w20160302165721883_7001041385_05-20-2016_163359_pm_Coordenadas Cilindricas y E sfericas

7/25/2019 w20160302165721883_7001041385_05-20-2016_163359_pm_Coordenadas Cilindricas y E sfericas

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Facultad de Ingeniera Mg Carmen Monzn Matemtica III

INTEGRALES TRIPLES

COORDENADAS CILNDRICAS Y ESFRICAS

Antes de iniciar el estudio de integrales mltiples y de

sus aplicaciones, se introducirn dos nuevos

sistemas de coordenadas para el espacio

tridimensional coordenadas cil!ndricas y

coordenadas es"#ricas$

El sistema de coordenadas cil!ndricas es una

e%tensi&n de las coordenadas polares para tres

dimensiones$ La representaci&n en coordenadas

cil!ndricas de un punto P es 'r, , (), donde r y son

las coordenadas polares de la proyecci&n de P en el

plano polar y ( es la distancia dirigida desde el plano

polar *asta P$ +onsulte "igura $

Gua de Teora y Prctica

Matemtica IIISemana N 8

'r, ,()

FIGURA 1

(

y

%

(


2/31


EJEMPLO 1. -i.u/e la gr"ica de cada una de las siguientes ecuaciones

e%presada en coordinadas cil!ndricas, donde c es una constantte 'a) r 0 c1 '.) 0

c, 'c) ( 0 c$

Solucin:

'a) Para un punto P 'r, , () de la gr"ica de r 0 c, y (

pueden asumir cual2uier valor, mientras 2ue r es

constante$ La gr"ica es un cilindro circular recto

cuyo radio es |c|unidades y su e/e es el e/e ($ La

gr"ica se muestra en la "igura 3$

'.) Para todos los puntos P 'r, , () de la gr"ica de 0

c, r y ( pueden tomar cual2uier valor, en tanto 2ue

permanece constante$ La gr"ica es un plano 2ue

pasa por el e/e ($ re"i#rase a la "igura 4 donde 5 6 c

6 7 $

'c) La gr"ica de ( 0 c es un plano paralelo al plano polar u.icado a una distancia

dirigida de c unidades a partir del plano polar$ La "igura 8 muestra la gr"ica

para 9 5$

El nom.re :coordenadas cil!ndricas; proviene del *ec*o de 2ue la gr"ica de r 0 c

es un cilindro circular recto como el del e/emplo 'a)$ Las coordenadas cil!ndricas

se emplean con "recuencia en pro.lemas "!sicos en los 2ue se tiene un e/e de

simetr!a$

Suponga 2ue un sistema de coordenadas cartesianas y otro de coordenadas

cil!ndricas se colocan de modo 2ue el plano %y es el plano polar del sistema de

coordenadas cil!ndricas, y 2ue la parte positiva del e/e % es el e/e polar, o.serve la

"igura


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Fig. Fig. ! Fig. "

EJEMPLO #. @.tenga una ecuaci&n en coordenadas cartesianas para cada una

de las siguientes super"icies cuyas ecuaciones se *an e%presado en coordenadas

cil!ndricas, e identi"i2ue la super"icie 'a) r 0 sen1 '.) r '4cos= 3 sen) = ( 0 5$

Solucin:

'a) Al multiplicar los dos miem.ros de la ecuaci&n

por r se o.tiene r30 r sen $ +omo r30 %3=

y3 y r sen 0 y, entonces %3= y30 y$ Esta

ecuaci&n puede escri.irse en la "orma %3= 'y

B 4)

3

0 C, lo cual muestra 2ue su gr"ica es uncilindro circular recto cuya secci&n transversal

en el plano %y es las circun"erencias con

centro en '5,4) y radio 4$

(y

r %

y

%

(

(

y%

0 c

0 c

5

(

5 P'r,,()

'r,,()

(

y%

5

0 c

0 c

D (

4

y los planos coordenados$

Solucin:

La "igura 3 muestra el paralelep!pedo rectangular S$

S

xysenyzdV=0

0

2

0

2

xysenyz dzdydx

0

0

/2

[xcosyz ]0/3

dydx

0

0

/2

x (1 cos13 y)dydx

0

x (y3 /sen1/3y )]0/2

dx

0

x (/23/sen 2/6)] dx


11/31


x

2

2(23sen2

6)]0

4(26 sen2

6)

A continuaci&n se discutir como de"inir la integral triple de una "unci&n continua

de tres varia.les en una regi&n de R4di"erente de un paralelep!pedo rectangular$

Sea S la regi&n tridimensional cerrada y limitada por los planos % 0 a y % 0 ., los

cilindros y 0 '%) y y 0 3'%), y las super"icies ( 0 '%,y) y ( 0 3'%,y) donde las

"unciones , 3, y 3son lisas$ Trace planos paralelos a los planos coordenados

de modo 2ue se "orme un con/unto de paralelep!pedos rectangulares 2ue cu.ran

toda la regi&n S$ Los paralelep!pedos 2ue se encuentran completamente dentro de

S o en la "rontera de S "orman una partici&n de S$ Eli/a un sistema para numerar

de a estos paralelep!pedos$ La norma de esta partici&n de S es la

longitud de la diagonal ms grande de los paralelep!pedos$ El volumen de iD

#simo paralelep!pedo es i unidades c.icas$ Sea " una "unci&n de tres varia.les

continua en S, y sea 'ui, vi, Qi) un punto ar.itrario del iD#simo paralelep!pedo$

Re"i#rase a la "igura 4$

'ui,vi, Qi)

i(

0 '%,y)

0 '%,y)

iy5

i%i.

y 0 '%) y 0 3'%)

y


12/31


FIGURA

orme la suma

i=1n

f(ui , v i , wi)i V

Si esta suma tiene un l!mite con"orme tiende a cero, y si el l!mite es

dependiente de la elecci&n de los planos de la partici&n y de los puntos ar.itrarios

'ui, vi, Qi) en cada paralelep!pedo, entonces el l!mite se denomina integral triple de

" en S y se escri.e

lim

0

i=1

n

f(u i , vi , w i)i V=S

f(x , y , z ) dV

Se puede demostrar, en +lculo avan(ado 2ue una condici&n su"iciente para 2ue

el l!mite de '3) e%ista es 2ue " sea continua en S$ Adems con la condici&n

impuesta a las "unciones , 3, y 3de 2ue sean lisas, tam.i#n es posi.le

demostrar 2ue la integral triple puede evaluarse mediante la integral iterada$

a

b

1(x)

2(x)

F1(x)

F2(x)

f(x , y , z ) dzdydx

As! como la integral do.le puede interpretarse como la medida del rea de una

regi&n plana cuando "'%,y) 0 en R$ la integral triple puede interpretarse como la

medida del volumen de una regi&n tridimensional$ Si "'%,y,() 0 en S, entonces '3)

se trans"orma en

lim0i=1

n

i V=S

dV

-e modo 2ue la integral triple es la medida del volumen de la regi&n S$


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EJEMPLO #. +alcule el volumen del s&lido del e/emplo < del "asc!culo mediante

integraci&n triple$

Solucin:

El s&lido se encuentra so.re el plano %y y est limitado por el para.oloide el!ptico

( 0 %3= 8y3y el cilindro %3= 8y30 8$ +onsulte la "igura 8, si unidades c.icas es

el volumen del s&lido, entonces

V= lim0

i=1

n

i V

S

dV

-onde S es la regi&n limitada por el s&lido$Los l!mites de ( son de 5 'el valor de ( en

el plano %y) a %3= 8y3'el valor de ( en el

para.oloide el!ptico)$ Los l!mites de y para

cuarto del volumen son de 5 'el valor de y

en plano %() a1

24x2 'el valor de y en

el cilindro)$ Los l!mites de % para el primer

octante son de 5 a 3$

Al evaluar la integral triple por medio de una integral iterada se o.tiene$

V=40

2

0

4x2 /2

0

x2+4y2

dzdydx

40

2

0

4x2/ 2

(x2+4y2 ) dydx

4

FIGURA !

%3=8y3083

D

(0%3=8y3

% y

D3

5

D (

V1 de modo 2ue

z=

2

15 a

5

1

8 a4 2


24/31


16

15 a

Conclu*in: El centro de masa se encuentra so.re el e/e del s&lido a una

distancia de X>


25/31


S

f( , , )2 senddd

La integral triple puede evaluarse mediante una integral iterada$ @.serve 2ue encoordenadas es"#ricas d 0 3sen ddd

Las coordenadas es"#ricas son especialmente tiles en algunos pro.lemas 2ue

involucran es"eras, como en el e/emplo siguiente

EJEMPLO ".2 +alculela masa de la semies"era s&lida del e/emplo 4 si la densidad

volum!nica en cual2uier punto del s&lido es proporcional a la distancia del punto al

centro de la .ase$

Solucin:

Si

( i i i)

es un punto de la iD#sima su.regi&n de una partici&n es"#rica,

entonces la densidad volum!nica en este punto esi Uilogramos por metro

c.ico, donde U es una constante$ Si V Uilogramos es la masa del s&lido,

entonces

M= lim0i=1

n

i i V

S

dV

4

0

/2

0

/2

0

a

3

sen

ddd

a4 0

/2

0

/2

sendd


26/31


1

2a

4

0

/2

send

1

2a

4[cos ]

0

/2

1

2a

4

Conclu*in.2 La masa de semies"era s&lida es 7 a8U Uilogramos$ Resulta

interesante comparar la soluci&n del e/emplo


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El clculo implicado en la evaluaci&n de esta integral es o.viamente muc*o ms

complicado 2ue cuando se emplearon coordenadas es"#ricas$

EJEMPLO $.2 n s&lido *omog#neo est limitado superiormente por la super"icie

0 a e in"eriormente por el cono 0 , donde 5 6 61

2

$ +alcule el momento

de inercia del s&lido con respecto al e/e ($ La densidad volum!nica en cual2uier

punto del s&lido es U Uilogramos por metro c.ico$

Solucin:

En la "igura C se muestra el s&lido$ +onsidere una partici&n es"#rica y sea

( i i i)

un punto de la iD#sima su.regi&n$ La medida de la distancia del punto

( i i i)

al e/e ( es

i sen i $ En consecuencia, si l( Uilogramos metro

cuadrado es el momento de inercia del s&lido con respecto al e/e (, entonces

'z= lim0

i=1

n

( i seni )2

i V

S

2 sen2dV

0

#

0

2

0

#

(2 sen2)3

senddd


28/31


1

5 a

50

#

0

2

sen3dd

25

a5

0

#

sen3d

2

5 a

5[cos+ 13cos3]0

#

2

5 a

5

(cos

3

#3cos

#+2

)

Conclu*in:

El momento de inercia del s&lido con respecto al e/e ( es

2

5 a

5(cos3 #3cos#+2) &( )2


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PRO3LEMAS RESUEL)OS

En los e/ercicios al F calcular las integrales

) 0

1

dx0

2

dy0

3

dz

Soluci&n

0

1

dx0

2

dy0

3

dz=0

1

dx0

2

3dy=0

1

6dx=6

3) 0

a

dx

0

b

dy

0

c

(x+y+z ) dz

Soluci&n

0

a

dx0

b

(xz+yz+z2

2)|0c

dy=0

a

dx0

b

(dx+cy+ c2

2)dy

0

a

(cxy+c

y2

2+

c2

2 y

)|0

b

dx=0

a

[cbx+

b2

c

2 +

b2

c

2

]dx

( bc x2

2 +

b2

c

2 +

bc2

2 x)|

0

a

=a2

bc

2 +

ab2

c

2 +

abc2

2

abc2 (a+b+c )


30/31


4) 0

a

dx0

b

dy0

y

xyzdz

Soluci&n

0

a

dx0

x

dy0

y

xyzdz=0

a

dx0

xxyz

2

2|0y

dy=0

a

dx0

xxy

3

2 dy

1

20

a

xy4

4|0x

dx=1

80

a

x5

dx=x

6

48|0a

=a

6

48

8) 0

a

dx0

x

dy0

xy

x3

y3zdz

Soluci&n

0

a

dx0

x

dy0

xy

x3

y3zdz=

0

a

dx0

x

x3

y3z

2

2 |0xy

dy

0

a

dx0

xx

5y

5

2 dy=

0

ax

5y

6

12|0x

dx=0

ax

11

12dx=

x12

144|0a

=a

12

144


31/31


0

e1

dx 0

ex1

dy 0

x +y+eln(zxy)

(xe )(x+ye)dz=

0

e1

dy 0

ex1

[(zxy ) ln (zxy )z(xe)(x+ye) ]|ex+y+ e

dy

0

e1

dy 0

ex1 (exy) [1ln(exy )](xe)(x+ye)

dy

0

e1

dx 0

ex11ln(exy )

(xe ) dy=

0

e1 (xe) ln (ex )+2(ex1)xe

dx

0

e1

(ln (ex )+2 2xe )dx=2e-1

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