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INTEGRALES DOBLES

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integrales dobles

Text of INTEGRALES DOBLES

  • 1 INTEGRALES EN DOS VARIABLESDefinicin

    * Si es un intervalo en , es de la forma , con M M + , + ,

    Si es una particin de es de la forma : T M M

    P con M ! " 8 ! " 8 > > > + > > > ,

    es decir divide al intervalo en subintervalos del tipoT M 8 M

    con > > 3 " # 8 3" 3

    Si es un rectangulo en , es de la forma con V M N M N# intervalos en

    * Si es una particin de , es una coleccin del tipo T V T T T M N donde son particiones de respectivamenteT T M NM N

    Ejemplo

    Sea dondeV + , - . T T T M N

    P PM ! " 8 N ! " 7 > > > = = = se tiene que divide al rectangulo en sub-rectangulos del tipoT V 87

    W V > > = = 34 3" 3 4" 4

  • 2Definicin Sea funcin acotada.0 V qqqqqp # Sea rectangulo y particin de V T V Para cada sub-rectangulo de , se define :W T

    sup ; infQ 0BB W 7 0BB WW W rea de EW W > > = = 3 3" 4 4" suma superior de respecto a W Q EW 0 TT W

    WT

    ! suma inferior de respecto a W Q EW 0 TT W

    WT

    !

    Teorema

    Sea funcin acotada0 V qqqqqp #

    sean particiones de entonces se cumple queT U V

    1.- W WT T

    2.- W WT U

    Observacin

    En general se cumple que :

    sup particin inf particin W T W T T T

    Definicin

    Sea funcin acotada0 V qqqqqp #

    Diremos que es Riemann Integrable en si0 V

    sup particin inf particin W T W T T T

    al valor comn se le denotara por y se le llama " Integral de sobre "'V0 0 V

  • 3Notacin

    ' ' ' ' ' 'V V V V0 0B C.E 0B C.B.C 0B C.C.B

    Observacin

    Si (caso conocido)8 " 0 0 0B.B' ' 'V ,+,

    +

    Definicin

    Sea , diremos que es un conjunto de medida nulaF F#

    ssi sucesin de rectngulos) tal quea !bV % 3 3

    1.- F V V V" # 8 2.- !

    3

    EV 3 %

    Teorema

    Todo subconjunto de contable o numerable tiene medida nula#

    Ejemplo Sea F " " $ # # &

    V " " EV " "" $# # "# "# '

    % % %

    V # # EV # #& (# # "# "# '

    % % %

    V & & EV $ $$ # "# "# '

    % % %

    se tiene que : 1.- F V V V" # $ 2.- parta todo !

    3"

    $

    3 ' #EV $ % % % %

    por lo tanto es un conjunto de medida nulaF

  • 4Ejemplo Sea F B C " B # C $ C "#

    V " # $ $ EV " ""' "' )$% % %

    V " # " " EV # #"' "' )$% % %

    se tiene que : 1.- F V V" # 2.- parta todo !

    3"

    #

    3$ $) %EV # % % % %

    por lo tanto es un conjunto de medida nulaF

    Observacin Si es una suc de conjuntos de medida nula en E E" 7 # entonces la union de ellos es un conjunto de medida nula

    Teorema Sea acotada0 V qqqqqp # sea no es continua F B V0 Entonces es Riemann Integrable en ssi tiene medida nula0 V F

    Teorema Sea Riemann Integrable0 + , - . qqqqqp y supongamos que para cada fijo B 0 C 0B CB es una funcin Riemann Integrable en respecto a - . C Entonces la funcin 1B 0 C.C 0B C.C' '- -. .B es integrable en respecto a + , B

    y ' ' '+ + -, , .1B.B 0B C.C .B

    y se cumple que :

    ' ' ' 'V0 0B C.C .B+ -

    , .

  • 5Corolario

    Sea Riemann Integrable0 + , - . qqqqqp

    y supongamos que para cada fijo C 0 B 0B CC es una funcin Riemann Integrable en respecto a + , B Entonces la funcin

    1C 0 B.B 0B C.B' '+ +, ,C es integrable en respecto a - . C

    y ' ' '- - +. . ,1C.C 0B C.B .C

    y se cumple que :

    ' ' ' ' ' 'V0 0B C.B .C 0B C.C .B- + + -

    . , , .

    Ejemplo

    Sea y V " # " % 0B C $B C#

    Calcular ' 'V0

    Solucin

    ' ' ' ' ' V0 $B C.C .B B C .B" " " #

    # % ## # #$ %

    "

    B .B B '! ' " # # # ## %& "& "& "$ $ "#

  • 6Observacin

    Sea acotado,K K# entonces existe rectngulo tal que V K V#

    Definicin

    Sea funcin acotada , acotada0 K qqqqqp K #

    y sea rectngulo tal que V K V

    Sea funcin0B 0B B K! B VK

    Diremos que es Riemann In tegrable en 0 K

    si es Riemann Integrable en y se tendra que :0 V

    ' 'K V0 0

    Observacin

    Si son rectangulos tales que y VV K V K V" " se cumple que :

    ' 'V V0 0"

  • 7Teorema

    Sea funcin acotada , acotada0 K qqqqqp K # continua en con conjunto de medida nula y 0 M8>KF F J

  • 8 0B C.C .B' '+ 1 B, 1 B" "" #

    ' ' ' ' ' '+ 1 B + 1 B , 1 B

    + 1 B , 1 B , 1 B

    " " " "

    # # " # 0B C.C .B 0B C.C .B 0B C.C .B

    0B C.C .B' '+ 1 B, 1 B"#

    luego : ' ' 'K +,0 0B C.C.B1 B"1 B#

    Ejemplo Calcular si 'K #0B C 0B C 'B C "!B %C con :

    Solucin

    'K0 'B C "!B %C.C.B 'B C "!B %C.C.B' ' ' '! ! "

    B " B "# #

    "$

    " %# #B"

    $B C "!BC #C .B $B C "!BC #C .B' ' ! "!

    B " B "# #

    "$

    " %# # # # # #B"

    '!

    " ' % $ #$B )B "!B (B "!B #.B

    $B B B B B .B'"

    % ' % $ ##$ #) &% &' #!$ $ * * *

  • 9Observacin

    Si se desea calcular el rea de basta considerar K 0B C " aB C K En el ejemplo anterior se tiene que ,el rea de est determinada por :K

    E K ' ' ' ' ' ' ! ! " ! "

    B " B "# #

    "$ !

    B " B "# #

    "$

    " % " %

    B" B".C.B .C.B C .B C .B

    ' '! "

    " %# # "$B " .B B " B " .B

    B B B B % %" " "$ $ $$ $ $

    ! "

    " %" "' '

    # # B " $

    Ejemplo

    Calcular si con :'K0B C 0B C B &C P C B # T B C "$#

    #

    Solucin

    B C # T B C "#$#

    ' ' ' ' K C" #

    $ $ " #C"

    0 B &C.B.C B &BC .C! !

    #

    #$C#

    #

    #$C#

    & C & C' !

    $ # #$ $

    # C # C # C " C " .C" "# ## %

    "!C &C' !

    $ " "$ $

    ## C " C " C " C " .C # %"#

  • 10

    Ejemplo Calcular si con :'K #0B C 0B C #B $C

    Solucin %C B ) B %C ) C B # B C # C B ) B C )

    ' ' ' ' 'K

    $ )# #0 #B $C .C.B #B $C .C.B ! $

    B) B)% %

    B# B)

    o bien

    ' ' ' ' 'K %C) # C#

    # #0 #B $C .B.C #B $C .B.C !

    C) C)

    Ejemplo Invertir el orden y calcular

    ' '" $B## B% #$BC &B.C.B

    Solucin si B " # C $B # C B % con lo cual se tiene que

  • 11

    se tiene que C $B # B C#$ C B % B C %

    luego , se tendra que :

    ' ' ' '" $B# B% $# #

    "$BC &B.C.B $BC &B.B.CC#$

    $BC &B.B.C $BC &B.B.C' ' ' '$ % C%% ' #C% # #C#$

    B C B .C' & # #$ $ # # "C#$

    B C B .C B C B .C' ' $ # # % # #% '$ & $ # # # # #C% C%#C#$

    Ejercicios

    Invertir el orden y calcular

    1.- ' '! "$ $#B C.B.C 2.- ' ' ! C" C# $ B .B.C 3.- ' '" #C"" $C% BC .B.C 4.- ' '" B"# #B" B C.B.C 5.- ' '!$ #&C%C

    $

    #C .B.C

    6.- ' ' ' '! "B " "B#" B " # $B# #B C .C.B B C .C.BEjercicios Calcular el rea de las regiones definidas en el Ejercicio anterior

  • 12

    Ejemplo Calcular ' ' " !# 68B #CB " " / .C.BSolucin

    Es claro que en el orden dado, no es posible calcularla, por lo tanto se hace necesario invertir el orden de integracin,y se tendra que

    si B " # C ! C 68B con lo cual se tiene que

    por lo tanto : si C ! 68# B / B #C

    luego

    ' ' ' ' " ! ! /# 68B 68# ##C #CB " " / .C.B B " " / .B.CC

    B " / .C' ! #68# B #C /## C B " / .C ' ! #68# B #C /## CEjemplo Calcular si :'KB#C.C.B K

    Solucin

    ' ' 'K ! =/8BB#C B

    .C.B B #C.C.B 1

  • 13

    Ejemplo Dada la regin G limitada por la parbola : T C B %C $ !#

    y las rectas P #C B ' !"

    a) Calcular ' 'KB C#

    b) Calcular el rea de GSolucin T C # B " P C B $# "#

    a) ' ' ' ' ' K " "

    $ '#C $

    "C## "C##

    '#C

    B C B C.B.C B C .C# # $"$

    C' #C C " C # .C"$$ # $'

    "

    $

    )C$ C C " $C # $C # C # .C "$$ # % ''

    "

    $

    )C$ C C $CC # $CC # CC # .C "$$ # % ''

    "

    $

    C$ C .C C.C CC # .C CC # .C ) "$ $$ # %' ' ' '

    " " " "

    $ $ $ $

    CC # .C"$''

    "

    $

  • 14

    $ BB .B C.C B #B .B B #B .B ) "$ $$ # %' ' ' '

    ! " $ $

    % $ " "

    B #B .B"$" ''$

    $B B .B C.C B #B .B B #B .B ) "$ $$ % $ # & %' ' ' '

    ! " $ $

    % $ " "

    B #B .B"$" ( ''$

    #B B C B B B B % & # % $ ' &) " " # " #"& ' % $ ' & ! " $ $% $ " "

    B B " ##% #") (

    $

    "

    '#%! $()" "$(( #)%! ) ('

    b) E .B.C' ' ' 'K "

    $ '#C

    "C##

    B .C' "

    $

    "C##

    '#C

    ' #C " C # .C"$#'

    "

    $

    ( #C C # .C"$#'

    "

    $

    C C C # ( " " $#$ $ * *# $

    "

    $

  • 15

    Ejemplo Dada las integrales :

    ' ' ' '! #

    % # B

    %

    * # B

    " "'& &B

    C.C.B C.C.B

    1.- Graficar la regin definida por las integrales 2.- Invertir el orden de las integrales y calcular

    Solucin si se tiene que : B ! % C # C # B si se tiene que : B % * C B C B" "'& &

    C.B.C C.B.C' ' ' '# %

    % % & &C"'

    C# C## #

    CB .C CB .C' '# %

    % &

    C# C## #

    % &C"'

    C %C .C C *C #!C.C' '# %

    % &$ # $ #

    C C C $C "!C " % "% $ %% $ % $ #

    # %

    % &

    *(# &$ %& %

  • 16

    Ejemplo

    Dada la integral :

    ' '! "

    % -9=-B1

    C=/8B.C.B

    1.- Clcular la Integral 2.- Graficar la regin de Integracin definida por la integral 3.- Invertir el orden de la integral

    Solucin

    1.- ' ' '! " !

    % %-9=B1 1

    C=/8B.C.B -9= B=/8B =/8B.B"##

    " " $ #%$ -9= B -9=B # )

    !

    %1

    2.- se tiene que -9=1% ##

    3.- ' ' ' ' ' '! " " ! !

    % # %-9=B " E

  • 17

    Ejemplo Calcular :

    ' ' ' '" #

    # B % #

    B B =/8 .C.B =/8 .C.B1 1B B#C #C

    Solucin

    si se tiene que : B " # C B C B si se tiene que : B # % C # C B

    (es claro que no se puede resolver en el orden dado, ya que no existe primitiva ,por lo tanto debemos invertir el orden )

    Se tiene que (invirtiendo el orden) :

    ' '" C

    # C#

    =/8 .B.C1B#C

    '"

    #

    C

    C##C B

    #C11 -9= .C

    '"

    #

    -9= .C#C C#11

    sea : ? [email protected] -9= .C#C C#11

    .? @ =/8 #C C# #1 11

    =/8 =/8 .C%C C C# #%

    1 11 1

    # #"

    #

    "

    # ' =/8 -9= %C C C# #

    )1 1

    1 1# $

    " "

    # # % )

    1 1# $

  • 18

    Ejemplo Calcular el volumen del slido que est arriba del plano BC acotado por el paraboloide elptico :D B %C# # y el cilindro B %C %# #

    Solucin

    luego, se tiene que : Z % B %C .C.B' '!# ! # #%B#

    #

    o bien : Z % B %C .B.C' '! !# "C # #1 #

    Teorema(Sustitucin)

    Sea funcin de clase tal que 1 E qqqqqp G J1 ? @

    0 1? @' E `[email protected]`BC

  • 19

    Ejemplo Resolver con :'W/ .B.CCBCB

    Solucin Sea se tiene que ? C B # !

    @ C B

    " "" "

    `[email protected]`BC

    con lo cual : `BC`[email protected] #"

    por otro lado: con lo cual,de las las fronteras de se tiene :B @ ? W

    C @ ?

    "#"#

    C # B @ ? # @ ? @ #" "# #

    C ! @ ? ! @ ?"#

    B ! @ ? ! @ ?"#

    como : C # B @ ? # @ ? @ #" "# #

    con lo cual :

    por lo tanto : ' ' ' W E # # E" "/ .B.C / [email protected] / [email protected] ? [email protected] @ / [email protected] @/ [email protected]" "# ! @ # !

    # @ #

    @

    @' ' ' ? [email protected] @ @/ / [email protected] @ / /"# ! %

    # " " # " "/ / !

    #' " "

  • 20

    Ejemplo Resolver con :' '! "B# #B # #B C .C.B

    Solucin

    Sea se tiene que ? B C # [email protected] B C

    " "" "

    `[email protected]`BC

    con lo cual : `BC`[email protected] #"

    por otro lado: con lo cual,de las las fronteras de se tiene :B ? @ W

    C ? @

    "#"#

    C # B B C # ? #

    C " B B C " ? "

    B # ? @ # @ % ?"#

    B ! ? @ ! @ ?"# con lo cual :

    por lo tanto :

    ' ' ' ' ' '! "B ! "B " ?# #B # #B # %?# #B C .C.B B CB C .C.B [email protected]

    [email protected]?

  • 21

    Ejemplo

    Resolver donde :'V B C/ .B.C# #

    V B C B C # # #

    Solucin

    Sea se tiene queB -9= C =/8

    3 )

    3 )

    `BC`[email protected]

    -9= =/8 =/8 -9=

    ) 3 )) 3 )

    3

    con lo cual,de las las fronteras de se tiene :V

    B C #& #& # #3 3

    con lo cual :

    por lo tanto :

    ' ' 'V !

    B C !

    &/ .B.C % / . .

    # # ##1

    3 3 3 )

    # / . # / ".' '! ! #&!&1 1# #

    #3 ) )

    # / " " / #& #&!

    ) 1 1#

  • 22

    Ejemplo

    Resolver donde :' W % *B" C## # .B.C W B C " %# B" C#% *

    # #

    Solucin

    Sea se tiene queB " # -9= C # $ =/8

    3 )

    3 )

    `BC`[email protected] '

    #-9= # =/8 $=/8 $ -9=

    ) 3 )) 3 )

    3

    con lo cual,de las las fronteras de se tiene :W

    " % " % " #B" C#% *#

    # #

    3 3

    con lo cual :

    por lo tanto :

    ' ' ' ' 'W " "

    # #! !

    # # #B C .B.C #% . . #% . .1 1# #33 3 ) 3 3 )

    ) . &'. &'' ' ! !$ " !#1 1 1# # #3 ) ) )

    #) 1

  • 23

    Ejemplo

    Dado el solido determinado por:

    I D % G D $ ( (B" C# B" C#* % * %#

    "

    # # # #

    Calcular el volumen del slido ( usar coordenadas polares)

    Solucin

    consideremos:

    I D % G D $ ( (B" C# B" C#* % * %#

    "

    # # # #

    I G D % ==3

    $ D

    "#(

    (

    B" C#* %

    B" C#* %

    # #

    # #

    (

    (

    B" C#* %

    B" C#* %

    # #

    # #

    D % ==3

    #

    D$

    #

    D$

    #

    D$

    #

    #

    D % ==3

    (B" C#

    * %

    # #

    D $

    "

    (B" C#

    * %

    # #

  • 24

    Sea I " (B" C#* %# #

    "

    sea B " $ -9= C # # =/8 '3 ) 3 ) 3`BC` 3 )

    con lo cual : I " I D % G D $ " "# #3 3 3

    Z % % $ ' . .' ' !

    # "1

    !#3 3 3 3 )

    #% % $ . .' ' !

    # "1

    !# #3 3 3 3 )

    #% % . #% .' '! !

    # #$#

    "1 1

    " )$ $ $ $

    # $$ % $!

    3 3 ) )

    #% "# % $ % $$ $ $ $) ) ) 1

    !

    #1

  • 25

    Ejemplo

    Dado el solido limitado por :

    T # D B" C"% *# #

    G D "B" C"

    % * # #

    G D % #B" C"

    % * # #

    a) Expresar las integrales dobles en coordenadas cartesianas que determinan su volumen.b) Usando integrales dobles ,calcular el volumen del solido.

    Solucin

    donde :

    T G # D

    D

    "B" C"

    % *

    B" C"% *

    # #

    # # ==3 # D

    D

    B" C"% *

    B" C"% *

    #

    # #

    # #

  • 26

    ==3 D # D

    D

    #

    B" C"% *

    ## #

    ==3 D "

    "B" C"% *# #

    con I ""B" C"

    % *

    # #

    T G # D

    D %

    #B" C"

    % *

    B" C"% *

    # #

    # # ==3 # D

    D %

    B" C"% *

    B" C"% *

    #

    # #

    # #

    ==3 D % # D

    D %

    #

    B" C"% *

    ## #

    ==3 D #

    %B" C"% *# #

    con I "#B" C"% '

    # #

    # #

    Es claro que hay simetra en y que las funcionesI I" # determinadas por respetan dicha simetra,T G G" # por lo tanto:

  • 27

    a) Z % % .C.B' ' "" ""$ " B" C" B" C"% * % * B"#

    %# # # #

    % # % .C.B' ' """$ "

    "' " B" C" B" C"% * % *

    B"#

    %

    B"#

    "'# # # #

    % # % .C.B' ' "$ ""' " B" C" B" C"

    % * % *

    B"#"'

    # # # #

    b) Consideremos la siguente sustitucin:

    B " # -9= C " $ =/8 '3 ) 3 ) 3`BC` 3 ) con lo cual : T # D D # B" C" B" C"% * % *

    # # # #

    D # 3#

    G D D "B" C"

    % * # # 3

    G D % D %#B" C"

    % * # # 3

    I " I #" #3 3

    Z % % ' . . % # % ' . .' ' ' '! !! "" # #1 1# #3 3 3 3 ) 3 3 3 3 )

    % #% . . % $' ' ' . .' ' ' '! !! "" # $ #1 1# #3 3 ) 3 3 3 3 )

    %) . % ") # .' ' ' ! !# # % $! "" #

    "# $

    #

    1 1# #3 ) 3 3 3 )

    %) . (!. &*' '! !1 1# #) ) 1