Ecuaciones de movimiento coordenadas cilindricas

Coordenadas cilındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cilındricas

Mecanica:

Ecuaciones de movimiento en coordenadascilındricas.

Juan Jose Reyes Salgado


Ecuaciones de movimiento en coordenadas cilındricas.


Coordenadas polares

Posicion:

r = r ur




Coordenadas polares

Velocidad:

v =dr

dt= ˙r = r ur + r ˙ur




Coordenadas polares

Velocidad:

v =dr


˙ur = lım∆t→0

∆ur∆t

=

(lım

∆t→0

∆θ

∆t

)uθ




Coordenadas polares

Velocidad:

v =dr


˙ur = lım∆t→0

∆ur∆t

=

(lım

∆t→0

∆θ

∆t

)uθ

˙ur = θuθ




Coordenadas polares

Velocidad:

v =dr


˙ur = lım∆t→0

∆ur∆t

=

(lım

∆t→0

∆θ

∆t

)uθ

˙ur = θuθ

v = vr ur + vθuθ




Coordenadas polares

Velocidad:

v =dr


˙ur = lım∆t→0

∆ur∆t

=

(lım

∆t→0

∆θ

∆t

)uθ

˙ur = θuθ

v = vr ur + vθuθ

v = r ur + r θuθ




Coordenadas polares

Aceleracion:

v =dv

dt= ˙v = r ur + r ˙ur + r θuθ + r θuθ + r θ ˙uθ




Coordenadas polares

Aceleracion:

v =dv


˙uθ = −θur




Coordenadas polares

Aceleracion:

v =dv


˙uθ = −θura = ar ur + aθuθ




Coordenadas polares

Aceleracion:

v =dv


˙uθ = −θura = ar ur + aθuθ

a = (r − r θ2)ur + (r θ + 2r θ)uθ




Coordenadas cilındricas

rp = r ur + zuz

v = r ur + r θuθ + z uz

a = (r − r θ2)ur + (r θ + 2r θ)uθ + z uz




Ejemplo

I Un juego mecanico consiste en una silla que gira en unatrayectoria circular horizontal de radio r , de modo que lavelocidad angular y la aceleracion angular del brazo QB son θy θ, respectivamente. Determine las componentes radial ytransversal de la velocidad y aceleracion del pasajero.




Ejemplo

I r es constante.

I Los ejes n y t en el movimiento circular son colineales con losejes r y θ:




Ejemplo

I r es constante.

vr = r = 0





Ejemplo

I r es constante.

vr = r = 0

vθ = r θ





Ejemplo

I r es constante.

vr = r = 0

vθ = r θ

ar = r − r θ2 = −r θ2





Ejemplo

I r es constante.

vr = r = 0

vθ = r θ

ar = r − r θ2 = −r θ2

aθ = r θ + 2r θ = r θ





Ejemplo

I r es constante.

vr = r = 0

vθ = r θ

ar = r − r θ2 = −r θ2

aθ = r θ + 2r θ = r θ





Ejemplo

I r es constante.

vr = r = 0

vθ = r θ

ar = r − r θ2 = −r θ2

aθ = r θ + 2r θ = r θ


− ar = an =v2

ρ=

(r θ)2

r= r θ2




Ejemplo

I r es constante.

vr = r = 0

vθ = r θ

ar = r − r θ2 = −r θ2

aθ = r θ + 2r θ = r θ


− ar = an =v2

ρ=

(r θ)2

r= r θ2

aθ = at =dv

dt=

d

dt(r θ) =

dr

dtθ + r

d θ

dt= 0 + r θ




∑Fr = mar∑Fθ = maθ∑Fz = maz




Problemas

El doble anillo liso de 0.5 kg puede deslizarse libremente sobre elbrazo AB y la barra guıa circular. Si el brazo gira a un velocidadangular constante de θ = 3rad/s, determine la fuerza que el brazoejerce sobre el anillo en el instante θ = 45o . El movimiento ocurreen el plano horizontal.




Problemas

El cilindro C liso de 2 kg tiene un pasador P a traves de su centro elcual pasa por la ranura en el brazo OA. Si se hace que el brazo gireen el plano vertical a una razon constante θ = 0.5rad/s, determinela fuerza que ejerce el brazo sobre la clavija en el instante θ = 60o .




Problemas

Una lata C de 0.5 kg de masa se mueve a lo largo de una ranurahorizontal. La ranura tiene la forma de una espiral, la cualesta definida por la ecuacion r = (0.1θ)m, donde θ esta enradianes. Si el brazo OA gira a una velocidad constante θ = 4rad/sen el plano horizontal, determine la fuerza que ejerce en la lata enel instante θ = π rad. Ignore la friccion y el tamano de la lata.



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