Coordenadas cilindricas y esféricas

  • View
    286

  • Download
    9

Embed Size (px)

Text of Coordenadas cilindricas y esféricas

Diapositiva 1

Sistemas de Coordenadas en R3Coordenadas Cilndricas yEsfricasIng. Jos Luis Morillo S.

xYZz

xY

Esta presentacin ha sido diseada para avanzar por medio de clicks.Los conceptos irn apareciendo en el orden en que fueron designados.Espera que se despliegue todo un concepto, luego haz click con el ratn (o la tecla ) para avanzar al siguiente.Hay prrafos largos (por mejorar) cuya lectura es e importancia para comprender el contexto. No las evites.Los ejemplos se despliegan muy despacio para su mejor comprensin, no avances hasta que se despliegue por completo cada parte del mismo.jlms/2015

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Instrucciones

IntroduccinLuego de conocer los sistemas de coordenadas rectangulares en R1 y R2, as como el sistema de coordenadas polares en R2, veremos ahora los sistemas de coordenadas alternativos para representar puntos en R3.Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015

Coordenadas CilndricasIng. Jos Luis Morillo - Marzo 2015El sistema de coordenadas cilndricas es la extensin del sistema de coordenadas polares en R2 a R3,Imagnese un sistema de coordenadas polares en el plano, como el de la figura. Ahora imagnese que se coloca un eje z (la tercera dimensin para llevar a R3) justo en el polo y perpendicular a la pantalla. Desde esta perspectiva no se puede ver el eje z, pero si se gira el plano de la pantalla como en la siguiente figura

A(r, )rPOLO

4

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015 ahora, desde esta nueva perspectiva se puede ver el eje z que pasa por el polo, con sus dos extremos (negativo y positivo) aportando la tercera coordenada (z) al punto A, de manera que las coordenadas de un punto en coordenadas Cilndricas son: Ntese que las dos primeras coordenadas son las mismas que en coordenadas polares en el plano, de all el punto A se eleva (polo arriba) o se deprime (polo abajo) tantas unidades como indique la coordenada z. r: longitud del segmento que va desde e origen de coordenadas hasta el pie de la perpendicular del punto. : ngulo medido desde el lado positivo del eje x hasta el segmento r. z: distancia desde la base del plano xy hasta el punto A

A(r, , z)zPOLO-z

z

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015A(4,5 ; 45 ; 1,0)B(3,0 ; 150 ; 3,0)C(3,5 ;300 ; -2,0)

12345-1-2-3-4-5z-zABC

45150300A continuacin se muestran tres puntos en coordenadas cilndricas y su representacin grfica. Ntese que los puntos A y B se encuentran en el lado positivo del eje Z, mientras que el punto C se encuentra hacia el lado negativo del mismoUn sistema se coordenadas cilndricas consta de infinitos cilindros concntricos sobre los cuales se trazan los puntos, como se ve a continuacin

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015

12345-1-2-3-4-5z-zABC

As, el punto A se encuentra en la superficie de un cilindro de radio r= 4,5; el punto B en uno de r=3 y C en uno de r= 3,5.

7

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Relacin entre Coordenadas Cilndricas y RectangularesCoordenadas rectangulares a cilndricasDatos: (x, y, z)Se quiere obtener: (r, , z)

Z = ZSe hace coincidir el eje polar con el eje X para visualizar la relacin entre ambos sistemas de coordenadas. Obsrvese que la coordenada z es la misma en coordenadas rectangulares y en coordenadas cilndricas

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015

Coordenadas Cilndricas a Rectangulares:Datos: (r, , z)Se quiere obtener. (x, y, z)

Usando las mismas relaciones entre coordenadas,como se observa en la figura:

A(x, y, z)Relacin entre Coordenadas Cilndricas y RectangularesEn cualquier caso, conocidos los datos, se sustituye en las ecuaciones obtenidas de la entre los sistemas coordenadas y se realiza el clculo correspondiente.

A continuacin de muestra un ejemplo:

Entonces, las coordenadas cilndricas del punto A(3, -2, 1) son: A( ; 326,31; 1)Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Ejemplo:Solucin (a):El punto A se encuentra en el IV octante, entonces, segn la regla para el ngulo :Para calcular r, se usan los valores de x e y, sustituyendo en la ecuacin, resulta:

Ntese que el ngulo obtenido corresponde efectivamente al IV octante, que es donde se encuentra el punto original. Es importante chequear estas correspondencias.Por ltimo, la coordenada z en cilndricas es la misma que en coordenadas rectangulares, esto es: z=1.

Determine las coordenadas cilndricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son:A(3, -2, 1)B( , 10, -6)

Transformacin de coordenadas Rectangulares a coordenadas cilndricas

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Solucin (b):El punto B se encuentra en el VI octante, entonces, segn la regla para el ngulo :Igual que en el ejemplo anterior, sustituyendo los valores de x e y en la ecuacin, resulta:

Ntese de nuevo que el ngulo obtenido corresponde efectivamente al VI octante, que es donde se encuentra el punto original. Es importante chequear estas correspondencias.Por ltimo, la coordenada z en cilndricas es la misma que en coordenadas rectangulares, esto es: z=-6.Ejemplo:

Entonces, las coordenadas cilndricas del punto B( , 10, -6) son: B(12; 146,44; -6)

TRANSFORMACIN DE COORDENADASRECTANGULARES A CILNDRICAS

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015TRANSFORMACIN DE COORDENADAS CILNDRICAS A RECTANGULARESEjemplo:Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas cilndricas son:A(3, /6, -3)B( 2, -45, -3)

Solucin: Punto AA( r , , z ) A( 3, /6, -3 )Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

As, las coordenadas rectangulares de A(3, /6, -3) son: A(2,59 ; 1,5 ; -3)

Tambin de puede expresar en radicales y fracciones:

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015TRANSFORMACIN DE COORDENADAS CILNDRICAS A RECTANGULARESEjemplo:

Solucin: Punto BB( r , , z ) B( 2 , -45 , 2 )Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

As que las coordenadas rectangulares de B( 2 , -45 , 2 ) son: B(1,41 ; -1,41 ; 2)

Coordenadas EsfricasLos antiguos navegantes se guiaban por las estrellas hasta que se descubri la manera de ubicar con exactitud la posicin de un navo en altamar. Haciendo uso del sextante y cronmetros muy precisos, fueron capaces de determinar el ngulo por encima o por debajo del ecuador (latitud) y a la izquierda o derecha del meridiano de Greenwich (longitud) Este es un ejemplo de aplicacin de un sistema de coordenadas esfricas.En la actualidad, los sistemas de posicionamiento va satlite (GPS) al alcance de cualquier telfono inteligente de gama media, usan un principio similar donde el objetivo es establecer la ubicacin exacta de un objeto o persona sobre el globo terrqueo.Cada uno de nosotros tiene un par de coordenadas GPS que indica el lugar en que nos encontramos en un determinado momento, esa es nuestra posicin en un sistema de coordenadas esfricas. A continuacin se presenta en detalle la descripcin de este sistema y su relacin con otro tipo de coordenadas.

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Coordenadas Esfricas

xY

z

rOtro sistema de coordenadas en R3 donde los puntos se trazan sobre la superficie de una esfera de radio . En la figura se observan las coordenadas esfricas y su posicin relativa respecto a un sistema de coordenadas rectangulares.Las componentes de un punto en coordenadas esfricas son A(, , ), donde es la distancia del origen de coordenadas al punto A, es el ngulo medido desde el lado positivo del eje X hasta el radio vector de la proyeccin del punto A sobre el plano XY, y es el ngulo medido desde el lado positivo del eje z hasta el radio vector que va del origen al punto A. A( ; ; )

Coordenadas EsfricasEl rango de variacin de los ngulos y es:

xY

z

Esto implica que no habr valores de mayores que 360 ni valores de mayores que 180 (no tendra sentido)NOTA IMPORTANTE: los ejes coordenados X,Y y Z se colocan slo como referencia, para efectos de visualizar la relacin entre las coordenadas rectangulares y esfricas. En los ejemplos siguientes se puede ver que las referencias X,Y,Z no se usan para graficar puntos en este sistema de coordenadas..Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015

Ejemplos de puntos trazados en un sistema de coordenadas esfricas: A(3; 60; 120) B(5/2; 270; 45) C(1, 315, 90 )xYzA(3; 60; 120)V octante

60Punto A( 60 ;

3120 120) 3 ; A( ; ; )Solucin:Ejemplo:Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015

xYzEjemplo:Punto B(

270 270Obsrvese que no se usan escalas en los ejes coordenados para trazar los puntos, solo se usan los ngulos y . Una vez localizada la direccin que marcan los ngulos, se traza la longitud de a lo largo de dicha direccin.( ; ; )45 5/2 ; ; 45 ) 5/2

B(5/2; 270; 45)Entre III y IV octantesIng. Jos Luis Morillo - Marzo 2015

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Ejemplo:xYzPunto C ( ; ; ) 315 C ( ; ; )Solucin: Punto C 90

315

90 1 C 1

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Relacin entre Coordenadas Esfricas y Rectangulares

xY

z

rCoordenadas rectangulares a Esfricas:Se conocen las coordenadas rectangulares A(x, y, z) y se quiere conocer las coordenadas Esfricas correspondientes A(, , )Las relaciones de las componentes sobre el plano xy permanecen igual que en coordenadas polares:

A( ; ; )

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Relacin entre Coordenadas Esfricas y RectangularesCoordenadas Esfricas a rectangulares:Se conocen las coordenadas esfricas A( ; ; ) y se quiere conocer las coordenadas rectangulares A(x, y, z) correspondientes

Las relaciones son las siguientes:A continuacin de presentan unos ejemplos para ilustrar el clculo con la conversin de coordenadas

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Ejemplo:Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas esfricas son: A(6, 60, 60) B(4, /4; /3)Solucin: Punto A

A(6 ; 60 ; 60):A( ; ; ) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

As, las coordenadas rectangulares de A(6, 60, 60) son: A(2,59 ; 4,5 ; 3)

Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones: A( ; ; )

TRANSFORMACIN DE COORDENADASESFRICAS A RECTANGULARES

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Ejemplo:TRANSFORMACIN DE COORDENADASESFRICAS A RECTANGULARESPunto B:B(4 ; /4; /3)B( ; ; ) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

As, las coordenadas rectangulares de B(4 ; /4; /3) son: B(1,41 ; 2,45 ; 2) .Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones: B( ; ;2)

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Ejemplo:TRANSFORMACIN DE COORDENADASRECTANGULARES A ESFRICASDetermine las coordenadas esfricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son: A(1 , -2 , 3) B(-3 , 2 , 0)Solucin: Punto AA(1 , -2 , 3)A(x , y , z)Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes:

As, las coordenadas esfricas de A(1 , -2 , 3) son:

A est en el IV octante, por lo tanto:De igual manera, de pueden expresar en decimales: A(3,74 ; 296,56 ; 36,70)

Ejemplo:TRANSFORMACIN DE COORDENADASRECTANGULARES A ESFRICASIng. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Solucin: Punto BB(-3 , 2 , 0)B(x , y , z)Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes:

B est en el II octante, por lo tanto:

Ing. Jos Luis Morillo - Marzo 2015Toda la informacin incluida en esta presentacin ha sido recopilada, procesada, editada y montada en su totalidad por: Jos Luis Morillo S.Ingeniero Qumico y docente de la ctedra de Geometra Analtica en la Universidad Jos Antonio Pez. Valencia. Venezuela .Esta presentacin se hizo con fines estricta y exclusivamente educativos , el uso de la misma es libre si es con el mismo fin que motiv su creacin. Comentarios y/o sugerencias sern bien recibidos en: [email protected] lo puedo en Cristo que me fortaleceValencia, Abril 2015Observacin