integrales dobles

CATEDRA: Cálculo Vectorial

Huancavelica - Perú2011

“Año de la Consolidación Económica y Social del Perú”

Integrales Dobles

CATEDRATICO: Lic. Jorge Luis Ortega Vargas

INTEGRANTES:

MENDOZA RAMOS, Angel Manuel RAMOS CORASMA, Franco Nider TINEO RUA, Ilde CARBAJAL GUILLEN, Shirley. CARTAGENA PARI, Diego A.

CARRERA PROFESIONAL DEINGENIERIA CIVIL

Ciclo: III

Cálculo Vectorial Integrales Dobles

DEDICATORIA

A nuestros padres, por todo el

apoyo que nos brindan día a día

para seguir cumpliendo nuestras

metas.

2


INTRODUCCIÓN

Las matemáticas en el mundo real, son bastante más complicadas que los

problemas comunes que se presentan día a día.

Las integrales se usan en el cálculo infinitesimal y para calcular areas,

utilizamos integrales dobles.

Las integrales son sumas, el símbolo integral viene de ahí, luego el objetivo

de integrales de superficie es sumar superficies infinitesimales y las de volumen,

sumar volúmenes infinitesimales.

Las coordenadas son otra cosa a parte, se usan porque no todo se puede

expresar rápido en un sistema de coordenadas cartesiano (x,y,z).

Por ejemplo, si tienes un cilíndro o un cono y quieres hallar su área, por poder, lo

puedes hacer en cartesianas, pero hay herramientas matemáticas mejores, como

expresarlo en coordenadas cilíndricas e integrar.

Es por facilitar los cálculos, si un problema tiene simetría esférica, se usan

coordenadas esféricas (electromagnetismo), si tiene simetría parabólica, se usan

coordenadas parabólicas (astrofísica), si usamos cónicas, suele ser más fácil

hacerlo en polares etc.

En definitiva, que según que, hay figuras que son más fáciles de definir

matemáticamente en función del ángulos y otras magnitudes que en función de

coordenadas cartesianas.

De todos modos, estudia porque esto es básico, las coordenadas polares,

esféricas y cilíndricas son básicas.

A continuación detallamos todo lo referido a integrales Dobles.

Los alumnos

3


INTEGRALES DOBLES

PRE-REQUISITOS: Para la comprensión adecuada de este capítulo de las

integrales múltiples se requiere del conocimiento previo de:

Métodos de integración

Superficies

Geometría analítica

Coordenadas polares

OBJETIVOS: Establecer los fundamentos necesarios para la interpretación y

aplicación de la integral doble, al finalizar este capítulo el alumno debe estar en

capacidad de utilizar la integral doble en el cálculo de áreas, volumen, centro de

masas, etc. así como también el cálculo de coordenadas dobles y emplear

jacobianos.

INTRODUCCION. En el estudio de las integrales ordinarias

LA INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTANGULO: Consideremos una función

f

Definida en el rectángulo.

4

c

d

0 a b

R


La participación P del rectángulo R, descompone al rectángulo R en m x

n rectángulos es decir :

En cada rectángulo Rij, la función f toma un valor máximo M ij, y un valor mínimo

mij, Luego se tiene:

5

Rij

d=yn

b=Xm

YiYj-1

C=Y0

0 a=XXi- Xi


Que reciben los nombres de suma superior p de f y se denota por:

Y suma inferior p de f y se denota por:

En forma similar del caso de las funciones de una variable se tiene :

Si f es una función continúa, existe un numero I que satisface la desigualdad.

D

0 x

6

y

f

R


La norma de participación p representada por P se define como la longitud de la

diagonal mayor de los rectángulos contenidos en D.

Geométricamente la suma de Riemann represente el volumen aproximado del

solido bajo la superficie z=f(x,y) y que tiene como base la región cerrada D.

7

z

Z=f(x,y)

0

x

y(x,y)

D

(x,y)f(x,y)


PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE INTEGRAL DOBLE:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

EJEMPLO: hallar m y M de la propiedad 5 en la integral doble

8


.

Luego el punto crítico es p (0,0) ahora calculamos los puntos críticos en el borde

como:

Luego el valor mínimo es f (0,0)=9 y el valores máximo es f(0,+2)=25 de

acuerdo a la propiedad 5 se tiene

9

y

x0


Graficando la región D

Calculando los puntos críticos en el interior de la región.

INTEGRALES MÚLTIPLES E INTEGRALES ITERADAS

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales

iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La

diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al

concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al

procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión

10

0

D-2

3

(-2,-2)

(3,5)

(3,-2)


se refiere a una integral iterada, la parte externa

es la integral con respecto a x de la función de x:

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy.

La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son

iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada,

sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la

calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales

iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que

se tiene:

De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es

igual a la integral iterada.

11

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Fubini


Esto ocurre, cuando f es una función acotada y tanto A como B son regiones

acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la

región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.

La notación

se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una

iterada.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

1. Funciones constantes

En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente

multiplíquese el valor de la función constante c por la medida del dominio

de integración. Si c = 1, y es integrada a través de una región de R2 esto da

el área de la región, mientras que si es una región de R3 da el volumen de

la región y así sucesivamente.

Por ejemplo:

y

Integrando f sobre D:

2. Uso de simetrías

En el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de

uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una

función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya

que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo

12

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_acotada&action=edit&redlink=1


Dada y que es el

dominio de integración del disco de radio 1 centrado en el origen.

Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en

tres partes:

Ya que tanto 2 sin(x) como 3y3 son funciones impares, y existe simetría

tanto con respecto al eje x como con respecto al eje y, las primeras dos

integrales se nulifican, de tal forma que la integral original es igual

únicamente a la tercera.

ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una

región del plano xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales

(8)

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la

figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después

respecto a x; es decir

(9)

Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la

derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por

13


xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde

g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como

(10)

Para

interpretar la

primera

integración respecto a x, como suma de todos los elementos

dA= dxdy

Situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda

hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que

expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.

CAMBIO DE VARIABLES

A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable

por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región

de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido

como determinante jacobiano (en valor absoluto o módulo). El cambio de una

variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un

espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.

14

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto

http://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano#Determinante_Jacobiano


Si se utiliza una transformación que siga la relación:

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la

integral

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a

las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y

por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la

integral original, si es que esta existe.

A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.

Coordenadas Polares

La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el

área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la

necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se consiera ρ = (ρ1

+ ρ2) / 2 (el radio medio), el área de la región polar es efectivamente ρΔρΔθ.

15

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Passaggio_in_coordinate_polari.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Passaggio_in_coordinate_polari.svg


En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es

muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a

polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble

tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente

transformación:

Por ejemplo:

Si la función es

aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con

respecto a ϕ y a ρ.

Se pueden obtener funciones incluso más simples:

Si la función es

Uno tiene:

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ)

en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a θ.

Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante

jacobiano, ésta es igual a la integral original:

16

http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_trigonom%C3%A9trica


INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENADAS POLARES

Trazando rectas a través del polo y círculos con centro en el polo, se obtiene

una partición P de la región D, que viene a ser una red de “n” regiones llamadas

rectangulares curvea curveados.

17

Y

X

Y


INTEGRALES ITERADAS EN COORDENADAS POLARES

18


Consideramos dos casos para el cálculo de las integrales mediante

coordenadas polares.

Luego la integral en coordenadas polares es:

Luego la integral doble en coordenadas polares

19


OBSERVACIÓN: para pasar de una integral doble en coordenadas polares se

tiene la relación:

JACOBIANO DE UNA FUNCIÓN DE n VARIABLES

a)

Ahora daremos la definición en forma general

b)

20

v

u

S

O

Y

X

S

O

F


CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES DOBLES

En las integrales ordinarias el método de sustitución nos permitía calcular

integrales complicadas, transformándola en otras más sencillas, es decir:

21

X

Y

Z

US

0

y= (y1,…,ym)=

X

Y

Z

Rm

0

F(y)=(x1,x2,…,xm) (y1,…,ym)=

F

g o F

gR


. 𝑑𝑣 extendida a una región S del plano uv.

Para esto se verá la relación entre regiones D y S y los integrandos f(x,y) y F(u,v).

El método de sustitución en las integrales dobles es más laborioso que en las

integrales simples, puesto que en lugar de una función ahora se tiene dos

funciones X e Y que relacionan a x,y con u,v en la forma siguiente X = x(u,v), Y =

y(u,v).

Geométricamente, puede considerarse que las dos ecuaciones definen una

“aplicación”

Que hace corresponder a un punto (u,v) del plano uv, el punto imagen (x,y) del

plano XY y que la aplicación puede expresarse mediante una función vectorial.

En el plano trazamos el radio vector que une el origen (0,0) con el punto (x,y)

de la región D, el vector depende de u y v, y se puede considerar como una

función vectorial de dos variables definida por la ecuación:

Esta ecuación se llama eciación vectorial de la aplicación. Como (u,v) recorre

puntos de S, el vector (u,v) describe puntos de D.

La fórmula para la transformación de integrales dobles puede escribirse así.

22

v

u

(u,v)

O

Y

X

(x,y)

O

D

X = x(u,v)Y = y(u,v)

S


Donde el factor J(u,v) es el Jacobiano de la aplicación.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE1ro. CENTRO DE MASA DE UNA LÁMINA.-Consideremos una lámina que tiene la forma de una región cerrada R en el plano XY, y sea ρ la medida de la densidad de área de la lámina en cualquier punto (X,

Y) de R, donde ρ: R R es una función continua sobre R.

Entonces la masa total de la lámina R está dado por:

El momento de masa de la lamina R con respecto al eje X es:

El momento de masa de una lamina R con respecto al eje Y es:

Luego el centro de la masa de la lámina es el puno P(X,Y) donde:

;

2do. MOMENTO DE INERCIA DE UNA LÁMINA.-Consideremos una partícula de masa m que se encuentra a una distancia d unidades de una recta L, entonces llamaremos momento de inercia de la partícula respecto a L al número.

El momento de masa de una partícula, usualmente se le llama el primer momento y el momento de inercia el segundo momento de la partícula respecto a L.

Consideremos un sistema de n partículas de masa situados a

distancias respectivamente desde una recta L, tiene un momento

de inercia I que se define como la suma de los momentos de las partículas individuales.

23


El momento de inercia de una lámina que tiene la forma de una región plana S y

una función densidad continua, puede encontrarse respecto a

cualquier recta L.En particular, los momentos de inercia de la lámina respecto a los ejes X e Y están dados por:

El momento polar de inercia alrededor del origen O está dado por:

OBSERVACION.- los momentos de inercia de la lámina S respecto a las rectas

son respectivamente.

OBSERVACION.- El radio de giro de un objeto respecto de un eje L es el numero

R definido por donde I es el momento de inercia respecto de L y M es la

masa total del objeto.

24


Ejercicios Resueltos

1. donde D es un dominio acotado

por las rectas x=0 y= y=x

=

=

2. calcular la integral doble es la región del primer

cuadrante por el circulo y los ejes coordenadas

25

Y=x

y

0

Y=

D

x

D

2

0 2


Pasando las coordenadas polares x=r cos donde jacobiano es j (r, )=r

Ahora sustituyendo en la integral dad se tiene:

)

SOLUCION:

Sea

26


SOLUCION:

Sea

D:

Ahora calculamos la integral doble, mediante coordenadas polares.

27


Ejercicio 1. Calcular la integral doble donde D es un Dominio limitado por la elipse

=1 y situado en la primer cuadrante.

Solución

=1, de donde 0

Ejercicio 2

28

b

0

S Xa

Y


SoluciónGraficando la región D, pasando a coordenadas polares x =r cosθ, y = r senθ, de donde el

Jacobiano es

Ahora reemplazamos en la integral dada se tiene:

29

X1

10

y r=1


BIBLIOGRAFÍA

Eduardo Espinoza Ramos, Análisis Matemático III, Edición V, Editorial

EduKPERU.IRL

Moises Lazaro C, Integrales, Edición V, Editorial Moshera S.R.L

Louis Brand, Cálculo Avanzado

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