1. MatematikkTor Espen KristensenOdda, 16. januar 2007

2. Hva vil det si kunne matematikk? Hvordan utvikle matematisk kompetanse? Hvordan f barna til tenke matematisk? 3. S- ENC TION AT IK ATTAN MPETOPET NTA MGE KOTEM KEG ENC S KOMRSEMA-SP RMAAN E PRFOR CE SVARE I, MED, O M LIN OBLEREP GS-OG OG REDS KABERGSK MBOG TEN OM EHA OL- EPET ND- MB KOMP SY ME ENCE LIS S-KOMING KOM MUN LERTENCE PET IKATDEL E PET NTS- HJMPETEMO KOMPENC IONGKOE E S- ENCGE O I MA LPE NCE KOM EMERMID T EMNSPSON DEL AT AT IKR- 4. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserFra formlet Kompetanser i matematikkFra formlet: Problemlysing hyrer med til den matematiske kompetansen. Det er analysere og omforme eit problem til matematisk form, lyse det og vurdere kor gyldig det er. Dette har g sprklege aspekt, som det resonnere og kommunisere idear. I det meste av matematisk aktivitet nyttar ein hjelpemiddel og teknologi. Bde det kunne bruke og vurdere hjelpemiddel og teknologi og det kjenne til avgrensinga deira er viktige delar av faget. Kompetanse i matematikk er ein viktig reiskap for den einskilde, og faget kan leggje grunnlag for ta vidare utdanning og for deltaking i yrkesliv og fritidsaktivitetar.Tor Espen Kristensen | Matematikk4 5. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserSist gang: ProblembahandlingskompetansenKantouski: A task is said to be a problem if its solution requires that an individual combines previously known data in a way that is new to him or her. Tor Espen Kristensen | Matematikk5 6. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser kunne regne Grunnleggjande ferdigheiter kunne rekne i matematikk utgjer ei grunnstamme i matematikkfaget. Det handlar om problemlysing og utforsking som tek utgangspunkt i praktiske, daglegdagse situasjonar og matematiske problem. For greie det m ein kjenne godt til og meistre rekneoperasjonane, ha evne til bruke varierte strategiar, gjere overslag og vurdere kor rimelege svara er. Tor Espen Kristensen | Matematikk6 7. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProblemlsing Hvordan utvikle problembehandlingskompetansen? Lester peker p flgende re punkt [3]: 1 Elever m lse mange problemer for forbedre problemlsingsevnen sin. 2 Problemlsingsevnen utvikles langsomt og over en lang periode 3 Elever m tro p at lreren synes at problemlsing er viktig, for at de skal ta til seg undervisning. 4 De este elever tjener op systematisk undervisning i problemlsing. Tor Espen Kristensen | Matematikk7 8. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProblemlsing Hvordan utvikle problembehandlingskompetansen? Lester peker p flgende re punkt [3]: 1 Elever m lse mange problemer for forbedre problemlsingsevnen sin. 2 Problemlsingsevnen utvikles langsomt og over en lang periode 3 Elever m tro p at lreren synes at problemlsing er viktig, for at de skal ta til seg undervisning. 4 De este elever tjener op systematisk undervisning i problemlsing. Tor Espen Kristensen | Matematikk7 9. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProblemlsing Hvordan utvikle problembehandlingskompetansen? Lester peker p flgende re punkt [3]: 1 Elever m lse mange problemer for forbedre problemlsingsevnen sin. 2 Problemlsingsevnen utvikles langsomt og over en lang periode 3 Elever m tro p at lreren synes at problemlsing er viktig, for at de skal ta til seg undervisning. 4 De este elever tjener op systematisk undervisning i problemlsing. Tor Espen Kristensen | Matematikk7 10. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProblemlsing Hvordan utvikle problembehandlingskompetansen? Lester peker p flgende re punkt [3]: 1 Elever m lse mange problemer for forbedre problemlsingsevnen sin. 2 Problemlsingsevnen utvikles langsomt og over en lang periode 3 Elever m tro p at lreren synes at problemlsing er viktig, for at de skal ta til seg undervisning. 4 De este elever tjener op systematisk undervisning i problemlsing. Tor Espen Kristensen | Matematikk7 11. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProblemlsing Lrerens funksjonHaapasalo re nivre: 1 Eleven har ingen forestilling om hvordan han eller hun kan g fram i forbindelse med problemlsing. Lreren fungerer som en modell for dette. 2 Eleven forstr betydningen av problemlsing og tr angripe problemer som virker kjente til en viss grad, ofte som medlem av en gruppe. Lreren fungerer som en sttte eller protese. 3 Eleven har en god forestilling om hva problemlsing er, og tr prve nye strategier. Lreren er leverandr av problemer. 4 Eleven er i stand til velge passende strategier og produserer nye lsningsmter. Han eller hun ser muligheter til variasjon og generalisering og presenterer dem for andre. Lreren fungerer som fremmer av kreativt arbeid.Tor Espen Kristensen | Matematikk8 12. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProblemlsing Lrerens funksjonHaapasalo re nivre: 1 Eleven har ingen forestilling om hvordan han eller hun kan g fram i forbindelse med problemlsing. Lreren fungerer som en modell for dette. 2 Eleven forstr betydningen av problemlsing og tr angripe problemer som virker kjente til en viss grad, ofte som medlem av en gruppe. Lreren fungerer som en sttte eller protese. 3 Eleven har en god forestilling om hva problemlsing er, og tr prve nye strategier. Lreren er leverandr av problemer. 4 Eleven er i stand til velge passende strategier og produserer nye lsningsmter. Han eller hun ser muligheter til variasjon og generalisering og presenterer dem for andre. Lreren fungerer som fremmer av kreativt arbeid.Tor Espen Kristensen | Matematikk8 13. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProblemlsing Lrerens funksjonHaapasalo re nivre: 1 Eleven har ingen forestilling om hvordan han eller hun kan g fram i forbindelse med problemlsing. Lreren fungerer som en modell for dette. 2 Eleven forstr betydningen av problemlsing og tr angripe problemer som virker kjente til en viss grad, ofte som medlem av en gruppe. Lreren fungerer som en sttte eller protese. 3 Eleven har en god forestilling om hva problemlsing er, og tr prve nye strategier. Lreren er leverandr av problemer. 4 Eleven er i stand til velge passende strategier og produserer nye lsningsmter. Han eller hun ser muligheter til variasjon og generalisering og presenterer dem for andre. Lreren fungerer som fremmer av kreativt arbeid.Tor Espen Kristensen | Matematikk8 14. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProblemlsing Lrerens funksjonHaapasalo re nivre: 1 Eleven har ingen forestilling om hvordan han eller hun kan g fram i forbindelse med problemlsing. Lreren fungerer som en modell for dette. 2 Eleven forstr betydningen av problemlsing og tr angripe problemer som virker kjente til en viss grad, ofte som medlem av en gruppe. Lreren fungerer som en sttte eller protese. 3 Eleven har en god forestilling om hva problemlsing er, og tr prve nye strategier. Lreren er leverandr av problemer. 4 Eleven er i stand til velge passende strategier og produserer nye lsningsmter. Han eller hun ser muligheter til variasjon og generalisering og presenterer dem for andre. Lreren fungerer som fremmer av kreativt arbeid.Tor Espen Kristensen | Matematikk8 15. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserTankegangskompetanseDenne kompetansen gr ut p mestre ulike mter tenke matematisk p. kjenne, forst og kunne bruke matematiske begreper, det vil si begrepers rekkevidde og begrensninger og deres forankring i diverse domener ha bevissthet rundt hvilke sprsml som er karakteristiske for matematikk, kunne stille matematiske sprsml og ha blikk for hvilke typer svar som forventes utvide et begrep ved abstraksjon og forst hva som ligger i generalisering og selv kunne generalisere. skille mellom pstander, antagelser og bevis. Det vil si skille nr det er snakk om utsagn, denisjoner, setninger, enkelttilfeller, spesialtilfeller, pstander basert p intuisjon, matematiske bevis osv.Tor Espen Kristensen | Matematikk9 16. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserTankegangskompetanseDenne kompetansen gr ut p mestre ulike mter tenke matematisk p. kjenne, forst og kunne bruke matematiske begreper, det vil si begrepers rekkevidde og begrensninger og deres forankring i diverse domener ha bevissthet rundt hvilke sprsml som er karakteristiske for matematikk, kunne stille matematiske sprsml og ha blikk for hvilke typer svar som forventes utvide et begrep ved abstraksjon og forst hva som ligger i generalisering og selv kunne generalisere. skille mellom pstander, antagelser og bevis. Det vil si skille nr det er snakk om utsagn, denisjoner, setninger, enkelttilfeller, spesialtilfeller, pstander basert p intuisjon, matematiske bevis osv.Tor Espen Kristensen | Matematikk9 17. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserTankegangskompetanseDenne kompetansen gr ut p mestre ulike mter tenke matematisk p. kjenne, forst og kunne bruke matematiske begreper, det vil si begrepers rekkevidde og begrensninger og deres forankring i diverse domener ha bevissthet rundt hvilke sprsml som er karakteristiske for matematikk, kunne stille matematiske sprsml og ha blikk for hvilke typer svar som forventes utvide et begrep ved abstraksjon og forst hva som ligger i generalisering og selv kunne generalisere. skille mellom pstander, antagelser og bevis. Det vil si skille nr det er snakk om utsagn, denisjoner, setninger, enkelttilfeller, spesialtilfeller, pstander basert p intuisjon, matematiske bevis osv.Tor Espen Kristensen | Matematikk9 18. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserTankegangskompetanseDenne kompetansen gr ut p mestre ulike mter tenke matematisk p. kjenne, forst og kunne bruke matematiske begreper, det vil si begrepers rekkevidde og begrensninger og deres forankring i diverse domener ha bevissthet rundt hvilke sprsml som er karakteristiske for matematikk, kunne stille matematiske sprsml og ha blikk for hvilke typer svar som forventes utvide et begrep ved abstraksjon og forst hva som ligger i generalisering og selv kunne generalisere. skille mellom pstander, antagelser og bevis. Det vil si skille nr det er snakk om utsagn, denisjoner, setninger, enkelttilfeller, spesialtilfeller, pstander basert p intuisjon, matematiske bevis osv.Tor Espen Kristensen | Matematikk9 19. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserTankegangskompetanseGrunnleggjande ferdigheiter kunne uttrykkje seg munnleg i matematikk inneber gjere seg opp ei meining, stille sprsml, argumentere og forklare ein tankegang ved hjelp av matematikk. Det inneber g vere med i samtalar, kommunisere idear og drfte problem og lysingsstrategiar med andre. Tor Espen Kristensen | Matematikk10 20. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskelseslandskapSkovsmose har innfrt begrepet underskelseslandskap om oppgaver som innebrer at elevene m vre kreative problemlsere. Opp mot underskelseslandskapet setter han oppgaveparadigmet, som Botten oversetter med tradisjonelle matematikkoppgaver. Dette er oppgaver som har entydige svar, i motsetning til oppgaver i underskelseslandskapet, som er mer pne. Tor Espen Kristensen | Matematikk11 21. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserOppgavetyperTradisjonellematematikkoppgaver Underskelseslandskapmed et entydig fasitsvar Ren matematikk,(1) (2) uten noen praktisk anvendelse Semi-anvendelser(3)(4) av matematikken Ekte, reelle(5)(6) anvendelser av matematikk Tor Espen Kristensen | Matematikk12 22. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserEksempel Mahavira (800-tallet): Eksempel En tredel av en elefantokk og tre ganger kvadratroten av resten av okken ruslet i en fjellskrning, mens en hannelefant og tre hunnelefanter dukket seg i en dam i nrheten. Hvor mange elefanter var det i alt i okken? Tor Espen Kristensen | Matematikk13 23. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserEksempel En natt i vrmneden var en nydelig ung kvinne elskovslykkelig med sin ektemann p gulvet i en herskapelig villa som l skinnende hvit i mnelyset i en lysthage med trr som lutet under vekten av frukt og overddige blomsterranker, mens lufta fyltes av ste lyder fra papegyer, gjker og bier som var beruset av honning fra blomstene i hagen. S hendte det i elskovskampen mellom det unge paret at kvinnens halskjede ble revet i stykker og perlene spratt omkring. En tredel av perlene trillet til tjenestejenta. En seksdel landet i den myke senga. Halvparten av denne brkdelen, halvparten av dette igjen, og videre p samme mte i alt seks ganger, samlet seg i hauger p gulvet. Det viste seg at det var igjen 1161 perler p halskjedet. Om du er ink til regne med brker, s si meg hvor mange perler det i alt hadde vrt p kjedet som prydet den unge kvinnens hals!Tor Espen Kristensen | Matematikk14 24. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskelseslandskap12 3456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Tor Espen Kristensen | Matematikk15 25. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskelseslandskap12 3456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Tor Espen Kristensen | Matematikk15 26. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskelseslandskap12 3456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Tor Espen Kristensen | Matematikk15 27. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskelseslandskap12 3456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Tor Espen Kristensen | Matematikk15 28. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskelseslandskap Lreren har funnet et fenomen som kan fungere som et underskelseslandskap.Lrer: Hva tror dere vil skje hvis. . . Elevene ser nyere p fenomenet og begynner underske Elev: Men kan det vre slik at. . . Elev: Ja, men hva skjer hvis. . . Elev: Og hvis. . . Lrer: Hvorfor det, tro? Elev: Ja, hvorfor det. Kan det vre slik at . . . Elev: Men her stemmer ikke akkurat det, kanskje det m vre. . . Tor Espen Kristensen | Matematikk16 29. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskelseslandskap Elevene benner seg i et underskelseslandskap. inviterer og frister til utforske. Dette fordrer pne oppgaver. Tor Espen Kristensen | Matematikk17 30. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskelseslandskap Elevene benner seg i et underskelseslandskap. inviterer og frister til utforske. Dette fordrer pne oppgaver. Eksempel: Plasser tall fra 1 til 9 i de tre sirklene slik at summen blir 9:= 9 Tor Espen Kristensen | Matematikk17 31. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskeseslandskapIngvill Merete Stedy-Johansen forteller om Fru Flink [6]. Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Tor Espen Kristensen | Matematikk18 32. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskeseslandskapIngvill Merete Stedy-Johansen forteller om Fru Flink [6]. Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Gi meg et tall! Tor Espen Kristensen | Matematikk18 33. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskeseslandskapIngvill Merete Stedy-Johansen forteller om Fru Flink [6]. Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Gi meg et tall! 6953. Tor Espen Kristensen | Matematikk18 34. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskeseslandskapIngvill Merete Stedy-Johansen forteller om Fru Flink [6]. Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Gi meg et tall! 6953.Skriv tallet i en annen rekkeflge, slik at tallet blir9653 strst mulig. Bytt om rekkeflgen p sifrene, slik at tallet blir s 3569 lite som mulig. Trekk det minste fra det strste. 6084 Gjr dette om igjen og om igjen.8640 8640 0468 = 8172 8721 1278 = 7443 7443 3447 = 3996 ... 7641 1467 = 6174 Tor Espen Kristensen | Matematikk18 35. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskeseslandskap Kaprekars konstantDa gjr Matt en spennende oppdagelse: Hei, hvis jeg starter med tallet 9753, kommer jeg til Kaprekars konstant med en gang! Jeg lurer p om det skjer med ere tall? Tor Espen Kristensen | Matematikk19 36. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserUnderskeseslandskap Kaprekars konstantDa gjr Matt en spennende oppdagelse: Hei, hvis jeg starter med tallet 9753, kommer jeg til Kaprekars konstant med en gang! Jeg lurer p om det skjer med ere tall? 99738862 7751664098638752 7641653097538642 7531642096438532 7421631095338422 73116200 Tor Espen Kristensen | Matematikk19 37. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserKarakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks1 Den gode historien 2 Halvpne og pne oppgaver 3 Oppgaver som kan forsts og lses p ulike niver, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten p mnster og system 5 Oppgaver der det er en fordel arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre.Tor Espen Kristensen | Matematikk20 38. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserKarakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks1 Den gode historien 2 Halvpne og pne oppgaver 3 Oppgaver som kan forsts og lses p ulike niver, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten p mnster og system 5 Oppgaver der det er en fordel arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre.Tor Espen Kristensen | Matematikk20 39. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserKarakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks1 Den gode historien 2 Halvpne og pne oppgaver 3 Oppgaver som kan forsts og lses p ulike niver, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten p mnster og system 5 Oppgaver der det er en fordel arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre.Tor Espen Kristensen | Matematikk20 40. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserKarakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks1 Den gode historien 2 Halvpne og pne oppgaver 3 Oppgaver som kan forsts og lses p ulike niver, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten p mnster og system 5 Oppgaver der det er en fordel arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre.Tor Espen Kristensen | Matematikk20 41. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserKarakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks1 Den gode historien 2 Halvpne og pne oppgaver 3 Oppgaver som kan forsts og lses p ulike niver, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten p mnster og system 5 Oppgaver der det er en fordel arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre.Tor Espen Kristensen | Matematikk20 42. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserKarakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks1 Den gode historien 2 Halvpne og pne oppgaver 3 Oppgaver som kan forsts og lses p ulike niver, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten p mnster og system 5 Oppgaver der det er en fordel arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre.Tor Espen Kristensen | Matematikk20 43. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserKarakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks1 Den gode historien 2 Halvpne og pne oppgaver 3 Oppgaver som kan forsts og lses p ulike niver, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten p mnster og system 5 Oppgaver der det er en fordel arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre.Tor Espen Kristensen | Matematikk20 44. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserKarakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks1 Den gode historien 2 Halvpne og pne oppgaver 3 Oppgaver som kan forsts og lses p ulike niver, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten p mnster og system 5 Oppgaver der det er en fordel arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre.Tor Espen Kristensen | Matematikk20 45. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserKarakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks1 Den gode historien 2 Halvpne og pne oppgaver 3 Oppgaver som kan forsts og lses p ulike niver, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten p mnster og system 5 Oppgaver der det er en fordel arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre.Tor Espen Kristensen | Matematikk20 46. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserOppgaverOppgave 1 10 personer mtes og de hndhilser p hverandre. Hvor mange hndtrykk blir det? I en klasse er det 27 elever. Dersom alle skulle hndhilse p hverandre. Hvor mange hndtrykk blir det? Hvor mange hndtrykk blir det nr 100 personer skal hndhilse p hverandre? Tor Espen Kristensen | Matematikk21 47. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserOppgaverOppgave 2 P sirklene nedenfor er det plassert punkter. Trekk for hver sirkel opp linjestykker mellom hvert par avmerkede punkter. Hvor mange linje stykker blir det? Hvor mange linjestykker blir det dersom vi hadde 10 punkter p en sirkel? Tor Espen Kristensen | Matematikk22 48. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserOppgaverOppgave 3 I ei gruppe p 5 personer skal det velges to personer som skal sitte i et utvalg. Hvor mange mulige mter kan vi velge to personer ut av en gruppe p 5 personer? Hvor mange mter kan vi velge to personer ut av en gruppe p 10 personer? Tor Espen Kristensen | Matematikk23 49. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserResonneringskompetanseDenne kompetansen bestr i kunne Flge og bedmme andres matematisk resonnement Vite og forst hva et matematisk bevis er og ikke er Forst logikken bak et moteksempel Avdekke de brende ideer i et matematisk bevis Tenke ut og gjennomfre uformelle og formelle resonnementer p basis av intuisjon. For eksempel omforme heuristiske resonnementer til gyldige bevis. Tor Espen Kristensen | Matematikk24 50. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRessoneringskompetanseHar to rektangler som har samme areal ogs samme omkrets? Dersom vi fordobler arealet, fordobles da ogs omkretsen? Marie og Per bor hhv. 1,2 km og 2 km fra skolen. Da m de bo 3,2 km fra hverandre. Tor Espen Kristensen | Matematikk25 51. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRessoneringskompetanseHar to rektangler som har samme areal ogs samme omkrets? Dersom vi fordobler arealet, fordobles da ogs omkretsen? Marie og Per bor hhv. 1,2 km og 2 km fra skolen. Da m de bo 3,2 km fra hverandre. Hva med denne:2 Vi vet at x + 1 = xx1 , og siden 12 1 = 0, s fr vi ved sette 1x = 1 inn i likheten over at 2 = 0. Tor Espen Kristensen | Matematikk25 52. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserResonneringskompetanseGrunnleggjande ferdigheiter kunne uttrykkje seg skriftleg i matematikk inneber lyse problem ved hjelp av matematikk, beskrive og forklare ein tankegang og setje ord p oppdagingar og idear. Ein lagar teikningar, skisser, gurar, tabellar og diagram. I tillegg nyttar ein matematiske symbol og det formelle sprket i faget. Tor Espen Kristensen | Matematikk26 53. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserResonneringAntall som hilser Tor Espen Kristensen | Matematikk27 54. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problem Karakteriseres ved:1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse lsningsstrategier 2 Problemet skal vre lett forst og alle skal ha en mulighet til arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne lses p ere mter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes lsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske omrder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lrere formulerer nye interessante problem.Tor Espen Kristensen | Matematikk28 55. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problem Karakteriseres ved:1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse lsningsstrategier 2 Problemet skal vre lett forst og alle skal ha en mulighet til arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne lses p ere mter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes lsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske omrder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lrere formulerer nye interessante problem.Tor Espen Kristensen | Matematikk28 56. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problem Karakteriseres ved:1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse lsningsstrategier 2 Problemet skal vre lett forst og alle skal ha en mulighet til arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne lses p ere mter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes lsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske omrder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lrere formulerer nye interessante problem.Tor Espen Kristensen | Matematikk28 57. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problem Karakteriseres ved:1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse lsningsstrategier 2 Problemet skal vre lett forst og alle skal ha en mulighet til arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne lses p ere mter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes lsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske omrder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lrere formulerer nye interessante problem.Tor Espen Kristensen | Matematikk28 58. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problem Karakteriseres ved:1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse lsningsstrategier 2 Problemet skal vre lett forst og alle skal ha en mulighet til arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne lses p ere mter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes lsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske omrder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lrere formulerer nye interessante problem.Tor Espen Kristensen | Matematikk28 59. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problem Karakteriseres ved:1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse lsningsstrategier 2 Problemet skal vre lett forst og alle skal ha en mulighet til arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne lses p ere mter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes lsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske omrder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lrere formulerer nye interessante problem.Tor Espen Kristensen | Matematikk28 60. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problem Karakteriseres ved:1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse lsningsstrategier 2 Problemet skal vre lett forst og alle skal ha en mulighet til arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne lses p ere mter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes lsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske omrder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lrere formulerer nye interessante problem.Tor Espen Kristensen | Matematikk28 61. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problem Stenplattor Tor Espen Kristensen | Matematikk29 62. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problem Stenplattor Tor Espen Kristensen | Matematikk30 63. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problem Stenplattor Tor Espen Kristensen | Matematikk31 64. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problem Stenplattor La h(n) vre antall heller p gur n, l(n) antall lyse og m(n) antall mrke heller p gur n. Da erh(n) = (n + 2)2l(n) = n2 m(n) = h(n) l(n) = n2 + 4n + 4 n2 = 3n + 4 Tor Espen Kristensen | Matematikk32 65. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problemOppgave 1 Jeg har 8 mynter i lommen min som til sammen blir 30 kroner. Hvilke mynter har jeg da i lommen? Tor Espen Kristensen | Matematikk33 66. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRike problemOppgave 1 Jeg har 8 mynter i lommen min som til sammen blir 30 kroner. Hvilke mynter har jeg da i lommen?Oppgave 2 Lag en tilsvarende oppgave som har mer enn n lsning. Tor Espen Kristensen | Matematikk33 67. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserBde praktisk og teoretisk. . . Fra formlet til LK06: Matematikk er ein del av den globale kulturarven vr. Mennesket har til alle tider brukt og utvikla matematikk for utforske universet, for systematisere erfaringar og for beskrive og forst samanhengar i naturen og i samfunnet. Ei anna inspirasjonskjelde til utviklinga av faget har vore glede hos menneske over arbeid med matematikk i seg sjlv....Matematikkfaget i skolen medverkar til utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den einskilde treng. For oppn dette m elevane f hve til arbeide bde praktisk og teoretisk. Tor Espen Kristensen | Matematikk34 68. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserBde praktisk og teoretisk. . . Fra formlet til LK06: Matematikk er ein del av den globale kulturarven vr. Mennesket har til alle tider brukt og utvikla matematikk for utforske universet, for systematisere erfaringar og for beskrive og forst samanhengar i naturen og i samfunnet. Ei anna inspirasjonskjelde til utviklinga av faget har vore glede hos menneske over arbeid med matematikk i seg sjlv....Matematikkfaget i skolen medverkar til utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den einskilde treng. For oppn dette m elevane f hve til arbeide bde praktisk og teoretisk. Tor Espen Kristensen | Matematikk34 69. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserEn praktisk oppgaveI en lrebok for tidligere 7. klasse nner vi flgende oppgave: Et borettslag skulle sette gjerde rundt hagen sin. Den hadde flgende form: 70 m50 ma) Regn ut omkretsenb) Det skal settes ned en gjerdestolpe for hver 3. meter. Hvor mange gjerdestolper gr med?Tor Espen Kristensen | Matematikk35 70. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserHva er en liter? Elevene sitter krumbyd over en serie med omgjringsstykker. 1 l = 10 dl1, 3 l = 12 dl0, 4 l = 4 dl12 dl = 1, 2 l osv.De lrer systemet. Etter hvert gr det lettere. Kommaer yttes, nuller settes til. Av og til m lreren komme og bekrefte at det er rett gjort. Til slutt gjennomgs noen av de vanskeligste stykkene, og lreren gjentar reglene sammen med elevene.Tor Espen Kristensen | Matematikk36 71. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserHva er en liter? I neste time er det heimkunnskap. Rundstykker og kjttsuppe. Bra! Men frken! Frken, her str det 1/4 dl melk til rundstykkene. Hvordan frken? Og 2,5 l vann til kjttbeina. Frken hvordan vet vi at vi har 2,5 l vann?En rekke studier som viser at det er problematisk overfre kunnskap fra en situasjon og uttrykksform til en annen.[1] Tor Espen Kristensen | Matematikk37 72. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserMatematikk vr tids latin? Hvorfor skal matematikk vre et eget skolefag?Professor i spesialpedagogikk ved Universitetet i Oslo, Edvard Befring kk i gang en heftig debatt i 1999 da han tok til orde for fjerne matematikken som eget skolefag, under henvisning til forrige rhundreskiftes endelige oppgjr med latinen som skolefag: Matematikk er vr tids latin! Tor Espen Kristensen | Matematikk38 73. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserMatematikk vr tids latin? Hvorfor skal matematikk vre et eget skolefag?Professor i spesialpedagogikk ved Universitetet i Oslo, Edvard Befring kk i gang en heftig debatt i 1999 da han tok til orde for fjerne matematikken som eget skolefag, under henvisning til forrige rhundreskiftes endelige oppgjr med latinen som skolefag: Matematikk er vr tids latin! Forskning, nr 7 1999 Mitt utgangspunkt er den mangelfulle og negative lring mange elever har i faget. Dette gjr mange til tapere. Det ville vrt en oppdragelsessvikt hvis vi ikke hjalp barna i lring av den praktiske regningen de trenger til daglig. Forslaget om fjerne matematikken som eget skolefag gr ut p integrere matematikken i andre fag, og gi den praktiske regningen sin renessanse. I grunnskolen br ikke enkeltfag dyrkes, vi br tvert imot dempe fagenes stilling. Geogra, samfunnsfag og historie er allerede sltt sammen til ett fag, n er det s si bare matematikk og norsk som str igjen som isolerte fag.Tor Espen Kristensen | Matematikk38 74. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserTIMSS og PISA Hva sier forskerne i TIMSS og PISA?Liv Sissel Grnmo: Anvendt matematikk er mer kompleks enn ren matematikk Anvendt matematikk (problemlsing, mathematical literacy) forutsetter En basis av grunnleggende kunnskaper og ferdigheter (ren matematikk) Mathematical literacy er ikke noe alternativ til ren matematikk Tatt fra presentasjon p Matematikksenteret http://www.matematikksenteret.no/attachment.ap?id=326Tor Espen Kristensen | Matematikk39 75. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserPraktisk matematikk versus teoretisk matematikkTony Gardiner, 2004: Mathematics teaching may be less effective than most of us would like; but we should hesitate before embracing the idea that school mathematics would automatically be more effective on a large scale if the curriculum focused rst on useful mathematics for all (numeracy), with more formal, more abstract mathematics to follow for the few. Tor Espen Kristensen | Matematikk40 76. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserPraktisk matematikk versus teoretisk matematikkTony Gardiner, 2004: Mathematics teaching may be less effective than most of us would like; but we should hesitate before embracing the idea that school mathematics would automatically be more effective on a large scale if the curriculum focused rst on useful mathematics for all (numeracy), with more formal, more abstract mathematics to follow for the few. The TIMSS 2003 results support the premise that successful problem solving is grounded in mastery of more fundamental knowledge and skills. (Mullis m. 2004)Tor Espen Kristensen | Matematikk40 77. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserPraktisk matematikk versus teoretisk matematikk En basis av grunnleggende kunnskaper og ferdigheter i ren matematikk er en ndvendig betingelse men ikke en tilstrekkelig betingelse for anvende matematikk p problemer i dagligliv/samfunnsliv (Mathematical literacy) Tor Espen Kristensen | Matematikk41 78. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserMatematisk kompetanse Asse ssm e ntngLevel IIIPyra m idkianaylsisinTh Over time,ofassessmentls Level II ve connectionsquestions Le should quot;fillquot; the pyramid. Level Ireproductiondifficultra eb alg e tryomDoge maerdmbseins nu&Po of ic s y easy nsMatist ilit th sta ob abt ioemp rs at ueic sQF1 Tor Espen Kristensen | Matematikk 42 79. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserFreudenthal Freudenthal: horisontale matematisering vertikale matematisering horisontal matematikk handler om bevege seg fra virkelighetens verden til symbolenes verden, mens vertikal matematikk handler om bevege seg inne i symbolenes verden. Tor Espen Kristensen | Matematikk43 80. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRealistisk matematikk Nettverk avmatematiske relasjonerVertikalmatematiseringMatematiskReelle kontekstermodellering Horisontal matematiseringTor Espen Kristensen | Matematikk44 81. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserPraktisk matematikk versus teoretisk matematikk Morten Blomhj, i Hull i kulturen: En teoretisk forstelse av et matematisk begrep innebrer at elevene kan skille begrepene fra de konkrete situasjonene hvor de anvendes i. En teoretisk forstelse av de begreper som inngr i en gitt matematisk modell er jo en forutsetning for kunne utve en faglig kritisk dmmekraft over anvendelsen av modellen. Tor Espen Kristensen | Matematikk45 82. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserFreudenthal Fire typer matematikkundervisning Mekanistisk: demonstrere, drille og ve Tor Espen Kristensen | Matematikk46 83. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserFreudenthal Fire typer matematikkundervisning Mekanistisk: demonstrere, drille og veEmpiristisk: Elevene jobber med stoff fra den virkelige verden. Det vil si at elevene mter situasjoner hvor de gjr horisontal matematisering, uten koble dette til teoretisk matematikk (ingen formler, modeller, etc). Treffers (1991) peker p at denne tilnrmingsmte ikke blir brukt. (men kanskje i Norge?) Tor Espen Kristensen | Matematikk46 84. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserFreudenthal Fire typer matematikkundervisning Mekanistisk: demonstrere, drille og veEmpiristisk: Elevene jobber med stoff fra den virkelige verden. Det vil si at elevene mter situasjoner hvor de gjr horisontal matematisering, uten koble dette til teoretisk matematikk (ingen formler, modeller, etc). Treffers (1991) peker p at denne tilnrmingsmte ikke blir brukt. (men kanskje i Norge?) Strukturalistisk: (eller moderne matematikk). Bassert p mengdelre, venn-diagrammer ol. som er en slags horisontal matematisering, men som ikke har noe gjre med den lrendes verden. Tor Espen Kristensen | Matematikk46 85. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserFreudenthal Fire typer matematikkundervisning Mekanistisk: demonstrere, drille og veEmpiristisk: Elevene jobber med stoff fra den virkelige verden. Det vil si at elevene mter situasjoner hvor de gjr horisontal matematisering, uten koble dette til teoretisk matematikk (ingen formler, modeller, etc). Treffers (1991) peker p at denne tilnrmingsmte ikke blir brukt. (men kanskje i Norge?) Strukturalistisk: (eller moderne matematikk). Bassert p mengdelre, venn-diagrammer ol. som er en slags horisontal matematisering, men som ikke har noe gjre med den lrendes verden. Realistisk: en reell situasjon som utgangspunkt for lre matematikk. Dette utforskes ved horisontal matematiseringsaktiviteter. Dette medfrer at elevene organiserer problemet, prver identisere matematiske aspekter ved problemet og oppdager sammenhenger. S, ved bruke vertikal matematisering, utvikles matematiske begreper.Tor Espen Kristensen | Matematikk46 86. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserFreudenthal Fire typer matematikkundervisning Horisontal Vertikal Type matematisering matematiseringMakanistisk Empiristisk+ Strukturalistisk +Realistisk++ Tor Espen Kristensen | Matematikk47 87. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRealistisk matematikk Modeller i matematikk I RME (Realistic matemathematics education) er modeller denert p ulike niv. Det tales om modell av en situasjon som eleven kjenner til. Ved generalisering blir modellen et objekt i seg selv. Den blir en modell for matematisk resonnering. SituasjonsbetingetTor Espen Kristensen | Matematikk48 88. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRealistisk matematikk Modeller i matematikk I RME (Realistic matemathematics education) er modeller denert p ulike niv. Det tales om modell av en situasjon som eleven kjenner til. Ved generalisering blir modellen et objekt i seg selv. Den blir en modell for matematisk resonnering.Henvisende SituasjonsbetingetTor Espen Kristensen | Matematikk48 89. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRealistisk matematikk Modeller i matematikk I RME (Realistic matemathematics education) er modeller denert p ulike niv. Det tales om modell av en situasjon som eleven kjenner til. Ved generalisering blir modellen et objekt i seg selv. Den blir en modell for matematisk resonnering. GenerellHenvisende SituasjonsbetingetTor Espen Kristensen | Matematikk48 90. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRealistisk matematikk Modeller i matematikk I RME (Realistic matemathematics education) er modeller denert p ulike niv. Det tales om modell av en situasjon som eleven kjenner til. Ved generalisering blir modellen et objekt i seg selv. Den blir en modell for matematisk resonnering.Formell GenerellHenvisende SituasjonsbetingetTor Espen Kristensen | Matematikk48 91. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser ModelleringVirkelige verden Matematiske verden Oversettelse, abstrahering Et matematisk Problemproblem Vanskelig vei Vurdering av manipulering innenfor den g svar matematiske modellen,lsningsmetoderLsningLsningVurdering av svar, oversettelseTor Espen Kristensen | Matematikk49 92. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserModelleringskompetanseForarbeid: Strukturere, forenkle, idealisere, presisere Matematisk modell: Oversette Lage en matematisk modell Behandle og lse Etterarbeid: Tolke og oversette Analysere Validere: Godkjenne, forkaste, forbedre modell Eventuelt starte prosessen p nytt Tor Espen Kristensen | Matematikk50 93. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserModelleringskompetanse Oppgave En tube tannkrem inneholder 75 cm3 tannkrem. pningen i tuben er sirkelformet og diameteren i pningen er 6 mm. Alle i en familie p 4 pusser tennene morgen og kveld. For hver tannpuss brukes 1,5 cm tannkrem. Hvor mange dager varer 1 tube tannkrem for denne familien? Tor Espen Kristensen | Matematikk51 94. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserModelleringskompetanseOppgave En tube tannkrem inneholder 75 cm3 tannkrem. pningen i tuben er sirkelformet og diameteren i pningen er 6 mm. I en familie er det 4 personer. Hvor mange dager varer 1 tube tannkrem for denne familien? Tor Espen Kristensen | Matematikk52 95. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserModelleringskompetanseTre komponenter kunne analysere en modell holdbarhet og rekkevidde Avmatematisere en modell. Dvs kunne tolke modellen og resultatene i forhold til en gitt situasjon kunne aktivt lage modeller.betrakte en modell som beskriver hyden p norske rekrutter fra 1950 1970 Eksponentiell befolkningsvekst N(t) = 4 300 000 1.03tTor Espen Kristensen | Matematikk53 96. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserModelleringskompetanse Eksempel fra PISA 2003SKRITT Bildet viser fotavtrykkene til en mann som gr. Skrittlengden P er avstanden mellom bakre kant av to pflgende fotavtrykk. n For menn gir formelen= 140 et tilnrmet forhold mellom n og PP hvor,n = antall skritt pr. minutt, ogP = skrittlengde i meter.Sprsml 1: SKRITTM124Q01- 0 1 2 9 Hvis formelen gjelder for Haralds mte g p og Harald tar 70 skritt pr. minutt, hva blir Haralds skrittlengde? Vis hvordan du fant svaret.Tor Espen Kristensen | Matematikk54 97. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserEksempler p modellering Strikkskyting Balltrilling Tor Espen Kristensen | Matematikk55 98. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserModelleringskompetanse Janvier tabellenFra / til Situasjon Tabell GrafFormel Situasjonmling skissemodellering Tabellavlesning plottingtilpassingGraf tolkingavlesing kurvetilpasningFormel gjenkjenning beregningplotting Tor Espen Kristensen | Matematikk56 99. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser ModelleringMatematisk modellering, Eleven kan ikke sette Elevene kan seEleven kan analysere Eleven kan Eleven kan oversette enkle anvendelser opp et matematisk sammenhengen mellom enkle situasjoner fragjenkjenne (tilpasset alderstrinnet) uttrykk for en praktisk helt enklevirkeligheten og sette matematikken i enproblemer fra virkeligheten, Kunne gjenfinne situasjon og kan ikke problemstillinger fra opp et matematiskvirkelig situasjon,oversette til matematikk, matematikken i en praktisktolke en lsning p etvirkeligheten og et uttrykk for det. I noenkan oversette tilvurdere alternative modeller, situasjon, kunneregnestykke som matematisk uttrykk somtilfeller lser eleven det matematikk, menlse det matematiske matematisere situasjonen, lsning p et praktiskbeskriver denne matematiskehar problemer entenproblemet, vurdere lsningen, dvs. oversette den til et problem. Eleven kan virkeligheten (forproblemet, men kan med lse det oversette tilbake til matematisk sprk og lsekjenne igjen en eksempel en situasjon bare delvis drfte hva matematiskevirkeligheten, vurdere de matematiskeproblemstilling fra med priser, kjp og salg, dette betyr for denproblemet eller medgyldigheten av modellen og problemene. Kunne virkeligheten som eneller beregning av arealopprinnelige oversette tilbake tilkunne si noe om kvaliteten p vurdere om lsningen er matematisk situasjon, ved oppdeling i kjenteproblemstillingen. virkeligheten. modellen. realistisk, og drfte men ikke hva slagsfigurer), men er ikke iEleven kan til en lsningen i forhold til den matematikk det dreier stand til finne uttrykketviss grad vurdere om opprinnelige situasjonen. seg om. selv.lsningen errealistisk i forhold til NB: For 4. trinn vil den virkelige denne kompetansen mest situasjonen. dreie seg om anvendelser av matematikk.Problembehandling Eleven kan forst hva Eleven kan forst hva Eleven kan tenke ut en Eleven kan lseEleven kan lett forstTor Espen Kristensen | Matematikk 57 100. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjonerRepresentasjonskompetansen bestr i kunne hntere forskjellige representasjoner av matematiske objekter, begreper, fenomener og problemer.forst (dekode, tolke og skille fra hverandre) og nyttegjre seg av ulike representasjoner av matematiske objekter forst relasjoner mellom ulike representasjoner av samme objekt velge og veksle mellom ulike representasjoner. Tor Espen Kristensen | Matematikk58 101. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjonerRepresentasjonskompetansen bestr i kunne hntere forskjellige representasjoner av matematiske objekter, begreper, fenomener og problemer.forst (dekode, tolke og skille fra hverandre) og nyttegjre seg av ulike representasjoner av matematiske objekter forst relasjoner mellom ulike representasjoner av samme objekt velge og veksle mellom ulike representasjoner.Eksempel fem, 5, V, Ulike representasjoner av linere funksjoner som f (x) = 2x + 4.Tor Espen Kristensen | Matematikk58 102. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjoner Marit Holm referer i [4] underskelser hvordan barn anvender matematikk utenfor skolen. Skoleungdommer mellom 9 og 15 r som arbeidet med gatesalg klarte lste aritmetsike oppgaver knyttet til de re regneartene. rsaken til barnas sikre regneferdigheter i dagliglivet er at de fr forholde seg til matematikkoppgaver direkte relatert til de forml eller gjenstander som var involvert i oppgavene som skulle lses. (Carraher)Nr elevene skal regne, er det avgjrende at tallstrrelsene blir uttrykt p mter som barna er fortrolige med [2] Tor Espen Kristensen | Matematikk59 103. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjonerAbstraktSymbolerHalv-abstraktIkoniskHalv-konkrettegninger, bilder Konkret ting, brikker Tor Espen Kristensen | Matematikk60 104. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjoner KonkreterVi kan dele konkretene inn i Strukturerte (eksempel: multibase materiell) Ustrukturerte (eksempler: knapper, vekt, mleband, steiner, pinner, etc) Vi kan bruke konkretene til simulere virkeligheten. Eksempel I en klasse p 25 elever var det 3 jenter mer enn gutter. Hvor mange jenter og gutter var det i klassen? Tor Espen Kristensen | Matematikk61 105. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjoner KonkreterVi kan dele konkretene inn i Strukturerte (eksempel: multibase materiell) Ustrukturerte (eksempler: knapper, vekt, mleband, steiner, pinner, etc) Vi kan bruke konkretene til simulere virkeligheten. Eksempel I en klasse p 25 elever var det 3 jenter mer enn gutter. Hvor mange jenter og gutter var det i klassen?Eksempel (de velkjente eplene) Ole hadde tre epler. Hvor mange epler hadde han dersom han kk to til? Tor Espen Kristensen | Matematikk61 106. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjonerKonkret Kan simulere med f.eks knapper Tor Espen Kristensen | Matematikk62 107. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjonerKonkret Halv-konkret Kan simulere med f.eks knapper Tor Espen Kristensen | Matematikk62 108. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjonerKonkret Halv-konkretHalv-abstrakt Kan simulere med f.eks knapper Tor Espen Kristensen | Matematikk62 109. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjonerKonkret Halv-konkretHalv-abstrakt Abstrakt 3+2=5 Kan simulere med f.eks knapper Tor Espen Kristensen | Matematikk62 110. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjoner Konkreter Bjrnar Alseth referer i [2] til en underskelse der 75 % av femringene klarte lse oppgaver av flgende type dersom de kk spille det som skjedde med konkreter:Lise har 20 perler. Hun legger perlene i esker med re perler i hver eske. Hvor mange esker trenger hun? Jens har tre tyggegummipakker med seks biter i hver pakke. Hvor mange tyggegummibiter har Jens? Tor Espen Kristensen | Matematikk63 111. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjoner Translasjonsprosesser (Richard Lesh, tatt fra [5]) Tor Espen Kristensen | Matematikk64 112. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserRepresentasjonerEksempel Solid idrettslag eier halvparten av Solidhuset. Stord kommune eier 1/3 mens Trott eier resten. Hvor stor del av huset eier Trott? Tor Espen Kristensen | Matematikk65 113. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserIKT i M87 M87, Lremiddel i matematikk: Datamaskin vil vere eit slik hjelpemiddel til illustrere matematiske forhold og til granske matematiske samanhengar. Slik bruk kan knyttast til alle hovudemna i matematikken. Tor Espen Kristensen | Matematikk68 114. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserIKT i L97 L97, arbeidsmter i faget . . . I matematikk er regneark et slikt nyttig verkty, men ogs annen hensiktsmessig programvare br tas i bruk. Tor Espen Kristensen | Matematikk69 115. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserIKT hva er s bra med det da? Tor Espen Kristensen | Matematikk70 116. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserIKT hva er s bra med det da? Hva vil vi med IKT? Det ns gode og drlige mter bruke IKT! Tor Espen Kristensen | Matematikk70 117. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserEvalueringen av L97TIMSS 2003: I L97 understrekes det: (. . . ) at elevane skal vere aktive, handlande og sjlvstendige. Dei skal f lre ved gjere, utforske og prve ut i aktivt arbeid fram mot ny kunnskap og erkjenning (L97, s. 75). At elevene skal vre aktive, er ofte tolket som drive med ulike aktiviteter av typen gruppearbeid, prosjektarbeid, lek og eksperimenter. Faren ved fokusere s sterkt p spesielle arbeidsmetoder er at de faglige lringsmlene kan bli nedprioritert. Bruk av ulike lringsaktiviteter synes ha preg av vre ml i seg selv uten at de relateres til klare lringsml. Tor Espen Kristensen | Matematikk72 118. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserEvalueringen av L97TIMSS 2003: I L97 understrekes det: (. . . ) at elevane skal vere aktive, handlande og sjlvstendige. Dei skal f lre ved gjere, utforske og prve ut i aktivt arbeid fram mot ny kunnskap og erkjenning (L97, s. 75). At elevene skal vre aktive, er ofte tolket som drive med ulike aktiviteter av typen gruppearbeid, prosjektarbeid, lek og eksperimenter. Faren ved fokusere s sterkt p spesielle arbeidsmetoder er at de faglige lringsmlene kan bli nedprioritert. Bruk av ulike lringsaktiviteter synes ha preg av vre ml i seg selv uten at de relateres til klare lringsml.Er IKT et ml i seg selv? Hvilke faglige ml har vi med vr anvendelse av IKT? Tor Espen Kristensen | Matematikk72 119. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserIKT i LK06 kunne bruke digitale verkty dreier seg frst om hndtere digitale hjelpemidler til spill, lek og utforsking. Senere vil det ogs handle om vite om og kunne bruke og vurdere digitale hjelpemidler til problemlsning, simulering og modellering. I tillegg er det viktig kunne nne informasjon, analysere, behandle og presentere data med passende hjelpemidler, samt forholde seg kritisk til kilder, analyser og resultater. Tor Espen Kristensen | Matematikk73 120. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserIKT i L06 Kompetanseml etter 7. rstrinn Ml for opplringen er at eleven skal kunne beskrive referansesystemet og notasjonen som benyttes for formler i et regneark og bruke regneark til utfre og presentere enkle beregninger (Tall og algebra) bruke koordinater til beskrive plassering og bevegelse i et koordinatsystem p papiret og digitalt (Geometri) representere data i tabeller og diagrammer framstilt digitalt og manuelt, samt lese, tolke og vurdere hvor hensiktsmessige disse er (Statistikk og sannsynlighet) Tor Espen Kristensen | Matematikk74 121. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserIKT i L06 Kompetanseml etter 10. rstrinnMl for opplringen er at eleven skal kunne bruke, med og uten digitale hjelpemidler, tall og variabler i utforskning, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemlsning og i prosjekter med teknologi og design (Tall og algebra) ordne og gruppere data, nne og drfte median, typetall, gjennomsnitt og variasjonsbredde, og presentere data med og uten digitale verkty (Statistikk og sannsynlighet) Tor Espen Kristensen | Matematikk75 122. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProgrammerPedagogiske programmer Verktyprogrammer Tor Espen Kristensen | Matematikk76 123. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProgrammerRegneark Grafplottere/kurvetilpassing dynamisk geometriprogrammer Animasjoner og simuleringer Symbolbehandlende verkty (CAS) Tor Espen Kristensen | Matematikk77 124. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserHva vil vi at elevene skal kunne? Leibniz, 1671: It is unworthy of excellent men to lose hours like slaves in the labour of calculation, which could be safely relegated to anyone else if machines were used. Tor Espen Kristensen | Matematikk78 125. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserHva vil vi at elevene skal kunne? Leibniz, 1671: It is unworthy of excellent men to lose hours like slaves in the labour of calculation, which could be safely relegated to anyone else if machines were used. Gjre ting mer effektivtNye typer oppgaver/problemer Tor Espen Kristensen | Matematikk78 126. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserIKT som forsterker Tor Espen Kristensen | Matematikk79 127. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserHjelpemiddelkompetanse slik den beskrives i KOM-prosjektet Denne kompetansen bestr i kunne vite om ulike hjelpemidler som egner seg til matematisk virksomhet ha innblikk i muligheter og begrensninger disse hjelpemidlene har i forskjellige slags situasjoner kunne bruke dem p en hensiktsmessig mte i ulike situasjoner Tor Espen Kristensen | Matematikk80 128. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserIKT i matematikkundervisningen et didaktisk problemomrde Morten Blomhj: . . . [vi] kan ikke vente oss noen enklere rasjonaliseringsgevinster fra integrering av IT i undervisningen nr det gjelder undervisningsressursen som m til for sikre at elevene lrer matematikk. Tvert imot er det vist at introduksjon av avanserte dataprogrammer i matematikkundervisningen kompliserer den didaktiske situasjonen, [. . . ] behovet for differensiering i undervisningen blir strre, og at kravene til lrernes matematiske og didaktiske kvalikasjoner ker. Tor Espen Kristensen | Matematikk81 129. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserNye muligheter. . . InnhengetHva er det strste rektangulre innheng vi kan lage nr du har 30 meter gjerde? Tor Espen Kristensen | Matematikk82 130. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProblemlsing med regneark Problem: Noen personer gr p kaf. Der kjper de kaffe til 5 kr. pr. kopp og kake til 9 kr. pr. stykke. Alle bestiller det samme, og til sammen mtte de betale 133 kr. Hvor mange kopper kaffe drakk hver person?http://ans.hsh.no/lu/Mat/mat1/gry/ikt/modellering.xls Tor Espen Kristensen | Matematikk84 131. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserNye muligheter. . . KjempenHvor stor er kjempen? Tor Espen Kristensen | Matematikk85 132. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserMot en matematisk modell Hyden (cm) 160150140130120110 7 8 9 10Hnden (cm)Tor Espen Kristensen | Matematikk87 133. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserMot en matematisk modell Hyden (cm) 160150140130120110 7 8 9 10Hnden (cm)Tor Espen Kristensen | Matematikk88 134. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserMot en matematisk modell Hyden (cm) 160150140130120110 7 8 9 10Hnden (cm)Tor Espen Kristensen | Matematikk88 135. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserDynamisk geometriMed et dynamisk geometriprogram er det mulig konstruere geometriske objekter og deretter ytte p dem. (GEONExT er gratis og kan lastes ned fra nettsiden http://geonext.de )Tor Espen Kristensen | Matematikk89 136. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserDynamisk geometri Problem: I en trekant ABC skal vi innskrive et kvadrat DEFG (Det vil si at D, E, F og G skal ligge p sidene til ABC.) Tor Espen Kristensen | Matematikk90 137. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserDynamisk geometri Problem: I en trekant ABC skal vi innskrive et kvadrat DEFG (Det vil si at D, E, F og G skal ligge p sidene til ABC.)http://ans.hsh.no/lu/Mat/IKT/geonext/index.html Tor Espen Kristensen | Matematikk90 138. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserResultater fra IMPACT 2Rask tilbakemelding fra dataprogrammer nr elevene prver ut nye ideer oppmunter dem til lage formodninger og utforske disse. (Clements, 2000) Ved bruke teknologien til utfre rutinearbeid frigjres eleven til fokusere p strategier og oppmuntres til prve-og-feile prosesser. IKT har vist seg gi elevene bedre kompetanse i grask tolkning. Data kan lett sorteres og ordnes p forskjellige mter, noe som er til hjelp ved utforsking av problemer. Dynamisk geometri gjr at elevene lettere kan manipulere og mle geometriske former p skjermen, og har vist seg ke innlringen hos elever.Tor Espen Kristensen | Matematikk91 139. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserResultater fra IMPACT 2Rask tilbakemelding fra dataprogrammer nr elevene prver ut nye ideer oppmunter dem til lage formodninger og utforske disse. (Clements, 2000) Ved bruke teknologien til utfre rutinearbeid frigjres eleven til fokusere p strategier og oppmuntres til prve-og-feile prosesser. IKT har vist seg gi elevene bedre kompetanse i grask tolkning. Data kan lett sorteres og ordnes p forskjellige mter, noe som er til hjelp ved utforsking av problemer. Dynamisk geometri gjr at elevene lettere kan manipulere og mle geometriske former p skjermen, og har vist seg ke innlringen hos elever.Tor Espen Kristensen | Matematikk91 140. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserResultater fra IMPACT 2Rask tilbakemelding fra dataprogrammer nr elevene prver ut nye ideer oppmunter dem til lage formodninger og utforske disse. (Clements, 2000) Ved bruke teknologien til utfre rutinearbeid frigjres eleven til fokusere p strategier og oppmuntres til prve-og-feile prosesser. IKT har vist seg gi elevene bedre kompetanse i grask tolkning. Data kan lett sorteres og ordnes p forskjellige mter, noe som er til hjelp ved utforsking av problemer. Dynamisk geometri gjr at elevene lettere kan manipulere og mle geometriske former p skjermen, og har vist seg ke innlringen hos elever.Tor Espen Kristensen | Matematikk91 141. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserResultater fra IMPACT 2Rask tilbakemelding fra dataprogrammer nr elevene prver ut nye ideer oppmunter dem til lage formodninger og utforske disse. (Clements, 2000) Ved bruke teknologien til utfre rutinearbeid frigjres eleven til fokusere p strategier og oppmuntres til prve-og-feile prosesser. IKT har vist seg gi elevene bedre kompetanse i grask tolkning. Data kan lett sorteres og ordnes p forskjellige mter, noe som er til hjelp ved utforsking av problemer. Dynamisk geometri gjr at elevene lettere kan manipulere og mle geometriske former p skjermen, og har vist seg ke innlringen hos elever.Tor Espen Kristensen | Matematikk91 142. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserResultater fra IMPACT 2Rask tilbakemelding fra dataprogrammer nr elevene prver ut nye ideer oppmunter dem til lage formodninger og utforske disse. (Clements, 2000) Ved bruke teknologien til utfre rutinearbeid frigjres eleven til fokusere p strategier og oppmuntres til prve-og-feile prosesser. IKT har vist seg gi elevene bedre kompetanse i grask tolkning. Data kan lett sorteres og ordnes p forskjellige mter, noe som er til hjelp ved utforsking av problemer. Dynamisk geometri gjr at elevene lettere kan manipulere og mle geometriske former p skjermen, og har vist seg ke innlringen hos elever.Tor Espen Kristensen | Matematikk91 143. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserProgrammerRegneark: Excel OpenOfce.org Calc (http://no.openoffice.org) Dynamisk geometri: Cabri Geonext (http://geonext.uni-bayreuth.de/ Geogebra (http://www.geogebra.org/cms/) Grafplottere Regneark Vrigraf (http://matematikk.hinesna.no/programvare/vrigraf/vrigraf.htm) CAS TI-interaktiv Derive MuPadTor Espen Kristensen | Matematikk92 144. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser tenke matematisk. . . I PISA ble det brukt tre kompetanseklasser:Klasse 1: Reproduksjon, denisjoner og beregninger. Klassen dekker elevers bruk av faktakunnskaper, gjenkjenning av matematiske objekter og egenskaper og utfring av rutinemessige prosedyrer og standardalgoritmer Tor Espen Kristensen | Matematikk93 145. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser tenke matematisk. . . I PISA ble det brukt tre kompetanseklasser:Klasse 1: Reproduksjon, denisjoner og beregninger. Klassen dekker elevers bruk av faktakunnskaper, gjenkjenning av matematiske objekter og egenskaper og utfring av rutinemessige prosedyrer og standardalgoritmerKlasse 2: Se forbindelser og kunne integrere informasjon som grunnlag for problemlsning. Elevene skal kunne se sammenhenger mellom ulike omrder av matematikken, kunne bruke ulike representasjoner, se sammenhenger mellom denisjoner, bevis, eksempler og pstander. Elevene m kunne bruke et formelt sprk. Her er problemene ofte gitt i en sammenheng. Tor Espen Kristensen | Matematikk93 146. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser tenke matematisk. . . I PISA ble det brukt tre kompetanseklasser:Klasse 1: Reproduksjon, denisjoner og beregninger. Klassen dekker elevers bruk av faktakunnskaper, gjenkjenning av matematiske objekter og egenskaper og utfring av rutinemessige prosedyrer og standardalgoritmerKlasse 2: Se forbindelser og kunne integrere informasjon som grunnlag for problemlsning. Elevene skal kunne se sammenhenger mellom ulike omrder av matematikken, kunne bruke ulike representasjoner, se sammenhenger mellom denisjoner, bevis, eksempler og pstander. Elevene m kunne bruke et formelt sprk. Her er problemene ofte gitt i en sammenheng.Klasse 3: Matematisering, matematisk tenking og generalisering. Dette er den mest omfattende klassen, der elevene stilles overfor kravet om kunne matematisere situasjoner, det vil si komme fram til matematikken som nnes i ulike situasjoner, og bruke det matematiske verktyet til lse problemer, for s tolke svaret inn i den opprinnelige situasjonen. Slike prosesser inneholder kritisk tenking, analyse og reeksjon. Tor Espen Kristensen | Matematikk93 147. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserReferanser IBjrnar Alseth.Matematikk p smskoletrinnet.Nasjonalt lremiddelsenter, 1998.Bjrnar Alseth and Mona Rsseland.Boka om GLSM, chapter fem.Universitetsforlaget, 2006.Ole Bjrgquist.Matematisk problemlsning.In Barbri Grevholm, editor, Matematikk for skolen, chapter 2.Fagbokforlaget, 2003.Tor Espen Kristensen | Matematikk94 148. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter ReferanserReferanser IIMarit Holm.Opplring i matematikk for elever med matematikkvanskerog andre elever.Cappelen akademiske forlag, 2002.Ragnar Solvang.Matematikkdidaktikk.NKI Forlaget, 2 edition, 1996.Ingvild Merete Stedy-Johansen.Matematikk for skolen, chapter 1.Fagbokforlaget, 2003.Tor Espen Kristensen | Matematikk95