen kalles equalitystring (Knuth et al., 2006); likhetstegnet brukes da uriktig i ensammenhengende sekvens. P lavere klassetrinn kan en observere detsamme fenomenet nr en eksempelvis arbeider med addisjon av to ellerere tosifrede tall. En versjon av samme feilmnster p fjerde trinn, hvorfor eksempel tre tosifrede tall skal adderes, vil kunne utarte seg slik:27 41 39 blir til 27 41 39 80 80 27 107. Underveisi prosessen med lse likningen i episode 2 er likhetstegnet brukt feil.

En siste innledende episode, ogs tilknyttet likhetstegnet, viser eleversarbeid med andregradslikninger.

Episode 3 I en 8. klasse har elevene arbeidet med lse andregradslikningen2x2 6x. En elev sier at x 3 er en lsning, og lreren ber eleven om forklare hvordan han kom fram til det svaret. Eleven svarer da:Frst delte jeg med 2 p begge sider og kk x2 3x. S delte jeg med xp begge sider og kk at x var 3. Fr du leser videre: Tenk over sprsmlene under, og diskuter demmed en medstudent.

Hvordan vil du som lrer mte elevene som svarer at x 3 erlsningen?

Hva er det eleven forstr og ikke forstr? Hvilken kunnskap trenger du som lrer for kunne ha en diskusjon

som gjr at eleven i denne episoden forstr at hans resonnement harsvakheter?

En elev som vet at han m gjre det samme p begge sider av likhets-tegnet nr han lser likninger, indikerer en relasjonell forstelse forlikhetstegnet om vedkommende da ikke bare flger regler som er pugget.Her er det andre sider ved matematikken som er viktige, nemlig at dele med x p begge sider forutsetter at x 6 0. Vi ser at ogs x 0er en lsning her. Det vite at andregradslikningen 2x2 6x har tolsninger, er ogs viktig matematikkfaglig kunnskap.

Som episodene over illustrerer, bestr det arbeidet en matematikklrergjr i tilknytning til undervisningen av en rekke utfordringer. Mate-matikklreren skal blant annet kunne velge ut gode matematiske eksemplerog oppgaver, og analysere elevenes matematiske argumenter, utregninger,feil og misoppfatninger. Videre skal matematikklreren kunne stillematematiske sprsml, svare p sprsml relatert til matematikk ogevaluere lremidler i faget det vre seg lrebker eller digitale

6.1 INNLEDNING 571

lremidler. Som det innledende sitatet fra de nasjonale retningslinjene forgrunnskolelrerutdanningens matematikkurs viser, ligger det til grunn entanke om at matematikklrere trenger bde faglig og fagdidaktiskkunnskap. I tillegg indikerer sitatet at lrerne ogs trenger en typefagkunnskap som er spesielt knyttet til lrerprofesjonen. Dette er en typekunnskap som er forskjellig fra det matematiske innholdet som vektleggesi videregende skole. Denne typen fagkunnskap er tett knyttet tilundervisningsarbeidet i matematikk noe de tre episodene ovenfor viser.

I dette kapittelet diskuterer vi fem klasseromsepisoder fra 5.10. trinnved bruke teori tilknyttet undervisningskunnskap i matematikk, og vivil diskutere hva slik kunnskap kan innebre. Det er utviklet ere uliketeorier og rammeverk for lreres kunnskap, og det er bde forskjellerog likheter mellom mange av disse. Det disse teoriene har til felles, er atde forsker fange en del i noen tilfeller alle aspekter ved lrereskunnskap. I fortsettelsen av dette kapittelet har vi valgt ett slikt rammeverksom utgangspunkt, ikke fordi det ndvendigvis er det beste, men fordi detgir oss muligheten til presentere vrt budskap p en god mte. Detterammeverket kalles Mathematical knowledge for teaching (Ball, Thames,& Phelps, 2008), og det oversettes p norsk til Undervisningskunnskapi matematikk forkortet til UKM (Fauskanger, Bjuland, & Mosvold,2010).18

18 Begrepet undervisningskunnskap brukt i nasjonale retningslinjer for matematikki lrerutdanningen (Kunnskapsdepartementet, 2010) refererer ikke direkte tildette rammeverket, til tross for mange klare likhetstrekk.


6.2 Undervisningskunnskap i matematikk UKM

Selv om de este ser ut til vre enige i at en matematikklrer trengermatematisk kunnskap og at denne matematiske kunnskapen er spesieltknyttet til lrerprofesjonen ser det ikke ut til vre like stor enighet omhva denne kunnskapen skal inneholde. Det er utviklet ulike teorier ogrammeverk som tar sikte p beskrive denne kunnskapen, og mangerefererer til de teoriene som ble presentert av Shulman (1986) for snarttretti r siden. Shulman mente at det ns en type faglig kunnskap som erspesielt knyttet til undervisning, og han la srlig vekt p det vi p norskkan kalle fagdidaktisk kunnskap (pedagogical content knowledge).Han beskrev dette som en kombinasjon av faginnhold og pedagogikktil en forstelse av hvordan spesielle temaer, problemer eller oppgaverer organisert, presentert og tilpasset interessene og evnene til elevene,og presentert for undervisning (Shulman, 1987, s. 8, vr oversettelse).Shulman var ikke opptatt av matematikkfaget spesielt, men hansbeskrivelse av viktige komponenter av lrerkunnskap gjelder i alle fag.Shulman la alts vekt p at det ns en type fagkunnskap som er spesiellfor det undervise i et fag, og disse tankene danner utgangspunktetfor UKM.

Teoriene om UKM ble utviklet med utgangspunkt i klasseromsstudier.I et forskningsprosjekt ved Universitetet i Michigan i USA startet forskeremed studere det arbeidet lrerne gjr i tilknytning til matematikk-undervisningen. I dette prosjektet forskte de ved hjelp av kvalitativeanalyser nne ut mer om hvilke problemer og utfordringer lrernemter i sin matematikkundervisning, og de fokuserte bde p hva og phvordan matematikklrere trenger kunne faget. Forskerne var ogsinteresserte i nne ut mer om hvilke kunnskaper, ferdigheter og evnersom kreves av lrerne for kunne oppfatte de ulike matematisk relatertesituasjonene som oppstr i klasserommet, og hndtere disse p en godmte. Videre forskte de nne ut hva det er helt konkret lrerne gjr nrde underviser i matematikk. Ut fra disse kvalitative analysene formulertede hypoteser knyttet til egenskaper ved UKM, og i en oppflgingsstudieutviklet forskerne et instrument bestende av tester med flervalgsopp-gaver som skulle mle lreres UKM. Instrumentet ble utviklet bde for forst bedre denne typen kunnskap og for studere egenskaper ogbetydningen av de ulike typene UKM (Ball et al., 2008).

6.2 UNDERVISNINGSKUNNSKAP I MATEMATIKK UKM 573

Ut fra disse klasseromsstudiene fant forskerne fram til en rekke ut-fordringer som er spesielt knyttet til det arbeidet lrere gjr i forbindelsemed matematikkundervisning (Ball et al., 2008, s. 400, vr oversettelse):

presentere matematiske ideer respondere p elevenes hvorfor-sprsml nne eksempel for f fram et bestemt matematisk poeng vre klar over hva som involveres nr en bestemt framstilling tas i bruk knytte representasjoner til underliggende ideer og til andre represen-

tasjoner

knytte emnet en underviser i, til emner fra tidligere r eller tilkommende emner

forklare matematiske ml og hensikter til foreldre/foresatte vurdere og tilpasse det matematiske innholdet i lrebker endre oppgaver slik at de blir mer eller mindre utfordrende forklare om elevenes pstander er rimelige (ofte raskt) gi, eller evaluere, matematiske forklaringer velge og utvikle gode denisjoner bruke matematisk notasjon og sprk, og bedmme bruken stille fruktbare matematiske sprsml velge ut hensiktsmessige representasjoner underske likheter


Episode 4, fra en 9. klasse, illustrerer noen av de utfordringer en lrerkan mte i sin undervisning.

Episode 4 Mens han rettet en matematikkprve, oppdaget Oskar at ere av elevenestrevde med brkregning knyttet til en eller ere av de re regneartene.Med bakgrunn i de feilene han fant, bestemte Oskar seg for gi elevenesine noen repetisjonsoppgaver i den neste matematikktimen. En avoppgavene involverte divisjon av to brker, og i lreboka str det at:

34:12 3

4 2

En av de faglig sterke elevene spr da: Hvorfor er det slik? Oskarbestemmer seg for notere ned alle sprsmlene som kommer fraelevene, for ta dem opp samlet mot slutten av arbeidskten. Fr du leser videre: Tenk over sprsmlene under, og diskuter dem meden medstudent.

Hvordan vil du forklare lrebokas pstand? Er den riktig? Alltid? Kan du forklare dette p ere mter? Hvilken kunnskap trenger du som lrer for kunne svare p dette

sprsmlet?

Hva skal Oskar svare 9.-klassingen som spr hvorfor 34 :12 34 2?

Sprsmlet krever en forklaring, og det kunne svare p slike hvorfor-sprsml var en av de utfordringene i matematikkundervisningen somble identisert av Ball og kollegaer (2008). Nr lreren skal svare pslike sprsml, holder det ikke alltid bare presentere en matematiskkorrekt forklaring. For f fram et bestemt matematisk poeng trengerlreren kanskje nne noen relevante eksempler som kan f fram dettepoenget for elevene, og dette er et eksempel p en annen utfordring.Kanskje har Oskar allerede nr han gir oppgaven til elevene, en plan forhvordan han vil hndtere et slikt sprsml om det skulle dukke opp.

Hvordan vil du som kommende lrer for 5.10. trinn hndtere situasjonersom den som er beskrevet over? Kanskje vil du starte forklaringen medutgangspunkt i et enklere eksempel som 2 : 12, eller knytte eksemplet tilheltallig mlingsdivisjon fra tidligere klassetrinn. Eller kanskje vil duvelge illustrere regnestykket med en representasjon i form av en gur.

En mulighet er illustrere mlingsdivisjon gjennom knytte dette oppmot elevenes hverdag ved formulere det p denne mten: Du har 34 kilohvetemel i skuen. I en oppskrift skal det vre et halvt kilo hvetemel.


Hvor mange porsjoner kan du da lage? Du kan lage 1,5 porsjoner.En annen mulighet er vise dette rent matematisk med g veien omlikeverdige brker:

34:12

34 2

12 2

34 21

34 2 6

4 3

2 1; 5

Eksemplene p ulike tilnrminger en lrer kan ha til elevens sprsml omhvorfor 34 :

12 34 2, illustrerer mangfoldet i lreres kunnskap, og det gir et

behov for ha teorier og modeller tenke gjennom. Med utgangspunkti utfordringene som er presentert i kulepunktene p side 574, harShulmans opprinnelige teorier blitt videreutviklet til UKM. Ball ogkollegaer (2008, s. 395) denerer UKM som den matematiske kunnskapsom trengs for gjennomfre undervisningsarbeid i matematikk(vr oversettelse).

6.2.1 Ulike deler av UKMTeoriene om UKM ble alts med Shulmans (1987) modell som teoretiskutgangspunkt utviklet fra analyser av matematikkundervisning. Shulmanla srlig vekt p begrepene fagkunnskap og fagdidaktisk kunnskap,og Ball og kollegaer bygde videre p disse begrepene i sin teori. En gursom ofte har blitt brukt for illustrere de ulike kunnskapsomrdene somligger under de to begrepene til Shulman, er det skalte egget (gur 1).Figuren viser de ulike kunnskapsomrdene og hvordan de forholder segtil hverandre. Det er viktig ikke overfortolke guren hverken nr detgjelder omrdenes strrelse eller skillet mellom dem. Figuren er ment somen illustrasjon av de ulike kunnskapsomrdene forskerne har identisert,men det er ikke alltid noe skarpt skille mellom disse. Den kunnskapenen lrer er avhengig av for mte utfordringene i det undervisnings-relaterte arbeidet, vil som oftest best av en blanding av de ulike kunn-skapsomrdene. Det er ogs verdt nevne at siden UKM er knyttet tilundervisning, er UKM forskjellig for bde ulike skoler, trinn og emner.UKM for frskolelrere er forskjellig fra UKM for grunnskolelrere som igjen er forskjellig fra UKM for lrere i den videregende skole.P samme mte vil undervisningskunnskap i geometri vre forskjelligfra undervisningskunnskap tilknyttet tall og operasjoner som igjener forskjellig fra undervisningskunnskap i algebra.


Figur 1De ulike delene avUKM (Fauskanger,Bjuland, & Mosvold,2010, s. 105)

Fagkunnskap (FK)

Allmennfagkunnskap

(AFK)

Kunnskap om fagliginnhold ogelever Lreplan-

kunnskapKunnskapom fagliginnhold ogundervisning

Spesialisertfagskunnskap(SFK)Matematisk

horisont-kunnskap

Fagdidaktisk kunnskap (FDK)

FagkunnskapP den venstre siden av guren er matematikklrerens fagkunnskap deltinn i tre kunnskapsomrder: allmenn fagkunnskap, spesialisertfagkunnskap og matematisk horisontkunnskap. Allmenn fagkunnskaper den matematiske kunnskapen som blir brukt i matematikkundervis-ningen, p samme mte som kunnskapen ogs blir brukt i andre yrkerhvor matematikk benyttes. Tilknyttet episode 1 (side 569) handler dettefor eksempel om vite hvilket tall som m legges til 9 for f det sammesom 8 15, eller sagt p en annen mte: fylle inn riktig tall p dentomme linja i oppgaven: 8 15 9. Tilknyttet episode 2 (side 570)vil en med allmenn fagkunnskap nne lsningen p likningen 7x 11 25.I episode 3 (side 571) vil allmenn fagkunnskap handle om det kunnemetoder for lse andregradslikninger for s nne lsningene til2x2 6x, mens det i episode 4 (side 575) handler om nne svaret p34 :

12 34 2. Lrere m kunne beregne og gi svar p de oppgavene de

gir til elevene sine, og for brkdivisjonen (episode 4) handler det om kunne regne ut hva 34 :

12 34 2 blir. En kommer ikke utenom behovet

for slik kunnskap i undervisningen. Dersom en lrer ikke har dengrunnleggende matematiske forstelsen som skal til for lse dematematiske utfordringer som er aktuelle p det nivet han underviser, blirdet umulig gi undervisning av hy kvalitet. Den gruppen av elever fravideregende skole som Kvaly (2013) vil rekruttere inn i lrerutdan-ningen, har sannsynligvis god allmenn fagkunnskap, og de vil nok ikkestreve med nne riktig svar p noen av de matematiske utfordringenediskutert i tilknytning til episodene 14. Iflge gjeldende retningslinjer forlrerutdanningen (Kunnskapsdepartementet, 2010) trenger derimot dekommende lrerne noe mer enn allmenn fagkunnskap. Forskning viserogs at allmenn fagkunnskap ikke er nok for kunne hanskes med deutfordringer som lrere mter i sin matematikkundervisning. Diskusjonen


omkring en eventuell revurdering av argumentet om at jo mer mate-matikk en kan, dess bedre lrer blir man har gtt i ere tir allerede(for en oversikt, se Askew, 2008).

Selv om lrere trenger solid allmenn fagkunnskap i matematikk, er detden spesialiserte fagkunnskapen som blir sterkest vektlagt av forskerne(Ball et al., 2008). Spesialisert fagkunnskap er matematisk kunnskap somer unik for lrergjerningen. Det er en type kunnskap som bidrar til atlrere kan engasjere seg i de utfordringene som er spesielt knyttet tilmatematikkundervisningen (se side 574 for eksempler p slike utfordringer).I likhet med fagdidaktisk kunnskap er ogs spesialisert fagkunnskapknyttet til praksis, men i motsetning til fagdidaktisk kunnskap, kreverikke spesialisert fagkunnskap noen spesiell kunnskap om elevene ellerundervisningen. Spesialisert fagkunnskap er en bestemt type matematiskkunnskap, men det er ikke ndvendigvis en type matematisk kunnskapsom matematikere eller andre med god allmenn fagkunnskap i mate-matikk har. Fra episode 4, hvor elevene nsker en forklaring p hvorfor34 :

12 34 2, ser vi at forklaringer som benytter seg av ulike representa-

sjoner, fordrer kunnskap som ikke er en del av den allmenne fagkunn-skapen. En som benytter seg av matematikk innenfor konomi, trengereksempelvis bare inneha den allmenne fagkunnskapen som er ndvendigfor gjennomfre regneoperasjonen. Fagkunnskap som er ndvendig for kunne illustrere brkoperasjoner ved hjelp av ulike representasjoner,er en type fagkunnskap som er spesielt nyttig for de som skal undervisei brkoperasjoner, og dette er en del av den spesialiserte fagkunnskapen.Slik fagkunnskap er lite nyttig i andre profesjoner. Vi har allerede, etterepisode 4, nevnt muligheten for at en lrer kan bruke mlingsdivisjoni denne situasjonen. Om vi har liter saft som skal fordeles i asker somtar en halv liter, hvor mange asker trenger vi? En annen mulighet er illustrere dette med en gur:

Figur 2Representasjon avbrkdivisjon.

Tre av re rader er fylt med saft og disse er markert med gult. Hverkolonne svarer her til en hel aske saft her to asker. Vi ser at hver askeer fulle, og til sammen trenger vi da 34 :

12 34 2 asker det vil si

1 asker saft. Slik kunnskap m en lrer ha for kunne undervise


eektivt til alle elever, men det er kunnskap som er spesialisert forundervisning. Borko, Underhill, Jones og Agard (referert i Ball et al., 2008)beskriver en episode med en matematikklrer som har utdanning medere universitetskurs i matematisk analyse, matematisk bevisfring ogabstrakt algebra. Lreren hadde ikke selv noen problemer med utfredivisjon med brk, men var likevel ikke i stand til gi en riktig repre-sentasjon av divisjon som involverer brk. Lreren kunne heller ikkeforklare hvorfor den instrumentelle metoden med snu brken ogmultiplisere som vanligvis benyttes nr man skal gjennomfre brk-divisjon fungerer. Dette viser at det trengs kunnskap utover allmennfagkunnskap i undervisningssammenheng, og det er snakk om enspesialisert fagkunnskap som i dette tilfelle kan sette lrere i stand til bruke passende representasjoner som kan hjelpe elever til faglig forstelse.

Bde allmenn og spesialisert fagkunnskap er matematisk fagkunnskapsom relaterer seg til det matematiske fagpensum elevene skal lre. Ofte vildet bde tilsiktet og utilsiktet dukke opp sprsml og problemstillingeri undervisningssammenheng som involverer matematisk kunnskap somikke direkte er en del av det pensum som elevene skal lre. Hva gjren som lrer i en slik situasjon? Er det ndvendig at lrere har mate-matisk kunnskap utover det elevene kan? Episode 5 viser at en lrerkan komme i situasjoner hvor det er behov for matematisk kunnskapsom ligger utenfor det pensum han skal undervise i. Slik undervisnings-kunnskap har ftt navnet matematisk horisontkunnskap (se gur 1).

Episode 5 Johns elever har diskutert ulike typer tall. Fra tidligere har elevenekjennskap til hele tall og rasjonale tall, men n har de ogs blitt introdusert

for irrasjonale tall, og de har ftt se noen eksempler p slike (som2

pog ,

skrevet p tavlen). Med dette som utgangspunkt spr John om elevene

kan komme p ere slike tall. En av elevene (Per) foreslr 22

p.

John skriver det p tavlen og spr s: Er 22

pet rasjonalt tall, eller er det

et irrasjonalt tall? Til stor overraskelse for John svarer Per at det er etrasjonalt tall. Per fortsetter argumentet, og en annen elev (Kari) svarer.

Per: Om du har et rasjonalt tall og et irrasjonalt tall og du multiplisererdem, vil produktet bli rasjonalt fordi du fremdeles har en brk.

Kari: Nei, jeg tror ikke det stemmer. Nr vi tar et rasjonalt tall ogmultipliserer med et helt tall, fr vi fremdeles et rasjonalt tall. Jeg trordet blir det samme her: Produktet av et irrasjonalt tall og et rasjonalt tallvil bli irrasjonalt.


Per gr til tavlen og forklarer hvordan han har tenkt:Se her! Om du for eksempel har et rasjonalt tall a=b og multipliserer

det med et irrasjonalt tall v, fr du av=b, som jo er et rasjonalt tall. Ser du?Kari: Nei, det er ikke mulig! Om det er et rasjonalt tall det er bare

mulig om a=b er null, og det er jo ikke tilfelle.Per: Hva mener du?Kari: , n forstr jeg hvorfor du sier at det er et rasjonalt tall! Det er

noe du ikke fr med deg. Dersom produktet er et rasjonalt tall, m vogs vre rasjonalt, og det gr jo ikke nr vi sa at det var irrasjonalt frastarten av. Fr du leser videre: Tenk over sprsmlene under, og diskuter dem meden medstudent.

Hvordan ville du som lrer hndtert denne situasjonen? Hvilken elev argumenterer riktig? Hvilken kunnskap trenger du som lrer for kunne hndtere

denne episoden?

Her er det ere ting John m ta stilling til. For det frste m han vrei stand til avgjre om argumentet til Kari er riktig. Nr han har forstttat dette argumentet er riktig, m han s avgjre om han vil ta opp igjenargumentet Kari gir i undervisningen da denne typen argumentasjonligger utenfor det som var hans ml for timen, og heller ikke er en delav pensum p ungdomstrinnet. Det be elever om forklare for medeleverhvordan de tenker, medfrer en risiko for at argumentet kan inneholdematematikk som lreren ikke er kjent med. Slike situasjoner leder tiluforutsette hendelser (Rowland, Huckstep, & Thwaites, 2005) hvor lrerenm bruke all sin intuitive kunnskap. Selv om lreren er klar over noenav de mulige implikasjoner det kan ha om han bestemmer seg for for-flge et ukjent argument, kan han mte faglige dilemmaer hvor han vilha nytte av fagkunnskap som ligger utenfor fagpensum p det niv hanunderviser.

La oss se litt nrmere p diskusjonen mellom Per og Kari og hva somligger bak deres argumenter. Hva er det en lrer m kunne i en sliksituasjon? Han m frst kunne avgjre at argumentet til Per er galt.I episode 5 involverer ikke John seg i diskusjonen, men han lar de toelevene Per og Kari fortsette diskusjonen. Muligens er det fordi Kari giret riktig argument og forsker generalisere fra tidligere erfaringer at et heltall multiplisert med et rasjonalt tall gir et rasjonalt tall at John ikke avbryter diskusjonen. Nr Kari starter med se p det som


Per har skrevet p tavlen som er galt benytter hun seg av et bevis medselvmotsigelse. Dette er en type bevisargumentasjon som ligger utenforpensum p ungdomstrinnet. Nr Kari sier at om av=b er et rasjonalt tall, sm a=b 0, starter hun med anta at a=b er forskjellig fra null iutgangspunktet. Da er a=bv av=b p=q et rasjonalt tall, og sidena=b er forskjellig fra null, er v bp=aq ogs et rasjonalt tall,men det er en selvmotsigelse siden v var antatt vre et irrasjonalt tall.Dermed kan ikke a=b vre forskjellig fra null om det er et rasjonalt tall.Det ha kunnskap om bevis ved selvmotsigelse og egenskaper vedirrasjonale tall, vil her hjelpe John til bedre hndtere denne under-visningssituasjonen p en matematisk korrekt mte. Imidlertid er detingen garanti for at en lrer som har hatt kurs i tallteori og ulike typerbevisfrsel, vil kunne forst elevers argumentasjon i en undervisnings-situasjon som i episode 5.

Matematisk horisontkunnskap er et av de kunnskapsomrdene i UKMsom har vrt lite utviklet, men i den senere tid har dette omrdet fttmye fokus (Figueiras, Ribeiro, Carrillo, Fernandez, & Deulofeu, 2011;Foster, 2011; Vale, McAndrew, & Krishnan, 2011; Zazkis & Mamolo, 2011).I den opprinnelige beskrivelsen av UKM var matematisk horisontkunn-skap relativt lst denert, og dette har blitt et problem siden begrepetdermed har blitt bruk ulikt av ulike forskere. Ball og Bass (2009) beskrevmatematisk horisontkunnskap som en slags matematisk periferisk visjonsom trengs i undervisning, et syn p det strre matematiske landskapetsom undervisning trenger (s. 1, vr oversettelse). Denne noe vagedenisjonen har senere blitt videreutviklet av Jakobsen, Thames, Ribeiroog Delaney (2012), og de har gitt ere eksempler p episoder som klar-gjr begrepet noe mer. Matematisk horisontkunnskap deneres av disseforskerne som

[. . . ] en faglig orientering mot matematikk som bidrar til undervisning av skole-faget matematikk, og som gir lrere forstelse for hvor det faglige innholdetsom det undervises i, er plassert og henger sammen med vitenskapsfaget mate-matikk. Horisontkunnskap inkluderer ogs eksplisitt kunnskap om de metoderog redskaper en har tilgjengelig for forst i matematikkfaget, kunnskap omhvilken betydning disse har, og kunnskap om opphavet til ideene om hvordansannhet og gyldighet etableres i matematikk. Horisontkunnskap inkludererogs det kunne ta ansvar for en faglig orientering og for verdier i matematikk-faget, og for de overordnede strukturer som ligger i faget. Horisontkunnskapsetter lrere i stand til hre studenter, til kunne vurdere viktigheten avideer og sprsml, og til behandle faget med integritet, egenskaper som trengsfor kunne gi elevene innblikk i et stort og hyt utviklet fag.

(Jakobsen et al., 2012, s. 4642, vr oversettelse)


Matematisk horisontkunnskap er forskjellig fra bde allmenn fagkunnskapog spesialisert fagkunnskap, og det er ikke snakk om en kunnskap somanvendes direkte i matematikkundervisningen p 5.10. trinn. Det dreierseg i strre grad om ha en oppfatning og forstelse av matematikk somfag utover det nivet en underviser p. Horisontkunnskap inkludererblant annet kunnskap som setter en lrer i stand til forst eleversargumenter som i episode 5 (side 579) og til opptre med fagligoppmerksomhet mot matematikkfaglige emner som elevene kanskje kanmte i framtiden (Jakobsen, Thames, & Ribeiro, 2013).

Fagdidaktisk kunnskapP den hyre siden av gur 1 p side 577 er den fagdidaktiske kunnskapenogs delt inn i tre deler. For alle disse er videreformidling av kunnskap ifokus enten i tilknytning til elever og undervisning, eller til lreplan oglremidler men hele tiden med den matematikkfaglige kunnskapen somutgangspunkt. Ball og kollegaer (2008) fokuserte mest p fagkunnskapen og da srlig spesialisert fagkunnskap men de ulike aspektene vedfagdidaktisk kunnskap er ogs av stor betydning for lrere i grunnskolen.Nr det gjelder de to frste omrdene av fagdidaktisk kunnskap kunnskap om faglig innhold og elever og kunnskap om faglig innholdog undervisning ser vi kanskje en kobling til den didaktiske trekanten.

Figur 3Fagdidaktisk kunn-skap i den didaktisketrekanten.

INNHOLD

ELEV LRER

Kunn

skap

om

fagli

g

innh

old

og el

ever

Kunnskap om faglig

innhold og undervisning

P den ene siden er det kunnskap om det faglige innholdet og elevene,og p den andre kunnskap som er knyttet til forholdet mellom det fagligeinnholdet og lreren (og vedkommendes undervisning). I tillegg valgteBall og kollegaer (2008) plassere Shulmans (1986) kategori omlreplankunnskap som en underkategori til fagdidaktisk kunnskap, mendette er et omrde som de ikke har fokusert noe srlig p.

Tar vi opp igjen den frste episoden: 8 15 9, vil det kunneanalysere elevenes matematiske feil og misoppfatninger tilknyttet likhets-tegnet vre viktig. Det vite at 23 og 32 kan dukke opp som svar


i tillegg til 14 er derfor et viktig grunnlag for denne fagdidaktiskekunnskapen. Men like viktig er det forst hvorfor 23 og 32 er vanligeelevsvar, hvilke misoppfatninger av likhetstegnet de bygger p, og hva ensom lrer kan gjre i undervisningssammenheng for hjelpe elever somsvarer 23 og 32 i stedet for 14. En dyp forstelse for likhetstegnet er etviktig utgangspunkt for kunne forutse elevers misoppfatninger av dettetegnet som et n kommer svaret-tegn (Kieran, 1981). Prediger (2010)viser at diagnostisk kompetanse er av avgjrende betydning for lrere, ogslik diagnostisk kompetanse knyttes i UKM-modellen til kunnskap omfaglig innhold og elever. Nr en lrer gir oppgaver til elever, m han vitehvilke oppgaver som kan falle lett eller vanskelig for elevene. Lreren mforst bakgrunnen for at feil svar oppstr, og han m vre i stand til severdien av ufullstendige begrunnelser hvor elevene gjerne brukerhverdagssprk i stedet for mer korrekte matematiske formuleringer. Innenalgebra er begrenset forstelse for betydningen av likhetstegnet en avmange snublesteiner for elevers lring (Carpenter et al., 2003; Knuth et al.,2006), og mange elever ser ikke ut til utvikle relasjonell forstelse fortegnet opp gjennom skolerene (Knuth et al., 2006). Kieran (1981)kategoriserte som nevnt forstelse for likhet inn i operasjonell ogrelasjonell forstelse. Disse kategoriene er videreutviklet av Prediger (2010)som foreslr at relasjonell forstelse kan deles inn i re underkategorier:

1) kommutativ identitet (f.eks. 5 7 7 5)2) formell ekvivalens (f.eks. x2 x 6 x 2x 3)3) likning (f.eks. Ls x2 x 6)4) identiteter i formler (f.eks. V 13 r2 h)Predigers kategorisering er et eksempel p hva som kan ligge i det ha endyp forstelse for den grunnleggende matematikken. Episode 1 (side 569)kan knyttes spesielt til symmetrisk aritmetisk identitet, men ogs tiloperasjonell forstelse da oppgavene er gode til avslre hvorvidt eleverser p likhetstegnet som et signal til gjre noe uten ha en relasjonellforstelse i bakhodet.

Nr lreren gir elevene oppgaver som de skal jobbe med, m han hatanker om hva som er hensikten med oppgaven, hva elevene skal lre avoppgaven, og hvilke svar de kan komme fram til. Dette krever en typekunnskap som ligger i skjringspunktet mellom faglig kunnskap ogelevkunnskap, og dette kaller vi alts kunnskap om faglig innhold ogelever. En lrer som vil bevisstgjre elever om forskjellen p bruk avlikhetstegnet som et operasjonelt tegn (5 2 blir lik) og likhet som


en balanse (sklvekt) mellom to sider, vil kunne velge gi eleveneoppgaver som likner den gitt i episode 1.

Episode 2 (side 570) viste elevers feilaktige bruk av likhetstegnet nrde lste likningen:

7x 11 25Denne episoden illustrerer ogs at en lrer som gir elevene slike oppgaver,m ha kunnskap om hvilke typer problemer elevene kan mte nr de lserlinere likninger. Denne likningen, som er p formen

ax b c 6:1kan lses ved en aritmetisk tenkemte, mens likninger som kan skrivesp formen

ax b cx d, 6:2krever en mer algebraisk tilnrming for at en skal komme fram tillsningen.

Nyere forskning antyder at ved la elever arbeide med likhetstegnetmed en algebraisk tilnrming som episode 1 illustrerer blir ikke denneovergangen mellom artimetikk og algebra s problematisk for elevene(Carraher & Schliemann, 2007). Nr det gjelder episode 3 (side 571),trenger lrere kunnskap om at elever m beherske et mer abstraktvariabelbegrep for kunne lse denne andregradslikningen. Hvis en elevtenker p x som et symbol som str for et bestemt tall som er ukjent,kan det lett oppst forvirring nr denne kunnskapen ikke hjelper eleven lse likningen. Her er det viktig at elevene ogs fr lre om x som envariabel; likningen i episode 3 kan da betraktes som en betingelse somkun oppfylles for noen bestemte tall (Selvik, Rinvold, & Hines, 1999).Ogs denne episoden viser derfor hvor viktig det er ha kunnskap ombde det faglige innholdet og elevene.

Kunnskap om faglig innhold og undervisning kombinerer kunnskap ommatematikk med kunnskap om undervisning. Mange av de matematiskeutfordringene som er listet opp p side 574, krever at lreren harmatematisk kunnskap for kunne planlegge sin undervisning. Det kaneksempelvis vre utfordringer knyttet til det vite hvilket eksempel detkan vre lurt gjennomg frst eller hvilken oppgave en skal la elevenejobbe med frst fr en gr videre til nye eksempler eller oppgaver somkan lede elevene dypere inn i det faglige innholdet. Vi nevnte at likning(6.1) krever en aritmetisk tenkemte for kunne lses, og i arbeidet med lse likninger vil det vre naturlig starte med en likning p denneformen fr en gr over til arbeide med likninger p formen (6.2).


Tilsvarende vil en i undervisning av for eksempel divisjon med brk(som i episode 4) mtte kunne vurdere fordeler og ulemper med deulike representasjoner som kan benyttes nr det skal undervisesi akkurat dette emnet. De ulike representasjonene krever at en tar ulikehensyn for f fram matematiske poenger, og det forst betydningenav dette ligger under det som kalles kunnskap om faglig innhold ogundervisning.

6.3 Avrunding

Fra mange hold fokuseres det p at lrerne er den viktigste enkeltfaktorensom har betydning for kvaliteten i skolen og flgelig ogs for elevenesprestasjoner (Rowan, Correnti, & Miller, 2002; Sanders & Horn, 1994).I en analyse av 700 frste- og tredjeklasselrere (og nesten 3000 elever)fant forskerne at lrernes UKM pvirker elevenes kunnskap (Hill, Rowan,& Ball, 2005). Stortingsmelding nr. 16 (20012002) om lrerutdanning(Kunnskapsdepartementet, 2002) framhever ogs at de dyktige lrernekan f gode resultater uavhengig av elevenes forutsetninger, pedagogiskeopplegg og metoder.

Det er stor enighet om at matematikklrere m kunne matematikk,og det er like stor enighet om at matematikklrere m kunne noe mermatematikk enn det elevene deres skal kunne. Det er derimot mindreenighet om hva dette mer er, og denne uenigheten frer blant annet tilat en ikke alltid er enige om hva innholdet i matematikkurs for lrer-studenter skal vre. Kvaly (2013) mener at lrerutdanningen mrekruttere fra de som har best resultater fra videregende skole. Dersomen ikke fr til dette, kan lrere like gjerne rekrutteres fra andre studierenn lrerutdanningen, hevder han. Studier av bde eldre og nyere datoviser at det ikke er noen signikant sammenheng mellom antalletmatematikkurs som lrere har tatt, og resultatene til deres elever(f.eks. Askew, 2008; Begle, 1979), og en fant heller ikke noen entydigsammenheng mellom lrernes resultater fra disse matematikkursene ogelevenes resultater. Det har ogs vist seg at lrere som har fordypningi det faget de underviser i, ikke ndvendigvis er inkere til forklaresentrale begreper enn de lrerne som ikke har en slik faglig fordypning(NCRTE, 1991, referert i Conference Board of the Mathematical Sciences,2001, s. 121). Et slikt resultat indikerer at lrerstudenter har liten nytteav lre en hel del avansert matematikk fr de har en dyp forstelse

6.3 AVRUNDING 585

for den grunnleggende matematikken de skal undervise i (Wu, 2011a,2011b). Undervisningskunnskap i matematikk blir dermed av stor betydning.

I dette kapittelet har vi tatt utgangspunkt i en bestemt teori omundervisningskunnskap i matematikk, og vi har brukt denne somutgangspunkt for diskutere noen konkrete utfordringer knyttet til detundervisningsrelaterte arbeidet matematikklrere p 5.10. trinn erinvolvert i. UKM-modellen lfter fram ulike aspekter ved lreresundervisningskunnskap i matematikk, og den viser hvor sammensattkunnskap matematikklrere trenger for undervise i faget. Ball og kollegaer(2008) lftet srlig fram den spesialiserte fagkunnskapen i matematikk. Selvom det er viktig lfte fram bde fagdidaktisk kunnskap og mer generellpedagogisk kunnskap som en del av helheten, er det alts viktig understreke at matematikklrere p 5.10. trinn trenger solid matematiskkunnskap. Denne kunnskapen er direkte knyttet til de utfordringene demter i undervisningen.

UKM-modellen (gur 1 fra side 577) gir en oversikt over ulikeaspekter ved lreres undervisningskunnskap i matematikk. Selv om deseks delene av modellen ikke har skarpe skillelinjer og kan vre delvisoverlappende, kan denne modellen vre en hjelp til bevisstgjrelrerstudenter om hvilke kunnskapskomponenter som trengs nr de skalplanlegge, gjennomfre og evaluere undervisning p bde mellom- ogungdomstrinnet. Modellen kan ogs vre nyttig for kommende lreresom skal vurdere egen kunnskap, og det kan vre en relevant modell diskutere i lrerutdanningens matematikkurs. Modellen kan i s mtefungere godt i mtet mellom lrerstudent, lrerutdanning og praksis-opplring. Enten en som student er rekruttert fra den gruppen Kvaly(2013) mener lrere br rekrutteres fra eller ikke, kan UKM-modellenvre en hjelp til sette fokus p hva lrere m kunne for atmatematikkundervisningen skal bli av god kvalitet, slik at elevene lrermest mulig.


Litteratur

Askew, M. (2008). Mathematical discipline knowledge requirements for prospectiveprimary teachers, and the structure and teaching approaches of programs designedto develop that knowledge. I P. Sullivan & T. Wood (red.), Tools and processes inmathematics teacher education, the international handbook of mathematics teachereducation (vol. 1, s. 1336). Rotterdam: Sense Publisher.

Asquith, P., Stephens, A.C., Knuth, E.J., & Alibali, M.W. (2007). Middle schoolmathematics teachers knowledge of students understanding of core algebraic concepts:Equal sign and variable. Mathematical Thinking and Learning, 9(3), 249272.

Ball, D.L., & Bass, H. (2009). With an eye on the mathematical horizon: Knowingmathematics for teaching to learners mathematical futures. Artikkel presentert p 43.Jahrestagung der Gesellschaft fur Didaktik der Mathematik, Oldenburg, Germany.Hentet 13. mai 2013 fra www.mathematik.uni-dortmund.de/ieem/BzMU/BzMU2009/Beitraege/Hauptvortraege/BALL_Deborah_BASS_Hyman_2009_Horizon.pdf

Ball, D.L., Thames, M.H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching:What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389407.

Begle, E.G. (1972). Teacher knowledge and student achievement in algebra(SMSG Rep. No. 9). Palo Alto, CA: Stanford University.

Begle, E.G. (1979). Critical variables in mathematics education: Findings from a surveyof the empirical literature. Washington, DC: Mathematical Association of Americaand National Council of Teachers of Mathematics.

Behr, M., Erlwanger, S., & Nichols, E. (1980). How children view the equals sign.Mathematics Teaching (92), 1316.

Carpenter, T.P., Franke, M.L., & Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integratingarithmetic and algebra in elementary school. Portsmouth, NH: Heinemann.

Carraher, D.W., & Schliemann, A.D. (2007). Early algebra and algebraic reasoning.I F.K. Lester Jr (red.), Second handbook of research on mathematics teachingand learning (s. 669705). Charlotte, NC: Information Age Publishing.

Conference Board of the Mathematical Sciences (CBMS) (2001). Mathematical educationof teachers. I Issues in Mathematics Education, (vol. 11). Providence, RI: AmericanMathematical Society.

Fauskanger, J., Bjuland, R., & Mosvold, R. (2010). Eg kan jo multiplikasjon, men ka ska eggjrr? det utfordrende undervisningsarbeidet i matematikk. I T. Lkensgard Hoel,G. Engvik & B. Hansen (red.), Ny som lrer sjansespill og samspill (s. 99114).Trondheim: Tapir Akademisk Forlag.

Figueiras, L., Ribeiro, C.M., Carrillo, J., Fernandez, S., & Deulofeu, J. (2011). Teachersadvanced mathematical knowledge for solving mathematics teaching challenges:a response to Zazkis and Mamolo. For the Learning of Mathematics 31(3), 2628.

Foster, C. (2011). Peripheral mathematical knowledge. For the Learning of Mathematics31(3), 2426.

Hill, H.C., Rowan, B., & Ball, D.L. (2005). Eects of teachers mathematical knowledgefor teaching on student achievement. American Educational Research Journal, 42(2),371406.

Jakobsen, A., Thames, M.H., & Ribeiro, C.M. (2013). Delineating issues related to horizoncontent knowledge for mathematics teaching. Akseptert for publikasjon i Proceedingsof the Eight Congress of the European Society for Research in Mathematics Education(CERME 8), 610 February, 2013, Antalya, Turkey.

LITTERATUR 587

Jakobsen, A., Thames, M.H., Ribeiro, C.M., & Delaney, S. (2012). Using practice to dene anddistinguish horizon content knowledge. I Preproceeding of the 12th International Congresson Mathematics Education, 8th15th July, 2012 (s. 46354644), COEX, Seoul, Korea.

Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studiesin Mathematics, 12(3), 317326.

Kunnskapsdepartementet (2002). St.meld. nr. 16 (20012002). Kvalitetsreformen: Om nylrerutdanning: Mangfoldig krevende relevant. Oslo: Kunnskapsdepartementet.

Kunnskapsdepartementet (2010). Nasjonale retningslinjer for grunnskolelrerutdanningen5.10. trinn. Oslo: Kunnskapsdepartementet.

Knuth, E.J., Stephens, A.C., McNeil, N.M., & Alibali, M.W. (2006).Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations.Journal for Research in Mathematics Education, 37(4), 297312.

Kvaly, O. (2013, 3. mars). Ugunstig utvalg. Dagens Nringsliv, s. 3.Prediger, S. (2010). How to develop mathematics-for-teaching and for understanding: the case

of meanings of the equal sign. Journal of Mathematics Teacher Education, 13(1), 7393.Rowan, B., Correnti, R., & Miller, R.J. (2002). What large-scale, survey research tells us

about teacher eects on student achievement: Insight from the Prospect study ofelementary schools. Teacher College Records, 104(8), 15251567.

Rowland, T., Huckstep, P., & Thwaites, A. (2005). Elementary teachers mathematicssubject knowledge: the knowledge quartet and the case of Naomi.Journal of Mathematics Teacher Education, 8(3), 255281.

Sanders, W., & Horn, S.P. (1994). The Tennessee value-added assessment system (TVAAS):Mixed-moded methodology in educational assessment. Journal of Personnel Evaluationin Education (8), 299311.

Selvik, B.K, Rinvold, R., & Hines, M.J. (1999). Matematiske sammenhenger: Algebra ogfunksjonslre. Bergen: Caspar Forlag.

Seo, K.-H., & Ginsburg, H.P. (2003). Youve got to carefully read the math sentence. . . :Classroom context and childrens interpretations of the equals sign. I A.J.B.A. Dowker(Red.), The development of arithmetic concepts and skills: Constructing adaptive expertise(s. 161187). Mahwah, NJ, US: Lawrence Erlbaum Associates Publishers.

Shulman, L.S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching.Educational Researcher, 15(2), 414.

Shulman, L.S. (1987). Knowledge and teaching: Foundations of the new reform.Harvard Educational Review, 57, 122.

Vale, C., McAndrew, A., & Krishnan, S. (2011). Connecting with the horizon:Developing teachers appreciation of mathematical structure. Journal of MathematicsTeacher Education, 14(3), 193212.

Wu, H. (2011a). The mis-education of mathematics teachers. Notices of the AMS, 58(3),372384.

Wu, H. (2011b). The mathematics K-12 teachers need to know. Hentet 8.8.2013 frahttp://math.berkeley.edu/ wu/Schoolmathematics1.pdf

Zazkis, R., & Mamolo, A. (2011). Reconceptualizing knowledge at the mathematicalhorizon. For the Learning of Mathematics, 31(2), 813.


Documents

Undervisningskunnskap i matematikk for lærere på 5–10 trinn