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CLCULO 2Departamento de CienciasSlidos de RevolucinMtodo de los casquetes cilndricos

6Es un mtodo de clculo integral que permite evaluar volmenes de slidos de revolucin.En ciertas situaciones es el nico mtodo viable.Consiste en dividir el slido de revolucin en una serie de casquetes cilndricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volmenes de estos casquetes para obtener el volumen total.

MTODO DE LOS CASQUETES CILNDRICOS

3Cmo calcular la longitud de una circunferencia de radio r ?

Cmo calcular el rea lateral de un casquete cilndrico?

Cmo calcular el volumen de un casquete?

Cree usted que un slido cualquiera puede ser rellenado con casquetes cilndricos?

Responda las siguientes preguntas:Podras calcular el volumen del slido formado al hacer girar alrededor del eje Y, la regin limitada por las curvas: y = x3 + 4x2 3x + 1; x = 0 , x = 3; y = 0 ?

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LOGRO DE SESIN

Al finalizar la sesin el estudiante resuelve problemas vinculados a ingeniera sobre el clculo de volmenes de slidos de revolucin, utilizando el mtodo de de las capas cilndricas; de forma coherente.7El volumen de un casquete cilndricoEl volumen de un casquete cilndrico se calcula restando el volumen del cilindro interior al volumen del cilindro exterior:

8El volumen de un casquete cilndrico

9El volumen de un casquete cilndrico

V = (circunferencia)(altura)(grosor)

10El problema general

Hallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje y la regin que est comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.

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Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos todos del mismo ancho.Sea xi* el punto medio del subintervalo i-simo.Consideramos el rectngulo Ri construido sobre el subintervalo i-simo con una altura de f (xi*).Lo hacemos girar en torno del eje y. Se produce un casquete cilndrico que tiene como volumen:

Se ponen n casquetes cilndricos de stos, los unos dentro de los otros.Se suman todos sus volmenes:

La aproximacin al volumen del slido ser mejor entre ms grande sea n, el nmero de casquetes cilndricos.Se puede mostrar que:

REGLA GENERALEl volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje y la regin que est comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, est dado por la integral:

15Ejemplo 1: Problema propuesto al inicioCalcular el volumen del slido formado al hacer girar alrededor del eje Y, la regin limitada por las curvas: y = x3 + 4x2 3x + 1; x = 0 , x = 3; y = 0

16Dividimos el slido de revolucin en una serie de casquetes cilndricos que se incrustan los unos dentro de los otros.

La altura de los casquetes cilndricos vara de acuerdo a la funcin:

f(x) = x3 + 4x2 3x + 1

Solucin:

La integral del volumenEjemplo 2: Una Regin limitada por dos curvasHallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la regin que est delimitada por la parbola y = x2 + 4x 3,por la cbica y = x3 6x2 + 12x 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.

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El slido de revolucin es:20Dos funciones involucradasEn este caso, a diferencia de los ejemplos anteriores, hay dos funciones involucradas que son:

21El Mtodo de los casquetes cilndricosConsideremos que este slido est formado por una serie de casquetes cilndricos incrustados los unos dentro de los otros.

22La altura de un casquete cilndricoEsta vez, los casquetes no slo varan en cuanto a su radio y a su altura, sino que varan adems en cuanto a su ubicacin respecto del eje x:

Arriba: y = x3 6x2 + 12x 5 Abajo: y = x2 + 4x 3

23La altura de un casquete cilndricoEn este caso, un casquete cilndrico de radio x tiene como altura:

24La integral para el volumen es:

25Ejemplo 3: La regin gira alrededor de una vertical distinta al eje Y

Hallar el volumen del slido de revolucin que se produce al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la regin que est comprendida entre el eje x, la curva y = f (x) y las rectas verticales x = 2, x = 3, donde 26El slido de revolucin es:

27Lo especial en este ejemplo

El radio de un casquete cilndrico cualquiera, que tiene como altura f (x), es x 1, y no x como en los casos anteriores, porque el slido tiene como eje de rotacin a la recta x = 1.28La integral del volumenEn este caso, la integral del volumen es:

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La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda podemos hacer la sustitucin u = x2 2x. Por lo tanto, du = 2(x 1)dx. Los lmites de integracin: si x = 2, entonces u = 0 y si x = 3, entonces u = 3. As:La integral del volumen30La integral del volumen

Reflexin sobre lo AprendidoQu tipo de problemas cotidianos se podran resolver mediante el clculo de volmenes por el mtodo de los casquetes cilndricos?Qu dificultades tuvieron al momento de aplicar los mtodos de solucin? De qu manera resolvieron las dificultades encontradas?

#CDIGOAUTORTTULOEDITORIAL1515.15/LARSLARSON, RONClculo Mcgraw-Hill BIBLIOGRAFA