Polares Cilindricas y Esfericas

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  • 7/25/2019 Polares Cilindricas y Esfericas

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    COORDENADAS POLARES

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    Sistema de Coordenadas Polares

    Las coordenadas polares son un sistema que define la

    posicion de un punto en un espacio bidimensional consistenteen un angulo y una distancia.

    En muchos casos es util utilizar las coordenadas cartesianas

    para definir una funcion en el plano o en el espacio. En

    ocasiones es conveniente usar otros sistemas de las

    mismas. Por ejemplo, en el plano podemos usar las

    coordenadas polares, que permiten expresar ciertas curvas

    en forma mucho mas simple que las ecuaciones que ligan sus

    coordenadas cartesianas. En el espacio, en lugar de usar las

    cartesianas, podemos usar las coordenadas cilndricas o

    esfricas.

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    Este sistema consiste en un punto ! llamado polo y en

    un rayo llamado eje polar que tiene a ! como extremo.

    Las coordenadas de un punto P se representan por el

    par ordenado "r, #, donde r es la distancia del punto alpolo y es la medida del angulo desde el eje polar alsegmento !P. $uando el angulo se mide a favor de las

    manecillas del reloj es negativo, y en contra positivo. %i

    la distancia del polo al punto se mide en el sentido delangulo, es positiva, si no es negativa

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    Grafica de una Ecuacion Polar

    La grafica de una ecuaci&n polar r ' f" # es el conjunto de

    puntos "x,y# para los cuales x ' r cos , y ' r sen y r ' f " #. En otros terminos, la grafica de una ecuacion polar es una

    grafica en el plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas

    polares satisfacen la ecuacion dada.

    La clave para dibujar las mismas de una ecuacion polar, es

    mantener siempre presente que representan las coordenadaspolares.

    $on estos conceptos basicos de localizacion de puntos en el

    sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y

    no solo puntos. En este tipo de funciones la variable

    independiente es y la dependiente es r, asi que las funcionesson del tipo r ' r" #. El metodo para graficar estas funciones esel siguiente, primero graficamos la funcion r ' r" # encoordenadas rectangulares y a partir de esa grafica trazamos la

    correspondiente en polares. (uiandonos con la dependencia

    de r con respecto a .

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    )reade una Region Plana en Coordenadas

    Polares

    En la figura se observa que la superficie de un sector

    circular de radio r viene dada por*

    la funcion dada por r' f"q#, donde f es continua y nonegativa en el intervalo + a , b . La region limitada por

    la grafica para hallar el area de esta region, partimos el

    intervalo + a , b en n subintervalos iguales a ' q - q

    - q -........- q - q ' b

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    ) continuacion aproximamos el area de la region por la

    suma de las mismas de los n sectores,

    Luego de haber notado el teorema anterior, podemosdecir que usar la formula para hallar el area de una

    region limitada por la grafica de una funcion continua no

    negativa. %in embargo, no es necesariamente valida si f

    toma valores positivos y negativos en el intervalo + a , b

    . )lgunas veces lo mas dificil a la hora de hallar el

    area de una region polar es determinar los limites de

    integracion. n buen dibujo de la region puede ayudar

    mucho en estos casos.

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    Coordenadas Cilndricas

    -

    El sistema de coordenadas cilndricas es la extensin delsistema de coordenadas polares en R2a R3,

    Imagnese un sistema decoordenadas polares en el

    plano, como el de lafigura. Ahora imagneseque se coloca un eje z (latercera dimensin parallevar a R3) justo en elpolo y perpendicular a lapantalla. Desde estaperspectiva no se puedever el eje z, pero si se gira

    el plano de la pantalla

    A(r, )

    r

    POLO

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    -

    ahora, desde esta nueva perspectiva se puede ver el eje z quepasa por el polo, con sus dos extremos (negativo y positivo)aportando la tercera coordenada (z) al punto A, de manera quelas coordenadas de un punto en coordenadas Cilndricas son:

    Ntese que las dos primeras coordenadas son las mismas queen coordenadas polares en el plano, de all el punto A se eleva(polo arriba) o se deprime (polo abajo) tantas unidades como

    indique la coordenada z.

    /r: longitud delsegmento que vadesde e origen decoordenadas hastael pie de laperpendicular del

    punto./: ngulo medidodesde el ladopositivo del eje xhasta el segmentor./z: distancia desdela base del plano xyhasta el punto A

    A(r, ,z)z

    POLO

    -z

    z

  • 7/25/2019 Polares Cilindricas y Esfericas

    12/30Ing. Jos Luis Morillo -

    A(4,5 ; 45 ; 1,0) B(3,0 ; 150 ; 3,0) C(3,5 ;300 ; -2,0)

    12

    3

    4

    5

    -1

    -2

    -3

    -4

    -5

    z

    -z

    AB

    C

    45

    150

    300

    A continuacin se muestran tres puntos en coordenadascilndricas y su representacin grfica. Ntese que los puntos Ay B se encuentran en el lado positivo del eje Z, mientras que elpunto C se encuentra hacia el lado negativo del mismo

    Un sistema se coordenadas cilndricas consta de infinitos

    cilindros concntricos sobre los cuales se trazan los puntos,como se ve a continuacin

  • 7/25/2019 Polares Cilindricas y Esfericas

    13/30In. Jos Luis Morillo -

    12

    3

    4

    5

    -1

    -2

    -3

    -4

    -5

    z

    -z

    AB

    C

    As,el punto A se encuentra en la superficie de un cilindro de radio r= 4,5; el punto

    B en uno de r=3 y C en uno de r= 3,5.

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    15/30In. Jos Luis Morillo -

    rdenadas Cilndricas a Rectangulares:

    atos: (r, , z)e quiere obtener. (x, y, z)

    Usando las mismas relaciones entrecoordenadas,como se observa en lafigura:

    A(x, y, z)

    Relacin entre CoordenadasCilndricas y Rectangulares

    En cualquier caso, conocidos los datos,se sustituye en las ecuacionesobtenidas de la entre los sistemascoordenadas y se realiza el clculocorrespondiente.

    A continuacin de muestra un ejemplo:

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    Entonces, las coordenadas cilndricas del punto A(3, -2, 1) son: A( ;326,31; 1)-

    Ejemplo:

    Solucin (a):

    unto A se encuentra en el IV octante, entonces, segn la regla para el ngulo :

    ra calcular r, se usan los valores de x e y, sustituyendo en la ecuacin, resulta:

    Ntese que el nguloobtenido correspondeefectivamente al IV

    octante, que es donde seencuentra el punto original.Es importante chequearestas correspondencias.Por ltimo, la coordenada z en cilndricas es la misma que en coordenadas

    rectangulares,esto es: z=1.

    termine las coordenadas cilndricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares soA(3, -2, 1)B( , 10, -6)

    Transformacin de coordenadasRectangulares a coordenadas cilndricas

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    Coordenadas EsfricasLos antiguos navegantes se guiaban por lasestrellas hasta que se descubri la manera deubicar con exactitud la posicin de un navoen altamar.

    Haciendo uso del sextante y cronmetrosmuy precisos, fueron capaces de determinar

    el ngulo por encima o por debajo delecuador (latitud) y a la izquierda o derechadel meridiano de Greenwich (longitud)

    Este es un ejemplo de aplicacin de un sistema de coordenadas esfricas.

    En la actualidad, los sistemas de posicionamiento va satlite (GPS) al alcance decualquier telfono inteligente de gama media, usan un principio similar donde elobjetivo es establecer la ubicacin exacta de un objeto o persona sobre el globoterrqueo.Cada uno de nosotros tiene un par de coordenadas GPS que indica el lugar en quenos encontramos en un determinado momento, esa es nuestra posicin en un

    sistema de coordenadas esfricas. A continuacin se presenta en detalle ladescripcin de este sistema y su relacin con otro tipo de coordenadas.

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    Coordenadas Esfricas

    x Y

    z

    r

    Otro sistema de coordenadasen R3donde los puntos setrazan sobre la superficie deuna esfera de radio.En lafgura se observan lascoordenadas esricas y suposicin relativa respecto a

    un sistema de coordenadasrectangulares.Las componentes de un puntoen coordenadas esfricas son

    A(, , ), donde esla distancia del origen decoordenadas al punto A,

    es el ngulo medido desdeel lado positivo del ee !"asta el radio vector de laproyeccin del punto Asobre el plano !#, y es elngulo medido desde ellado positivo del ee $"asta el radio vector %ue

    A(; ; )

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    Coordenadas Esfricas

    rango de variacin de los ngulosy &es:

    xY

    z

    Esto implica que nohabr valores de

    mayores que 360 nivalores de mayoresque 180 (no tendrasentido)NOTA IMPORTANTE: los ejes coordenados X,Y y Z se colocan slo comoreferencia, para efectos de visualizar la relacin entre las coordenadas

    rectangulares y esfricas. En los ejemplos siguientes se puede ver que lasreferencias X,Y,Z no se usan para graficar puntos en este sistema de

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    mplos de puntos trazados en un sistema de coordenadas esfricas:(3; 60; 120)(5/2; 270; 45)(1, 315, 90 )

    x Y

    z

    A(3; 60; 120)V octante

    60

    Punto A(60;

    3

    120

    120)3;A(; ; )

    Solucin:

    jemplo:

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    x Y

    z

    jemplo:

    Punto B(

    270

    270

    Obsrvese que no seusan escalas en los

    ejes coordenados paratrazar los puntos, solose usan los ngulos y. Una vez localizada

    la direccin quemarcan los ngulos, setraza la longitud dea lo largo de dichadireccin.

    (; ; )

    45

    5/2; ;45)

    5/2

    B(5/2; 270; 45)Entre III y IV octantes

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    jemplo:

    x Y

    z

    nto C ( ; ; )315

    C ( ; ; )

    olucin: Punto C

    90

    315

    90

    1C

    1

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    Relacin entre CoordenadasEsfricas y Rectangulares

    x

    z

    r

    rdenadas rectangulares a Esfricas:Se conocen las coordenadas rectangulares A(x,y, z) y se quiere conocer las coordenadasEsfricas correspondientes A(, , )

    Las relaciones de lascomponentes sobre el plano xypermanecen igual que encoordenadas polares:

    A(; ; )

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    Relacin entre CoordenadasEsfricas y Rectangulares

    ordenadas Esfricas a rectangulares:

    Se conocen las coordenadas esfricas A(; ; ) y se quiere conocer las coordenadasrectangulares A(x, y, z) correspondientes

    as relaciones son las siguientes:

    A continuacin de presentan unos ejemplos para ilustrar el clculo con laconversin de coordenadas

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    jemplo:Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas esfricasson:a) A(6, 60, 60)b) B(4,/4; /3)Solucin: Punto A

    A(6 ; 60 ;60):

    A(; ;)

    Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

    As, las coordenadas rectangulares de A(6, 60, 60) son: A(2,59 ; 4,5 ; 3)

    Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones: A( ; ; )

    TRANSFORMACIN DE COORDENADASESFRICAS A RECTANGULARES

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    jemplo:TRANSFORMACIN DE COORDENADASESFRICAS A RECTANGULARESPunto B:

    B(4 ;/4; /3)

    B(; ;)

    Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

    As, las coordenadas rectangulares de B(4 ;/4; /3) son: B(1,41 ; 2,45 ; 2) .

    Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones: B( ; ;2)

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    jemplo:TRANSFORMACIN DE COORDENADASRECTANGULARES A ESFRICASDetermine las coordenadas esfricas de los puntos cuyas coordenadas rectangularesson:a) A(1 , -2 , 3)b) B(-3 , 2 , 0)Solucin: Punto A

    A(1 , -2 , 3)

    A(x , y , z)

    Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes:

    As, las coordenadas esfricas de A(1 , -2 , 3) son:

    A est en el IV octante, por lo tanto:

    De igual manera, de pueden expresar en decimales:A(3,74 ; 29,5 ; 3,70)

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    jemplo:TRANSFORMACIN DE COORDENADASRECTANGULARES A ESFRICAS

    In. Jos Luis Morillo - Marzo 2015

    Solucin: Punto B

    B(-3 , 2 , 0)

    B(x , y , z)

    Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes:

    B est en el II octante, por lo tanto:

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    Gracias!!