-
1 INTEGRALES EN DOS VARIABLESDefinicin
* Si es un intervalo en , es de la forma , con M M + , + ,
Si es una particin de es de la forma : T M M
P con M ! " 8 ! " 8 > > > + > > > ,
es decir divide al intervalo en subintervalos del tipoT M 8
M
con > > 3 " # 8 3" 3
Si es un rectangulo en , es de la forma con V M N M N#
intervalos en
* Si es una particin de , es una coleccin del tipo T V T T T M N
donde son particiones de respectivamenteT T M NM N
Ejemplo
Sea dondeV + , - . T T T M N
P PM ! " 8 N ! " 7 > > > = = = se tiene que divide al
rectangulo en sub-rectangulos del tipoT V 87
W V > > = = 34 3" 3 4" 4
-
2Definicin Sea funcin acotada.0 V qqqqqp # Sea rectangulo y
particin de V T V Para cada sub-rectangulo de , se define :W T
sup ; infQ 0BB W 7 0BB WW W rea de EW W > > = = 3 3" 4 4"
suma superior de respecto a W Q EW 0 TT W
WT
! suma inferior de respecto a W Q EW 0 TT W
WT
!
Teorema
Sea funcin acotada0 V qqqqqp #
sean particiones de entonces se cumple queT U V
1.- W WT T
2.- W WT U
Observacin
En general se cumple que :
sup particin inf particin W T W T T T
Definicin
Sea funcin acotada0 V qqqqqp #
Diremos que es Riemann Integrable en si0 V
sup particin inf particin W T W T T T
al valor comn se le denotara por y se le llama " Integral de
sobre "'V0 0 V
-
3Notacin
' ' ' ' ' 'V V V V0 0B C.E 0B C.B.C 0B C.C.B
Observacin
Si (caso conocido)8 " 0 0 0B.B' ' 'V ,+,
+
Definicin
Sea , diremos que es un conjunto de medida nulaF F#
ssi sucesin de rectngulos) tal quea !bV % 3 3
1.- F V V V" # 8 2.- !
3
EV 3 %
Teorema
Todo subconjunto de contable o numerable tiene medida nula#
Ejemplo Sea F " " $ # # &
V " " EV " "" $# # "# "# '
% % %
V # # EV # #& (# # "# "# '
% % %
V & & EV $ $$ # "# "# '
% % %
se tiene que : 1.- F V V V" # $ 2.- parta todo !
3"
$
3 ' #EV $ % % % %
por lo tanto es un conjunto de medida nulaF
-
4Ejemplo Sea F B C " B # C $ C "#
V " # $ $ EV " ""' "' )$% % %
V " # " " EV # #"' "' )$% % %
se tiene que : 1.- F V V" # 2.- parta todo !
3"
#
3$ $) %EV # % % % %
por lo tanto es un conjunto de medida nulaF
Observacin Si es una suc de conjuntos de medida nula en E E" 7 #
entonces la union de ellos es un conjunto de medida nula
Teorema Sea acotada0 V qqqqqp # sea no es continua F B V0
Entonces es Riemann Integrable en ssi tiene medida nula0 V F
Teorema Sea Riemann Integrable0 + , - . qqqqqp y supongamos que
para cada fijo B 0 C 0B CB es una funcin Riemann Integrable en
respecto a - . C Entonces la funcin 1B 0 C.C 0B C.C' '- -. .B es
integrable en respecto a + , B
y ' ' '+ + -, , .1B.B 0B C.C .B
y se cumple que :
' ' ' 'V0 0B C.C .B+ -
, .
-
5Corolario
Sea Riemann Integrable0 + , - . qqqqqp
y supongamos que para cada fijo C 0 B 0B CC es una funcin
Riemann Integrable en respecto a + , B Entonces la funcin
1C 0 B.B 0B C.B' '+ +, ,C es integrable en respecto a - . C
y ' ' '- - +. . ,1C.C 0B C.B .C
y se cumple que :
' ' ' ' ' 'V0 0B C.B .C 0B C.C .B- + + -
. , , .
Ejemplo
Sea y V " # " % 0B C $B C#
Calcular ' 'V0
Solucin
' ' ' ' ' V0 $B C.C .B B C .B" " " #
# % ## # #$ %
"
B .B B '! ' " # # # ## %& "& "& "$ $ "#
-
6Observacin
Sea acotado,K K# entonces existe rectngulo tal que V K V#
Definicin
Sea funcin acotada , acotada0 K qqqqqp K #
y sea rectngulo tal que V K V
Sea funcin0B 0B B K! B VK
Diremos que es Riemann In tegrable en 0 K
si es Riemann Integrable en y se tendra que :0 V
' 'K V0 0
Observacin
Si son rectangulos tales que y VV K V K V" " se cumple que :
' 'V V0 0"
-
7Teorema
Sea funcin acotada , acotada0 K qqqqqp K # continua en con
conjunto de medida nula y 0 M8>KF F J
-
8 0B C.C .B' '+ 1 B, 1 B" "" #
' ' ' ' ' '+ 1 B + 1 B , 1 B
+ 1 B , 1 B , 1 B
" " " "
# # " # 0B C.C .B 0B C.C .B 0B C.C .B
0B C.C .B' '+ 1 B, 1 B"#
luego : ' ' 'K +,0 0B C.C.B1 B"1 B#
Ejemplo Calcular si 'K #0B C 0B C 'B C "!B %C con :
Solucin
'K0 'B C "!B %C.C.B 'B C "!B %C.C.B' ' ' '! ! "
B " B "# #
"$
" %# #B"
$B C "!BC #C .B $B C "!BC #C .B' ' ! "!
B " B "# #
"$
" %# # # # # #B"
'!
" ' % $ #$B )B "!B (B "!B #.B
$B B B B B .B'"
% ' % $ ##$ #) &% &' #!$ $ * * *
-
9Observacin
Si se desea calcular el rea de basta considerar K 0B C " aB C K
En el ejemplo anterior se tiene que ,el rea de est determinada por
:K
E K ' ' ' ' ' ' ! ! " ! "
B " B "# #
"$ !
B " B "# #
"$
" % " %
B" B".C.B .C.B C .B C .B
' '! "
" %# # "$B " .B B " B " .B
B B B B % %" " "$ $ $$ $ $
! "
" %" "' '
# # B " $
Ejemplo
Calcular si con :'K0B C 0B C B &C P C B # T B C "$#
#
Solucin
B C # T B C "#$#
' ' ' ' K C" #
$ $ " #C"
0 B &C.B.C B &BC .C! !
#
#$C#
#
#$C#
& C & C' !
$ # #$ $
# C # C # C " C " .C" "# ## %
"!C &C' !
$ " "$ $
## C " C " C " C " .C # %"#
-
10
Ejemplo Calcular si con :'K #0B C 0B C #B $C
Solucin %C B ) B %C ) C B # B C # C B ) B C )
' ' ' ' 'K
$ )# #0 #B $C .C.B #B $C .C.B ! $
B) B)% %
B# B)
o bien
' ' ' ' 'K %C) # C#
# #0 #B $C .B.C #B $C .B.C !
C) C)
Ejemplo Invertir el orden y calcular
' '" $B## B% #$BC &B.C.B
Solucin si B " # C $B # C B % con lo cual se tiene que
-
11
se tiene que C $B # B C#$ C B % B C %
luego , se tendra que :
' ' ' '" $B# B% $# #
"$BC &B.C.B $BC &B.B.CC#$
$BC &B.B.C $BC &B.B.C' ' ' '$ % C%% ' #C% # #C#$
B C B .C' & # #$ $ # # "C#$
B C B .C B C B .C' ' $ # # % # #% '$ & $ # # # # #C%
C%#C#$
Ejercicios
Invertir el orden y calcular
1.- ' '! "$ $#B C.B.C 2.- ' ' ! C" C# $ B .B.C 3.- ' '" #C"" $C%
BC .B.C 4.- ' '" B"# #B" B C.B.C 5.- ' '!$ #&C%C
$
#C .B.C
6.- ' ' ' '! "B " "B#" B " # $B# #B C .C.B B C .C.BEjercicios
Calcular el rea de las regiones definidas en el Ejercicio
anterior
-
12
Ejemplo Calcular ' ' " !# 68B #CB " " / .C.BSolucin
Es claro que en el orden dado, no es posible calcularla, por lo
tanto se hace necesario invertir el orden de integracin,y se tendra
que
si B " # C ! C 68B con lo cual se tiene que
por lo tanto : si C ! 68# B / B #C
luego
' ' ' ' " ! ! /# 68B 68# ##C #CB " " / .C.B B " " / .B.CC
B " / .C' ! #68# B #C /## C B " / .C ' ! #68# B #C /## CEjemplo
Calcular si :'KB#C.C.B K
Solucin
' ' 'K ! =/8BB#C B
.C.B B #C.C.B 1
-
13
Ejemplo Dada la regin G limitada por la parbola : T C B %C $
!#
y las rectas P #C B ' !"
a) Calcular ' 'KB C#
b) Calcular el rea de GSolucin T C # B " P C B $# "#
a) ' ' ' ' ' K " "
$ '#C $
"C## "C##
'#C
B C B C.B.C B C .C# # $"$
C' #C C " C # .C"$$ # $'
"
$
)C$ C C " $C # $C # C # .C "$$ # % ''
"
$
)C$ C C $CC # $CC # CC # .C "$$ # % ''
"
$
C$ C .C C.C CC # .C CC # .C ) "$ $$ # %' ' ' '
" " " "
$ $ $ $
CC # .C"$''
"
$
-
14
$ BB .B C.C B #B .B B #B .B ) "$ $$ # %' ' ' '
! " $ $
% $ " "
B #B .B"$" ''$
$B B .B C.C B #B .B B #B .B ) "$ $$ % $ # & %' ' ' '
! " $ $
% $ " "
B #B .B"$" ( ''$
#B B C B B B B % & # % $ ' &) " " # " #"& ' % $ '
& ! " $ $% $ " "
B B " ##% #") (
$
"
'#%! $()" "$(( #)%! ) ('
b) E .B.C' ' ' 'K "
$ '#C
"C##
B .C' "
$
"C##
'#C
' #C " C # .C"$#'
"
$
( #C C # .C"$#'
"
$
C C C # ( " " $#$ $ * *# $
"
$
-
15
Ejemplo Dada las integrales :
' ' ' '! #
% # B
%
* # B
" "'& &B
C.C.B C.C.B
1.- Graficar la regin definida por las integrales 2.- Invertir
el orden de las integrales y calcular
Solucin si se tiene que : B ! % C # C # B si se tiene que : B %
* C B C B" "'& &
C.B.C C.B.C' ' ' '# %
% % & &C"'
C# C## #
CB .C CB .C' '# %
% &
C# C## #
% &C"'
C %C .C C *C #!C.C' '# %
% &$ # $ #
C C C $C "!C " % "% $ %% $ % $ #
# %
% &
*(# &$ %& %
-
16
Ejemplo
Dada la integral :
' '! "
% -9=-B1
C=/8B.C.B
1.- Clcular la Integral 2.- Graficar la regin de Integracin
definida por la integral 3.- Invertir el orden de la integral
Solucin
1.- ' ' '! " !
% %-9=B1 1
C=/8B.C.B -9= B=/8B =/8B.B"##
" " $ #%$ -9= B -9=B # )
!
%1
2.- se tiene que -9=1% ##
3.- ' ' ' ' ' '! " " ! !
% # %-9=B " E
-
17
Ejemplo Calcular :
' ' ' '" #
# B % #
B B =/8 .C.B =/8 .C.B1 1B B#C #C
Solucin
si se tiene que : B " # C B C B si se tiene que : B # % C # C
B
(es claro que no se puede resolver en el orden dado, ya que no
existe primitiva ,por lo tanto debemos invertir el orden )
Se tiene que (invirtiendo el orden) :
' '" C
# C#
=/8 .B.C1B#C
'"
#
C
C##C B
#C11 -9= .C
'"
#
-9= .C#C C#11
sea : ? .@ -9= .C#C C#11
.? @ =/8 #C C# #1 11
=/8 =/8 .C%C C C# #%
1 11 1
# #"
#
"
# ' =/8 -9= %C C C# #
)1 1
1 1# $
" "
# # % )
1 1# $
-
18
Ejemplo Calcular el volumen del slido que est arriba del plano
BC acotado por el paraboloide elptico :D B %C# # y el cilindro B %C
%# #
Solucin
luego, se tiene que : Z % B %C .C.B' '!# ! # #%B#
#
o bien : Z % B %C .B.C' '! !# "C # #1 #
Teorema(Sustitucin)
Sea funcin de clase tal que 1 E qqqqqp G J1 ? @
0 1? @' E `?@`BC
-
19
Ejemplo Resolver con :'W/ .B.CCBCB
Solucin Sea se tiene que ? C B # !
@ C B
" "" "
`?@`BC
con lo cual : `BC`?@ #"
por otro lado: con lo cual,de las las fronteras de se tiene :B @
? W
C @ ?
"#"#
C # B @ ? # @ ? @ #" "# #
C ! @ ? ! @ ?"#
B ! @ ? ! @ ?"#
como : C # B @ ? # @ ? @ #" "# #
con lo cual :
por lo tanto : ' ' ' W E # # E" "/ .B.C / .?.@ / .?.@CBCB ? ?@ @
/ .?.@ @/ .@" "# ! @ # !
# @ #
@
@' ' ' ? ?@ @ @/ / .@ @ / /"# ! %
# " " # " "/ / !
#' " "
-
20
Ejemplo Resolver con :' '! "B# #B # #B C .C.B
Solucin
Sea se tiene que ? B C # !@ B C
" "" "
`?@`BC
con lo cual : `BC`?@ #"
por otro lado: con lo cual,de las las fronteras de se tiene :B ?
@ W
C ? @
"#"#
C # B B C # ? #
C " B B C " ? "
B # ? @ # @ % ?"#
B ! ? @ ! @ ?"# con lo cual :
por lo tanto :
' ' ' ' ' '! "B ! "B " ?# #B # #B # %?# #B C .C.B B CB C .C.B
?@
.@.?
-
21
Ejemplo
Resolver donde :'V B C/ .B.C# #
V B C B C # # #
Solucin
Sea se tiene queB -9= C =/8
3 )
3 )
`BC`?@
-9= =/8 =/8 -9=
) 3 )) 3 )
3
con lo cual,de las las fronteras de se tiene :V
B C #& #& # #3 3
con lo cual :
por lo tanto :
' ' 'V !
B C !
&/ .B.C % / . .
# # ##1
3 3 3 )
# / . # / ".' '! ! #&!&1 1# #
#3 ) )
# / " " / #& #&!
) 1 1#
-
22
Ejemplo
Resolver donde :' W % *B" C## # .B.C W B C " %# B" C#% *
# #
Solucin
Sea se tiene queB " # -9= C # $ =/8
3 )
3 )
`BC`?@ '
#-9= # =/8 $=/8 $ -9=
) 3 )) 3 )
3
con lo cual,de las las fronteras de se tiene :W
" % " % " #B" C#% *#
# #
3 3
con lo cual :
por lo tanto :
' ' ' ' 'W " "
# #! !
# # #B C .B.C #% . . #% . .1 1# #33 3 ) 3 3 )
) . &'. &'' ' ! !$ " !#1 1 1# # #3 ) ) )
#) 1
-
23
Ejemplo
Dado el solido determinado por:
I D % G D $ ( (B" C# B" C#* % * %#
"
# # # #
Calcular el volumen del slido ( usar coordenadas polares)
Solucin
consideremos:
I D % G D $ ( (B" C# B" C#* % * %#
"
# # # #
I G D % ==3
$ D
"#(
(
B" C#* %
B" C#* %
# #
# #
(
(
B" C#* %
B" C#* %
# #
# #
D % ==3
#
D$
#
D$
#
D$
#
#
D % ==3
(B" C#
* %
# #
D $
"
(B" C#
* %
# #
-
24
Sea I " (B" C#* %# #
"
sea B " $ -9= C # # =/8 '3 ) 3 ) 3`BC` 3 )
con lo cual : I " I D % G D $ " "# #3 3 3
Z % % $ ' . .' ' !
# "1
!#3 3 3 3 )
#% % $ . .' ' !
# "1
!# #3 3 3 3 )
#% % . #% .' '! !
# #$#
"1 1
" )$ $ $ $
# $$ % $!
3 3 ) )
#% "# % $ % $$ $ $ $) ) ) 1
!
#1
-
25
Ejemplo
Dado el solido limitado por :
T # D B" C"% *# #
G D "B" C"
% * # #
G D % #B" C"
% * # #
a) Expresar las integrales dobles en coordenadas cartesianas que
determinan su volumen.b) Usando integrales dobles ,calcular el
volumen del solido.
Solucin
donde :
T G # D
D
"B" C"
% *
B" C"% *
# #
# # ==3 # D
D
B" C"% *
B" C"% *
#
# #
# #
-
26
==3 D # D
D
#
B" C"% *
## #
==3 D "
"B" C"% *# #
con I ""B" C"
% *
# #
T G # D
D %
#B" C"
% *
B" C"% *
# #
# # ==3 # D
D %
B" C"% *
B" C"% *
#
# #
# #
==3 D % # D
D %
#
B" C"% *
## #
==3 D #
%B" C"% *# #
con I "#B" C"% '
# #
# #
Es claro que hay simetra en y que las funcionesI I" #
determinadas por respetan dicha simetra,T G G" # por lo tanto:
-
27
a) Z % % .C.B' ' "" ""$ " B" C" B" C"% * % * B"#
%# # # #
% # % .C.B' ' """$ "
"' " B" C" B" C"% * % *
B"#
%
B"#
"'# # # #
% # % .C.B' ' "$ ""' " B" C" B" C"
% * % *
B"#"'
# # # #
b) Consideremos la siguente sustitucin:
B " # -9= C " $ =/8 '3 ) 3 ) 3`BC` 3 ) con lo cual : T # D D #
B" C" B" C"% * % *
# # # #
D # 3#
G D D "B" C"
% * # # 3
G D % D %#B" C"
% * # # 3
I " I #" #3 3
Z % % ' . . % # % ' . .' ' ' '! !! "" # #1 1# #3 3 3 3 ) 3 3 3 3
)
% #% . . % $' ' ' . .' ' ' '! !! "" # $ #1 1# #3 3 ) 3 3 3 3
)
%) . % ") # .' ' ' ! !# # % $! "" #
"# $
#
1 1# #3 ) 3 3 3 )
%) . (!. &*' '! !1 1# #) ) 1
