TEOREMA DE GREEN

¿Qué es?

El teorema de Green, así llamado en honor del matemático y físico ingles George Green quien lo presento en un trabajo sobre la aplicaciones de las matemáticas a la electricidad y el magnetismo, expresa una doble integral sobre una región plana R en términos de una integral de línea sobre la curva de frontera de R.

Teorema de Green

Sean M y N funciones de las dos variables x & y tales que sus primeras derivadas parciales son continuas en un disco abierto B de R2. Si C es una curva cerrada, simple y suave a trozos contenida completamente en B, y si R es la región limitada por C, entonces

∮c

❑

m ( x , y )dx+N (x , y )dy=∬R

❑

( ∂N∂ x −∂M∂ y )dA

El enunciado del teorema de Green se refiere a una integral de línea sobre una curva cerrada, simpe y suave a trozos que constituye la frontera de una región plana, y el sentido en que se recorre C es el contrario al giro de las manecillas del reloj. La integral de línea sobre C, recorrida en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, se denota por §c.

¿De qué se trata?

Este teorema hace uso de las integrales dobles para calcular un área delimitada por una curva cerrada, o entre una curva y una recta, o bien otros casos.

Consiste en tomar una integral cerrada ∮❑ que va a evaluarse con

ciertas funciones dadas para saber un area encerrada, la cual se evaluara como una integral doble, para así facilitar el proceso y reducir la cantidad de pasos para resolverlo.

¿Para qué sirve?

Ejemplo Ilustrativo:

Aplicar el teorema de Green para evaluar la integral §y2 dx + 4xy dy, donde C es la curva cerrada que consiste del arco de la parábola y = x2 desde el origen hasta el punto (2,4) y el segmento de recta desde el punto (2,4) hasta el origen. La región R con la frontera C se muestra en la figura. Del teorema de Green.

∮C

❑

y2dx+4 xydy=∬R

❑

[ ∂∂ x (4 xy )− ∂∂ y

( y2 )]dA

¿∫0

2

∫x2

2x

(4 y−2 y )dydx

¿∫0

2

[ y2 ]x22xdx

¿∫0

2

(4 x2−x4 )dx

¿ [ 43 x3−15 x5]02

¿ 6415

El teorema siguiente, el cual es una consecuencia del teorema de Green, proporciona un método útil para calcular el área de una región limitada por una curva cerrada, simple y suave a trozos.

Teorema

Si R es una región que tiene como una frontera una curva C cerrada, simple y suave a trozos, y A unidades cuadradas es el área de R, entonces:

A=12∮C

❑

xdy− ydx

Demostración:

En el enunciado del teorema de Green, considere M(x,y) = -1/2y dx y N(x,y) = 1/2x. Entonces:

Como ∬R

❑

dA es la medida del área R, entonces:

12∮R

❑

xdy− ydx=A

Existen dos formas vectoriales del teorema de Green, las cuales se obtendrán a continuación. Sea C una curva cerrada, simple y suave a trozos del plano x y. suponga que una ecuación vectorial de C es:

R(s) = xi + yj

Con x = ƒ(s) & y = g(s), donde s unidades es la longitud de arco medidas en el sentido contrario de las manecillas de reloj a partir de un punto particular P0 de C hasta un punto P de C. Entonces si T(s) es el vector tangente unitario de C en P, T(s) = DsR(s) = DsR(s). Así,

T ( s )=dxdsi+ dydsj

El vector normal N(s) definido por:

N (s )=dydsi−dxdsj

Es un vector normal unitario de C en P. Este vector normal unitario se ha elegido en lugar de su valor negativo debido a que cuando el sentido en que se recorre C es contrario al giro de las manecillas del reloj. N(s) apuntara hacia afuera de la región R limitada por C. A este vector se le denomina Vector normal saliente unitario. Sea:

F ( x , y )=M (x , y ) i+N ( x , y ) j

Donde M y N satisfacen la hipótesis del teorema de Green. Como:

F ( x , y ) . N (s )ds=[M ( x , y ) i+N (x , y ) j ] .( dyds i−dxds j)ds¿M (x , y )dy−N ( x , y )dx

Entonces:

Al aplicar el teorema de Green a la integral de línea del miembro derecho de esta ecuación se obtiene:

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

¿Qué es?

El Teorema de la divergencia es una analogía, en tres dimensiones, del Teorema de Green en el plano, donde en este caso se establece la relación que existe entre una integral sobre la superficie S y la integral triple de una región sólida B, en la cual la superficie S es su frontera.

∯S

❑

F . n̂ dS=∭v

❑

¿F dV=∭v

❑

V FdV

Otra interpretación:

Considere las funciones M y N, la curva C y la región R como se definieron en el teorema de Green. Si F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j y N(s) es el vector normal saliente unitario de C en P, donde s unidades es la longitud de arco medida en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj desde un punto particular P0 de C hasta P, entonces

∮C

❑

F . Nds=∬R

❑

divFdA

¿Para qué sirve?

Ejemplo: Verifique el teorema de la divergencia de Gauss en el si

F(x,y) = 2yi + 5xj

Y R es la región limitada por la circunferencia x2 + y2 = 1

Solución:

La frontera de R es la circunferencia unitaria que puede representarse paramétricamente por las ecuaciones

X = cos s y = sen s 0 ≤ s ≤ 2π

Donde s es la longitud de arco desde el punto donde s = 0 hasta el punto P de C. Entonces una ecuación vectorial de C es

R(s) = cos si + sen sj 0 ≤ s ≤ 2π

El vector normal saliente unitario es

N(s) = cos si + sen sj

En un punto P(cos s, sen s) de C, F tiene el valor 2 sen si + 5cos sj. Por tanto,

De esta manera se ha verificado el teorema de la divergencia de Gauss en el plano para F y R.

Si F es un campo vectorial y div F = 0, entonces se dice que F está libre de divergencia. El campo vectorial del ejemplo está libre de divergencia. En la teoría de la electricidad y el magnetismo, un campo vectorial que está libre de divergencia se dice que es solenoidal.

También se utiliza el teorema de divergencia de Gauss en el plano para dar una interpretación física de la divergencia de un campo vectorial.

Considere las funciones M y N, la región R y la curva C como se definieron en el teorema de Green. Suponga que F es el campo de velocidad de un fluido bidimensional (es decir, con profundidad constante) y que F está definido por F(x.y) = M(x,y)i + N(x,y)j. además suponga que el fluido fluye a través de la región R que tiene la curva C como su frontera, para la cual el sentido en que se recorre C es contrario de las manecillas del reloj. Se asumirá que el fluido

tiene una densidad constante en R, y por conveniencia, la densidad es un valor unitario. El flujo del campo vectorial F a través de C es la tasa a la que el fluido atraviesa C en dirección perpendicular a C. se mostrara como ese flujo puede expresarse como una integral de línea.

Sea s la longitud de arco de la curva C medida desde un punto perpendicular P0 hasta un punto P. divida la curva C en n arcos y sea Δis la longitud del i-ésimo arco que contiene el punto PI(xi,yi), donde si es la longitud del arco de C desde P0 hasta PI. Como F es continuo, entonces una aproximación de la velocidad de fluido en cada punto del i-ésimo arco es F(x i,yi). La cantidad de fluido que cruza el arco por unidad de tiempo está dada aproximadamente por el area de un paralelogramo que tiene un par de lados opuesto de la longitud Δ is y una altura de longitud F(xi,yi)·N(si) unidades, donde N(si) es el vector normal saliente unitario de C en PI(xi,yi). El área del del paralelogramo es F(xi,yi)·N(si) Δis unidades cuadradas. La cantidad total de fluido que atraviesa C por unidad de tiempo está dada aproximadamente

Al tomar el límite de esta suma conforme n se incrementa sin límite y como cada Δis tiende a cero, se obtiene la integral de línea

La cual se denomina flujo de F a través de C.

¿De qué se trata?

Es un método que nos sirve para calcular la superficie de un cuerpo en 3 dimensiones, por ejemplo si quisiéramos la superficie de un cuerpo de 6 lados, necesitaríamos calcular cada lado un por uno y luego sumarlas, pero el teorema de la divergencia nos ayuda a reducir esto, y nos permite calcular la superficie total con una sola integral triple,

TEOREMA DE STOKES

¿Qué es?

Esta es una forma vectorial del teorema de Green, se enuncia formalmente en el teorema siguiente, denominado teorema de Stokes, en honor al matemático y físico irlandés Georges Stokes.

Considere las funciones M y N, la curva C y la región R como se definieron en el teorema de Green. Si F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j y T(s) es el vector tangente unitario de C en P, donde s unidades es la longitud de arco medida desde un punto particular P0 de C hasta P, entonces

∮C

❑

F .Tds=∬R

❑

rotF . KdA

Otra interpretación:

El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:

Para la F elegida,

. En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes se aplica a formas diferenciales mayores en vez de F.

En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.

Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M. Por

ejemplo, la orientación natural del intervalo da una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F (b) − F(a).

¿De qué se trata?

Este teorema establece una relación entre una integral de línea y una de superficie, En que S es una superficie abierta, y C es la cueva cerrada que limita a dicha superficie. La dirección de recorrido de la curva C determina la orientación del vector, normal a la superficie. 

Lo que hace este teorema es convertir una integral de curva cerrada, en una integral de superficie, es un método derivado del teorema de Green.

¿Para qué sirve?

Ejemplo: Verifique el teorema de Stokes en el plano para F y la región R del ejemplo que usó en el teorema de la divergencia.

Solución: Como el ejemplo, el campo vectorial F está definido por

F(x,y) = 2yi + 5xj

Y una ecuación vectorial de C es

R(s) = cos si + sen sj 0 ≤ s ≤ 2π

Como T(s) = DsR(s),

T(s) = -sen si + cos sj

En un punto P(cos s, sen s) de C, F tiene el valor de 2sen si + 5cos sj. Por tanto

Como N=5 x , ∂ N∂ X

=5 y como M=2 y , ∂ M∂ y

=2, asi

∬R

❑

rioF . kdA=∬R

❑

( ∂N∂ x −∂M∂ y )dA

¿∬R

❑

(5−2 )dA

¿3∬R

❑

dA

¿3 π

De esta manera se ha verificado el teorema de Stokes para este campo vectorial F y esta región R.

Si F es el campo de velocidad de un fluido, entonces el producto punto F·T es la componente tangencial de F y la integral de línea §F·T ds se denomina circulación de F sobre o alrededor de C. de manera intuitiva, se pude pensar que la circulación es la suma de las componentes tangenciales de F alrededor de C. si el desplazamiento alrededor de C se efectúa en el sentido contrario de las manecillas del reloj y §F·T ds > 0, entonces el fluido circula en ese sentido, refiriéndose a la figura. §F·T ds < 0, la circulación del fluido se efectúa en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

Sea P(x,y) un punto particular de la región R y sea C , δ la circunferencia de centro P y radio pequeño δ . Si Rs es la región delimitada por Cs entonces:

Si My y Nx, son continuas en Rδ, entonces rot F·K es continua en esa región y para un valor pequeño de , rot F·K en Rδ δ es aproximadamente igual a rot F(x,y)·k. por tanto,

De esta forma se interpreta rot F(x,y)·k como la medida aproximada de la intensidad (o tasa) de circulación por unidad de área en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj en el punto P. cunado F y T son vectores ortogonales, F·T = 0 por lo que rot F = 0. En tal caso se dice que F es irrotacional. Este término se emplea aun si F no es el campo de velocidad de un fluido.