Ondas Cilindricas

8/2/2019 Ondas Cilindricas

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ONDAS CILNDRICAS

Soluciones de la ecuacin de onda

Ecuacin de onda en coordenadas cilndricas

2 2

2 22

2 2 2

0

1 10

k

kz

+ =

+ + + =

Separacin de variables

( ) ( ) ( )2 2

2

2 2

1 1 10

R Z z

d dR d d Z k

R d d d Z dz

=

+ + + =

Separacin en ecuaciones diferenciales para cada un a de lasvariables

( )

22

2

22 2 2

2

1

10

z

z

d Zk

Z dz

d dR d k k

R d d d

=

+ + =

( )

22

2

2 2 2

1

0z

dn

d

d dRn k k

R d d

=

+ =


2/19

( )2 2

22

2

22

2

0

0

0z

d dRk n R

d d

dn

d

d Zk

dz

+ =

+ =

+ =

Soluciones m odales p ara el problema escalar

( )( ) ( )

( )

,

2

,

2 2 2

( , , )

z

z

z

z

z

jk zjn

n k n

jk zjn

n k n

z

n z z

n k

J k e e

H k e e

k k k

a k z dk

=

=

= +

=

A continuacin se muestran algunas soluciones modales paraproblemas con simetr a axial, en el plano z=0.

( ) ( )2

,

2 2

0

jn

n k n

z

z

H k e

k

k k k k

=

=

= =


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Representacin grfica de ( ) ( ) ( )2

Re( cosnH k n

Modo 0 Modo 1

Modo 2 Modo 3

La solucin completa de exige considerar funciones seno y coseno, obien soluciones de tipo exponencial. En la grfica se comparan lassoluciones para el mod o 1.


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Representacin grfica del modo 1

( ) ( ) ( )( )2Re cosnH k n ( ) ( ) ( )( )2Re sinnH k n

( ) ( )( )2Re jnnH k e ( ) ( )( )2Re jnnH k e

Las soluciones se pued en expresar como combinacin de fun cionesde Bessel y fun ciones armnicas.


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La representacin grfica de las solucin del modo 1 es (distanciasnormalizadas a )

Representacin grfica del modo 1

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.5

0

B r( )

20.5 r

0.5 1 1.5 2

2

2

arg B r( )( )

20.5 r ( ) ( )

2

nH k ( ) ( )( )2arg nH k

0.5 1 1.5 2

0.5

0.50.5

0.5

Re B r( )( )

20.5 r

0.5 1 1.5 2

0.5

0.50.5

0.5

Im B r( )( )

20.5 r ( )

( )( ) ( )2

Re n nH k J k = ( )

( )( ) ( )2

Im n nH k Y k =


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Representacin grfica de los modos 0,1,2

( ) ( )( ) ( )2Re n nH k J k = ( ) ( )( ) ( )2Im n nH k Y k =

0

0 1 2

1

11

1

Re B r( )( )

20.0 r 0

0 1 2

1

11

1

Im B r( )( )

20.0 r

1

0 1 2

1

11

1

Re B r( )( )

20.0 r 1

0 1 2

1

11

1

Im B r( )( )

20.0 r

2

0 1 2

1

11

1

Re B r( )( )

20.0 r 2

0 1 2

1

11

1

Im B r( )( )

20.0 r


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REPRESENTACIN GRFICA DE MODOS CON VARIACINAXIAL

( ) ( )

( )

( )

2

,

2 2 2

cos

sin

z

z

jk zjn

n k n

z

z

H k e e

k k k

k k

k k

=

= +=

=

Se representan los mod os 0 y 1 en el plano y=0.

Representacin grfica de ( ) ( )( )2Re zjk znH k e

Modo 0 (90) Modo 0 (60)

Modo 0 (45) Modo 0 (30)


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Soluciones vectoriales de la ecuacin de onda

Modos TMZ

( )

0

1

1

jj

=

= +

=

F

E

H

Camp os expresados a par tir de la fun cin potencial

( )1

1

E

E E

E

jj

=

= +

=

z

E z z

H z

Expresiones en coordenad as cilndricas

1

1 1

EE

E E

jj z z

= + + +

= +

E z z

H

2

2

2

2

1

1

1

Ez E

E

E

E j

j z

Ej z

Ej z

= +

=

=

1

1

E

E

H

H

=

=


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Modos TEz

( )

0

1

1j

j

=

=

= +

E F

H F F

Camp os expresados a partir d e la funcin p otencial

( )

1

1

H

H

H Hjj

=

=

= +

F z

E z

H z z

Expresiones en coordenad as cilndricas

1 1

1

H H

HHj

j z z

= +

= + + +

E

H z z z

1

1

H

H

E

E

=

=

2

2

2

2

1

1

1

Hz H

H

H

H jj z

Hj z

Hj z

= +

=

=


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Solucin modal generalizada

2

2

2

2

1

1 1

1 1

Ez E

E H

E H

E jj z

Ej z

Ej z

= +

= +

=

2

2

2

2

1

1 1

1 1

Hz H

H E

H E

H jj z

Hj z

Hj z

= +

= +

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

z

z

z

z

jk zjn

E n z n z

n k

jk zjn

H n z n z

n k

a k H k e e dk

b k H k e e dk

=

=


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Modos en guas de onda cilndricas

Modos TMz

En una gua circular, la solucin de los campos se pu ede obteneraplicando las condiciones de contorno para el campo elctrico ycampo m agntico en las paredes de la gua

Las soluciones elementales del potencial para modos TMz que seprop agan en la d ireccin z son d e la forma

( ) zjk zjnE nJ k e e

=

El campo elctrico en la direccin z, paralelo a las paredes es de laforma

2

2

2

1

1

Ez E

z E z E

E jj z

E j kj

= +

=

Impon iendo las cond iciones de contorno d e camp o cero en a = , esnecesario que se cum pla

( ) 0nJ k a =

Los ceros de las funciones de Bessel se encuentran tabulados, y sepu eden obtener d e forma simp le a partir de m todos num ricos, los

pr imeros son


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Funcin J0 J1 J2 J3ceros

1 2.4048 3.8317 5.1356 6.38022 5.5201 7.0156 8.4172 9.76103 8.6537 10.173 11.6198 13.0152

4 11.791 13.324 14.7959 16.2235

El mdu lo del campo Ez para los primeros mod os es

J0 J1 J2 J31

2

3

4

Las expresiones para los camp os son

2

2

2

2

1

1

1

Ez E

E

E

E jj z

Ej z

E j z

= +

=

=

1

1

E

E

H

H

=

=


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Modos TEz

En este caso las solucin de un mod o para el campo magntico axiales

( )2

2

2

1

zjk zjn

H n

Hz H

z Hz H

J k e e

H jj z

kH j

j

=

= +

=

Imponiendo condiciones de contorno para las componentes de

campo elctrico paralelas a las paredes, es necesario cumplir lacond icin de campo elctrico tangencial en el contorno

10HE

= =

Que equ ivale a

( )' 0nJ k a =

Los ceros de las derivadas de las funciones de Bessel se encuentrantabulados, y se pu eden obtener de forma simple a partir de m todosnu mricos, los pr imeros son

Funcin J0 J1 J2 J3ceros

1 3.8317 1.8412 3.0542 4.20122 7.0156 5.3314 6.7061 8.01523 10.1735 8.5363 9.9695 11.34594 13.3237 11.7060 13.1703 14.5858


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J0 J1 J2 J3

Las soluciones p ara los camp os en los modos TEz son

1

1

H

H

E

E

=

=

2

2

2

2

1

1

1

Hz H

H

H

H jj z

Hj z

Hj z

= +

=

=


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Difraccin de cilindros

Simetra axialEn el caso de tener problemas cilndricos 2D, sin variacin con z,pa ra el caso TM, las expresiones para los camp os son

0

0

z EE j

E

E

= =

=

0

1

1

z

E

E

H

H

H

=

=

=

Cilindro circular

La expresin de una onda plana incidente sobre un cilindro deseccin arb itraria es

( ) ( ) ( )cos '

0 0 0

jk jni jk n

z n

n

E E e E e E j J k e

=

= = =

Dependiendo del nmero de modos elegido la solucin ser vlidapara un cierto rad io. En la grfica se comp aran las soluciones de laamp litud del camp o para un va lor mximo de n=10 y n=20. Lasescalas ind ican longitud es de ond a.


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En un cilindro metlico se inducen corrientes, que generan modosemergentes

( ) ( ) ( )2 jns n

z n n

n

E j a H k e

=

=

El camp o total es la sum a de ambos

( ) ( ) ( )( ) ( )2 jni s nz z z n n nn

E E E j J k a H k e

=

= + = +

En el contorno el campo tangencial debe ser cero, por lo tanto paracada u no d e los pu ntos se debe cum plir

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

0

c c

jnn

n n n

n

jn jnn n

n n c n c

n n

j J k a H k e

j a H k e j J k e

=

= =

+ =

=

Si el contorno fuera d e forma circular d e rad io a , se pod ran ap licarcondiciones de ortogonalidad, obteniendo los coeficientes como

( )( ) ( )

2

n

n

n

J kaa

H ka

=

Si se representan los campos totales, se puede observar el efecto dedifraccin d el cilind ro.

Fig. Campos totales, cilindros de radios 1.5 y 0.5 longitu des de onda.


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Fig. Campos difractados, cilindros de radios 1.5 y 0.5 longitudes deonda.

la corriente sobre el cilindro de rad io a sera

1 zz a

a

EJ H

j

= =

= =

La expresin para las corrientes en un cilind ro uniforme de rad io a es

( )

( ) ( )0

2

2jnn

z

n n

E j eJ

a H ka

=

=

La representacin grfica de las corrientes que se inducen sobre uncilind ro de radio a, cuan do incide un a ond a plana a 45, en md ulo yfase, demuestra que se inducen corrientes en la zona visible, y las

corrientes tienden a cero en la zona oculta. Adems ap arece un efectode r izado d ebido a la difraccin en los bord es.


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Fig. Representacin grfica del mdulo y la fase de las corrientes enun cilindro de rad io a, para u na ond a plana incidente.

3 2 1 0 1 2 30

5

10

15

2020

0

Corriente 4.5 ,( )

Fig. Representacin grfica de las corrientes ind ucidas en un cilindrode rad io 4.5 , para u na p lana incidente.

Los armnicos que aparecen cuando incide una onda planadep enden del radio d el cilindro.

En la siguiente figura se representa la amp litud de los mod os 10,20 y40 en funcin del radio del cilindro. Se pu ede observar que el mod o40 aparece pa ra cilind ros de rad io 5 o m ayores.


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0 2 4 6 8 100

5

1010

0

a r 1 0,( )

a r 2 0,( )

a r 4 0,( )

100 r

Fig. Amp litud de los mod os en funcin del rad io del cilindro

0 2 4 6 8 100

10

20

25

0

a 5 n,( )

a 15 n,( )

a 25 n,( )

100 n

Fig. Amplitud d e los coeficientes del desarrollo en serie de Fourierde las corrientes.

La expresin indicada p ara las corrientes asegura qu e los camp os enel interior de las corrientes son uniformes, y compensan la ondaplana incidente para p rod ucir unos camp os totales cero en el interior.

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