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2011Teoremas sobre ecuaciones polinomiales

Christiam Huertaswww.xhuertas.blogspot.com21/05/2011

TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES

Mathema

IntroduccinLa bsqueda de frmulas que permitan hallar las races de los polinomios fue un problema central del lgebra durante siglos. Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia (1499-1557), Cardano (1501-1576) mostraron como resolver ecuaciones de tercer grado, y Ferrari (1522-1565) encontr un mtodo para calcular las races de las ecuaciones de cuarto grado

del Ferro

Tartaglia

Cardano

FerrariProf.: Christiam Huertas 2

TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES

Mathema

El objetivo del lgebra clsica es expresar las races de la ecuacin de grado 0 en trminos de los coeficientes , , , , que pertenecen a un cuerpo . La resolucin de ecuaciones polinomiales es un tema que ha sido muy estudiado a lo largo de los aos a causa de las distintas aplicaciones, provenientes de diversas reas de la ciencia y de la tecnologa, en las que este tipo de ecuaciones aparecen.

Ordenador cunticoProf.: Christiam Huertas 3

TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES

Mathema

Ecuacin polinomial de grado superiorForma general + + = 0

donde 0 y 3. Ejemplos

2 + 2 = 0

4 + 5 16 + 4 = 0 8 + 8 = 0 4 + 4 = 0

factorizacin sobre ; aunque a veces no es muy sencillo.

Para resolver estas ecuaciones generalmente se utiliza las tcnicas de

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Mathema

Resuelva la ecuacin polinomial 2 + 2 = 0. Ejemplo 1. Solucin Factorizamos la ecuacin y obtenemos 2 + 2 = 0

1 2 1 = 0 1 2 = 0 CS = 1; 2; 2

1 2 + 2 = 0

= 1 = 2 = 2 son las soluciones de la ecuacin

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TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES

Mathema

Resuelva la ecuacin polinomial 4 + 5 16 + 4 = 0. Ejemplo 2. 4 + 5 16 + 4 = 0 4 0 1 4

Solucin Factorizamos la ecuacin por el mtodo de aspa doble especial.

; =

4 + 1 + 4 = 0 4 + 1 + 2 2 = 0 Aplicamos la frmula general

CS = 2 3,2 + 3 , 2,2

4 12 , = 2, = 2 2

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TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES

Mathema

Por ejemplo, la ecuacin + + 2 1 0 posee al menos una raz. Gauss en su disertacin doctoral (1799) dio la primera demostracin rigurosa del Teorema Fundamental del lgebra. DAlembert haba tratado de dar una demostracin en 1746.

Toda ecuacin polinomial de grado , con coeficientes complejos, posee al menos una raz compleja.

Teorema fundamental del lgebra

Gauss dio dos demostraciones ms. En la tercera prueba (1816) uso integrales complejas y mostro la gran maestra de Gauss en la teora de los nmeros complejos.Prof.: Christiam Huertas 7

TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES

Mathema

Toda ecuacin polinomial de grado con coeficientes complejos, tiene Corolario exactamente races contadas cada una de ellas segn lo indique su multiplicidad. 2 + 2 = 0 Tiene exactamente 3 races. + 1 = 0 Tiene exactamente 12 races. 4 + 5 16 + 4 = 0 Tiene exactamente 4 races. 8 + 8 = 0 Tiene exactamente 5 races. Ejemplos

Si la ecuacin polinomial = 0 tiene races , , , , ; entonces, la ecuacin Observacin. se puede expresar como: = = 0

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Mathema

La ecuacin de tercer grado: frmula de Cardano-TartagliaEl matemtico italiano Scipione del Ferro (14651526) resolvi la ecuacin general de grado 3, pero sus descubrimientos no fueron publicados. Otro matemtico italiano, Tartaglia (1499-1557), encontr un mtodo para resolver cualquier ecuacin cbica de la forma + + = 0

y sus resultados fueron publicados por Cardano (1501-1576) en su obra Ars Magna. La frmula se deduce de la siguiente manera. En primer lugar la ecuacin cubica 0 se puede llevar a una de la forma 0Prof.: Christiam Huertas 9

TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES

mediante la sustitucin = +

Mathema

La sustitucin anterior se llama de Tchirnhausen. Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (o Tschirnhausen) (1651-1708) fue un matemtico, fsico, mdico y filsofo alemn. Es bien conocida la transformacin de Tschirnhaus, mediante la cual eliminaba ciertos trminos intermedios de una ecuacin algebraica dada; fue publicada en su Acta Eruditorum en 1683. Por ejemplo, para la ecuacin 3 9 5 0 Hacemos el cambio de variable:

1 de donde, 1

Al reemplazar obtenemos: 6 2 0.Prof.: Christiam Huertas 10

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Mathema

Es decir; vamos a resolver la ecuacin

Sea = + y reemplacemos en la ecuacin Esto es,

Supongamos que las incgnitas y satisfacen adems la ecuacin 3 + = 0. Nuestro problema se reduce a encontrar y tales que + = = 27

+ + 3 + + + = 0

+ + + + = 0

+ + = 0

Como se conoce + y , sabemos que y son las races de la ecuacin cuadrticaProf.: Christiam Huertas 11

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Resolviendo la ecuacin se obtiene

y as llegamos a la frmula de Cardano:

= + + , 2 4 27

+ =0 27

Mathema

= + 2 4 27

= + + + + 2 2 3 2 2 3

Denotemos

es el discriminante de la ecuacin cubica + + = 0.Prof.: Christiam Huertas 12

= + 2 3

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Mathema

Sean

Luego, las tres races de la ecuacin + + = 0 estn dadas por = + = + = +

= + y = 2 2

donde = +

Dada la ecuacin + + = 0 donde y son nmeros reales. Propiedades i. ii. Si < 0, entonces, las tres races son reales y diferentes.

iii. Si > 0, entonces, una raz es real y las otras dos son imaginarias.

Si = 0, entonces, las tres races son reales y dos de ellas iguales.Prof.: Christiam Huertas 13

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Ejemplo. Resuelva la ecuacin cbica + 3 2 = 0.

Mathema

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Mathema

La ecuacin de cuarto gradoLa ecuacin de grado 4 fue resuelta por Ludovico Ferrari (15221565). Fue un estudioso de las matemticas que se dedicaba principalmente al estudio del lgebra, con lo que le lleg al descubrimiento de la resolucin algebraica de la ecuacin general de cuarto grado.

Lagrange encontr un mtodo distinto para resolver las ecuaciones de grado 2, 3 y 4, que no dependa de un cambio de variables con ciertas condiciones, sino que era el final de una sucesin de razonamientos ordenados y profundos que utilizaban la teora de los polinomios simtricos, la teora de las permutaciones de las races y la teora de las resolventes.Prof.: Christiam Huertas 15

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Mathema

Teorema de Cardano - Viette

Relaciona los coeficientes de una ecuacin polinomial con sus races. 1. Para una ecuacin cuadrtica. + + = 0 de races y . Suma de races

Producto de races

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Mathema

2. Para una ecuacin cbica.

Suma de races

+ + + = 0 de races ; y

Suma de productos binarios

= + + = = =

= + + =

Producto de races

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Mathema

Ejemplo 1. Dada la ecuacin 2 5 + 3 7 = 0. = + + = Entonces, 3 = + + = 2 7 7 = = = 2 2 5 5 = 2 2

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Mathema

3. Para una ecuacin curtica.

Suma de races

+ + + + = 0 de races ; ; y . = + + + =

Suma de productos binarios

Suma de productos ternarios

= + + + + + = = + + + = = =

Producto de races

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Mathema

Ejemplo

1. Si la ecuacin 12 5 = 0 tiene dos races que suman dos, calcule la suma de las inversas de las otras dos races. Sean las races ; ; y . Por dato, + = 2. Solucin Se pide calcular Por Cardano

= + + + = 0 + = 2 2

+

.

+ + + = 0 + +

= + + + + + = 0

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+ + 2 + = 0 + = 4

Mathema

= + + + = 12 2 + 2 = 12 + = 6 Sumando + = 12 + +

1 1 + 2 + = = 5 Prof.: Christiam Huertas 21

2 = 10 = 5

4. Para una ecuacin polinomial de grado .TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES

Mathema

Dada la ecuacin polinomial de grano

de races ; ; ; ; . Suma de races

= + + + + = 0

= + + + + = = + + + + =

Suma de productos binarios

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Mathema

Suma de productos ternarios

= + + + = = = 1

Producto de races

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Mathema

Teorema de paridad de racesTeorema 1. En toda ecuacin polinomial de coeficientes reales y grado 2, si una raz es = + , 0, entonces otra raz es = . Teorema 2. = + , entonces otra raz es = . (Se considera y ) Teorema 3. En toda ecuacin polinomial de coeficientes racionales y grado 2, si una raz es

En toda ecuacin polinomial de coeficientes racionales y grado 4, si una raz es = + ; con , y , entonces, = ; = + y = tambien son raices.Prof.: Christiam Huertas 24