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TEORÍA DE LAS ECUACIONES Página 173 TEOREMA DEL RESIDUO Sea P(x) un polinomio cualquiera. Entonces el residuo que se obtiene de dividir P(x) entre el binomio (x - r) es P(r). TEMA 8 TEORÍA DE LAS ECUACIONES En este tema se va a estudiar de manera breve un poco de la teoría sobre la resolución de ecua- ciones de grado superior a dos. Como se irá analizando sobre la marcha, está bastante restringido el tema, pues solamente se refiere a ciertas ecuaciones y a ciertas soluciones, no a todas. Para ello es necesario tener como antecedentes algunos teoremas y la división sintética. 1) TEOREMA DEL RESIDUO: Se utiliza para obtener de manera rápida el residuo de la división de un polinomio entre un binomio (x - r), sin hacer la división. Ejemplo 1: Encontrar el residuo que se obtiene al dividir 2x 4 - 5x 3 + 11x 2 - 20x + 5 entre x - 2. Solución: En este caso, P(x) = 2x 4 - 5x 3 + 11x 2 - 20x + 5 y (x - r) = (x - 2) , de donde se deduce que r = 2. Así que el residuo es

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  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 173

    TEOREMA DEL RESIDUO

    Sea P(x) un polinomio cualquiera. Entonces el residuo que se obtiene de dividirP(x) entre el binomio (x - r) es P(r).

    TEMA 8

    TEORA DE LAS ECUACIONES

    En este tema se va a estudiar de manera breve un poco de la teora sobre la resolucin de ecua-ciones de grado superior a dos. Como se ir analizando sobre la marcha, est bastante restringidoel tema, pues solamente se refiere a ciertas ecuaciones y a ciertas soluciones, no a todas.

    Para ello es necesario tener como antecedentes algunos teoremas y la divisin sinttica.

    1) TEOREMA DEL RESIDUO: Se utiliza para obtener de manera rpida el residuo de la divisinde un polinomio entre un binomio (x - r), sin hacer la divisin.

    Ejemplo 1: Encontrar el residuo que se obtiene al dividir 2x 4 - 5x 3 + 11x 2 - 20x + 5 entre x - 2.

    Solucin: En este caso, P(x) = 2x 4 - 5x 3 + 11x 2 - 20x + 5 y (x - r) = (x - 2) , de donde se deduce quer = 2. As que el residuo es

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 174

    P(2) = 2(2)4 - 5(2)3 + 11(2)2 - 20(2) + 5P(2) = 1

    El residuo es uno.

    COMPROBACIN: 3 2

    4 3 2

    4 3

    3 2

    3 2

    2

    2

    2 9 2

    2 2 5 11 20 52 4

    112

    9 209 18

    2 52 4

    1

    x x x

    x x x x xx x

    x xx x

    x xx x

    xx

    +

    + +

    +

    +

    +

    +

    +

    Ejemplo 2: Hallar el residuo que se obtiene al dividir 5x 4 + 6x 3 - 10x 2 + 20x + 15 entre x + 3.

    Solucin: En este caso, P(x) = 5x 4 + 6x 3 - 10x 2 + 20x + 15 y (x - r) = (x + 3) , de donde se deduce quer = - 3. As que el residuo es

    P(- 3) = 5(- 3)4 + 6(- 3)3 - 10(- 3)2 + 20(- 3) + 15P(- 3) = 108

    El residuo es 108.

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 175

    TEOREMA DEL FACTOR Y SU RECIPROCO

    Sea P(x) un polinomio cualquiera. Si r es raz de la ecuacin racional enteraP(x) = 0, entonces (x - r) es factor de P(x).

    Si (x - r) es factor de P(x) = 0, entonces r es raz de la ecuacin racional enteraP(x) = 0.

    EJERCICIO 19

    Encontrar el residuo que se obtiene de las siguientes divisiones, aplicando el teorema del residuo.

    1) (x4 + x3 - 7x2 - 5x + 2) (x - 5)2) (4x5 - 8x3 + 12x - 11) (x + 1)3) (2x4 - 12x3 + x2 + 21x - 34) (x - 6)4) (6x6 - 2x3 - 17x2 - 11) (x + 4)5) (3x4 + 2x3 + 17x2 - 55x - 21) (x - 9)6) (2x5 - 7x3 - 11x + 31) (x + 9)7) (7x4 - 10x3 - 3x2 + 29x - 44) (x - 10)8) (x6 + x5 - 7x3 - 7x2 - 31) (x + 8)

    2) TEOREMA DEL FACTOR Y SU RECIPROCO:

    Se trata de un teorema cuya demostracin o veracidad es muy directa y obvia. De hecho, sufundamentacin es el equivalente al inverso de la solucin de una ecuacin por el mtodo defactorizacin.

    Por ejemplo, para resolver la ecuacin x 2 + 3x - 4 = 0 por el mtodo de factorizacin se siguenestos pasos:

    1) x 2 + 3x - 4 = 02) Se factoriza: (x - 1)(x + 4) = 03) Se razona de la siguiente forma: Dos cantidades multiplicadas entre s dan cero solamente

    que por lo menos una de ellas sea cero. Dos cantidades diferentes de cero multiplicadasentre s nunca dan cero.

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 176

    Lo anterior implica que si el factor (x - 1) es igual a cero, la igualdad propuesta en laecuacin (x - 1)(x + 4) = 0 es cierta, porque cero por lo que sea da cero. Por lo tanto elsiguiente paso es igualar a cero dicho factor:

    x - 1 = 0de donde x1 = 1

    De igual forma, si el factor (x + 4) es igual a cero, la igualdad propuesta en la ecuacin(x - 1)(x + 4) = 0 es cierta. Por lo tanto el siguiente paso es igualar a cero dicho factor:

    x + 4 = 0de donde x2 = - 4

    El proceso inverso sera:

    1) Si x2 = - 4 , se afirma la existencia de una raz para la ecuacin x 2 + 3x - 4 = 0.

    2) Se construye con esa raz el factor (x + 4), a partir de que si x + 4 = 0 , la igualdad o ecua-cin original es igual a cero tambin.

    Ejemplo 3: Demostrar que (x + 1) es factor del polinomio x 3 + 3x 2 + 4x + 2.

    Solucin: Si (x + 1) es factor del polinomio, implica que x = - 1 es raz de la ecuacin racional enterax 3 + 3x 2 + 4x + 2 = 0 ; y si x = - 1 es raz de dicha ecuacin, entonces el residuo de la divi-sin de x 3 + 3x 2 + 4x + 2 entre (x + 1) debe ser cero, lo cual se puede probar con el teoremadel residuo:

    P(x) = x 3 + 3x 2 + 4x + 2P(- 1) = (- 1)3 + 3(- 1)2 + 4(- 1) + 2P(- 1) = - 1 + 3 - 4 + 2P(- 1) = 0

    Es decir, el residuo es cero y por lo tanto (x + 1) es factor.

    DIVISION SINTETICA

    Es un proceso mediante el cual se puede reducir considerablemente el trabajo realizado paraencontrar el cociente y el residuo que resultan al dividir un polinomio P(x) entre (x - r).

    Se deja como ejercicio de clase deducir los pasos de reduccin del proceso hasta llegar a laregla misma de la divisin sinttica, la cual es:

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 177

    REGLA DE LA DIVISIN SINTTICA

    Para dividir el polinomio P(x) entre x - r :

    1) Se escriben en el primer rengln los coeficientes de P(x) en el mismo ordenque las potencias decrecientes de x. Si falta una de stas se escribe cero enel lugar que le corresponde.

    2) Se sustituye el divisor (x - r) por + r y se escribe tambin en el primer ren-gln, a la derecha, separado por el signo .

    3) Se vuelve a escribir debajo de l mismo y en la tercera lnea, el coeficientede la mayor potencia de x (el de la izquierda) y se multiplica por r . El pro-ducto obtenido se coloca en la segunda lnea inmediatamente debajo delcoeficiente de x que sigue en orden, se suma con ste y el resultado se escri-be en la tercera lnea. La suma obtenida se multiplica por r y el productoobtenido se coloca en la segunda lnea debajo del coeficiente que sigue enorden y se suma con el mismo. Se contina con el procedimiento hasta obte-ner un producto que se suma al trmino constante.

    4) El ltimo nmero de la tercera lnea es el residuo y los otros, ledos de iz-quierda a derecha, son los coeficientes del cociente, cuyo grado es siempremenor en uno que el grado de P(x).

    Ejemplo 4: Obtener el cociente y el residuo, empleando la divisin sinttica, de la divisin del polinomio P(x) = 4x 3 + 2x 2 + 9x - 11 entre (x + 2) .

    Solucin: En este caso, r = - 2 .

    PASO 1: Se escriben en la primera lnea los coeficientes del polinomio P(x). A su derecha,

    en la misma lnea y separado por , se escribe el valor de + r . Se deja libre por el momen-to el segundo y el tercer renglones, separndolos con una lnea, como se muestra a continua-cin:

    + r

    ( )coeficientes de 4 2 9 11 2segundo rengln

    tercer rengln

    P x + + +

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 178

    PASO 2: Se reproduce el primer coeficiente en el tercer rengln y abajo de l mismo:

    4 2 9 11 2

    4

    + +

    PASO 3: Se multiplica el coeficiente 4 escrito en el tercer rengln por - 2 y el producto seescribe en el segundo rengln, exactamente abajo del siguiente coeficiente del polinomioP(x):

    4 2 9 11 2

    8

    4

    + +

    se suman

    PASO 4: Se suman y el resultado se escribe abajo en el tercer rengln:

    4 2 9 11 2

    8

    4 6

    + +

    PASO 5: Se multiplica el - 6 obtenido en el paso anterior por - 2 y se repite todo el procesohasta terminar con todos los coeficientes de P(x):

    residuo

    coeficientesdel cociente

    4 2 9 11 2

    8 12 42

    4 6 21 53

    + +

    +

    +

    El ltimo nmero de la derecha obtenido en el tercer rengln es el residuo de la divisin. Losotros nmeros del tercer rengln, ledos de izquierda a derecha son los coeficientes del co-ciente, es decir, el cociente es 4x 2 - 6x + 21 y el residuo es - 53 .

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 179

    Ejemplo 5: Obtener el cociente y el residuo, empleando la divisin sinttica, de la divisin del polinomio P(x) = 5x 4 - 63x 2 + 8x - 11 entre (x - 4) .

    Solucin: En este caso, r = + 4 .

    Mecanizando el proceso, lo que se obtiene se muestra a continuacin:

    residuo

    coeficientesdel cociente

    5 0 63 8 11 4

    20 80 68 304

    5 20 17 76 293

    + +

    + + + +

    + + + +

    El cociente es: 5x 3 + 20x 2 + 17x + 76el residuo es: + 293

    EJERCICIO 20

    Encontrar el cociente y el residuo que se obtiene de las siguientes divisiones, aplicando divisin sinttica.

    1) (x4 + x3 - 7x2 - 5x + 2) (x - 5)2) (4x5 - 8x3 + 12x - 11) (x + 1)3) (2x4 - 12x3 + x2 + 21x - 34) (x - 6)4) (6x6 - 2x3 - 17x2 - 11) (x + 4)5) (3x4 + 2x3 + 17x2 - 55x - 21) (x - 9)6) (2x5 - 7x3 - 11x + 31) (x + 9)7) (7x4 - 10x3 - 3x2 + 29x - 44) (x - 10)8) (x6 + x5 - 7x3 - 7x2 - 31) (x + 8)

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 180

    RAICES RACIONALES DE UNA ECUACION RACIONAL ENTERA

    El estudio de las ecuaciones al que se refiere este tema, como se dijo al inicio, est bastanterestringido, ya que solamente se refiere a ciertas ecuaciones y a ciertas soluciones, no a todas. Unade las limitantes es que las soluciones que se pueden encontrar por el mtodo que un poco msadelante se va a detallar solamente son racionales. El presente mtodo no localiza races que seannmeros irracionales o complejos.

    Para establecer los pasos a seguir en la localizacin de races en una ecuacin polinomial, esnecesario introducir dos conceptos.

    Sea la ecuacin polinomial , es decir, a0 repre-1 2

    0 1 2 1... 0n n n

    n na x a x a x a x a

    + + + + + =senta el coeficiente de la mayor potencia de x y an representa el coeficiente del trmino indepen-diente. Entonces se tiene que:

    1) POSIBLES RACES: Las posibles races racionales de una ecuacin racional entera o polino-mial tienen como numerador a un factor de an y como denominador a un factor de a0 .

    Significa que si la ecuacin tiene races racionales, sern algunas de las que se enlisten comoposibles, ninguna otra.

    Ejemplo 1: Enlistar las posibles races de la ecuacin 2x 4 - 5x 3 - 13x 2 + x + 6 = 0 .

    Solucin: Factores del numerador: 1 , 2 , 3 y 6 (factores de 6).Factores del denominador: 1 y 2 (factores de 2).

    Las posibles races son todas las fracciones que se puedan obtener combinando todos losposibles numeradores con todos los posibles denominadores. Son:

    1 , 2 , 3 , 6 (con denominador 1)

    (con denominador 2)1 3,2 2

    Ntese que en los que contienen denominador 2 no aparecen las combinaciones que tienennumerador 2 y 6, ya que equivalen a un entero y tres enteros respectivamente, que ya estabanenlistados.

    Ejemplo 2: Enlistar las posibles races de la ecuacin 6x 4 - 5x 3 - 13x 2 + x + 10 = 0 .

    Solucin: Factores del numerador: 1 , 2 , 5 y 10 (factores de 10).Factores del denominador 1 , 2 , 3 y 6 (factores de 6).

    Las posibles races son todas las fracciones que se puedan obtener combinando todos losposibles numeradores con todos los posibles denominadores. Son:

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 181

    1 , 2 , 5 , 10 (con denominador 1)

    (con denominador 2)1 5,2 2

    (con denominador 3)1 2 5 10, , ,3 3 3 3

    (con denominador 6)1 5,6 6

    Ntese que en los que contienen denominador 2 y denominador 6 no aparecen las combina-ciones que tienen numerador 2 y 10, ya que equivalen a fracciones simplificadas que ya esta-ban enlistados.

    2) ECUACION DEGRADADA: La Ecuacin degradada es la que se obtiene de igualar a cero elcociente de la divisin del polinomio P(x) entre (x - r) , donde r es una raz encontrada.

    Se emplea la ecuacin degradada una vez obtenida una raz, en virtud de que, por los teoremasdel residuo y del factor, si r es raz de la ecuacin polinomial P(x) = 0 , significa que (x - r)es un factor del polinomio P(x) , o sea que el residuo de la divisin de P(x) (x - r) es iguala cero.

    En otras palabras, P(x) = (x - r) Q(x) , en donde Q(x) es el cociente.

    Si P(x) = 0 , entonces es lo mismo que (x - r) Q(x) = 0 . Y por el razonamiento del mtodo defactorizacin de las ecuaciones, si dos cantidades multiplicadas dan cero, implica que por lomenos una de ellas sea cero. As que se puede hacer Q(x) = 0 para que se cumpla la ecuacinoriginal.

    Ejemplo 1: Hallar la ecuacin degradada de la ecuacin 5x 4 - 12x 3 + 8x 2 - 11x + 6 = 0 , sabiendo quex = 2 es una raz.

    Solucin: Realizando la divisin de 5x 4 - 12x 3 + 8x 2 - 11x + 6 (x - 2) , por divisin sinttica se ob-tiene que

    El cociente es Q(x) = 5x 3 - 2x 2 + 4x - 3 . Como el residuo es cero, significa que

    5x 4 - 12x 3 + 8x 2 - 11x + 6 = (x - 2)(5x 3 - 2x 2 + 4x - 3)

    Como est igualada a cero, entonces la ecuacin original puede escribirse tambin como

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 182

    PASOS GENERALES PARA LOCALIZAR LAS RACES RACIONALES DEUNA ECUACIN POLINOMIAL:

    1) Se enlistan todas las posibles races.

    2) Se ensaya por divisin sinttica una a una las posibles races, hasta que elresiduo sea cero. Por el teorema del residuo y del factor, sa ser una raz.

    3) Una vez localizada una raz, se contina ensayando con la ecuacin degrada-da hasta localizar la siguiente raz de la ecuacin.

    4) Se contina as hasta llegar a una ecuacin de segundo grado, la que se re-suelve por la frmula general.

    5) Toda posible raz que haya salido que no es raz en la divisin sinttica, tam-poco lo ser en la ecuacin degradada; en cambio, cualquier raz que ya hayasalido, puede volver a serlo en la ecuacin degradada.

    (x - 2)(5x 3 - 2x 2 + 4x - 3) = 0

    De manera que por el razonamiento del mtodo de factorizacin de las ecuaciones, si doscosas multiplicadas dan cero implica que al menos una de ellas sea cero. Si el primer factores igual a cero, es decir que x - 2 = 0 , se obtiene la raz propuesta desde el enunciado; perotambin el segundo factor puede ser igual a cero y de all salen las dems races.

    As que la ecuacin degradada es

    5x 3 - 2x 2 + 4x - 3 = 0

    PROCESO GENERAL

    De manera muy general, sin manejar todava algunos detalles, el proceso para localizar lasraces racionales de una ecuacin polinomial es el siguiente:

    Ejemplo 1: Localizar las races racionales de la ecuacin 2x 3 + 3x 2 - 8x - 12 = 0 .

    Solucin: Las posibles races son

    1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 (con denominador 1)

    (con denominador 2)1 3,2 2

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 183

    Se ensayan por divisin sinttica una por una las posibles races, hasta que el residuo seaigual a cero. Hacindolo, por ejemplo, con + 1 :

    Como el residuo es - 15 , es decir, no es igual a cero, significa que x = 1 no es raz de laecuacin. Debe ensayarse con otra de las posibles races, por ejemplo con 2:

    Como el residuo es cero, significa que x = 2 es una raz y adems (x - 2) es un factor de. El otro factor es el cociente obtenido en la divisin, el cual es3 22 3 8 12x x x+

    . Es decir,22 7 6x x+ +

    2x 3 + 3x 2 - 8x - 12 = (x - 2)(2x 2 + 7x + 6) = 0

    por lo que se puede afirmar que 2x 2 + 7x + 6 = 0 (que es igual a cero). Esta es la ecuacindegradada y a partir de este momento con ella se seguir trabajando. Pero como ya es unaecuacin de segundo grado, ya se puede utilizar la frmula general:

    2 42

    b b acxa

    =

    27 7 4 (2)(6)2(2)

    x

    =

    7 49 484

    x =

    7 14

    x =

    23

    2x =

    x3 = - 2

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 184

    Las tres races son: x1 = 2 ; ; x3 = - 2232

    x =

    Ntese que las tres races pertenecen al enlistado inicial que se hizo de las posibles races.

    Ejemplo 2: Localizar las races racionales de la ecuacin 6x 4 - 5x 3 - 39x 2 - 4x + 12 = 0 .

    Solucin: Las posibles races son

    1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 (con denominador 1)

    (con denominador 2)1 3,2 2

    (con denominador 3)1 2 4, ,3 3 3

    (con denominador 6)16

    Se ensayan por divisin sinttica una por una las posibles races, hasta que el residuo seaigual a cero. Hacindolo, por ejemplo, con + 1 :

    Como el residuo es - 30 , es decir, no es igual a cero, significa que x = 1 no es raz de laecuacin. Debe ensayarse con otra de las posibles races, por ejemplo con 3:

    Como el residuo es cero, significa que x = 3 es una raz y adems (x - 3) es un factor de. El otro factor es el cociente obtenido en la divisin, el cual4 3 26 5 39 4 12x x x x +

    es 6x 3 + 13x 2 - 4 . Es decir,

    6x 4 - 5x 3 - 39x 2 - 4x + 12 = (x - 3)(6x 3 + 13x 2 - 4) = 0

    por lo que se puede afirmar que 6x 3 + 13x 2 - 4 = 0 (que es igual a cero). Esta es la ecuacindegradada y a partir de este momento con ella se seguir trabajando. Se vuelven a realizarensayos por divisin sinttica, en donde hay que considerar que x = 1 ya no puede ser raz

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 185

    porque no lo fue anteriormente, en cambio, x = 3 s puede volver a serlo. Ensayando porejemplo con - 1 :

    Como el residuo es + 3 , es decir, no es igual a cero, significa que x = - 1 no es raz de laecuacin. Debe ensayarse con otra de las posibles races, por ejemplo con - 2:

    Como el residuo es cero, significa que x = - 2 es una raz y adems (x + 2) es un factor de. El otro factor es el cociente obtenido en la divisin, el cual es3 26 13 4x x+

    . Es decir,26 2x x+

    6x 3 + 13x 2 - 4 = (x + 2)(6x 2 + x - 2) = 0

    por lo que se puede afirmar que 6x 2 + x - 2 = 0 (que es igual a cero). Esta es la ecuacindegradada y a partir de este momento con ella se seguir trabajando. Pero como ya es unaecuacin de segundo grado, ya se puede utilizar la frmula general:

    2 42

    b b acxa

    =

    21 1 4(6)( 2)2(6)

    x

    =

    1 712

    x =

    323

    x =

    412

    x =

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 186

    Las cuatro races son: x1 = 3 ; x2 = - 2 ; ; 323

    x = 412

    x =

    Ejemplo 3: Localizar las races racionales de la ecuacin 9x 4 - 30x 3 + 13x 2 + 20x + 4 = 0 .

    Solucin: Las posibles races son

    1 , 2 , 4 (con denominador 1)

    (con denominador 3)1 2 4, ,3 3 3

    (con denominador 9)1 2 4, ,9 9 9

    Se ensayan por divisin sinttica una por una las posibles races, hasta que el residuo seaigual a cero. Hacindolo, por ejemplo, con + 2 :

    Como el residuo es cero, significa que x = 2 es una raz y adems (x - 2) es un factor de. El otro factor es el cociente obtenido en la divisin, el cual4 3 29 30 13 20 4x x x x + + +

    es 9x 3 - 12x 2 - 11x - 2 . Es decir,

    9x 4 - 30x 3 + 13x 2 + 20x + 4 = (x - 2)(9x 3 - 12x 2 - 11x - 2) = 0

    por lo que se puede afirmar que 9x 3 - 12x 2 - 11x - 2 = 0 (que es igual a cero). Esta es laecuacin degradada y recordar que a partir de este momento con ella se seguir trabajando.Se vuelven a realizar ensayos por divisin sinttica, en donde hay que considerar que 2x =s puede volver a ser raz. Ensayando entonces de nuevo con 2 :

    Como el residuo es cero, significa que x = 2 es una raz y adems (x - 2) es un factor de

    . El otro factor es el cociente . Es decir,3 29 12 11 2x x x 29 6 1x x+ +

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 187

    9x 3 - 12x 2 - 11x - 2 = (x - 2)(9x 2 + 6x + 1) = 0

    por lo que se puede afirmar que 9x 2 + 6x + 1 = 0 (que es igual a cero). Esta es la ecuacindegradada y a partir de este momento con ella se seguir trabajando. Pero como ya es unaecuacin de segundo grado, ya se puede utilizar la frmula general:

    2 42

    b b acxa

    =

    26 6 4 (9) (1)2 (9)

    x

    =

    6 36 3618

    x

    =

    6 018

    x =

    36 018

    x +=

    313

    x =

    46 018

    x =

    413

    x =

    Las cuatro races son: x1 = 2 ; x2 = 2 ; ; 313

    x = 413

    x =

    Ntese que se trata de un caso de races repetidas.

    Ejemplo 4: Localizar las races racionales de la ecuacin 9x 3 - 24x 2 + 14x - 4 = 0 .

    solucin: Las posibles races son

    1 , 2 , 4 (con denominador 1)

    (con denominador 3)1 2 4, ,3 3 3

    (con denominador 9)1 2 4, ,9 9 9

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 188

    Se ensayan por divisin sinttica una por una las posibles races, hasta que el residuo seaigual a cero. Hacindolo, por ejemplo, con + 2 :

    Como el residuo es cero, significa que x = 2 es una raz y adems (x - 2) es un factor de. El otro factor es el cociente obtenido en la divisin, el cual es3 29 24 14 4x x x +

    . Es decir,29 6 2x x +

    9x 3 - 24x 2 + 14x - 4 = (x - 2)(9x 2 - 6x + 2) = 0

    por lo que se puede afirmar que 9x 2 - 6x + 2 = 0 (que es igual a cero). Esta es la ecuacindegradada y a partir de este momento con ella se seguir trabajando. Pero como ya es unaecuacin de segundo grado, ya se puede utilizar la frmula general:

    2 42

    b b acxa

    =

    26 6 4 (9) (2)2 (9)

    x

    =

    6 3618

    x

    =

    Como la raz cuadrada es negativa, las races de la ecuacin sern complejas. De manera quepor lo visto en el tema 5 de nmeros complejos, se tiene que:

    6 36 118

    x

    =

    6 618

    ix =

    ( )6 118

    ix

    =

    13

    ix =

    1 13 3

    x i=

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 189

    21 13 3

    x i= +

    31 13 3

    x i=

    Las tres races son: x1 = 2

    21 13 3

    x i= +

    31 13 3

    x i=

    Ntese que la primera raz pertenece al enlistado inicial que se hizo de las posibles races,las otras dos no, ya que son complejas y realmente no se obtuvieron por este mtodo, sinopor la frmula general. Conviene recordar que este mtodo de races racionales solamenteproporciona soluciones en el campo de los nmeros racionales, es decir, reales, pero no com-plejas.

    COTAS

    Como se puede ver, el trabajo de calcular las races racionales de una ecuacin polinomial esbastante laborioso. Con la intencin de reducir un poco ese trabajo, algunos Matemticos se handado a la tarea de investigar la manera de "cercar" lo ms posible las races, que no es otra cosaque tratar de eliminar de la lista de posibles races las ms que se puedan que no lo sean, paraevitar clculos intiles. Las cotas son eso.

    Encontrar cotas es definir un rango de valores entre los cuales estn todas las races reales deuna ecuacin polinomial, de tal manera que toda posible raz que quede afuera de ese rango, auto-mticamente queda eliminada.

    MTODO DE LA RAZ

    Sea la ecuacin polinomial con 0 1 1( ) 1 + ... 0n nf x a x a x a x a= + + + = 0 0a >y sean

    k = Diferencia entre el grado n de la ecuacin y el exponente de la mxima potenciade x que tenga coeficiente negativo.

    G = Mximo valor absoluto de los coeficientes negativos de la ecuacin f(x).U = Cota superior.L = Cota inferior.

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 190

    Entonces una cota superior U r es

    0

    1 krGUa

    = +

    La cota inferior se obtiene repitiendo el proceso anterior con la ecuacin f(- x) = 0 , dondetambin debe cumplirse que a0 > 0 . Si U 'r es la cota superior de f(- x) = 0 , entonces la cotainferior de f(x) = 0 es L r = - U 'r .

    MTODO DE LAS FRACCIONES

    Se construyen todas las fracciones posibles que tengan por numerador respectivamente el valorabsoluto de cada coeficiente negativo de f(x) = 0 y por denominador la suma de todos los coefi-cientes positivos que lo preceden. Agrguese 1 a la mayor fraccin as obtenida y sa ser cotasuperior U f .

    La cota inferior se obtiene repitiendo el proceso anterior con la ecuacin f(- x) = 0 , dondetambin debe cumplirse que a0 > 0 . Si U'f es la cota superior de f(- x) = 0 , entonces la cota infe-rior de f(x) = 0 es Lf = - U'f .

    A veces, pero no siempre, coinciden las cotas obtenidas por un mtodo con las del otro. Cuandono coinciden deben seleccionarse las mejores cotas.

    Ejemplo 1: Hallar las mejores cotas para la ecuacin x 4 - 14x 3 + 51x 2 - 14x - 80 = 0 .

    Solucin: Hacindolo por el mtodo de la raz:

    En este caso se tiene:

    f(x) = x 4 - 14x 3 + 51x 2 - 14x - 80a 0 = 1n = 4k = 4 - 3 = 1G = 80

    sustituyendo en la frmula

    0

    1 krGUa

    = +

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 191

    1 8011r

    U = +

    U r = 1 + 80U r = 81

    Para obtener la cota inferior, se construye la ecuacin f(- x) = 0 , que no es otra cosa quesustituir la x por - x en la ecuacin original. Hacindolo:

    f(- x) = (- x)4 - 14(- x)3 + 51(- x)2 - 14(- x) - 80 = 0f(- x) = x 4 + 14x 3 + 51x 2 + 14x - 80 = 0

    y repitiendo el procedimiento de cota superior, ahora con

    a 0 = 1n = 4k = 4 - 0 = 4G = 80

    sustituyendo en la frmula

    0

    ' 1 krGUa

    = +

    4 80' 11r

    U = +

    U'r = 1 + 2.990697562U'r = 3.990697562

    De modo que la cota inferior para f(x) = 0 es

    Lr = - 3.990697562

    Hacindolo ahora por el mtodo de las fracciones. Las fracciones que se pueden construirtomando como numerador cada coeficiente negativo (en valor absoluto) y como denomina-dor la suma de los coeficientes positivos que le anteceden, son

    1 4 1 4 8 0, ,1 1 5 1 1 5 1+ +

    La mayor fraccin as obtenida es . 141

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 192

    Entonces una cota superior es dicha fraccin ms uno, es decir

    U f = 1 + 14 = 15U f = 15

    Para obtener la cota inferior, se construye la ecuacin f(- x) = 0 , que no es otra cosa quesustituir la x por - x en la ecuacin original. Hacindolo:

    f(- x) = (- x)4 - 14(- x)3 + 51(- x)2 - 14(- x) - 80 = 0f(- x) = x 4 + 14x 3 + 51x 2 + 14x - 80 = 0

    y repitiendo el procedimiento de cota superior, se construyen ahora las fracciones

    8 0 8 01 1 4 5 1 1 4 8 0

    =+ + +

    La mayor fraccin as obtenida, por ser la nica, es . Entonces una cota superior para8080

    f(- x) = 0 es dicha fraccin ms uno, es decir

    U 'f = 1 + 1 = 2

    De modo que la cota inferior para f(x) = 0 es

    L r = - 2

    Lo que resta es comparar las cotas obtenidas por uno y otro mtodo y seleccionar las mejo-res.

    MTODO DE LA RAZ MTODO DE LAS FRACCIONES

    U r = 81

    L r = - 3.99069

    U f = 15

    L f = - 2

    Las mejores cotas son

    U = 15L = - 2

    lo que significa que las races reales de la ecuacin x 4 - 14x 3 + 51x 2 - 14x - 80 = 0 estnentre - 2 y 15 .

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 193

    Ejemplo 2: Hallar las mejores cotas para la ecuacin 2x 5 + x 4 - 11x 3 + 25x 2 - 34x - 8 = 0 .

    Solucin: Hacindolo por el mtodo de la raz:

    En este caso se tiene:

    f(x) = 2x 5 + x 4 - 11x 3 + 25x 2 - 34x - 8a 0 = 2n = 5k = 5 - 3 = 2G = 34

    sustituyendo en la frmula

    0

    1 krGUa

    = +

    2 3412r

    U = +

    U r = 1 + 4.123105626U r = 5.123105626

    Para obtener la cota inferior, se construye la ecuacin f(- x) = 0 , que no es otra cosa quesustituir la x por - x en la ecuacin original. Hacindolo:

    f(- x) = 2(- x)5 + (- x)4 - 11(- x)3 + 25(- x)2 - 34(- x) - 8 = 0f(- x) = - 2x 5 + x 4 + 11x 3 + 25x 2 + 34x - 8 = 0

    Como es necesario que a 0 sea positivo, basta multiplicar por (- 1) toda la ecuacin, o lo quees lo mismo, cambiarle de signo, aplicando la ley uniforme o de las igualdades. Hacindoloresulta:

    2x 5 - x 4 - 11x 3 - 25x 2 - 34x + 8 = 0

    y repitiendo el procedimiento de cota superior, ahora con

    a 0 = 2n = 5k = 5 - 4 = 1G = 34

    sustituyendo en la frmula

    0

    1 krGUa

    = +

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 194

    1 34 12r

    U = +

    U'r = 1 + 17U'r = 18

    De modo que la cota inferior para f(x) = 0 es

    Lr = - 18

    Hacindolo ahora por el mtodo de las fracciones. Las fracciones que se pueden construirtomando como numerador cada coeficiente negativo (en valor absoluto) y como denomina-dor la suma de los coeficientes positivos que le anteceden, son

    11 34 8, ,2 1 2 1 25 2 1 25+ + + + +

    La mayor fraccin as obtenida es . 113

    3666666= .

    Entonces una cota superior es dicha fraccin ms uno, es decir

    Uf = 1 + 3.666666 = 4.66666666Uf = 4.66666666

    Para obtener la cota inferior, se construye la ecuacin f(- x) = 0 , que no es otra cosa quesustituir la x por - x en la ecuacin original. Hacindolo:

    f(- x) = 2(- x)5 + (- x)4 - 11(- x)3 + 25(- x)2 - 34(- x) - 8 = 0f(- x) = - 2x 5 + x 4 + 11x 3 + 25x 2 + 34x - 8 = 0

    Como es necesario que a 0 sea positivo, basta multiplicar por (- 1) toda la ecuacin, o lo quees lo mismo, cambiarle de signo, aplicando la ley uniforme o de las igualdades. Hacindoloresulta:

    2x 5 - x 4 - 11x 3 - 25x 2 - 34x + 8 = 0

    y repitiendo el procedimiento de cota superior, se construyen ahora las fracciones

    12

    112

    252

    342

    , , ,

    La mayor fraccin as obtenida es . 342

    17=

    Entonces una cota superior para f(- x) = 0 es dicha fraccin ms uno, es decir

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 195

    U'f = 1 + 17= 18

    De modo que la cota inferior para f(x) = 0 es

    L r = - 18

    Lo que resta es comparar las cotas obtenidas por uno y otro mtodo y seleccionar las mejo-res.

    MTODO DE LA RAZ MTODO DE LAS FRACCIONES

    U r = 5.123105626

    L r = - 18

    U f = 4.66666666

    L f = - 18

    Las mejores cotas son

    U = 4.6666666L = - 18

    que significa que las races reales de la ecuacin 2x 5 + x 4 - 11x 3 + 25x 2 - 34x - 8 = 0 estnentre - 18 y 4.666666 .

    Algunas consideraciones prcticas son:

    1) En los ejemplos anteriores, comprense las ecuaciones f(x) = 0 con los resultados obtenidosal calcular f(- x) = 0 . En la siguiente tabla se muestran:

    EN EL PRIMER EJEMPLO EN EL SEGUNDO EJEMPLO

    f(x) x 4 - 14x 3 + 51x 2 - 14x - 80 = 0 2x 5 + x 4 - 11x 3 + 25x 2 - 34x - 8 = 0

    f( - x ) x 4 + 14x 3 + 51x 2 + 14x - 80 = 0 2x 5 - x 4 - 11x 3 - 25x 2 - 34x + 8 = 0

    Se nota que los trminos colocados en lugar non, ledos de izquierda a derecha, conservaronsu signo, mientras que los situados en lugar de orden par lo cambiaron. Esa es una regla prcti-ca para obtener f(- x) = 0 .

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 196

    2) La ecuacin f(x) = 0 no tiene races positivas si todos los coeficientes son positivos, lo queimplica que todas sus races o son cero o son negativas, ya que si alguna fuera positiva, al susti-tuir en la ecuacin se obtendra una suma de trminos todos positivos y eso jams dara cero.Por una razn similar, la ecuacin f(x) = 0 no tiene races negativas si los coeficientes sonalternadamente positivos y negativos, lo que implica que todas sus races o son cero o son posi-tivas, ya que al hacer f(- x) = 0 , por lo dicho renglones arriba, solo se cambian de signo lostrminos colocados en 2, 4, 6, etc., lugares que corresponden justamente a los negativos de

    , volvindose as todos positivos.( ) 0f x =

    EJERCICIO 21

    Encontrar las races racionales y/o reales de las siguientes ecuaciones:

    1) 2x3 + x2 - 4x - 3 = 02) 6x3 + 19x2 - 19x + 4 = 03) 6x3 + 17x2 + 4x - 12 = 04) 27x3 - 27x2 + 9x - 1 = 05) 4x3 + x2 + 9x - 9 = 06) 3x3 + 8x2 + 19x + 10 = 07) 6x3 - 5x2 + 35x + 6 = 08) 2x4 + 3x3 - 3x2 - 7x - 3 = 09) 6x4 + 31x3 + 19x2 - 34x + 8 = 010) 6x4 + 47x3 + 89x2 + 8x - 60 = 011) 16x4 - 8x3 + 33x2 - 63x + 27 = 012) 9x4 + 30x3 + 73x2 + 68x + 20 = 0

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 197

    FACTORIZACIN

    Pueden utilizarse los teoremas vistos al inicio de este tema y los mtodos de resolucin de ecua-ciones para encontrar la factorizacin del polinomio f(x) , considerando que si x = c es una razde la ecuacin f(x) = 0 , entonces (x - c) es un factor de dicha ecuacin.

    nicamente debe tenerse cuidado de que el producto de los primeros trminos de cada factord exactamente el primer trmino del polinomio f(x) . En caso de que no sea as significa que hacefalta agregarle el factor numrico que los iguales. Dicho factor numrico debe "distribuirse" entretodos aquellos que contengan fracciones para eliminarlas.

    Esa diferencia se debe a que originalmente se tiene el polinomio f(x) sin igualar a cero ni anada, ya que no tiene por qu estarlo, es simplemente un polinomio, es decir, no es ecuacin, ypara encontrar sus factores se iguala arbitrariamente a cero para construir una ecuacin que coinci-da con el polinomio y aplicarle las tcnicas y teoremas vistos. El polinomio original f(x) no sepuede multiplicar por ninguna cantidad porque se altera, ya que no est igualado a nada, en cambiola ecuacin f(x) = 0 s se puede multiplicar aplicando la ley uniforme o ley de las igualdades.

    Ejemplo 1: Factorizar 6x 3 - 29x 2 - 62x + 120 .

    Solucin: Ntese que el enunciado no hace referencia a ninguna ecuacin, simplemente al polinomio6x 3 - 29x 2 - 62x + 120 . No es una igualdad, simplemente es una expresin algebraica.

    El procedimiento para factorizar es tratar a f(x) como ecuacin, es decir, igualndola a ceroy aplicndole todos los conceptos antes vistos.

    As que considrese la ecuacin 6x 3 - 29x 2 - 62x + 120 = 0 .

    Las cotas son U = 11.33 y L = - 4.42 ; se deja como ejercicio al alumno que las obtengaaplicando los mtodos de la raz y de las fracciones vistas en las pginas 189 y 190.

    Las posibles races, considerando las cotas, son:

    1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10

    +12

    32

    52

    152

    , , ,

    +13

    23

    43

    53

    83

    103

    203

    , , , , , ,

    16

    56

    ,

    Luego de ensayar con algunos valores se llega a

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 198

    La primera raz de la ecuacin es x 1 = 6 .

    De la ecuacin degradada 6x 2 + 7x - 20 = 0 , se obtiene que

    ( ) ( )( )

    27 7 4 6 202 6

    x

    =

    7 49 48012

    x +

    =

    7 2312

    x =

    243

    x =

    352

    x =

    Las races de la ecuacin son

    x 1 = 6

    243

    x =

    352

    x =

    Por el teorema de la raz, los factores de la ecuacin son

    ( ) 4 56 03 2

    x x x + =

    que es equivalente a 6x 3 - 29x 2 - 62x + 120 = 0 .

    Sin embargo (no son iguales),

    ( )3 2 4 56 29 62 120 6 03 2

    x x x x x x + + =

  • TEORA DE LAS ECUACIONES Pgina 199

    Puede comprobarse fcilmente que no son iguales ya que si multiplican los primeros trmi-nos de los tres factores, se obtiene x 3 , pero no 6x 3 como est en la ecuacin equivalente.

    Lo mismo puede hacerse con los trminos independientes, en donde si se multiplican

    ( ) 4 563 2

    no se obtiene + 120 que es el trmino independiente de la otra expresin.

    Debe tenerse mucho cuidado y entenderse que las dos ecuaciones anteriores, la factorizaday la no factorizada, son equivalentes porque al estar igualadas a cero se puede aplicar la leyuniforme o de las igualdades "lo que se haga de un lado de una igualdad debe hacerse delotro lado", de manera que lo que realmente se hizo fue dividir entre seis a la ecuacin origi-nal factorizada.

    Este es el detalle fundamental en el proceso de factorizacin por este mtodo. El error quesuele cometer el estudiante es afirmar que

    ( )3 2 4 56 29 62 120 63 2

    x x x x x x + = +

    cuando realmente no son iguales ambas expresiones por lo que se acaba de mencionar.

    Para que s sean iguales debe descubrirse qu factor le hace falta al producto de los primerostrminos de la factorizacin para que d el primer trmino de la no factorizada, y agregarlo.En este caso, lo que hace falta es multiplicar por seis. De manera que

    ( )3 2 4 56 29 62 120 6 63 2

    x x x x x x + = +

    s es ya realmente igual, ya que al multiplicar (x)(x)(x) por el seis agregado ahora s da el

    original del primer trmino. 36x

    Y tambin al multiplicar por el 6 agregado se obtiene + 120.( ) 4 56 3 2

    Lo nico que resta por hacer es "distribuir" ese seis agregado en los factores que tienen frac-cin para que desaparezcan. En este caso, ese seis agregado es igual a tres por dos. El treses para el segundo factor que tiene un denominador tres, mientras que el dos es para el tercerfactor que tiene un denominador dos, de la siguiente forma:

  • TEMAS SELECTOS DE MATEMTICASPgina 200

    3 26 29 62 120 ( 6)(3 4)(2 5)x x x x x x + = +

    Esto ltimo es la factorizacin correcta de la expresin polinomial original. Obsrvese quela multiplicacin de los primeros trminos (x)(3x)(2x) s da ahora 6x 3 , lo mismo que la delos trminos independientes (- 6)(- 4)(5) da 120 . De hecho, puede comprobarse fcilmentehaciendo toda la multiplicacin.

    FACTORES IRREDUCTIBLES

    En este ltimo tema de factorizacin es conveniente saber que algunos factores de segundogrado son reductibles y otros no. Reductible significa que se pueden reducir a dos o ms por facto-rizacin, es decir, que son factorizables.

    Los factores de segundo grado que son irreductibles (no reductibles) son aquellos que tratados

    como ecuacin de segundo grado dan negativa la raz cuadrada de la correspondiente2 4b ac

    frmula conocida .2 4

    2b b acx

    a

    =

    Por ejemplo, 3x 2 - 2x + 23 es irreductible, ya que tratado con la frmula general de las ecuacio-nes de segundo grado, el radical da negativo. Se deja al alumno que lo practique y lo compruebe.

    EJERCICIO 22

    Factorizar los siguientes polinomios dentro del campo de los nmeros reales. Si al llegar a la ecuacin de segundogrado la raz cuadrada resulta negativa, significa que no se puede factorizar dentro de los nmeros reales y ese polino-mio de segundo grado es ya un factor.

    1) 9x3 - 39x2 - 29x - 52) 3x3 - 25x2 + 64x - 483) 8x3 + 20x2 + 14x + 34) 6x3 + 17x2 + 4x - 125) 8x3 + 42x2 + 63x + 276) 4x3 + x2 + 9x - 97) 3x3 + 8x2 + 19x + 108) 16x4 - 8x3 + 33x2 - 63x + 279) 9x4 - 6x3 + 25x2 + 52x + 2010) 6x4 + 47x3 + 89x2 + 8x - 60