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Derivadas. teoremas

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  • Derivadas y sus aplicaciones2 Bachillerato

  • Derivada de una funcin en un puntoSi el lmite existe y es finito, la derivada de f(x) en x=p esDef: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente lmite.

    f '(p) = EC \o\al(\s\do15(ho);lim \f(f(p+h) f(p);h))

  • Interpretacin geomtrica de la derivadaAl hacer que h 0, ocurrir que p + h tiende (se acerca) a p Q recorre la curva acercndose a PLa recta secante a la curva se convierte en la recta tangenteLa inclinacin de la recta secante tiende a la inclinacin de la recta tangente Si la funcin f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f en este punto es la derivada de f en p .

  • Ecuacin de la recta tangenteaf(a)Entonces: Pendiente de la tangente: mt = f '(a)

    Ecuacin de la recta tangente: t y f(a) = f '(a) (x a)Ecuacin de la recta que pasa por un punto A(a, b) y de pendiente m:y b = m (x a)

  • Ecuacin de la recta normalComo la tangente y la normal son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de signo. Entonces:

    Pendiente de la tangente: mt = f '(p) Ecuacin de la recta tangente: y f(p) = f '(p) (x a)

    Pendiente de la normal: mn = 1/f '(p)Ecuacin de la normal:y f(p) = [1/f '(p)] (x a)

    Ecuacin de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:y f(p) = m (x p)

  • Derivadas lateralesf '(a+) = tg > 0 f '(a) = tg < 0Por ser f '(a+) f '(a), f(x) no es derivable en el punto a.

  • TeoremaUna funcin derivable en un punto es continua en dicho punto.Demostracin: Queremos llegar al lmite de la funcin en el punto

  • Relacin continuidad y derivabilidad Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto= tg= tg

    f'(0) = EQ \o\al(\s\do17(h 0);lim \f(f(a + h) f(a);h)) = EQ \o\al(\s\do17(h 0);lim \f( h;h)) = 1

    f'(0+) = EQ \o\al(\s\do17(h 0+);lim \f(f(a + h) f(a);h)) = EQ \o\al(\s\do17(h 0+);lim \f(h;h)) = 1

  • Funcin derivada Derivada de f(x) = x2 en el punto 2: Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:Se dice que la funcin derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x Se llama funcin derivada de una funcin f(x) a la funcin f '(x) que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista. Para obtener la derivada en x

    f '(3) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(f(3 +h) f(3);h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f((3 + h)2 32;h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(h (h + 6); h )) = 6

    f '(x) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(f(x + h) f(x); h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f((x + h)2 x2; h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(h (h + 2x); h)) = 2x

    f '(2) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(f(2 +h) f(2);h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f((2 + h)2 22;h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(h (h + 4); h )) = 4

  • Mximos y mnimos relativosUna funcin f(x) tiene un mnimo (mximo) relativo en x = a si existe un intervalo abierto (a h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)
  • Derivada en un punto mximo o mnimo (Interpretacin geomtrica)Sea f(x) una funcin definida en el intervalo (a, b). Si la funcin alcanza un mximo o mnimo en un punto c (a, b) y es derivable en l, entonces f '(c) = 0Si la funcin es constanteentonces f '(c) = 0Si A es mximo, la tangenteen x = c es horizontal. Su pendiente es 0Si A es mnimo, la tangenteen x = c es horizontal. Su pendiente es 0f '(c) = 0

  • Monotona: crecimiento y decrecimiento en un intervalof(x)f(x+h)Funcin creciente en [a, b]f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0f(x)Funcin decreciente en [a, b]f(x) > f(x+h), (x, x+h) y h >0f(x+h)f (x) >0f (x) < 0

  • Derivadas y curvatura: concavidadLas pendientes de las tangentes aumentan f ' es creciente su derivada que es f debe ser f(x) > 0 funcin convexatg 1 < tg 2 f '(x1) < f '(x2)

  • Derivadas y curvatura: convexidadtg a1 > tg a2 f '(x1) > f '(x2)Las pendientes de las tangentes disminuyen f ' es decreciente su derivada que es f " debe ser negativa f (x) < 0 funcin cncava

  • Puntos de inflexinSon los puntos en los que la funcin cambia de curvatura