CONVERSION COORDENADAS ESFERICAS Y CILINDRICASHaga clic para
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GIOVANNI RODRIGUES GUERRA
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A menudo, es til para reducir la complejidad de la integral
cambiar una variable por otra que resulte ms cmoda, sin embargo
esto exige el cambio de la regin de integracin, adems de aadir un
factor de correccin al diferencial conocido como determinante
jacobiano (en valor absoluto o mdulo). El cambio de una variable
por otra es en un sentido geomtrico, una transformacin desde un
espacio hasta otro, y es esta transformacin la que exige estos
ajustes. Si se utiliza una transformacin que siga la relacin:
CAMBIO DE VARIABLES5/1/12
Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformacin para
simplificar la integral
Integrando
la funcin transformada en el dominio de integracin
correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor
absoluto del determinante jacobiano y por la serie de
diferenciales, se obtiene una integral mltiple que es igual a la
integral original, si es que esta existe. 5/1/12
COORDENADAS POLARES5/1/12
La transformacin de coordenadas rectangulares a polares. Se
puede notar que el rea de la regin polar es distinta que la de la
regin rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano.
Tambin se puede demostrar que si se considera (el radio medio), el
rea de la regin polar es efectivamente En un espacio R2, un dominio
de integracin que tenga una simetra circular es muchas veces
suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a
polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de
una integral doble tomar su valor correspondiente en coordenadas
polares mediante la siguiente transformacin:
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Si la funcion es aplicando la transformacin se obtiene la funcin
fcilmente integrable con respecto a y a . Se pueden obtener
funciones incluso ms simples: Si la funcin es Uno tiene: Si aplica
la identidad trigonomtrica pitagrica de senos y cosenos. El
determinante jacobiano de la transformacin es:
EJEMPLO5/1/12
El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x =
cos(), y = sin() en la primera columna con respecto a y en la
segunda con respecto a . Por lo tanto, una vez transformada la
funcin, y multiplicada por su determinante jacobiano, sta es igual
a la integral original:
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COORDENADAS ESFERICAS5/1/12
Cuando
existe simetra esfrica en un dominio en R3, es posible utilizar
una transformacin hacia coordenadas esfricas para simplificar una
integral triple. La funcin es transformada por la relacin:
El
determnante jacobiano de la transformacin es el siguiente:
Tomando
el valor absoluto del determinante se obtiene 5/1/12 el factor
que se debe aadir a la integral.
Encuentre la transformada para integrales triples en coordenadas
esfricas En este caso el cambio de variables est dado por las
ecuaciones , y Si computamos el Jacobiano obtenemos lo
siguiente
EJERCICIOS
Si hacemos variar lo que podemos decir
entonces sabemos que5/1/12
por
Para hacer el cambio de variables entonces utilizaremos lo
siguiente
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COORDENADAS CILINDRICAS5/1/12
El uso de coordenadas cilndricas para transformar una intregral
triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de
integracin presenta simetra alrededor del eje z. La funcin se
transforma mediante la siguiente relacin.
El determinante jacobiano de la transformacin es el
siguiente:
Por lo tanto, se puede derivar la siguiente frmula de
integracin:5/1/12
En
clculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al
determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como
el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemtico
Carl Gustav Jacobi.
En
geometra algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a
la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la
curva, donde la curva puede DETERMINANTE JACOBIANO ser
embebida.5/1/12
La
matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas
parciales de primer orden de una funcin. Una de las aplicaciones ms
interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar
linealmente a la funcin en un punto. En este sentido, el jacobiano
representa la derivada de una funcin multivariable.
Propiamente
deberamos hablar ms que de matriz jacobiana de diferencial
jacobiana o aplicacin lineal jacobiana MATRIZ forma de la matriz
depender de ya que la JACOBIANA la base o coordenadas elegidas. Es
decir, 5/1/12 dadas dos bases diferentes la aplicacin
GRACIAS POR SU ATENCIN5/1/12
