guias cilindricas

PROPAGACION Y RADIACIONELECTROMAGNETICA II

Miguel Delgado Leon

28 de Julio del 2005

Capıtulo 1

Guıa de ondas cilindrica

1.1 Campos electromagneticos en la G.O.

cilindrica

La guıa de ondas cilindrica es una de las lıneas de transmision masampliamente utilizadas, esta constituido por un conductor hueco, quese rellena de un material dielectrico con µ y ε o del espacio libre. Laseccion transversal es circular de radio a y altura d. Los campos elec-tromagneticos en una GO cilindrica pueden expresarse como:

~E(ρ, φ, z) = Eρ(ρ, φ, z) ρ + Eφ(ρ, φ, z) φ + Ez(ρ, φ, z) z (1.1)

y

~H(ρ, φ, z) = Hρ(ρ, φ, z) ρ + Hφ(ρ, φ, z) φ + Hz(ρ, φ, z) z (1.2)

Si se considera una propagacion neta en la direccion del eje z, tenemosque cada componente de los campos puede expresarse como:

Eρ = Eρ(ρ, φ)e−jβz, Eφ = Eφ(ρ, φ)e−jβz, Ez = Ez(ρ, φ)e−jβz (1.3)

aqui β es la constante de fase neta o constante de fase de la guia.Tambien:

Hρ = Hρ(ρ, φ)e−jβz, Hφ = Hφ(ρ, φ)e−jβz, Hz = Hz(ρ, φ)e−jβz (1.4)

Aplicando las ecuaciones de Maxwell (ley de Gauss) ∇ · ~E(r) = 0, encoordenadas cilindricas, tenemos:

1

ρ

∂(ρEρ)

∂ρ+

1

ρ

∂(Eφ)

∂φ− jβEz = 0 (1.5)

1

2 CAPITULO 1. GUIA DE ONDAS CILINDRICA

y para la ley de Gauss magnetico ∇ · ~H(r) = 0:

1

ρ

∂(ρHρ)

∂ρ+

1

ρ

∂(Hφ)

∂φ− jβHz = 0 (1.6)

Aplicando las otras ecuaciones de Maxwell, ley de Faraday y Ampere-Maxwell:

∇× E(r) = −j ω µH(r) ∇×H(r) = j ω εE(r) (1.7)

en coordenadas cilindricas, obtenemos un total de 6 ecuaciones (quedacomo tarea), combinando estas seis ecuaciones obtenemos:

k2cEρ = −jβ

∂Ez

∂ρ− j

ωµ

ρ

∂Hz

∂φ(1.8)

k2cEφ = −j

β

ρ

∂Ez

∂φ+ jωµ

∂Hz

∂ρ(1.9)

k2cHρ = j

ωε

ρ

∂Ez

∂φ− jβ

∂Hz

∂ρ(1.10)

k2cHφ = −jωε

∂Ez

∂ρ− j

β

ρ

∂Hz

∂φ(1.11)

donde:k2

c = ω2µε− β2 (1.12)

es la relacion de dispersion. Se observa que las componentes transver-sales Eρ, Eφ, Hρ y Hφ, dependen de las componentes longitudinales Ez

y Hz, por lo tanto, es posible dividir la solucion en dos grupos: modosTM cuando Hz = 0 y Ez 6= 0 y los modos TE cuando Ez = 0 y Hz 6= 0

1.2 Estudio de los Modos TM Ez 6= 0

Reemplazando (1.8) y (1.9) en (1.5) y simplificando, tenemos la sigu-iente ecuacion diferencial:

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂ Ez

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2Ez

∂φ2+ k2

cEz = 0 (1.13)

Utlizando la tecnica de separacion de variables, es decir Ez(ρ, φ) es unproducto de dos funciones R(ρ) y Φ(φ):

Ez(ρ, φ) = R(ρ)Φ(φ) (1.14)

1.2. ESTUDIO DE LOS MODOS TM EZ 6= 0 3

Reemplazando en (1.13) y simplificando, obtenemos:

ρ

R

d

d ρ

(ρdR

d ρ

)+

1

Φ

d2Φ

d φ2+ k2

c ρ2 = 0 (1.15)

La unica solucion es que los terminos que dependen solamente de ρ seaigual a una constante, ası como el termino que depende de φ, es decir:

1

Φ

d2Φ

d φ2= −m2 ρ

R

d

d ρ

(ρdR

d ρ

)+ k2

c ρ2 = m2 (1.16)

De las ecuaciones anteriores, la primera es facil de resolver cuya soluciones:

Φ(φ) = b1 cos(mφ) + b2 sen(mφ) m = 0, 1, 2, · · · (1.17)

Reordenando la segunda ecuacion se llega a:

ρd

d ρ

(ρdR

d ρ

)+ R(k2

c ρ2 −m2) = 0 (1.18)

que es la ecuacion diferencial de Bessel cuya solucion es:

R(ρ) = a1Jm(kc ρ) + a2Ym(kc ρ) m = 0, 1, 2, · · · (1.19)

donde Jm(kc ρ) es la funcion de Bessel de primera clase y orden m yYm(kc ρ) es la funcion Bessel de segunda clase, tambien es conocidacomo la funcion de Neumann, La funcion Ym(kc ρ) es indeterminadocuando ρ → 0. La solucion para la guıa de onda cilindrica de radio aes:

Ez(ρ, φ) = E0Jm(kc ρ)

{cos(mφ)

sen(mφ)

}m = 0, 1, 2, · · · (1.20)

La componente del campo electrico en la direccion del eje z es:

Ez(ρ, φ, z) = E0Jm(kc ρ)

{cos(mφ)

sen(mφ)

}e−jβ z m = 0, 1, 2, · · · (1.21)

Reemplazando (1.20) en (1.8) hasta (1.11) se obtienen las otras com-ponentes de los campos electromagneticos. La condicion de frontera esde Dirichlet en ρ = a:

Ez(ρ = a, φ, z) = 0 =⇒ Jm(kc a) = 0 (1.22)


A continuacion se proporciona los argumentos que hacen que Jm(kc a)sea cero.

Valores de kc a = pmn tal que Jm(pmn) = 0m \ n 1 2 3 40 2.405 5.520 8.654 11.7921 3.832 7.016 10.173 13.3242 5.136 8.417 11.620 14.7963 6.380 9.761 13.015 16.223

Tabla 1 los argumentos que hacen cero a Jm(pmn)

1.2.1 Frecuencia de Corte modo TM

En la seccion anterior se ha visto que se tienen muchas soluciones quesatisfecen las ecuaciones de Maxwell, a cada solucion se llama modo,por ejemplo, para m = 0 y n = 1 se tiene el modo TM01, en general sepuede decir TMmn. existen tambien muchos valores de kc, para cadamodo existe un kc:

kc a = pmn =⇒ kc mn =pmn

a(1.23)

De (1.7), la relacion de dispersion se transforma en:

k2c mn = ω2µε− β2 o β2 = ω2µε− k2

c mn (1.24)

Puesto que la propagacion neta de la onda es en la direccion del eje z,entonces segun (1.12) β debe ser positivo, sin embargo, segun la tabla1, kc mn es variable y crece, por tanto, k2

c mn puede sobrepasar el valorde ω2µε y segun (1.15) β ya no seria positivo. Entonces, llegamos a lasiguiente conclusion:

Si ω2µε > k2c mn =⇒ se propaga hasta el modo TMmn (1.25)

Si ω2µε < k2c mn =⇒ no se propaga el modo TMmn (1.26)

Definimos la frecuencia de corte angular ωc mn de siguiente manera:

k2c mn = ω2

c mnµε donde ωc mn = 2π fc mn (1.27)

aqui fc mn es la frecuencia de corte en Hz y es facil de calcular:

fc mn =kc mn

2π√

µε=

pmn

2π√

µε aen Hz (1.28)

1.3. ESTUDIO DE LOS MODOS TE HZ 6= 0 5

La misma formula se puede expresar en forma mas simple:

fc mn =15 pmn

π√

µrεr aen GHz y a en cm. (1.29)

De (1.15) obtenemos la constante de fase de la guıa:

β = ω√

µε

√1− k2

c mn

ω2µε= ω

√µε

√√√√1−(

fc mn

f

)2

rad/m. (1.30)

Dividiendo Eρ entre Hφ obtenemos la impedancia intrinseca del modoηTM . Ası

ηTM =Eρ

Hφ

= − Eφ

Hρ

=

√µ

ε

√√√√1−(

fc mn

f

)2

(1.31)

1.3 Estudio de los Modos TE Hz 6= 0

Precediendo en forma similar que para los modos TM , esta vez reem-plazamos (1.5) y (1.6) en (1.2), tratando de simplificar y utilizando latecnica de separacion de variables,llegamos esta vez a la solucion:

Hz(ρ, φ) = H0Jm(kc ρ)

{cos(mφ)

sen(mφ)

}m = 0, 1, 2, · · · (1.32)

La componente del campo magnetico en la direccion del eje z es:

Hz(ρ, φ, z) = H0Jm(kc ρ)

{cos(mφ)

sen(mφ)

}e−jβ z m = 0, 1, 2, · · · (1.33)

Reemplazando (1.24) en (1.9) hasta (1.11) se obtienen las otras com-ponentes de los campos electromagneticos. La condicion de frontera esde Neumann en ρ = a

∂Hz(ρ, φ, z)

∂ρ| ρ=a= 0 =⇒ ∂ Jm(kc ρ)

∂ ρ| ρ=a= 0 (1.34)

A continuacion se proporciona los argumentos que hacen que la derivadade Jm(kc a) sea cero.

Valores de kc a = p′mn tal que la derivada de J ′m(p′mn) = 0m \ n 1 2 3 40 3.832 7.016 10.173 13.3241 1.841 5.331 8.536 11.7062 3.054 6.706 9.969 13.1703 4.201 8.015 11.346

Tabla 1 los argumentos que hacen cero a J ′m(p′mn)


1.4 Frecuencia de Corte modo TE

El analısis es similar al caso TM :

fc mn =15 p′mn

π√

µrεr aen GHz y a en cm. (1.35)

La constante de fase de la guıa es la misma que para el caso TM

β = ω√

µε

√1− k2

c mn

ω2µε= ω

√µε

√√√√1−(

fc mn

f

)2

rad/m. (1.36)

La impedancia intrınseca del modo cambia

ηTE =Eρ

Hφ

= − Eφ

Hρ

=

√µε√

1−(

fc mn

f

)2(1.37)

1.5 Longitud de la onda λ, de la guıa λg y

de la de corte λc

La longitud de la onda se conoce como:

λ =2π

K=

2π

ω√

µ ε(1.38)

De manera similar, la longitud de la onda de la guı a se define como:

λg =2π

β=

2π

ω√

µε

√1−

(fc mn

f

)2(1.39)

y la longitud de onda de corte como:

λc =2π

kcmn

=2√(

ma

)2+

(nb

)2(1.40)

1.6 Atenuacion en una guıa de onda cilin-

drica

Como hemos estudiado, en guıa de ondas rectangular, el analisis essimilar, la atenuacion definimos como:

α =PL

2 Pprom

(1.41)

1.6. ATENUACION EN UNA GUIA DE ONDA CILINDRICA 7

donde:

Pprom =1

2 ηTM

(β

kc mn

)2 ∫

S| Ez |2 dS caso TM (1.42)

y

Pprom =ηTE

2

(β

kc mn

)2 ∫

S| Hz |2 dS caso TE (1.43)

Las perdidas por unidad de longitud es:

PL =Rs

2

∮| Htang. |2 dr (1.44)

Ejemplo Una guıa de ondas cilindrica rellena de aire, de radio a = 2 cmtrabaja a una frecuencia de 7 GHz a) Determine los posibles modos TEy TM que pueden propagarse b) Si las paredes de la guıa son de cobre,determine la atenuacion para el modo TM01 c) Para el modo TE11

Solucion a) La frecuencia de corte en GHz para los modos TM es-tadado por (1.17):

fc mn =15 pmn

π√

µrεra=

15pmn

3.1415× 1× 2= 2.3873pmn ≤ 7 =⇒ pmn ≤ 2.932

(1.45)Segun la tabla 1 el unico modo TM que se propaga es TM01. Laexpresion es parecida para el caso TE. Para el modo TE solo se propagael modo TE11

b) Atenuacion para el modo TM01, aqui m = 0 y n = 1. Segun (1.12),El campo electrico en direccion del eje z es:

Ez = E0 J0(kc 01 ρ) e−jβ z con condicion J0(kc 01 a) = 0 (1.46)

De (1.11) obtenemos:

Hφ = −j ω ε

k2c 01

E0d

d ρJ0(kc 01 ρ) e−jβ z = −j ω ε

kc 01

E0 J ′0(x) e−jβ z; x = kc 01 ρ

(1.47)La potencia promedio de (1.39):

Pprom =1

2 ηTM

(β

kc01

)2 ∫ a

0

∫ 2π

0E2

0J20ρ dρ dφ =

π

ηTM

(β

kc01

)2

E20

∫ a

0ρ J2

0dρ

(1.48)La ultima integral es conocida (Nikolski):

∫ a

0ρ J2

m(kc mn ρ)dρ =a2

2

[(1− m2

x2

)J2

m(x) + J′2m(x)

]; x = kcmn a

(1.49)


Para nuestro caso, m = 0, y por condiciones de frontera J0(kc 01 a) = 0

Pprom =π

ηTM

(β

kc01

)2

E20

a2

2J′2m(x) (1.50)

Las perdidas por unidad de longitud sera:

PL =1

2Rs

∮| Htang |2 dr =⇒ PL =

1

2Rs

∮| Hφ |2 dr (1.51)

El valor de Hφ ya esta calculado al inicio de esta pagina. Resultado

PL =1

2Rs

ω2ε2

k2c01

E20J

′2m(kc01 a) a 2π (1.52)

Entonces:

α =PL

2 Pprom

=Rsω

2ε2ηTM

β2 a(1.53)

La expresion anterior puede simplificarse aun mas si reemplazamos elvalor de ηTM dado por (1.31) y de β dado por (1.30) en (1.50):

α =Rs

a ηTM

(1.54)

siendo

Rs =

√πfµc

gc

=

√π × 7× 109 × 4π × 10−7

5.8× 107=

π

50

√7

58= 0.0218

(1.55)y la frecuencia de corte

fc01 =15 p01

π√

µrεr a=

15× 2.405

π ×√1× 1× 2= 5.741 GHz (1.56)

ahora

ηTM =

√µ0

ε0

√√√√1−(

fc01

f

)2

= 120π

√1−

(5.741

7

)2

= 215.6591 (1.57)

Reemplazando en (1.2) obtenemos la respuesta:

α =Rs

a ηTM

=0.0218

0.02× 215.6591= 0.0051 (1.58)

c) Atenuacion para el modo TE11, aqui m = 1 y n = 1. Segun (1.32),El campo magnetico en direccion del eje z es:

Hz = H0 J1(kc 11 ρ) cos(φ)e−jβ z con condicion J ′1(kc 11 a) = 0 (1.59)

1.6. ATENUACION EN UNA GUIA DE ONDA CILINDRICA 9

De (1.11) obtenemos:

Hφ = − j β

ρ k2c 11

d

d φHz =

j β

ρ kc 11

H0 J1(kc 11ρ) sen(φ)e−jβ z (1.60)

La potencia promedio se obtiene de (1.40):

Pprom =ηTE

2

(β

kc11

)2 ∫ a

0

∫ 2π

0H2

0J21 cos2(φ) ρ dρ dφ (1.61)

Procediendo en forma similar que el caso b). Llegamos a:

Pprom =ηTE

2

(β

kc11

)2

H20π

a2

2

(1− 1

k2c11a

2

)J2

1 (kc11a) (1.62)

Las perdidas por unidad de longitud sera:

PL =Rs

2

∮| Htang |2 dr ⇒ PL =

Rs

2

∮ (| Hz |2 + | Hφ |2

)dr (1.63)

reemplazando (1.56) y (1.57) en (1.60) se llega a

PL =Rs

2π a H2

0 J21 (kc11a)

(1 +

β2

k4c11a

2

)(1.64)

Entonces:

α =PL

2 Pprom

=Rs (k4

c11a2 + β2)

a ηTE β2 (k2c11a

2 − 1)(1.65)

Rs = 0.0218 se calculo en b). y de la tabla 2 kc11 = p′11/a = 1.841/0.02 =92.05. La frecuencia de corte e impedancia intrinseca

fc11 =15 p′11

π√

µrεr a=

15× 1.841

π ×√1× 1× 2= 4.3951 GHz

ηTE =

√µε√

1−(

fc mn

f

)2=

120π√1−

(4.3951

7

)2= 484.3644

y

β = ω√

µε

√√√√1−(

fc mn

f

)2

=2π × 7× 109

3× 108

√1−

(4.3951

7

)2

= 114.1072

reemplazando todos estos valores en (1.62) obtenemos:

α = 0.0030


Contenido

1 Guıa de ondas cilindrica 11.1 Campos electromagneticos en la G.O. cilindrica . . . . . 11.2 Estudio de los Modos TM Ez 6= 0 . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Frecuencia de Corte modo TM . . . . . . . . . . 41.3 Estudio de los Modos TE Hz 6= 0 . . . . . . . . . . . . . 51.4 Frecuencia de Corte modo TE . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Atenuacion en una guıa de onda cilindrica . . . . . . . . 6

11

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