Undervisningskunnskap i matematikk utdrag

ELLEN KONSTANSE HOVIK OG BODIL KLEVE (RED.)

UNDERVISNINGSKUNNSKAP I

MATEMATIKK

-

9<0+½÷ π‰1 x=

{

±3>1

∑µ7}%6y

4∆√

≤¾ |85¼

UNDERVISNINGSKUNNSKAPI MATEMATIKK

ISBN 978-82-02-47065-4

www.cda.no

Hva er undervisningskunnskap i matematikk? Hvilke matematikkfaglige og matematikk didaktiske kunnskaper trenger en lærer for å undervise i matematikk?

Matematikklæreres samlede kunnskap om matematikkundervisning er mang-foldig. Bidragene i denne boka gjenspeiler dette. Matematikkoppgaver, mate-matiske spørsmål og situasjoner fra klasserommet løftes fram og diskuteres fra didaktiske perspektiver. Ulike måter å jobbe med konkrete matematikkemner på analyseres. Filosofiske problem stillinger utforskes, og det oppfordres til bruk av matematikkens historie i under visningen. Her finnes gode forslag og inspirasjon for så vel studenter som lærere med mange års erfaring.

Dette er en vitenskapelig antologi der forskere i matematikkdidaktikk har bidratt slik at undervisningskunnskap i matematikk blir belyst fra ulike innfalls vinkler. Hensikten med boka har vært å formidle mangfoldet i lærerutdanningens matematikk fag når det gjelder forskning og utviklingsarbeid, og i tillegg synlig-gjøre bredden i skolefaget matematikk.

Forfatterne underviser ved grunnskolelærerutdanningen ved Høgskolen i Oslo og Akershus.

ellen konstanse hovik (red.) er høgskolelektor i matematikkdidaktikk ved Høgskolen i Oslo og Akershus. Hun har publikasjoner nasjonalt innen fagfeltet matematikkdidaktikk. Disse er knyttet til at hun har studert aspekter ved læreres undervisningskunnskap i mate-matikk med et særlig fokus på arbeid med argumentasjon, begrunnelse og bevis i grunnskolen.

bodil kleve (red.) er førsteamanuensis i matematikkdidaktikk ved Høgskolen i Oslo og Akershus. Kleve har gjennom klasseromsforskning studert matematikklæreres implementering av læreplaner og hvordan ulike aspekter av lærerens matematikkunnskaper kommer til ut-trykk i undervisningen. Hun har også studert hvilken rolle elevers identitet og inkludering i matematikk diskursen spiller for læring av faget. Kleve har en rekke publikasjoner både nasjonalt og internasjonalt innen matematikkdidaktikk.

UN

DER

VISN

ING

SKU

NN

SKA

P I MA

TEMA

TIKK

Ho

vik og

Kleve (red

.)

Undervisningskunnskap i matematikk omslag.indd 1 10.06.2016 11.58

13

Kapittel 1

Mangfold i lærerutdanningens matematikk

Ellen Konstanse Hovik og Bodil Kleve

Et teoretisk perspektiv på undervisningskunnskap i matematikkHva er undervisningskunnskap i matematikk? Hvilke matematikkfaglige og matematikkdidaktiske kunnskaper trenger en lærer for å undervise i matematikk? Dette er sentrale spørsmål som stadig diskuteres. Kapitlene i denne antologien belyser mangfoldet i lærernes undervisningskunnskap i matematikk.

I sin artikkel «Those who understand: Knowledge growth in teaching» etter-lyser Shulman (1986) forskning omkring hvordan en lærers kunnskaper i et fag omformes til det som han/hun skal undervise. Shulman omtaler det som «The Missing Paradigm», eller en «blind spot» innen undervisningsforskning.

The missing paradigm refers to a blind spot with respect to content that now charac-terizes most research teaching and, as a consequence, most of state level program of teacher evaluation and teacher certification […]. What we miss are questions about the content of the lessons taught, the questions asked, and the explanation offered (1986, s. 7–8).

106294 GRMAT Undervisningskunnskap i matematikk 160101_v06.indd 13 10.06.16 09.55

kapittel 1

14

På den tiden artikkelen ble skrevet (1980-tallet), var forskningen rettet mot mer generell pedagogikk som for eksempel klasseledelse, noe som blant annet inne-bærer hvordan lærerne administrerer klasserommet, organiserer aktiviteter og tidsbruk. Med utsagnet: «In their necessary simplification of the complexities of classroom teaching, investigators ignored one central aspect of classroom life: the subject matter» (Shulman 1986, s. 6) etterspør Shulman forskning med vekt på selve faginnholdet som læreren skal undervise elevene i. Dermed kan man si at Shulman brakte sammenhengen mellom spesifikk fagkunnskap og pedagogikk inn i undervisningsforskningen.

Shanahan og Shanahan (2008) studerer sammenhengen mellom det å foku-sere på generelle ferdigheter som kan gå på tvers av fag, og fagspesifikk kunn-skap. Fagspesifikk kunnskap omtaler de som «Disciplinary Literacy», samtidig som de advarer mot ensidig fokus på generelle ferdigheter. De framhever vik-tigheten av «Disciplinary Literacy», altså kunnskap som er spesifikk for det aktuelle skolefaget. De hevder at fokus på blant annet generelle ferdigheter i lesing (avkoding av tekst) kan være nyttig på barnetrinnet, mens senere i skole-løpet må det særegne for det enkelte fag komme tydeligere fram. Å kunne lese en matematisk tekst krever annen kunnskap enn å lese et dikt eller en historisk fortelling. Dermed retter de fokus mot nødvendigheten av eksplisitt å få fram det som er særegent for faget i undervisningen:

Strong early reading skills do not automatically develop into more complex skills that enable students to deal with the specialized and sophisticated reading of litera-ture, science, history, and mathematics (Perle et al., 2005). Most students need expli-cit teaching of sophisticated genres, specialized language conventions, disciplinary norms of precision and accuracy, and higher-level interpretive processes (Shanahan & Shanahan 2008, s. 43).

Shulman hevder at i den grad det har blitt fokusert på faginnhold innen under-visningsforskningen, har elevperspektivet med vektlegging av elevers læring vært nærmest enerådende. Faginnholdet knyttet til lærerens rolle i forbindelse med undervisningen er i stor grad blitt ignorert.

Biesta (2012a, 2012b) vektlegger lærerens rolle gjennom å argumentere for at undervisning (teaching) betyr noe mer enn å tilrettelegge for læring, ved å under-streke skillet mellom det å lære av (learning from) og det å bli undervist av (being taught by). I forbindelse med «å lære av» kan læreren betraktes som en hvilken som helst læringsressurs, for eksempel en bok eller internett, som elever kan stille sine spørsmål til og få svar fra. På den måten har elevene kontroll over sin lærings-


mangfold i lærerutdanningens matematikk

15

situasjon. Biesta skiller mellom det som er ønsket (av for eksempel elevene), og det som er ønskelig, og skriver at det er viktig at læreren utvikler dømmekraft for å kunne arbeide aktivt og konsistent med denne distinksjonen. Biestas «bli undervist av» understreker at elevene da kan motta noe fra læreren som er fun-damentalt utenfor elevenes kontroll. Når vi har blitt undervist, har noen avdekket noe for oss. I denne sammenheng tolker vi dette til at lærerens rolle skal også være å bringe noe nytt – noe radikalt nytt – til undervisningssituasjonen.

Med dette utgangspunktet kan man stille spørsmålet om hvor den som underviser henter sin kunnskap, som er ny for elevene, fra. Hvor kommer lære-rens forklaringer, spørsmål, metaforer, analogier, eksempler, demonstrasjoner og omformuleringer fra (Shulman 1986)? Hvordan drar læreren veksler på sine egne fagkunnskaper i undervisningssituasjonen? Shulman skiller mellom tre kategorier av fagkunnskap: Subject Matter Content Knowledge (SMCK), Peda-gogical Content Knowledge (PCK) og Curricular Knowledge (CK). SMCK er den rene fagkunnskapen, i denne sammenheng er dette matematikkunnskap. PCK er fagkunnskap for undervisning, det vil si kunnskaper i matematikk som er nødvendig for undervisning, og CK er læreplankunnskap som deles inn i lateral og vertikal læreplankunnskap. Det å kunne se sammenhengen mellom det som skal undervises i matematikk og det som undervises til de samme elevene i andre fag, kaller Shulman for lateral læreplankunnskap. Vertikal læreplankunn-skap handler om å kunne se sammenhenger mellom matematikken elevene har hatt tidligere i skoleløpet, det de lærer nå, og den matematikken de skal tilegne seg senere i skoleløpet.

Med vekt på matematikk tok et forskerteam ved Universitetet i Michigan ledet av Deborah Ball (Ball, Thames, & Phelps 2008) utgangspunkt i Shul-mans kategorier for fagkunnskap og gjennomførte en studie der de under-søkte matematikkunnskap for undervisning basert på analyser av matematiske utfordringer som lærere møter i undervisningssituasjoner. De utviklet dermed et rammeverk for Undervisningskunnskap i matematikk som vi bruker i vår analyse av bidragene til denne antologien. Dette rammeverket er presentert i figur 1.1.

Høyre side av ellipsen representerer Shulmans PCK. Dette handler om fag-didaktisk kunnskap, og i vårt tilfelle matematikkdidaktisk kunnskap. Venstre side kan betraktes som en nyansering av Shulmans Subject Matter Content Knowledge (SMCK), på norsk oversatt til kunnskaper i faget, og i vårt tilfelle matematikkunnskaper. Basert på empiriske studier identifiserte og definerte

Figur 0101


kapittel 1

16

Ball mfl. to underkategorier av PCK (høyre side): «Knowledge of Content and Students» og «Knowledge of Content and Teaching». Kunnskap om matematikk og elever handler for eksempel om hvordan elever har tendens til å tenke, og hvilke feil av mange mulige det er mest sannsynlig at elever gjør. Videre inne-bærer slik kunnskap å kunne lytte til og tolke elevers ufullstendige tenkning og uttrykksmåte. Dette krever en interaksjon mellom matematisk forståelse, elever og elevers tenkning. Kunnskap om matematikk og undervisning innebærer det Shulman betegner som re-presentasjon (med bindestrek) av egen fagkunn-skap. Hvordan gjør læreren sin matematikkunnskap tilgjengelig for elevene? Det handler om å kunne kombinere kunnskaper i matematikk med kunnskaper om undervisning. Kunnskaper om det å gjøre matematikken tilgjengelig for elevene, som valg av metoder, eksempler, representasjonsformer og rekkefølge av emner, hører til i denne kategorien.

Hvis vi går til ellipsens venstre side, finner vi Ball mfl. sin nyansering av Shulmans Content Knowledge, her kunnskaper i matematikk. De skiller mellom «Common content knowledge» (CCK) og «Specialised content knowledge» (SCK). Allmenn matematikkunnskap (CCK) blir brukt i mange ulike sammen-henger og er ikke unik for undervisning. Kunnskaper i matematikk som beskri-ves i elevenes læreplan, hører inn under denne kategorien, og denne kunnska-pen er selvfølgelig også essensiell for læreren å ha (Ball mfl. 2008). Kunnskaper

Allmennmatematikk-

kunnskap

Horisont-kunnskap i

matematikk

Spesialisertmatematikk-

kunnskap

Læreplan-kunnskap

Kunnskap ommatematikk og

elever

Kunnskap ommatematikk ogundervisning

Matematikkdidaktiskkunnskap

Matematikk-kunnskap

Figur 1.1 Undervisningskunnskap i matematikk (Ball mfl. 2008).



17

i matematikk som går utover skolematematikken og også utover det «folk flest» kan av matematikk, dvs. avansert matematikk, inngår også i denne kategorien, til tross for at det ikke er det vi omtaler som allmennkunnskap (Ball mfl. 2008).

Spesialisert matematikkunnskap (SCK) er matematikkunnskap som er unik i forbindelse med matematikkundervisning og relevant bare i forhold til det. Denne kunnskapen forutsetter allmenn matematikkunnskap, men skiller seg fra denne. Ball mfl. (2008) understreker at dette er en «pure subject matter knowledge» (s. 396) som dermed er forskjellig fra det Shulman betegner som fagkunnskap for undervisning (PCK). Læreren må ha kunnskaper i matematikk utover det som skal undervises. Det innebærer blant annet forståelse av ulike tolkninger av regneoperasjoner og ulike løsningsstrategier. I en undervisnings-situasjon må matematikklæreren kunne arbeide med matematikk på en måte som andre ikke gjør. Ball mfl. (2008) skriver: «[It] involves an unpacking of mathematics that is not needed – or even desirable – in settings other than teaching» (s. 400). Å kunne identifisere et galt svar i matematikk er allmenn matematikkunnskap (CCK), mens identifisering av og kjennskap til en kanskje uvanlig feils egenskap, krever en umiddelbar bevisst og fleksibel tenkning på for eksempel tall og tallmønstre. Dette er det vi betrakter som spesialisert mate-matikkunnskap. Men det å vite om og kjenne til vanlige feil som elever gjør, og bestemme hvilken av disse det er mest sannsynlig at elever gjør, kategoriseres som kunnskap om matematikk og elever (Ball mfl. 2008).

«Horizon knowledge», eller horisontkunnskap i matematikk, er også viktig å inneha for lærere som underviser i matematikk. Denne kan betraktes som en spesifisering av Shulmans «Curricular knowledge».

Horizon knowledge is an awareness of how mathematical topics are related over the span of mathematics included in the curriculum. First grade teachers, for example, may need to know how the mathematics they teach is related to the mathematics students will learn in third grade to be able to set the mathematical foundation for what will come later (Ball mfl. 2008, s. 403).

På bakgrunn av «Horizon knowledge» viser Liping Ma (1999) til Shulmans «Curricular Knowledge» og argumenterer for en longitudinell sammenheng. Ma (1999) legger stor vekt på at lærere må ha en solid forståelse for grunnleg-gende matematikk, «Profound Understanding of Fundamental Mathematics» (PUFM). Hun argumenterer for at lærere som har en slik forståelse, når som helst kan ta tak i innspill fra elever og benytte muligheten til å repetere viktige begreper. Lærere må også ha kunnskaper i det elevene skal bli undervist i senere


kapittel 1

18

i skoleløpet for å kunne legge et grunnlag for det elevene da skal tilegne seg. I en norsk kontekst vektla Hole og Kleve (2012) lærerens horisontkunnskap i matematikk og argumenterte for nødvendigheten av et longitudinelt perspektiv i skolematematikken. Det eksemplifiserte de med brøkregning på barneskolen med det for øye å kunne lære algebra senere. Jakobsen, Thames, Ribeiro og Delaney (2012) videreutviklet horisontkunnskap i matematikk til å inkludere en forståelse for hvordan det faglige innholdet i skolefaget matematikk henger sammen med vitenskapsfaget matematikk. Kjennskap til blant annet hvordan vi i matematikken kan utvikle og vurdere gyldigheten av ny kunnskap, ble vektlagt. Ifølge Jakobsen mfl. gjør slik horisontkunnskap lærere i stand til å vurdere hvor sentrale enkelte ideer og spørsmål fra elever er, og lærerne kan i større grad behandle faget med høy grad av integritet. Dette er nødvendig i arbeidet med å gi elevene kontakt med det fagområdet som matematikken er.

Undervisningskunnskap i matematikk som anvendt matematikkStylianides og Stylianides (2010) tar utgangspunkt i blant annet Ball mfl. (2008) og deres bearbeiding av Shulmans arbeid. De viser til Bass’ (2005) argumenter om å formulere undervisningskunnskap i matematikk som en form for anvendt matematikk. Bass skriver blant annet: «Mathematics education is not mathema-tics. It is a domain of professional work that makes fundamental use of highly specialized kinds of mathematical knowledge» (s. 418). Bass foreslår derfor at undervisningskunnskap i matematikk med fordel kan betraktes som en form for anvendt matematikk. Dermed understrekes det at matematikkundervisning er en særegen profesjonsutøvelse som krever en spesiell form for matematikkunn-skap på samme måte som vi snakker om anvendt matematikk blant ingeniører, økonomer og statistikere.

Å betrakte undervisningskunnskap i matematikk som en form for anvendt matematikk vil nødvendigvis ha konsekvenser for undervisningen av framtidige matematikklærere (Stylianides & Stylianides 2010). For det første impliserer det at det finnes en spesifisert type matematikkunnskap som er enestående for undervisning, på samme måte som noen andre profesjoner har sin spesifiserte matematikkunnskap. Undervisningskunnskap i matematikk er dermed situert i undervisningssituasjonen: Hvilke matematikkunnskaper må en lærer ha for å kunne fungere i undervisningssituasjonen? Den andre implikasjonen er at målet



19

må være å tilrettelegge for læring av faget i matematikklærerutdanningen på en måte som gjør lærere i stand til ikke bare å kunne matematikken, men til å kunne bruke den i ulike praksiser og kontekster. Bruken av begrepet anvendt matematikk refererer til matematikk som er nyttig og anvendelig i matematikk-undervisningssituasjonen. Dette impliserer at oppgaver og problemstillinger i lærerutdanningen bør inneholde både matematikk og pedagogiske aspekter slik at de kan fungere som redskap til å fremme undervisningskunnskap i matema-tikk. Eksempler på slike oppgaver og problemstillinger finner vi i denne antolo-gien. Problemstillingen i dette kapitlet er hvordan bokas øvrige kapitler bidrar til en utdyping av forskning omkring undervisningskunnskap i matematikk. Vi vil først analysere kapitlene med utgangspunkt i Shulmans kategorier for kunnskap og rammeverket til Ball mfl. (2008), og deretter drøfte hvordan de eksemplifiserer «anvendt matematikk». Kapitlene er ulike i den forstand at de har ulikt fokus når det gjelder faglig/didaktisk innhold, ulik vekt på teori/empiri, og matematikken som presenteres i de ulike kapitlene, er på forskjellige nivåer.

Sosiomatematiske normerI kapittel 2, «Læringspartner og sosiomatematiske normer som potensial for elevers læring», analyserer og drøfter Kleve og Ånestad en matematikktime i grunnskolen der elevene arbeider i par med en matematikkoppgave for så å presentere sine løsninger i plenum. Kapitlet diskuterer hvordan elevene er «støttende stillas» for hverandre, og hvordan elevers forklaringer gir uttrykk for egen tenkning og egne strategier.

Kunnskap om matematikk og elever og kunnskap om matematikk og undervis-ning er sentralt i utvikling av sosiomatematiske normer (Yackel & Cobb 1996). I klassen som artikkelens empiri er hentet fra, er det en sosial norm at alle skal få presentere sine løsninger selv om andre har kommet med samme løsning tidligere. At man i klassen ikke vurderer løsningene opp mot hverandre, kan også knyttes til en sosiomatematisk norm og handle om læreres kunnskap om matematikk og undervisning.

Forfatterne peker på muligheter til å utvikle sosiomatematiske normer i klas-sen. Ett forslag er å skifte fra fokus på selve svaret til fokus på framgangsmåter. At matematikk ikke bare handler om et riktig svar, men også om ulike måter å løse et problem på, er en sosiomatematisk norm som ifølge forfatterne kunne etableres og utgjøre et potensial for elevers læring. Kunnskap om matematikk og


kapittel 1

20

elever betyr f.eks. bevissthet om å utfordre elever til å begrunne og argumentere for flere løsninger. Et slikt fokusskifte vil kunne øke elevenes muligheter for aktiv deltakelse i matematikkdiskursen og dermed for økt læring. Å gjøre dette på en systematisk måte, for eksempel ved bruk av tabell som forfatterne foreslår, krever kunnskap om matematikk og undervisning. Å arbeide for at en refleksiv diskurs skal oppstå, er også knyttet til kunnskap om matematikk og elever. Valg av presentasjon (her «Show and tell») knyttes til lærerens kunnskaper om mate-matikkdidaktikk, men har også med lærerens spesialiserte matematikkunnskap å gjøre. Utvikling av hensiktsmessige sosiomatematiske normer krever at læreren har spesialisert matematikkunnskap. I dette tilfellet kan det handle om kunn-skap om ulike løsningsstrategier og bevissthet rundt at det er flere løsninger og begrunnelser for disse. I oppgaveeksemplet som diskuteres, er det to mulige løsninger, og det er ulike strategier for å finne fram til løsningen(e). Valget av oppgavetekst er også knyttet til matematikkunnskap, både allmenn og spesiali-sert, i tillegg til kunnskap om elever og undervisning.

Bruk av læringspartner i undervisningen er gjerne grunngitt mer generelt siden det benyttes i mange fag. At matematikk er et fag hvor læring utvikles gjennom samtaler, forklaringer og argumentasjon, er et syn som begrunner det å benytte seg av læringspartner nettopp i matematikktimene. Et slikt syn kan bygge på lærerens kunnskap om matematikk og elever og kunnskap om matematikk og undervisning. Å kunne forutse hvilke samtaler som oppstår, handler delvis om kategoriene på høyre side av ellipsen, men også om spesialisert fagkunnskap. Å analysere og forstå disse matematiske samtalene krever en spesialisert matematikkunnskap.

Bevis og generaliseringHovik og Solem tar i kapittel 3, «Bevis og generalisering i skolen – utfordringer og muligheter», utgangspunkt i en oppgave gitt til lærerstudenter der de skulle undersøke elevers argumentasjon og bruk av representasjoner i arbeidet med bevis. De drøfter hvilket potensial som ligger i elevarbeidene og peker på utfor-dringer og muligheter lærere møter i arbeid med bevis i skolen. Ved å framheve bevisets rolle i matematikken og skolematematikken, avspeiles både allmenn matematikkunnskap og spesialisert matematikkunnskap for undervisning. For-fatterne bruker et rammeverk utviklet av Andreas Stylianides (2009) for bruk av ulike representasjoner av bevis i skolen eksemplifisert ved «sum av to oddetall er partall» i analysen av elevbesvarelser om samme emne. De tre kategoriene i



21

rammeverket er å bevise ved å bruke dagligspråket, bevise ved å bruke algebra og bevise ved å illustrere med tegninger/bilder. For en matematikklærer er det viktig å ha kjennskap til kategoriene for representasjoner av bevis i skolen. Å vite at summen av to oddetall blir et partall, kan kategoriseres som allmenn mate-matikkunnskap. Kjennskap til ulike representasjoner for å bevise det, inngår i spesialisert matematikkunnskap som det ikke er nødvendig at «alle» har, men som er et sentralt aspekt av en lærers undervisningskunnskap i matematikk.

Når er det hensiktsmessig å kunne bruke ulike representasjonsformer som dagligspråk og tegninger i algebraisk resonnering for å uttrykke algebraiske ideer og sammenhenger? For å kunne besvare dette spørsmålet, er vi over på kunnskap om matematikk og undervisning, illustrert i ellipsens (figur 1.1) høyre side. Det er representasjoner læreren kan gjøre bruk av for å gjøre matematik-ken, spesielt algebraen, tilgjengelig for elevene. Hovik og Solem argumenterer for at bruken av slike representasjonsformer er eksempler på algebraisk tenkning. Gjennom bruken av rammeverket til Stylianides i analysen av elevbesvarelsene presenteres viktige aspekter av elevers matematiske resonnering og tenkning når de skal vise at odde + odde = par. Gjennom en grundig analyse av elevbesvarel-sene får vi som lesere innblikk i elevers bruk av ulike representasjonsformer og tenkning. Leseren blir presentert for både fullverdige beviser og noen elevers «ufullstendige tenkning». Dette er kunnskap om matematikk og elever.

Horisontkunnskap i matematikk handler om bevissthet om hva elever har lært av tidligere matematikk, og hva de skal lære senere i skoleløpet, dvs. hvordan man kan bygge på elevers bruk av dagligspråk og tegninger i bevisføring til å lære algebra senere. Hovik og Solems studie viser eksempler på at elever gir holdbare beviser når de argumenterer verbalt for at summen av to oddetall blir et partall. De hevder at det kan være et godt utgangspunkt for elevers læring av algebra.

Forfatterne avslutter kapitlet ved å framheve lærerens rolle når det gjelder å kunne se potensial og begrensninger i elevers argumentasjon. Dette understre-ker de omtalte aspektene av en lærers undervisningskunnskap i matematikk.

Ulike brøkaspekterI kapittel 4, «Aspekter ved brøk i en nasjonal prøve», tar Gray og Ånestad for seg alle oppgaver som handler om brøk i den nasjonale prøven for 8. trinn 2011. De analyserer brøkoppgavene ved å bruke et rammeverk for aspekter av brøk


kapittel 1

22

utviklet av Kieren (1980). Aspekter er matematiske tolkninger som kan sam-menlignes med begreper eller med matematiske strukturer. Hensikten med analysen av brøkoppgavene er ifølge forfatterne å undersøke hvilke aspekter ved brøk elevene ble invitert inn i på prøven. Kunnskap om ulike aspekter av brøk er kunnskap i matematikk som er unik i forbindelse med det å skulle undervise i faget, og ofte ikke nødvendig for andre å inneha. Det hører inn under spesia-lisert matematikkunnskap. Ulike matematiske modeller for å representere eller illustrere brøker blir også presentert. Kunnskaper om disse modellene hører også til matematikklæreres spesialiserte matematikkunnskap.

Gray og Ånestad begrunner hvorfor de ønsker å finne ut hvilke aspekter av brøk elevene blir invitert inn i, med den såkalte backwash-effekten, nemlig at kjennskap til det som blir vurdert, blir vektlagt i undervisningen. Oppgaver som er gitt i nasjonale prøver, gir, gjennom studier av resultatene kunnska-per om matematikk og elevene. Og gjennom inngående studier av aspekter av f.eks. brøk som gjenspeiles i oppgavene, erverves kunnskaper om matematikk og undervisning. På bakgrunn av analysen diskuterer forfatterne hvilke modeller som egner seg til å illustrere de ulike brøkaspektene. Analysen danner bakgrun-nen for forfatternes spørsmål om undervisning: Hva må endres for at norske elever skal utvikle andre tenkemåter enn brøk som arealmodeller i del av en helhet-aspektet?

Dobbel tallinjeI kapittel 5, «Den doble tallinjen som didaktisk modell for proporsjonalitet», ser Eriksen, Kjensli og Rodal på lærerstudenters løsningsforslag til enkle pro-porsjonalitetsoppgaver. De drøfter hvordan studentenes uformelle løsnings-metoder kan utnyttes til å innføre den didaktiske modellen: den doble tallinjen (DTL).

De har valgt å arbeide ut fra prinsipper i RME (realistisk matematikkun-dervisning) hvor den lærendes utvikling og bruk av egne modeller spiller en sentral rolle for overgangen fra uformell til formell matematikk. Forfatterne analyserer studentenes løsninger på tre ulike oppgavetyper (kategorier) innen proporsjonalitet: rater, to deler av en hel og skalering. Oppgavene analyseres med henblikk på muligheten for å innføre DTL som tanke og kommunikasjons-verktøy. Sentralt i kapitlet står dermed visualisering i matematikk.



23

Forfatterne bruker rammeverket til Ball mfl. (2008) i sin analyse av hvordan dette arbeidet kan bidra til å utvikle undervisningskunnskap i matematikk hos lærerstudenter. Her velger vi å se nærmere på kategorien horisontkunnskap i matematikk (Ball 2008). Matematisk horisontkunnskap handler om en forstå-else for hvordan matematiske emner henger sammen gjennom hele skoleløpet. Vi ser dette i sammenheng med Shulmans kategori vertikal læreplankunnskap som innebærer kunnskaper om emner og oppgaver som har vært undervist i eller skal undervises i innen samme fagområde gjennom foregående og senere år i skolen (Shulman 1986). Eriksen, Kjensli og Rodal viser til RME og betrakter modeller i et longitudinelt perspektiv (Ma 1999), noe de eksemplifiserer i teori-delen. Der beskriver de tallinjen som en modell som følger elevene gjennom mange år fra de starter å lære om tallsystemet ved bruk av perlesnor. Som en avsluttende kommentar vektlegger forfatterne at et koordinert longitudinelt perspektiv gjennom hele skoleløpet og i aktuelle situasjoner er et overordnet mål i undervisning om proporsjonalitet. Dette understreker betydningen av lærernes horisontkunnskap i matematikk.

Kapitlet har et tydelig utviklingsperspektiv hvor utgangspunktet er matema-tikkunnskap som studentene har fra tidligere utdanning, altså allmenn mate-matikkunnskap og matematikkunnskap fra grunnkurset i matematikk ved lærerutdanningen. Der har studentene arbeidet med å utvikle andre aspekter ved sin undervisningskunnskap. Studentene løser oppgaver om proporsjona-litet hvor deres bruk av ulike løsningsstrategier analyseres med tanke på en introduksjon av DTL. Dermed er vi over på den spesialiserte matematikkunn-skapen. DTL er et steg på veien mot god forståelse for proporsjonalitet, og dermed viktig for læreres kunnskaper om matematikk og undervisning. Det står i artikkelen: «Elever som forstår forholdstall, trenger ikke DTL som et red-skap.» Kunnskap om når elever ikke lenger trenger et hjelpemiddel som DTL, er en viktig del av lærernes kunnskaper om matematikk og elever. Forfatterne nevner spesielt arbeid med funksjoner og deres grafer i koordinatsystemet som et eksempel på hva elever skal forberedes til gjennom å arbeide med proporsjonalitet. Her kommer betydningen av kategorien horisontkunnskap i matematikk tydelig fram. Det å se DTLs betydning både for spesialisert mate-matikkunnskap, kunnskaper om matematikk og undervisning, kunnskap om matematikk og elever og senere dens betydning for blant annet funksjoner og grafer, betrakter vi som horisontkunnskap i matematikk, en kunnskap som går på tvers av kategoriene i rammeverket.


kapittel 1

24

Flervalgsoppgaver i matematikkHensikten med kapittel 6, «Konstruksjon av flervalgsoppgaver i matematikk», er ifølge forfatterne Giæver og Tellefsen å vise hvordan lærerstudenter gjen-nom å lage flervalgsoppgaver til eget matematikkpensum kan utvikle under-visningskunnskap i matematikk. Gjennom bruk av spørreundersøkelse til studentene, med blant annet fritekstsvar, fikk forfatterne innblikk i studen-tenes opplevelse av aktiviteten. I analysen av spørreundersøkelsen bruker forfatterne rammeverket til Ball mfl. (2008), og de hevder at hensikten med at studentene skulle konstruere flervalgsoppgaver, var å utvikle spesialisert matematikkunnskap.

I og med at forfatterne her, i likhet med forfatterne i kapittel 5, bruker ram-meverket til Ball (2008) i sin analyse av hvordan et undervisningsopplegg kan bidra til å utvikle undervisningskunnskap i matematikk hos lærerstudenter, viser vi til deres egen analyse.

Vi ønsker imidlertid å kommentere kategorien kunnskap om matematikk og elever som blant annet handler om elevers ofte ufullstendige tenkning, og hvilke feil av mange mulige det er mest sannsynlig at elever gjør. Dette omtales innen matematikkdidaktikken som misoppfatninger, noe som er sentralt i kapitlet. Giæver og Tellefsen har fokusert på diagnostisk undervisning, diagnostiske oppgaver og forskjellen på misoppfatninger, uutviklede strategier og tilfeldige feil i sin undervisning av lærerstudenter. Med dette som bakgrunn skulle lærer-studentene konstruere svaralternativer basert på mulige misoppfatninger i for-bindelse med utforming av flervalgsoppgaver.

En utfordring leseren stilles overfor i dette kapitlet, er å reflektere over hvor-dan det er mulig å lage gode distraktører til en type oppgave hvor du selv har en misoppfatning. Videre er det en utfordring å kunne se verdien av å «finne på» misoppfatninger du selv ikke har, men som du må anta at noen av dine medstudenter, som er på samme faglige nivå som deg selv, har. Eventuelt kan det være misoppfatninger du husker at du selv har hatt tidligere. Slike innven-dinger til denne typen undervisningsopplegg uttrykte også lærerstudentene i denne studien.

Hvis vi ser på aktiviteten, å konstruere flervalgsoppgaver til eget pensum i et utviklingsperspektiv for lærere, er det interessant å diskutere hvordan denne kan overføres til å kunne lage flervalgsoppgaver til pensum de selv skal undervise i, en aktivitet som krever både spesialisert matematikkunnskap og kunnskap om matematikk og elever.



25

MatematikkhistorieI kapittel 7, «Matematikkhistorie i matematikkundervisningen? Hvorfor? Og hvordan?», diskuterer Smestad bruk av matematikkhistorie både som et mid-del til å gjøre matematikken mer spennende, og som et mål i seg selv. Han presenterer ni ulike innfallsvinkler til arbeid med matematikkhistorie og gir eksempler på disse.

Kunnskap om matematikkens utvikling gjennom historien kan ses på som allmenn matematikkunnskap. Samtidig eksemplifiseres noen av innfallsvinklene med matematikk som kan omtales som spesialisert matematikkunnskap. I dette kapitlet ser vi for eksempel gamle regnestrategier og geometrisk løsning av annengradslikninger.

I kapitlet er det flere eksempler på det Shulman omtaler som lateral lære-plankunnskap. Lateral læreplankunnskap omhandler lærerens evne til å relatere innholdet i et emne til andre aktuelle emner i elevens planer, på tvers av fag. Personer, tid, sted og sammenhenger du ser i matematikkhistorien, er nært knyttet til historie mer generelt og derfor også skolefaget historie. Forfatteren viser også til hvordan matematikk har vært brukt til å få svar de store spørsmål, for eksempel i tilknytning til fysikk og astronomi.

Smestad trekker inn arbeidsmåter som tar i bruk andre fagområder, som tea-ter og bildende kunst. Likeledes bruk av ulike konkreter. Disse arbeidsmåtene er ofte egnet til å gjøre matematikken tilgjengelig for elevene og kan i tillegg til å handle om lateral læreplankunnskap knyttes til en lærers kunnskap om matematikk og undervisning. Matematikkhistorie kan fungere som et krydder i undervisningen. Det at matematikkhistorie også har en motiverende hensikt, og at læreren er seg det bevisst, kan være en del av en lærers kunnskap om matematikk og undervisning. Det vil også kunne være motiverende for elevene at de gjennom matematikkhistorie møter eksempler på matematikkens rolle i samfunnet før og nå. Når elevene ser matematikkens utvikling gjennom his-torien, kan dette også bidra til å øke deres forståelse for matematikk. Smestad kommer med eksempler på at oppgaver kan gis basert på matematikkhisto-rien, og at elevene kan inviteres inn i samme oppdagelsesprosess som tidligere tiders store matematikere. Å kunne noe om hvordan dette kan utnyttes til å arbeide med elevers forståelse og begrepslæring, kan ses som kunnskaper om matematikk og elever.


kapittel 1

26

UendelighetI kapittel 8, «Lærerstudenters oppfatninger om 0.999…» diskuterer Rein-holdtsen lærerstudenters respons på et elevinnspill som skapte en situasjon med kognitiv konflikt for studentene. Elevinnspillet er knyttet til et uendelig periodisk desimaltall, 0.999…

Mange elever og studenter aksepterer ikke fullt ut at 0.999… = 1. Artikkelen presenterer ulike teorier som både kan synliggjøre hvor sammensatt studenters forestillinger om uendelige desimaltall er, og teorier som kan gi et perspektiv på hvordan man kan arbeide for å endre disse forestillingene.

Artikkelen har et spesielt fokus på begrepsdanning i matematikk og på elev-ers og studenters måte å tenke matematikk på. Her presenteres ulike teorier som i stor grad kan plasseres i kategorien kunnskap om matematikk og elever. Et eksempel er APOS-teorien. Utviklingen av et kognitivt objekt (Object) skjer via handlinger (Actions) som omgjøres til kognitive prosesser (Process) gjennom at handlingene internaliseres. Prosessene kan omgjøres til kognitive objekter gjennom såkalt innkapsling.

To undervisningssekvenser analyseres i artikkelen. Forfatteren, som også er læreren, presenterer for lærerstudenter et argument fra en ungdomsskoleelev som påstår at matematikken er usammenhengende og inkonsistent. Å sette lærerstudentene i en kognitiv konflikt brukes både som redskap for begreps-utvikling hos studentene og som forskningsmetode. Å arbeide på denne måten krever kunnskap om matematikk og undervisning i tillegg til kunnskap om mate-matikk og elever/studenter.

Ulike matematiske tilnærminger til å komme fram til at 0.999… = 1 er et eksem-pel på spesialisert matematikkunnskap. Kapitlet presenterer flere matematiske til-nærminger for å arbeide med elevers forståelse av uendelige desimaltall, for eksem-pel bruk av desimalposisjonskriteriet for å sammenligne størrelser av disse. I tillegg inneholder kapitlet eksempler på argumenter for at 0.999… = 1, som kan knyttes til de ulike teoriene som presenteres. Samtidig er mye av matematikken her allmenn matematikkunnskap, som også inkluderer matematikk på universitetsnivå.

Forfatteren beskriver interaksjonen mellom seg som lærer og lærerstuden-tene og deler sin refleksjon over egen undervisningskunnskap i matematikk med leseren. Han finner at det er et stort sprang mellom studentenes intuitive oppfatninger om uendelige desimaltall, og den formelle matematikken som bru-kes til å definere disse begrepene presist. Reinholdtsen innvier leseren i hvordan han etter undervisningssekvensene innså at han trengte mer kunnskap om teori



27

som omhandlet nettopp det paradokset som diskuteres i to undervisningsøkter med lærerstudenter. Dette viser at det også for lærerutdannere er nødvendig å utvikle undervisningskunnskap i matematikk.

Problemløsning og detektivhistorienTittelen til kapittel 9, «Detektivhistorien og matematisk problemløsning», understreker dette kapitlets originalitet. Imenes viser her at detektivhistorien som litterær sjanger og problemløsning i matematikk har mange felles struktu-relle kjennetegn, og kapitlet avspeiler dermed lateral læreplankunnskap (Shul-man 1986). Denne delen av undervisningskunnskapen, læreplankunnskap, ble av Ball mfl. (2008) plassert som en egen kategori i ellipsens høyre side, men Ball og hennes forskerteam vurderte den også som del av kunnskap om matematikk og undervisning, eller en kategori av kunnskap på tvers av flere kategorier.

Problemløsning er sentralt i matematikk, både i skolefaget matematikk og i vitenskapsfaget matematikk, og kan betraktes som allmenn matematikkunnskap. Når detektivhistorien brukes som et middel til å øke forståelsen for problem-løsning i matematikk i skolen, fører dette oss inn i ellipsens høyre side som omhandler kunnskaper om matematikk og undervisning. Det gis eksempel på en detektivhistorie. Nødvendige forenklinger av historien og tilpasninger for å gjøre om mysteriet til et matematisk problem som kan løses, avspeiler allmenn matematikkunnskap. Det gjør også løsningen av differensiallikningen for å esti-mere dødstidspunktet. Men i det Imenes reformulerer problemet, forenkler matematikken og dermed tilpasser den til ungdomsskolens matematikkpensum, er det den spesialiserte matematikkunnskapen som avspeiles.

Detektivhistorien, som her knyttes til matematisk problemløsning, handler om funn av et lik, og det matematiske problemet som skal løses, er å finne dødstids-punktet. Dette relaterer Imenes til Newtons lov om avkjøling, og forbindelsen til elevenes naturfag er dermed knyttet. Dette avspeiler nok et aspekt av kunnskap om faginnhold og læreplan, den laterale delen av Shulmans læreplankunnskap.

Å vite hvilke spørsmål elever vil stille og burde stille her i en diskusjon om mulige løsninger til en differensiallikning, krever kunnskap om matematikk og elever. I forbindelse med at løsningen viser seg å kunne beskrives av en ekspo-nentialfunksjon, knytter Imenes detektivhistoriens Watsons litt «dumme» spørsmål til mulige spørsmål elever vil stille i forbindelse med løsningen av en differensiallikning.


kapittel 1

28

I tillegg til å formulere det matematiske problemet slik at det kan løses av elever på ulike nivåer, blant annet ved å gjette på en eksponentialfunksjon som løsning, viser også Imenes hvordan problemet kan løses ved bruk av GeoGebra, et dataprogram som er laget spesielt for å illustrere sentrale sammenhenger i skolematematikken. Her kommer igjen spesialisert matematikkunnskap inn.

I diskusjonsdelen av kapitlet løfter Imenes fram sammenhengen mellom detektivhistorien, problemløsning og modellering. Her er vi over i den høyre siden av undervisningskunnskapens ellipse, hvor undervisningsperspektivet og elevperspektivet kommer inn. Men vi ser at det hele tiden er den spesiali-serte matematikkunnskapen for undervisning som ligger til grunn. Her løftes modelleringskompetanse og problemløsning i skolen fram, som spesialisert matematikkunnskap. Dette danner bakgrunnen for undervisningen i emnet og hvordan de forskjellige framstillingsmåtene av differensiallikninger bidrar til forståelse av fysiske lover for elever i grunnskolen. Videre vektlegger Imenes at detektivhistorien kan virke motiverende i undervisningen, og at spørsmålene elevene kan stille, skal gi dypere innsikt i emnet.

Et eksistensielt spørsmål«Kan vi besvare alle matematiske spørsmål?» Dette er spørsmålet Briseid stiller i antologiens siste kapittel, kapittel 10. Her løftes vi opp til et mer overordnet perspektiv på matematikken, som kan knyttes til læreres og lærerutdanneres horisontkunnskap i matematikk. Stoffet som Briseid behandler, er ment å utgjøre matematisk horisontkunnskap for lærere og lærerutdannere slik begrepet ble videreutviklet av Jakobsen mfl. (2012). Dette kan motivere for undervisning som kan vekke interesse for matematikkens egenart. Det matematiske stoffet som diskuteres i kapitlet, omhandler blant annet diofantiske likninger, som sammen med mye av det øvrige matematiske innholdet utgjør allmenn matematikkunn-skap. Dette knytter forfatteren til geometri og tallteori for ungdomstrinnet, og dermed til spesialisert matematikkunnskap, gjennom å trekke fram pytagoreiske tripler som løsninger av en spesiell diofantisk likning. Motivasjonsaspektet i dette kapitlet er framtredende, og spørsmålene som stilles, kan både hos lærere og elever vekke interesse utover det å komme fram til et riktig svar. Å legge til rette for slik interesse er en del av læreres matematikkunnskap for undervis-ning, og kjennskap til hvordan spørsmålene i dette kapitlet har blitt behandlet og forsøkt besvart av matematikerne, kan da gi nye innfallsporter. Et sentralt



29

aspekt i denne sammenhengen er å kunne koble til dels avansert matematikk til noe elever har forutsetninger for å kunne skjønne på et intuitivt nivå, som å kunne koble Russells paradoks til historien om barbereren som barberer alle som ikke barberer seg selv. (Hvem barberer barbereren?) Det kan også være relevant å vise hvor kort avstand det kan være mellom skolematematikken og uløste problemer som matematikerne strever med, slik Briseid trekker fram med det såkalte Collatz’ problem. Slik kan man inspirere og motivere elever til å gruble over matematiske spørsmål av den typen der svaret ikke er å finne bakerst i boka.

Avsluttende kommentarerUndervisningskunnskap i matematikk kan ikke betraktes som en fast kunn-skapsbase, men som noe som er i stadig utvikling. I antologiens kapitler finner vi mange eksempler som viser sammenhenger mellom ellipsens (figur 1.1) venstre og høyre side, og som viser hvordan kunnskapskategoriene gjensidig avhenger av og påvirker hverandre. Å ha kunnskap om matematikk og elever og om mate-matikk og undervisning krever i tillegg til god allmenn matematikkunnskap også spesialisert matematikkunnskap og kunnskap om hvor elevene kommer fra og hvor de skal i faget, altså horisontkunnskap i matematikk. Samtidig ser vi at jo mer kunnskap en lærer får om elevers tenkning og om undervisningsmetoder i faget, jo mer vil lærerens behov for dypere og bredere matematikkunnskap (allmenn og spesialisert) melde seg. Vi kan også tenke oss at slik kunnskap utvikles mer direkte gjennom arbeidet med elever. Eksempler på dette kan være kunnskap om ulike løsningsstrategier tilpasset ulike elever og alderstrinn og kunnskap om mulige representasjonsformer og problemstillinger.

Antologiens kapitler avspeiler spesifisert matematikkunnskap som er enestående for undervisningsprofesjonen. Å kunne utvikle sosiomatematiske normer, utnytte potensial i elevenes arbeid med algoritmer, bevis og argumentasjon, eksemplifise-rer denne kunnskapen. Bidragene i antologien viser også at undervisningskunn-skap i matematikk er tett knyttet til undervisningssituasjonen og klasserommet. Vi inspirerer leserne til å bruke representasjoner og modeller for proporsjonalitet, brøk og uendelighet i ulike kontekster. Å utarbeide flervalgsoppgaver med gode distraktører kan skape muligheter for framtidige matematikklærere til å lære og til å kunne bruke matematikk fra en lærers perspektiv. Matematikkhistorie og sammenhengen mellom problemløsning i matematikk og strukturen i en detek-tivhistorie inspirerer til variasjon og bruk av matematikk i ulike kontekster. Og


kapittel 1

30

kjennskap til hvordan matematikerne har forholdt seg til problemstillinger som hvorvidt vi kan besvare alle matematiske spørsmål, kan gi nye innfallsvinkler for lærere til selv å forholde seg til elever som undrer seg over store spørsmål.

Undervisningskunnskap i matematikk er mangfoldig, noe kapitlene i denne antologien viser. Samlet gir kapitlene et nyansert bilde av undervisningskunnskap i matematikk og hvordan slik kunnskap kan betraktes som «anvendt matematikk».

ReferanserBall, D.L., Thames, M.H., & Phelps, G. (2008). Content Knowledge for Teaching? What

makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389–407.Bass, H. (2005). Mathematics, mathematicians and mathematics education. Bulletin of the

American Mathematical Society, 42, 417–430. Hentet fra http://www.ams.org/journals/bull/2005-42-04/S0273-0979-05-01072-4/S0273-0979-05-01072-4.pdf

Biesta, G.J.J. (2012a). Giving Teaching Back to Education: Responding to the Disappearance of the Teacher. Phenomenology and Practice, 6(2), 35–49.

Biesta, G.J.J. (2012b). Receiving the Gift of Teaching: From «Learning From» to «Being Taught By». Studies in Philosofy and Education. doi:10.1007/s11217-012-9312-9

Hole, A., & Kleve, B. (2012). The need for horizon content knowledge: examplified by work with fractions in Norway. I G. Gunnarsdottir, F. Hreinsdottir, G. Palsdottir, M. Hannula, M. Hannula-Sormunen, E. Jablonka, U. T. Jankvist, A. Ryve, P. Valero, & K. Wæge (red.), Proceedings of Norma 11, The sixth nordic conference on mathematics education. Reykjavik: University of Iceland Press.

Jakobsen, A., Thames, M.H., Ribeiro, C.M., & Delaney, S. (2012). Using practice to define and distinguish horizon content knowledge. Proceedings of The 12th International Congress on Mathematics Education 8th–15th July, 4635–4644.

Kieren, T.E. (1980). The Rational Number Construct – Its Elements and Mechanisms. I T.E. Kieren (red.), Recent Research on Number Learning (s. 125–150). Columbus: ERIC.

Ma, L. (1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States. London: Lawrence Erlbaum Associates, Publisher.

Shanahan, T., & Shanahan, C. (2008). Teaching Disciplinary Literacy to Adolescents: Rethinking Content Area Literacy. Harvard Educational Review, 78(1), 40–59.

Shulman, L.S. (1986). Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. Educational Researcher, 15(2), 4–14.

Stylianides, A.J. (2009). Breaking the equation «empirical argument=proof». Mathematics Teaching, 213, 9–14 (Available also at the NRICH website.).

Stylianides, G.J., & Stylianides, A.J. (2010). Mathematics for teaching: A form of applied mathematics. Teaching and Teacher Education, 26, 161–172.

Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Sociomathematical Norms, Argumentation and Autonomy in Mathematics. Journal for research in Mathematics education, 27(4), 458–477.


Documents

Undervisningskunnskap i matematikk utdrag