w20150824124224050_7000810241_09!28!2015_182355_pm_Integral Triple en Coordenadas Cilindricas y Esfericas

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  • 7/26/2019 w20150824124224050_7000810241_09!28!2015_182355_pm_Integral Triple en Coordenadas Cilindricas y Esfericas

    1/12

    (1.1)(1.1)

    1.1.

    (1.2)(1.2)

    Integral triple en coordenadas cilndricas y esfricas

    Ejemplos

    Determinar , donde Ses la regin que est limitada por las superficies:

    .

    Solucin:Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:

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    2/12

    (1.3)(1.3)

    (1.5)(1.5)

    (1.4)(1.4)

    2.2.

    Hallamos la integral triple en cilndricas:

    Determinar , donde Ses la regin, interior al cilindro: , y

    limitado por las superficies: , .

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    3/12

    (1.7)(1.7)

    (1.6)(1.6)

    (1.8)(1.8)

    (1.9)(1.9)

    Solucin:Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:

    Hallamos la integral triple en cilndricas:

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    4/12

    3.3.

    (1.12)(1.12)

    (1.10)(1.10)

    (1.11)(1.11)

    (1.13)(1.13)

    0

    Determinar , donde Ses la regin limitada por las superficies:

    , .

    Solucin:Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:

  • 7/26/2019 w20150824124224050_7000810241_09!28!2015_182355_pm_Integral Triple en Coordenadas Cilindricas y Esfericas

    5/12

    (2.1)(2.1)

    (2.2)(2.2)

    (1.17)(1.17)

    (1.16)(1.16)

    (1.15)(1.15)

    (1.14)(1.14)

    Hallamos la integral triple en esfricas y cilncricas:

    Ejercicios

    1. Determinar , donde

    .

    Solucin:Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:

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    6/12

    (2.4)(2.4)

    (2.5)(2.5)

    2.2.

    (2.3)(2.3)

    Hallamos la integral triple en cilndricas:

    Determinar , donde Ses la regin limitada por las superficies:

    .Solucin:

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    7/12

    (2.7)(2.7)

    (2.8)(2.8)

    (2.6)(2.6)

    Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:

    e

    Hallamos la integral triple en esfricas:

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    8/12

    (2.10)(2.10)

    (2.9)(2.9)

    (2.11)(2.11)

    3.3. Determinar , usando coordenadas esfricas.

    Solucin:

    Hallamos la regin S:Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:

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    9/12

    (2.16)(2.16)

    (2.15)(2.15)

    (2.14)(2.14)

    (2.12)(2.12)

    (2.13)(2.13)1

    Hallamos la integral triple en esfricas:

    4. Calcular el volumen de la regin Slimitada por la semiesfera y el cono

    .Solucin: Hacemos el cambio de coordenadas cartesianas a cilndricas:

    , luego la ecuacin de las superficies quedan:

    y

    y

    Notemos que de tenemos la proyeccin en el plano : .Graficamos la regin S:

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    10/12

    (2.17)(2.17)

    Hallamos el volumen deseado aprovechando la simetra de la figura respecto a los planos

    coordenados:

    Situacin problemtica

    Hallar el volumen encerrado por la superficie definida por la ecuacin .Solucin: Hacemos el cambio de coordenadas cartesianas a esfricas:

    , luego la ecuacin de la superficie queda:

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    11/12

    Notemos que para que esta funcin exista se debe tener que de donde

    tenemos que: .

    Graficamos la reginS:

    Hallamos el volumen deseado aprovechando la simetra de la figura respecto a los planos

    coordenados:

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