Cónicas, Ecuaciones

Paramétricas y Coordenadas

PolaresSantiago Bello C.I: 26.385.798

Matemática III

Sección Cónica (Cónica)

Sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas.

Imagen 1. Los cuatro ejemplos de intersección de un plano con un cono:

parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hipérbola (3).

Imagen 2. Secciones cónicas.

Parábola Es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamado foco. El punto medio entre el foco y la directriz es el vértice, y la recta que pasa por el foco y el vértice es el eje de la parábola.

Imagen 3. Diferentes elementos de una parábola.

Parábola Ecuaciones

Imagen 4. Ecuación de una parábola vertical

Ecuación estándar o canónica de una parábola La forma estándar o canónica de la ecuación de una parábola con vértice (h, k) y directriz y = k – p es (x – h) 2 = 4p( y – k). Eje vertical.

Para la directriz x = h - p, la ecuación es ( y – k) 2 = 4p(x – h). Eje horizontal

El foco se encuentra en el eje a p unidades (distancia dirigida) del vértice. Las coordenadas del foco son las siguientes: (h, k + p) Eje vertical. (h + p, k) Eje horizontal.

ParábolaPropiedades geométricas

• Lado recto. segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.

• Semejanza de todas las parábolas: Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que

tiene excentricidad e= 1. La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.

• Tangentes a la parábola: La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

Imagen 6. La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

Imagen 5. Parábolas semejantes

Parábola ejemplo

Hallar el foco de una parábola Hallar el foco de la parábola dada por Y = - ½x 2 - x + ½

Solución: Para hallar el foco, se convierte a la forma canónica o estándar completando el cuadrado. y = ½- x – ½x 2 Reescribir la ecuación original. Y= ½(1 - 2x - x 2) Sacar 1/2 como factor. 2y = 1 - 2x - x 2 Multiplicar cada lado por 2. 2y = 1 – (x 2 + 2x) Agrupar términos. 2y = 2 – (x 2 + 2x + 1) Sumar y restar 1 en el lado derecho. x 2 + 2x + 1 = - 2y + 2 (x + 1)2 = -2(y – 1) Expresar en la forma estándar o canónica. Si se compara esta ecuación con (x – h) 2 = 4p(y – k), se concluye que h = -1, k =1 y p = -1/2 Como p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Por tanto, el foco de la parábola se encuentra a p unidades del vértice, o. (h, k + p) = (-1, ½). Foco.

A un segmento de la recta que pasa por el foco de una parábola y que tiene sus extremos en la parábola se le llama cuerda focal. La cuerda focal que es perpendicular al eje de la parábola es el lado recto (latus rectum).

Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los vértices.

Imagen 7. Elipse

Elipse Ecuaciones

En coordenadas cartesianas• Forma cartesiana centrada en el origen

• Forma cartesiana centrada fuera del origen

En coordenadas polares• Forma polar centrada en origen

• Formas polares centradas en un foco

• Formas paramétricas

• Curvatura de una elipse

• Área de una región con frontera una elipse

• Perímetro de una elipse

La elipse posee un «eje mayor», trazo AB, y un «eje menor», trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.

Sobre el «eje mayor» existen dos puntos F1 y F2 que se llaman «focos».

El punto Q puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».

Imagen 8. La elipse y algunas de sus propiedades geométricas

Elipse Propiedades geométricas

• Puntos de una elipse: Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).

• Ejes de una elipse: el eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.

• Excentricidad de una elipse: La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

Imagen 9. Excentricidad de una elipse

• Excentricidad angular de una elipse: La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad ε

• Constante de la elipse. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

PF1 + PF2 = 2ª• Directrices de la elipse: Cada foco F de la elipse está asociado con una recta

paralela al semieje menor llamada directriz(ver imagen). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

Imagen 10. La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse

Elipse Ejemplo

Hipérbola Es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Imagen 11. Hipérbola

Hipérbola Ecuaciones

• En coordenadas cartesianas1. Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas (0,0)

2. Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h,k)

Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

Imagen 12. Dos hipérbolas y sus asíntotas en coordenadas cartesianas.

• En coordenadas polares

• Formas paramétricas

En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.

Imagen 13. Sección cónica.

Hipérbola Propiedades

• Eje mayor o real: El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario

• Eje menor o imaginario: El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.

• Asíntotas: Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan ramas de la misma tanto más cuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola. Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a r

• Vértices: Los vértices de una hipérbola son los puntos donde esta corta a sus ejes.

• Focos: Son dos puntos, F1 y F2, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto x, de dicha hipérbola.

• Centro: Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.

• Tangentes: La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

Imagen 14. Hipérbola y sus propiedades

Hipérbola Ejemplo

• Uso de las asíntotas para trazar una hipérbola

Trazar la gráfica de la hipérbola cuya ecuación es 4x2 - y2 = 16.

Solución: Para empezar se escribe la ecuación en la forma estándar o canónica. x 2 / 4 - y 2 / 16 = 1

El eje transversal es horizontal y los vértices se encuentran en (- 2, 0) y (2, 0). Los extremos del eje conjugado se encuentran en (0, - 4) y (0, 4).

Problemas 1) hallar el vértice, el foco y la directriz de la parábola, y trazar su gráfica.

a) y2 = 4xSolución:Ecuación y2= 4px

4p= 4 p= 1V(0,0)LR= p.4= 4F(p,0)= (1,0)Directriz x=p x= 1

Gráfica

b) (x+3)2 = -2(y-2)Solución:Ecuación (x-h) 2 = 4p (y-k)

3 4p=2 2 p= ½V(3,2)F (h,k+p) (3,3/2)LR= p.4= 2Directriz y=k-p y= 5/2Eje de la parabola x=h x=3

Gráfica

2) Hallar la ecuación y la gráfica de la parábola convértice: (2,3) y foco: (1,2)

Solución:Ecuación y2= 4px

4p= 4 p= 1LR= p.4= 4Directriz x=p x= 1

Gráfica

Curvas planas y

ecuaciones paramétricas.Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo l,

entonces a las ecuacionesX=f(t) y y=g(t)

Se les llama ecuaciones paramétricas y a “t” se le llama parámetro. Al conjunto de puntos (x, y) que se obtiene cuando t varia en el intervalo l se le llama la grafica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas, es a lo que se llama una curva plana, que se denota por C.

Trazado de una curvaEjemplo

• Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas:

• En la siguiente tabla ya se muestran los resultados:

t -2 -1 0 1 2 3

x 0 -3 -4 -3 0 5

y -1 -1/2 0 1/2 1 3/2

Eliminación del parámetroProcedimiento

Ecuaciones paramétricas dadas

Despejar t de una de las ecuaciones

Sustituir en la otra ecuación (la que no fue despejada)

Se obtiene la ecuación rectangular

Eliminación del parámetroEjemplo

• Al encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones paramétricas se le llama eliminación del parámetro. Por ejemplo, el parámetro del conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo 1 se puede eliminar como sigue.

Ecuaciones paramétricas • x = t 2 – 4 • y = t / 2 Despejar t de una de las ecuaciones • t = 2y Sustituir en la otra ecuación • x = (2y) 2 - 4 Ecuación rectangular• x = 4y2 – 4

Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación x = 4y 2 – 4 representa una parábola con un eje horizontal y vértice en (-4, 0). El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar a la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe ajustarse de manera que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas. En el ejemplo siguiente se muestra esta situación.

Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetroEjemplo

X= 1 / √t + 1 y y= t / t + 1, t > - 1 Eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante. Solución: Para empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo, se puede despejar t de la primera ecuación. x = 1 / √t + 1 Ecuación paramétrica para x. x 2 = 1 / t + 1 Elevar al cuadrado cada lado.• t + 1 =1 / x 2 • t= 1 / x 2 – 1 = 1 - 2 2 / x 2 Despejar t.• Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y, se obtiene• y = t / t + 1 Ecuación paramétrica para y.• y = (1 - x 2)/x 2 / [ (1 - x 2)/x 2] +1 Sustitución de t por (1 - x 2)/x 2

• y = 1 - x 2. Simplificar.

• La ecuación rectangular, y = 1 - x 2, está definida para todos los valores de x, sin embargo en la ecuación paramétrica para x se ve que la curva sólo está definida para t > - 1. Esto implica que el dominio de x debe restringirse a valores positivos.

Emplear trigonometría para eliminar un parámetro Ejemplo

x = 3 cos θ y y= 4 sen θ, 0 ≤ θ ≤ 2 π Al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente. Solución: Para empezar se despejan cos θ y sen θ de las ecuaciones dadas. cos θ = x / 3 y sen θ = y / 4 Despejar cos θ y sen θ. A continuación, se hace uso de la identidad sen 2 θ + cos 2 θ para formar una ecuación en la que sólo aparezcan x y y.• cos 2 θ + sin 2 θ = 1 Identidad trigonométrica. • (x / 3) 2 + (y / 4) 2 = 1 Sustituir. • x 2 / 9 + y 2 / 16 = 1 Ecuación rectangular.

Cálculo de las ecuaciones paramétricaspara una gráfica dada.

Ejemplo

• Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de = 1 − 2, usando 𝑦 𝑥cada uno de los parámetros siguientes:

a) t = x b) La pendiente = en el punto (x , y)𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑥 SOLUCION:

a) x = t 𝑦 = 1 − 𝑥 2 = − 𝟏 𝒕 2

b) = / = / (1 − 𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2) = −2 𝑥 𝑚 = −2 𝑥 𝒙 = − / 𝒎 𝟐

Y de acuerdo con el resultado del inciso a) se obtiene lo siguiente: 𝑦 = 1 − 𝑡 2 = 1 −( − /2)𝑦 𝑚 2 = − 𝟏 𝒎2 / 𝟒

Así que de forma definitiva, las ecuaciones paramétricas son: 𝑥 = − /2 = 1 − 𝑚 𝑦 𝑚 2 / 4

Curva suave

Es una curva que no posee puntos angulosos. Un ejemplo puede ser el círculo, la elipse, la parábola, etc. Una curva C representada por x = f (t) y y= g(t) en un intervalo I se dice que es suave si f´ y g´ son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo sub-intervalo de alguna partición de I.