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Circunferencia teoremas

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CLASE N 12Circunferencia y Crculo II

Aprendizajes esperados: Aplicar los teoremas fundamentales relativos a Crculo y Circunferencia en la resolucin de ejercicios.

Contenidos1. Teoremas fundamentales - ngulos1.1 ngulo del centro y ngulo inscrito 1.2 Igualdad de ngulos inscritos 1.3 Tringulo inscrito en una semicircunferencia 1.4 Cuadriltero inscrito en una circunferencia 1.5 Teorema del ngulo exterior 1.6 Teorema del ngulo interior

2. Teoremas fundamentales - Trazos2.1 Teorema de las secantes 2.2 Teorema de la tangente y la secante 2.3 Teorema de las tangentes 2.4 Teorema de las cuerdas 2.5 Cuadriltero circunscrito a una circunferencia

1. Teoremas fundamentales (ngulos)1.1 ngulo del centro y ngulo inscritongulo del centro: Tiene el vrtice en el centro de la circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende.

Ejemplo:Si el arco AB = 40, entonces = 40

40

O: centro de la circunferencia

ngulo inscrito: Tiene el vrtice en la circunferencia, y mide la mitad del arco que subtiende.

Ejemplo:Si el arco AB = 50, entonces = 25

50

Corolario: Si un ngulo inscrito y un ngulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ngulo del centro es el doble del ngulo inscrito.

2 Adems, se cumple que:

= +

Ejemplo:En la figura, si arco AB mide 70, entonces el ngulo del centro AOB tambin mide 70 y el ngulo inscrito ACB mide 35.

70

O: centro de la circunferencia

1.2 Igualdad de ngulos inscritosSi dos o ms ngulos inscritos subtienden el mismo arco, stos son iguales.

= =

1.3 Tringulo inscrito en una semicircunferenciaTodo tringulo inscrito en una semicircunferencia es rectngulo con hipotenusa igual al dimetro.

180 O: centro de la circunferencia

1.4 Cuadriltero inscrito en una circunferenciaEn todo cuadriltero inscrito en una circunferencia, los ngulos opuestos son suplementarios.

Ejemplo:

+ = 180 + = 180

1.5 Teorema del ngulo exteriorSi es ngulo exterior de la circunferencia, entonces:

1.6 Teorema del ngulo interiorSi es ngulo interior de la circunferencia, entonces:

2. Teoremas fundamentales (trazos)2.1 Teorema de las secantesSean PA y PB dos secantes, entonces:

PA PD = PB PC

Ejemplo:En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6. PA y PB secantes. 12 x

6

20

PA PD = PB PC 12 PD = 20 6 12 PD = 120 PD= 10

2.2 Teorema de la tangente y secanteSean PA una tangente y PC una secante, entonces:

(PA)2 = PC PD

2.3 Teorema de las tangentesSean PA y PC dos tangentes, entonces:

PA = PC

2.4 Teorema de las cuerdasSean AB y CD dos cuerdas, entonces:

AP PB = CP PD

2.5 Cuadriltero circunscritoSea ABCD cuadriltero circunscrito a la circunferencia, entonces:

Ejemplo:

5+c=7+8 c = 10

a+c=b+d

Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la pgina 260 a la 267.