Coordenadas cilindricas y esfericas

Ing. José Luis Morillo S.

x Y

Z z

x Y

• Esta presentación ha sido diseñada para avanzar pormedio de “clicks”.

• Los conceptos irán apareciendo en el orden en quefueron designados.

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• Hay párrafos largos (por mejorar) cuya lectura es eimportancia para comprender el contexto. No las evites.

• Los ejemplos se despliegan muy despacio para su mejorcomprensión, no avances hasta que se despliegue porcompleto cada parte del mismo.

jlms/2015

Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015

Luego de conocer los sistemas decoordenadas rectangulares en R1 y R2, asícomo el sistema de coordenadas polares enR2, veremos ahora los sistemas decoordenadas alternativos para representarpuntos en R3.



El sistema de coordenadas cilíndricas es la extensión del sistema decoordenadas polares en R2 a R3,

Imagínese un sistema decoordenadas polares en elplano, como el de la figura.Ahora imagínese que secoloca un eje z (la terceradimensión para llevar a R3)justo en el polo yperpendicular a la pantalla.Desde esta perspectiva no sepuede ver el eje z, pero si segira el plano de la pantallacomo en la siguiente figura…

θ

A(r, θ)r

POLO


… ahora, desde esta nueva perspectiva se puede ver el eje z que pasapor el polo, con sus dos extremos (negativo y positivo) aportando latercera coordenada (z) al punto A, de manera que las coordenadas deun punto en coordenadas Cilíndricas son:

Nótese que las dos primeras coordenadas son las mismas que encoordenadas polares en el plano, de allí el punto A se eleva (polo arriba)o se deprime (polo abajo) tantas unidades como indique la coordenada“z”.

• r: longitud delsegmento que vadesde e origen decoordenadas hasta elpie de la perpendiculardel punto.• θ: ángulo medidodesde el lado positivodel eje x hasta elsegmento “r”.• z: distancia desde labase del plano xy hastael punto A

A(r, θ, z)z

POLO

-z

z


A(4,5 ; 45º ; 1,0) B(3,0 ; 150º ; 3,0) C(3,5 ;300º ; -2,0)

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

z

-z

AB

C

45ª

150ª

300ª

A continuación se muestran tres puntos en coordenadas cilíndricas y surepresentación gráfica. Nótese que los puntos A y B se encuentran en ellado positivo del eje Z, mientras que el punto C se encuentra hacia ellado negativo del mismo

Un sistema se coordenadas cilíndricas consta de infinitos cilindrosconcéntricos sobre los cuales se trazan los puntos, como se ve acontinuación…


1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

z

-z

AB

C

Así, el punto A se encuentra en la superficie de un cilindro de radio r= 4,5; el punto B en uno der=3 y C en uno de r= 3,5.


Coordenadas rectangulares a cilíndricas

Datos: (x, y, z)Se quiere obtener: (r, θ, z)

Z = Z

Se hace coincidir el eje polar con el eje “X” para visualizar la relación entre ambos sistemas decoordenadas. Obsérvese que la coordenada “z” es la misma en coordenadas rectangulares y encoordenadas cilíndricas


Coordenadas Cilíndricas a Rectangulares:

Datos: (r, θ, z)Se quiere obtener. (x, y, z)

Usando las mismas relaciones entrecoordenadas,como se observa en la figura: A(x, y, z)

En cualquier caso, conocidos los datos, sesustituye en las ecuaciones obtenidas de laentre los sistemas coordenadas y se realizael cálculo correspondiente.

A continuación de muestra un ejemplo:

Entonces, las coordenadas cilíndricas del punto A(3, -2, 1) son: A( ; 326,31°; 1)


Solución (a):

El punto A se encuentra en el IV octante, entonces, según la regla para el ángulo θ:

Para calcular “r”, se usan los valores de “x” e “y”, sustituyendo en la ecuación, resulta:

Nótese que el ángulo obtenidocorresponde efectivamente alIV octante, que es donde seencuentra el punto original. Esimportante chequear estascorrespondencias.

Por último, la coordenada z en cilíndricas es la misma que en coordenadas rectangulares, esto es: z=1.

Determine las coordenadas cilíndricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son:a) A(3, -2, 1)b) B( , 10, -6)

Transformación de coordenadas Rectangulares a coordenadas cilíndricas


Solución (b):

El punto B se encuentra en el VI octante, entonces, según la regla para el ángulo θ:

Igual que en el ejemplo anterior, sustituyendo los valores de “x” e “y” en la ecuación, resulta:

Nótese de nuevo que el ánguloobtenido corresponde efectivamenteal VI octante, que es donde seencuentra el punto original. Esimportante chequear estascorrespondencias.

Por último, la coordenada z en cilíndricas es la misma que en coordenadas rectangulares, esto es: z=-6.

Entonces, las coordenadas cilíndricas del punto B( , 10, -6) son: B(12; 146,44°; -6)

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADASRECTANGULARES A CILÍNDRICAS


TRANSFORMACIÓN DE COORDENADASCILÍNDRICAS A RECTANGULARES

Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas cilíndricas son:a) A(3, π/6, -3)b) B( 2, -45º, -3)

Solución: Punto A

A( r , θ , z )

A( 3, π/6, -3 ) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

Así, las coordenadas rectangulares de A(3, π/6, -3) son: A(2,59 ; 1,5 ; -3)

También de puede expresar en radicales y fracciones:


TRANSFORMACIÓN DE COORDENADASCILÍNDRICAS A RECTANGULARES

Solución: Punto B

B( r , θ , z )

B( 2 , -45° , 2 ) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

Así que las coordenadas rectangulares de B( 2 , -45° , 2 ) son: B(1,41 ; -1,41 ; 2)

Los antiguos navegantes se guiaban por lasestrellas hasta que se descubrió la manera deubicar con exactitud la posición de un navío enaltamar.

Haciendo uso del sextante y cronómetros muyprecisos, fueron capaces de determinar el ángulopor encima o por debajo del ecuador (latitud) y ala izquierda o derecha del meridiano de Greenwich(longitud)

Este es un ejemplo de aplicación de un sistema de coordenadas esféricas.

En la actualidad, los sistemas de posicionamiento vía satélite (GPS) al alcance de cualquierteléfono inteligente de gama media, usan un principio similar donde el objetivo esestablecer la ubicación exacta de un objeto o persona sobre el globo terráqueo.

Cada uno de nosotros tiene un par de coordenadas GPS que indica el lugar en que nosencontramos en un determinado momento, esa es nuestra posición en un sistema decoordenadas esféricas. A continuación se presenta en detalle la descripción de este sistemay su relación con otro tipo de coordenadas.



x Y

z

φ

𝚹

r

ρ

Otro sistema de coordenadas enR3 donde los puntos se trazansobre la superficie de una esferade radio ρ. En la figura seobservan las coordenadasesféricas y su posición relativarespecto a un sistema decoordenadas rectangulares.

Las componentes de un punto encoordenadas esféricas son

A(ρ, 𝚹, φ), donde ρ es la distanciadel origen de coordenadas alpunto A, 𝚹 es el ángulo medidodesde el lado positivo del eje Xhasta el radio vector de laproyección del punto A sobre elplano XY, y φ es el ángulo medidodesde el lado positivo del eje zhasta el radio vector que va delorigen al punto A.

A( ρ ; θ ; φ )

El rango de variación de los ángulos𝚹 y φ es:

x Y

z

Esto implica que no habrávalores de θ mayores que360º ni valores de φ

mayores que 180º (notendría sentido)

NOTA IMPORTANTE: los ejes coordenados X,Y y Z se colocan sólo como referencia, paraefectos de visualizar la relación entre las coordenadas rectangulares y esféricas. En losejemplos siguientes se puede ver que las referencias X,Y,Z no se usan para graficar puntos eneste sistema de coordenadas..


Ejemplos de puntos trazados en un sistema de coordenadas esféricas:•A(3; 60º; 120º)• B(5/2; 270º; 45º)•C(1, 315º, 90º )

x Y

z

A(3; 60º; 120º)V octante

60º

Punto A( 60º ;

120º

120º)3 ; A( ρ ; θ ; φ )

Solución:


x Y

z

Punto B(

270º

270º

Obsérvese que no se usanescalas en los ejescoordenados para trazarlos puntos, solo se usanlos ángulos θ y φ. Unavez localizada la direcciónque marcan los ángulos,se traza la longitud de ρ

a lo largo de dichadirección.

( ρ ; θ ; φ )

45º

5/2 ; ; 45º )

5/2

B(5/2; 270º; 45º)Entre III y IV octantes



x Y

z

Punto C ( ; ; ) 315º

C ( ρ ; θ ; φ )

Solución: Punto C

90º

315º

90º

1 C

1


x Y

z

φ

θ

r

ρ

Coordenadas rectangulares a Esféricas:

Se conocen las coordenadas rectangulares A(x, y, z) yse quiere conocer las coordenadas Esféricascorrespondientes A(ρ, θ, φ)

Las relaciones de las componentessobre el plano xy permanecen igualque en coordenadas polares:

A( ρ ; θ ; φ )


Coordenadas Esféricas a rectangulares:

Se conocen las coordenadas esféricas A( ρ ; θ ; φ ) y sequiere conocer las coordenadas rectangulares A(x, y, z)correspondientes

Las relaciones son las siguientes:

A continuación de presentan unos ejemplos para ilustrar el cálculo con la conversión decoordenadas


Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas esféricas son:a) A(6, 60º, 60º)b) B(4, π/4; π/3)

Solución: Punto A

A(6 ; 60º ; 60º):

A( ρ ; θ ; φ )

Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

Así, las coordenadas rectangulares de A(6, 60º, 60º) son: A(2,59 ; 4,5 ; 3)

Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones: A( ; ; )

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADASESFÉRICAS A RECTANGULARES


TRANSFORMACIÓN DE COORDENADASESFÉRICAS A RECTANGULARES

Punto B:

B(4 ; π/4; π/3)

B( ρ ; θ ; φ )

Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

Así, las coordenadas rectangulares de B(4 ; π/4; π/3) son: B(1,41 ; 2,45 ; 2) .

Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones: B( ; ;2)


TRANSFORMACIÓN DE COORDENADASRECTANGULARES A ESFÉRICAS

Determine las coordenadas esféricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son:a) A(1 , -2 , 3)b) B(-3 , 2 , 0)

Solución: Punto A

A(1 , -2 , 3)

A(x , y , z)

Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes:

Así, las coordenadas esféricas de A(1 , -2 , 3) son:

A está en el IV octante, por lo tanto:

De igual manera, de pueden expresar en decimales: A(3,74 ; 296,56º ; 36,70º)

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADASRECTANGULARES A ESFÉRICAS


Solución: Punto B

B(-3 , 2 , 0)

B(x , y , z)

Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes:

B está en el II octante, por lo tanto:


Toda la información incluida en esta presentación ha sido recopilada, procesada,editada y montada en su totalidad por:

José Luis Morillo S.

Ingeniero Químico y docente de la cátedra de Geometría Analítica en la UniversidadJosé Antonio Páez. Valencia. Venezuela .

Esta presentación se hizo con fines estricta y exclusivamente educativos , el uso de lamisma es libre si es con el mismo fin que motivó su creación.

Comentarios y/o sugerencias serán bien recibidos en: [email protected]

Todo lo puedo en Cristo que me fortalece

Valencia, Abril 2015

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