7/26/2019 w20150824124224050_7000810241_09!28!2015_182355_pm_Sesion 5-Integral Triple en Coordenadas Cilindricas y Esfericas

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Escuela de IngeMat

Integral triple en coordenadas cilndricas y es

Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el ocano

Isaac Newton(

Lic. Montes Ob

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SITUACIN PROBLEMTICA:

Hallar el volumen encerrado por la superficie definida por

la ecuacin

=

cuyo grfico se

muestra en la figura.

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Qu necesitamos recordar?

Clculo de integrales iteradastriples

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CAMBIO DE COORDENADAS EN Sea : 3 3una funcin continuamente diferenciable dada por:

, , = , , donde = , , , = ( , , ), = ( , , )

Entonces la frmula para el cambio de coordenadasde la integral triple es dada por:

, , = ( , , , , , , , , ) , ,

Donde (, , ) es el determinante del Jacobiano de F.

.(,,) .(,,)S

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COORDENADAS CILNDRICAS

Sea : 3 3una funcin continuamente diferenciable dada por: , , = , , donde = c o s , = sen , =

Entonces la frmula para el cambio de coordenadascilndricasde la integral triple es dada por:

, , = ,, z

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Ejemplo 1:

Calcular () si S es la regin que est limitada por las superficies: = (), Solucin:

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Ejemplo 2:

Calcular , donde S es la regin, interior al cilindro 2 = 0 y limitado superficies = , = 1 2.Solucin:

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COORDENADAS ESFRICAS

Sea : 3 3una funcin continuamente diferenciable dada por: , , = , , donde =,=, =

Entonces la frmula para el cambio de coordenadasesfricasde la integral triple es dada por:

, , = (,,)

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Ejemplo 3:Calcular () si S es la regin que est limitada por las superficies: = .Solucin:

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Ejercicios:

Calcular

donde

= * , , : 0 2, 0 .Calcular (++)/ , si S es la regin limitada por: Calcular ++

4

4

, usando coordenadas esfrica

Calcular el volumen de la regin S limitada por la semiesfera =el cono = .

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SOLUCIN DE LA SITUACIN PROBLEMTICA:

Hallar el volumen encerrado por la superficie definida por

la ecuacin

=

cuyo grfico se

muestra en la figura.