Part I

UNIVERSIDAD POLITECNICASALESIANANombre: Christian CollaguazoAsignatura: Calculo Vectorial (3BM)

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS YESFÉRICAS

Cuando en cálculo en �sica, ingenieria o geometria implica un cilindro, uncono o ouna esfera, con frecuencia podemos simpli�car nuestro trabajp usandocoordenadas cilindrica o esféricas, que presentaremos a continuación. E n siel procedimiento para transformar a estas coordenadas y evaluar las integralestriples resultantes es similar a la transformación a coordenadas polares en elplano.

1 INTEGRACIÓNENCOORDENADASCILÍN-DRICAS

Para obtrener las coordenadas cilindricas en el espacio combinamos las coorde-nadas polares del plano xy con el eje z. Esto asigna a todo punto en el espaciouna o más tercias de coordenadas (r; �; z); como se muestra en la �gura.

DEFINICIÓN Coordenadas CilíndricasLas coordenadas cilindricas representan un punto P en el espacio mediante

tercias ordenadas (r; �; z) en donde

1

1. r y � son las coordenadas polares para la proyección vertical de P sobreel plano xy2. z es la coordenada vertical rectangular.

Los valores de x; y; r y � en coordenadas rectangulares y cilindricas serelacionan mediante las ecuasiones usuales.

Ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares (x; y; z) ylas cilindricas (r; �; z)! x = r cos �! y = r sin �! z = z! r2 = x2 + y2

! tan � = yx

En coordenadas cilindricas, la ecuacion r=a describe no sólo una circunfer-encia en el plano xy, sino todo un cilindro alrededor del eje z. El eje z esta dadopor r=0. La ecuación � = �0 describe el plano que contiene al eje z y formaun angulo �0 con el semieje positivo x, e igualmente como en las coordenadasrectangulares, la ecuacion z = z0 describe un plano perpendicular al eje z.

Las coordenadas cilindricas son buenas para describir cuyo eje corre a lo largodel eje z y a los planos que contienen al eje z o que son perpendicularmenteal mismo eje z. Super�cies como éstas tienen ecuaciones con coordenadascilindricas constantes:r = 4 Cilindro, radio 4, su eje es el eje x� = �

3 Plano que contiene el eje zz = 2 Plano perpendicular el eje z

Cómo integrar en coordenadas cilindricas.

2

Para evaluarR R RD

f(r; �; z) dV; sobre una region D en el espacio en coorde-

nadas cilíndricas, integrando primero con respecto a z, luego con respecto a r y�nalmente con respecto a �; siga los siguientes pasos:1. Haga un bosquejo. Trace la region D junto con su proyección R sobre el

plano xy: Marque las super�cies y las curvas que acotan a D y a R.

2. Determine los limites de integración. Trace una recta M paralela al ejez, por un punto típico (r; �) de R: Mientras z crece, M entra a D en z = g1(r; �)y sle en z = g2(r; �): estos son los limites de integracion en z:

3. Determine los limites de integracion en r. Trace un rayo L por (r; �)desde el origen. El rayo entra a R en r = h1(�) y sale en r = h2(�): Estoslimites de integracion en r:

3

4. Determine los limites de integración en �: Cuando L barre R; el ángulo� que forma con el semieje positivo x va desde � = � hasta � = �: Éstos son loslimites de integracion en �:

La integral es:R R RD

f(r; �; z) dV =R �=��=�

R r=h2(�)r=h1(�)

R z=g2(r;�)z=g1(r;�)

f(r; �; z) dz r dr d�:

2 INTEGRACIÓN EN COORDENADAS ES-FÉRICAS

Las coordenadas esféricas ubican los puntos en el espacio mediante dos ángulos

y una distancia, como lo muestra la �gura. La primera coordenada, � =�����!OP ��� ;

es la distancia del punto al origen. A diferencia de r, la variable � nunca esnegativa. La segunda coordenada, �; es el angulo

��!OP que forma con el semieje

positivo z. Se requiere que esté en el intervalo [0; �] : La tercera coordenada esel ángulo � medido en coordenadas cilindricas.

4

DEFINICIÓN Coordenadas Esféricas

Las coordenadas esféricas representan un punto P en el espacio mediante lastercias ordenadas (�; �; �) en las que:1. � es la distancia de P al origen.2. � es el ángulo que

��!OP forma con el semieje positivo z(0 � � � �):

3. � es el ángulo de las coordenadas cilíndricas.

En los mapas de la Tierra, � se relaciona con el meridiano de un punto sobrela Tiera y � con su latitud, mientras que � = a describe la esfera (super�ciesférica) de radio a con centro en el origen. La ecuacion � = �0 describe uncono cuyo vertice está en el origen y cuyo eje está a lo largo del eje z. (Ampliamosnuestra interpretacion para incluir el plano xy como el cono � = �

2 ) . Si �0 esmayor que �

2 ; el cono � = �0 se abre hacia abajo.La ecuacion � = �0 describre el semiplano que contien al eje z y forma un

ángulo �0 con el semieje positivo x.

Ecuaciones que relacionan las coordenadas esféricas con las coor-denadas cartesianas y cilindricas.! r = � sin�! x = r cos � = � sin� cos �! z = � cos�! y = r sin � = � sin� sin �! � = 2

px2 + y2 + z2 = 2

pr2 + z2

Las coordenadas esféricas son adecuadas para describir esferas con centro enel origen, semiplanos acoplados a los largo del eje z y conos con vértice en elorigen y eje a lo largo del eje z. Super�cies como éstas tienen ecuaciones convalores constantes para las coordenadas:

5

� = 4 Esfera de radio 4 , centro en el origen.� = �

3 Cono que abre hacia arriba desde el origewn, formando un ángulode �

3 radianes con el semieje positivo z-� = �

3 Semiplano, acoplado con el eje z formando un ángulo de �3 radianescon el semieje positivo x.Cómo integrar en coordenadas esféricas.

Para evaluarR R RD

f(�; �; �) dV sobre una región D en el espacio en coorde-

nadas esféricas, integrando primero con respecto a �; luego con respecto a �; ypor ultimo con respecto a �; siga estos paso:1. Haga un bosquejo. Trace la region D junto con su proyección R sobre el

plano xy: Marque las super�cies que acotan a D .

2. Determine los limites de integración en �. Trace una recta M desde elorigen hacia D formando un ángulo � con el semieje positivoz. Trace ademas laproyección de M sobre el plano xy (llame a la proyeccion L). E l rayo L formaun ángulo � con el semieje positivo x. Al crecer � M entra a D en � = g1(�; �)y sale en � = g2(�; �): Estos son los limites de integración en �:

6

3. Determine los limites de integracion en � . Para cualquier �;dado, elángulo � que M forma con el eje z va desde � = �min hasta � = �max: Éstos sonlos limites de integracion en �:4. Determine los limites de integración en �: El rayoo L barre R cuando �

va de � a �: Éstos son los limites de integracion en �:

La integral es:R R RD

f(�; �; �) dV =R �=��=�

R �=�max�=�min

R �=g2(�;�)�=g1(�;�)

f(�; �; �) �2 sin� d� d� d�

En Resumen Coordenadas Cilíndricas Esféricas

!a) En coordenadas cilíndricasSi f es una función continua en una región R del espacio, entonces:R R RR

f(x; y; z)dx dy dz =R R RR

f(� sin� cos �; r sin �; z)r dz dr d�:

!b) En coordenadas esféricasSi f es una función continua en una región R del espacio, entonces :R R RR

f(x; y; z)dx dy dz =R R RR

f(� sin� cos �; � sin� sin �; � sin�)�2 sin� d�

d� d�:

Resolver las siguientes ejercicios.

COORDENADAS CILÍNDRICASEjercicion 1Hallar en coordenadas cilíndricas el volumen interior a r2 = 16 que está

sobre z = 0 y bajo 2z = y:Aplicamos un argumento «tapa-fondo» , donde la «tapa» es el plano2z = y

y el «fondo» eldisco de centro el origen y radio 4 en el plano OXY , con y � 0:

Efectuamos un cambio de Variable a cilíndricas:

7

x = r cos �y = r sin �z = z;jJ(r; �; z)j = r(0 � � � �; 0 � r � 4; 0 � z � r sin �

2 )El volumen V buscado resulta ser:V =

R �0d�R 40rdr

R r sin �2

0dz

V =R �0d�R 40r( r sin �2 )dr = 32

3 sin � :16r3 sin �

V =R �0d��16r3 sin �

�40

V = 323

R �0

Rsin �d� : � cos �

V = 323 (� cos �)

�0

V = 323 (2)

V = 643

Ejercicion 2Calcular el volumen del sólido S interior al cilindro x2 + y2 = 2ax, que está

comprendido entre el plano z = 0 y la parte superior del cono x2 + y2 = z2:

(x� 1)2 + y2 = 12La proyección del cilindro sobre el plano OXY es la circunferencia(x� a)2+

y2 = a2, de centro (a; 0) y radio a.

Efectuamos un cambio a coordenadas cilíndricas y usamos la simetría delrecinto respecto al plano y = 0 junto con la paridad del integrando para obtenerel volumen pedido, que viene dado por la integralV =

R R RR

f(x; y; z)dx dy dz

V = 2R �

2

0d�R 2a cos �0

rdrR r0dz

V = 2R �

2

0d�R 2a cos �0

rdr [(z)]r0

V = 2R �

2

0d�R 2a cos �0

r2dr

V = 2R �

2

0d�hr3

3

i2a cos �0

8

V = 2R �

2

083a3 cos3 �d�

V = 16a3

3

R �2

0cos3 �d�

V = 16a3

3

R �2

0cos3 �d�

V = 16a3

3

h(sin � � sin3 �

3 )i�2

0

V = 32a3

9

Ejercicion 3

Calcular el volumen de la región limitada por las super�cies z = x2 + y2 yz = 5� y2.

­4

­4­2

­4

y­2

z­2 4

x0

00

22

2

4

4

La proyección en el plano OXY de la intersección del paraboloide circularz = x2 +y2 con el cilindro parabólico z = 5 � y2 es la elipse x2 + 2y2 = 5, desemiejes 2

p5 y 2

q52 . Para calcular el volumen del sólido determinado por ambas

super�cies es su�ciente integrar sobre el interior de esta elipse la diferencia entrela «tapa» (cilindro) y el «fondo» (paraboloide) del sólido, dada por la funciónf(x; y) = 5� x2 � 2y2:

A tal �n, efectuamos un cambio a cilíndricas generalizadas:x = 2

p5r cos �

y = 2

q52r sin �

z = zjJ(r; �; z)j= 5r

2p2 , con 0 � � � 2�, 0 � r � 1.De este modo, z(r; �) = f(x(r; q); y(r; q)) = 5(1 � r2); y si V denota el

volumen pedido encontramos que

Ejercicion 4El dominio de integración esta limitado por arriba por el paraboloide z =

2� x2 � y2 y por abajo por el paraboloide z = x2 + y2

9

­4

­4

­2x4

4­2z

y

0

­2

­4

0

0

2

4

2

2

Entonces cambiando a coordenadas cilíndricas tenemos:V =

R 1�1R 2p1�x2� 2p1�x2

R 2�x2�y2x2+y2

(x2 + y2)32 dz dy dx

V =R 2�0

R 10

R 2�r2r2

r4 dz dr d�

V =R 2�0

R 10[z]

2�r2r2 r4 dr d�

V =R 2�0

R 102r4 � 2r6 dr d�

V =R 2�0

h2r5

5 � 2r7

7

i10d�

V =R 2�0

�25 �

27

�10d�

V = 435

R 2�0

d�

V = 435 [�]

2�0

V = 435 (2� � 0)

V = 835�

Ejercicion 5Calcular

R R RV

z(x2 + y2) dxdydz siendo V el volumen exterior a la hoja

superior del cono z2 = x2 + y2 e interior al cilindro x2 + y2 = 1, con z � 0:

y x­4

­2­4

­200 ­2

z­424

02

4

2

4

10

Efectuamos un cambio a coordenadas cilíndricas, utilizando un argumento«tapa-fondo» y teniendo en cuenta que la ecuación del semicono superior en lasnuevas coordenadas e0s z = r:

x = r cos �y = r sin �z = z;jJ(r; �; z)j = r(0 � � � 2�; 0 � r � 1; 0 � z � r) :

V =R R RV

z(x2 + y2) dxdydz

V =R 2�0d�R 10rr2dr

R r0zdz

V =R 2�0d�R 10r:r2( 12r

2)

V = 12

R 2�0d�R 10r5dr

V = 12

R 2�0

h�r6

6

�i10d�

V = 12

R 2�0

16d�

V = 112

R 2�0d�

V = 112 [(0)]

2�0

V = 112 (2�)

V = 16�

Ejercicion 6R R RD

�x2 + y2

�dx dy dz; D sólido limitado por las sper�cies z = 2 y x2+y2 =

2z

­4­2­4 ­24

z 0 0­24

4

y x2

02 2

La interseccion del plano z = 2con el paraboloide x2 + y2 = 2z es una curvacuya proyección en el plano xy es la circunferencia x2 + y2 = 4:Empleando coordenadas cilíndricasx = r cos �y = r sin

11

z = zjj(r; �; x)j = rel sólido D se describe como:0 � r � 20 � � � 2�12r2 � z � 2

V =R R RD

�x2 + y2

�dx dy dz

V =R 2�0

R 20

R 212 r

2 r dz dr d�

V =R 2�0

R 20

R 212 r

2 r dz dr d�

V =R 2�0

R 20

Rr3(2� 1

2r2)dr d�

V =R 2�0

h( r

4

2 �r6

12 )i20d�

V =R 2�0

83d�

V = 83 (�)

2�0

V = 163 �

COORDENADAS ESFÉRICAS

Ejercicion 1

Calcular el volumen del casquete esférico limitado por:x2 + y2 + z2 = a2

x2 + y2 + z2 = b2

x2 + y2 = z2

con z � 0, siendo 0 < a < b.

Si escribimos el volumen en coordenadas esféricas, de acuerdo a la �guratenemos:

12

x = r cos � sin' a � r � b

y = r sin � sin' donde 0 � ' � �4

z = r cos � 0 � � � 2�

Recordando que el Jacobiano de la transformació es J = r2 sin'; el volumense escribe ahora de la siguiente forma:

V =R badrR �

4

0d�R 2�0r2 sin' d�

V =�r3

3 jba

��� cos' j

�40

�2� =

V = b3�a33 (1�

2p22 )2�

V = �3 (2�

2p2)(b3 � a3)

Ejercicion 2Calcular el volumen del "cono de helado" D cortado en la esfera sólida � � 1

por el cono � = �3 :

El volumen esR R RV

�2 sin� d� d� d�; la integral de f(�; �; �) = 1; sobre D.

Para determinar los limites de integracion y evaluar la integral, comenzamosgra�cando D y su proyeccion R sobre el plano xy.Los limites de integracion en �: Trazamos un rayo M desde el origen hacia D

que forme un ángulo � con el semieje positivo x. El rayo M entra a D en � = 0y sale en � = 1:Los limites de integración en �: El cono � = �

3 forma un ángulo de�3 con el

semieje positivo z. Para cualquier �, dado, el ángulo � = 0 hasta � = �3 :

Los limites de integracion en �: El rayo L barre R cuando � vs de 0 a 2�:

V =R R RV

�2 sin� d� d� d�

13

V =R 2�0

R �3

0

R 10�2 sin� d� d� d�

V =R 2�0

R �3

0

h�3

3

i10sin� d� d�

V =R 2�0

R �3

013 sin� d� d�

V =R 2�0

�� 13 cos�

��3

0d�

V =R 2�0

�� 16 +

13

�d�

V =��� 16 +

13

���2�0

V = 16 (2�)

V = 13�

Ejercicion 3Hallar el volumen de la porcióon del cono y2 = x2 + y2; limitada superior-

mente por la esfera x2 + y2 + y2 = a2:

Gra�cando

La integral para el volumen seria

V =R 2�0

R �4

0

R a0�2 sin� d� d� d�

V =R 2�0

R �4

0�3

3 ja0 sin� d�

V = a3

3

R 2�0(� cos�)

�40 d�

V = a3

3

R 2�0(� cos �4 � (� cos 0) d�

V = a3

3

R 2�0(1�

2p22 )d�

V = a3

3

�(1�

2p22 )�

2�

0

V = a3

3 (1�2p22 )(2� � 0)

V = 2�a3

3 (1�2p22 )

14

Ejercicion 4Calcular la integral triple

R R RV

(4x2+9y2+36z2)dxdydz siendo V el interior

del elipsoide 4x2 + 9y2 + 36z2 = 36

:

­2

­3

­4 ­5

­4­4

­3

­5­5

­1

­3

3

2x

­2

y

3

1

2

0 00 555z

1

­1 ­1

­2

1

2

3

Dividiendo ambos miembros de la ecuación del elipsoide por 36 encontramosque éste tiene semiejes 3, 2 y 1

Efectuamos el siguiente cambio a coordenadas esféricas generalizadas:x = 3� cos � sin', y = 2� sin � sin';z = � cos',jJ(�; �;')j = 6�2 sin'(0 � � � 2�; 0 � ' � �; 0 � � � 1).

Entonces:

V =R R RV

(4x2 + 9y2 + 36z2)dxdydz

V = 6:36R 2�0d�R �0sin' d'

R 10�4d� : 15

V = 216R 2�0d�R �0sin'( 15 ) d'

V = 2165

R 2�0d�R �0sin' d' : : 2

V = 2165

R 2�0[� cos']�0 d�

V = 2165

R 2�02d�

V = 4325

R 2�0d�

V = 4325 [�]

2�0

V = 4325 (2�)

V = 8645 �

Ejercicion 5Calcular el volumen del cuerpo limitado por el cono z2 = x2 + y2 y la

simeesfera x2 + y2 + z2 = 16; z � 0:

15

­4­2

y

­2­4

0

­4

z 0

x0

24

2

­2

4

24

x = r sin� cos �,y = r sin� sin �;z = r cos�jJ(�; �;')j = r2 sin�

Descripcion de las fronteras de D en coordenadas esféricas:Cono : z2 = x2 + y2; cos2 � = sin2 �; tan� = �1Al considerar la parte superior: tan� = 1; � = �

4Esfera : x2 + y2 + z2 = 16; r = 4Descripció en esféricas de D:0 � r � 40 � � � �

40 � � � 2�

V =R R RD

dx dy dz

V =R 2�0

R �4

0

R 40r2 sin� dr d� d�

V =R 2�0d�R �

4

0sin�d�

R 40r2 dr

V =R 2�0d�R �

4

0sin�d�

V = 43

3

R 2�0(� cos�)�=40 d�

V = 43

3 (� 2p22 + 1)

R 2�0d�

V = 43

3 (� 2p22 + 1)(�)2�0

V = 43

3 (� 2p22 + 1)(2�)

V = � 643 ��p2� 2

�3

16

4 Demostrar Integral de PoissonR +1�1 e�x

2

dx =2p�

Calculemos al principio la integral IR =RD

Re�x

2�y2dxdy; donde el dominio deintegracion D es un circulo x2 + y2 = R2

2

0

2

0

y

­4­4 ­2

­2044

zx1

Pasando a coordenadas polares �, �; tenemos:

IR =R 2�0(R R0e��

2

� d�) d� == � 12

R 2�0e��

2 jR0 d� = ��1� e�R2

�Si hacemos que el radio R tienda al in�nito (es decir si ampliamos inde�nida-

mente el dominio de integracion), obtenemos la asi llamada integral multipleimpropia.R 2�

0(R10e��

2

� d�) d� =

limR!1

R 2�0(R10e��

2

� d�) d� = limR!1

��1� e�R2

�= �

Demostremos que la integralRD

Re�x

2�y2dx dy tiende al limite �; cuando eldominio D�de forma arbitraria se amplia de modo tal, que todo punto del planose encuentra, por �n, en D�y permanezca en él (anotemos convencionmalmenteesta ampliación del dominio D�por la correlación D�!1 ).Sean R1 y R2 las distancias mínima y máxima de la frontera del dominio D�

a partir del origen de coordenadas.

17

Como la funcion e�x2�y2 > 0 por donde quiera, las desigualdades:

IR1 �RD�

Re�x

2�y2dx dy � IR2

ó��1� e�R2

��RD�

Re�x

2�y2dx dy � ��1� e�R2

�son válidas.ComoD�!1 , es evidente que R1 !1 y R2 !1 y los miembros extremos

de la desigualdad tienden a un mismo limite �: Por consiguiente, a este limitetiende también el miembro medio es decir,

limD0!1

RD�

Re�x

2�y2dxdy = � ....(1)

Supongamos en particular, que el dominio D0es un cuadrado de lado igual

a 2a y centro en el origen de coordenadas, entonces:RD�

Re�x

2�y2dxdy =R a�aR a�a e

�x2�y2dx dy =R a�aR a�a e

�x2 � e�y2dx dy =R a�a(R a�a e

�x2 � e�y2dx) dy:Saquemos ahora el factor e�y

2

fuera del signo de integral interior (podemoshacerlo, puesto que e�y

2

no depende de la variable de integracion (x).Entonces:RD�

Re�x

2�y2dxdy =R a�a e

�y2(R a�a e

�x2dx) dy:

PongamosR a�a e

�y2dx = Ba este es un numero constante (dependiendo sólode a); por estoR

D�

Re�x

2�y2dxdy =R a�a e

�y2Ba dy = BaR a�a e

�y2dy:

Pero, la ultima integral es tambien igual a Ba (puesto queR a�a e

�x2dx =R a�a�e

�y2dy; por consiguiente,RD�

Re�x

2�y2dx dy = BaBa = B2a:

Pasemos en esta ecuación al limite, haciendo que a tienda al in�nito (en estecaso D�se ampía inde�nidamente):

limD0!1

RD�

Re�x

2�y2dx dy = lima!1

B2a = lima!1

hR a�a e

�x2dxi2=hR1�1 e

�x2dxi2:

Pero según lo demostrado (véase (1)),lim

D0!1

RD�

Re�x

2�y2dx dy = �

Por tanto:hR1�1 e

�x2dxi2= �

2

rhR1�1 e

�x2dxi2= 2p�R1

�1 e�x2dx =

p�

18