Click here to load reader

integrales dobles

  • View
    84

  • Download
    11

Embed Size (px)

DESCRIPTION

integrales dobles

Text of integrales dobles

DEDICATORIA

A nuestros padres, por todo el apoyo que nos brindan da a da para seguir cumpliendo nuestras metas.

INTRODUCCINLas matemticas en el mundo real, son bastante ms complicadas que los problemas comunes que se presentan da a da.Las integrales se usan en el clculo infinitesimal y para calcular areas, utilizamos integrales dobles.Las integrales son sumas, el smbolo integral viene de ah, luego el objetivo de integrales de superficie es sumar superficies infinitesimales y las de volumen, sumar volmenes infinitesimales.

Las coordenadas son otra cosa a parte, se usan porque no todo se puede expresar rpido en un sistema de coordenadas cartesiano (x,y,z).Por ejemplo, si tienes un cilndro o un cono y quieres hallar su rea, por poder, lo puedes hacer en cartesianas, pero hay herramientas matemticas mejores, como expresarlo en coordenadas cilndricas e integrar.

Es por facilitar los clculos, si un problema tiene simetra esfrica, se usan coordenadas esfricas (electromagnetismo), si tiene simetra parablica, se usan coordenadas parablicas (astrofsica), si usamos cnicas, suele ser ms fcil hacerlo en polares etc.En definitiva, que segn que, hay figuras que son ms fciles de definir matemticamente en funcin del ngulos y otras magnitudes que en funcin de coordenadas cartesianas.

De todos modos, estudia porque esto es bsico, las coordenadas polares, esfricas y cilndricas son bsicas. A continuacin detallamos todo lo referido a integrales Dobles.Los alumnosINTEGRALES DOBLESPRE-REQUISITOS: Para la comprensin adecuada de este captulo de las integrales mltiples se requiere del conocimiento previo de: Mtodos de integracin

Superficies

Geometra analtica

Coordenadas polares

OBJETIVOS: Establecer los fundamentos necesarios para la interpretacin y aplicacin de la integral doble, al finalizar este captulo el alumno debe estar en capacidad de utilizar la integral doble en el clculo de reas, volumen, centro de masas, etc. as como tambin el clculo de coordenadas dobles y emplear jacobianos.

INTRODUCCION. En el estudio de las integrales ordinarias LA INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTANGULO: Consideremos una funcin f

Definida en el rectngulo.

La participacin P del rectngulo R, descompone al rectngulo R en m x n rectngulos es decir :

En cada rectngulo Rij, la funcin f toma un valor mximo Mij, y un valor mnimo mij, Luego se tiene:

Que reciben los nombres de suma superior p de f y se denota por:

Y suma inferior p de f y se denota por:

En forma similar del caso de las funciones de una variable se tiene :

Si f es una funcin contina, existe un numero I que satisface la desigualdad.

D

0x

La norma de participacin p representada por P se define como la longitud de la diagonal mayor de los rectngulos contenidos en D.

Geomtricamente la suma de Riemann represente el volumen aproximado del solido bajo la superficie z=f(x,y) y que tiene como base la regin cerrada D.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE INTEGRAL DOBLE:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. EJEMPLO: hallar m y M de la propiedad 5 en la integral doble

.

Luego el punto crtico es p (0,0) ahora calculamos los puntos crticos en el borde como:

Luego el valor mnimo es f (0,0)=9 y el valores mximo es f(0,+2)=25 de acuerdo a la propiedad 5 se tiene

Graficando la regin D

Calculando los puntos crticos en el interior de la regin.

INTEGRALES MLTIPLES E INTEGRALES ITERADAS

Las integrales mltiples estn estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales mltiples. La diferencia entre integrales mltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemtico de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral mltiple. Si la expresin

se refiere a una integral iterada, la parte externa

es la integral con respecto a x de la funcin de x:

Una integral doble, en cambio est definida con respecto a un rea en el plano xy. La integral doble existe si y slo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integracin es dydx dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

De una manera ms formal, el Teorema de Fubini afirma que

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.

Esto ocurre, cuando f es una funcin acotada y tanto A como B son regiones acotadas tambin. Esto se entiende fcilmente pensando que si la funcin o la regin del dominio no estn acotadas, la integral mltiple no puede existir.

La notacin

se puede usar si se desea ser enftico al referirse a una integral doble y no a una iterada.MTODOS DE INTEGRACIN1. Funciones constantes

En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplquese el valor de la funcin constante c por la medida del dominio de integracin. Si c = 1, y es integrada a travs de una regin de R2 esto da el rea de la regin, mientras que si es una regin de R3 da el volumen de la regin y as sucesivamente.

Por ejemplo:

y Integrando f sobre D:

2. Uso de simetras

En el caso de un dominio en el que exista simetra al menos respecto de uno de los ejes, y donde la funcin para integrar contenga al menos una funcin impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo

Dada y que es el dominio de integracin del disco de radio 1 centrado en el origen.

Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en tres partes:

Ya que tanto 2 sin(x) como 3y3 son funciones impares, y existe simetra tanto con respecto al eje x como con respecto al eje y, las primeras dos integrales se nulifican, de tal forma que la integral original es igual nicamente a la tercera.

REA POR DOBLE INTEGRACIN

La aplicacin ms simple de las integrales dobles es para hallar el rea de una regin del plano xy. Esta rea est dada por una cualquiera de las integrales

(8)

Los lmites de integracin apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectan las integraciones primero respecto a y, y despus respecto a x; es decir

(9)

Es constante, si el rea esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y despus respecto a y; es decir como

(10)

Para interpretar la primera integracin respecto a x, como suma de todos los elementos

dA= dxdy

Situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El clculo de esta integral es

Esta ltima integral poda haberse escrito de primera intencin, puesto que expresa el rea como lmite de la suma de fajas horizontales.

CAMBIO DE VARIABLESA menudo, es til para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte ms cmoda, sin embargo esto exige el cambio de la regin de integracin, adems de aadir un factor de correccin al diferencial conocido como determinante jacobiano (en valor absoluto o mdulo). El cambio de una variable por otra es en un sentido geomtrico, una transformacin desde un espacio hasta otro, y es esta transformacin la que exige estos ajustes.

Si se utiliza una transformacin que siga la relacin:

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformacin para simplificar la integral

Integrando la funcin transformada en el dominio de integracin correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral mltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

A continuacin se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.

Coordenadas Polares

La transformacin de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el rea de la regin polar es distinta que la de la regin rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. Tambin se puede demostrar que si se consiera = (1 + 2) / 2 (el radio medio), el rea de la regin polar es efectivamente .

En un espacio R2, un dominio de integracin que tenga una simetra circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomar su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformacin:

Por ejemplo:

Si la funcin es aplicando la transformacin se obtiene la funcin fcilmente integrable con respecto a y a .

Se pueden obtener funciones incluso ms simples:

Si la funcin es Uno tiene:

Si aplica la identidad trigonomtrica pitagrica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformacin es:

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = cos(), y = sin() en la primera columna con respecto a y en la segunda con respecto a .

Por lo tanto, una vez transformada la funcin, y multiplicada por su determinante jacobiano, sta es igual a la integral original:

INTEGRALES DOBLES MEDIANTE COORDENADAS POLARES

Trazando rectas a travs del polo y crculos con centro en el polo, se obtiene una particin P de la regin D, que viene a ser una red de n re