Presentacion-Teoremas circuitos.pdf

7/25/2019 Presentacion-Teoremas circuitos.pdf

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Tema 3. Teoremas de la Teora de Circuitos

3.1 Introduccin

3.2 Superposicin

3.3 Transformacin de fuentes

3.4 Teorema de Thevenin

3.5 Teorema de Norton

3.6 Mxima transferencia de potencia

A

B

ThR

ThV LRv

i

1

Bibliografa Bsica para este Tema:

[1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentos de circuitoselctricos, 3 ed., McGraw-Hill, 2006.

[2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, Introduction to electric circuits,7th ed., John Wiley & Sons, 2006.

Sadiku Tema 4

Dorf Tema 5

http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm

- Esta presentacin se encuentra, temporalmente, en:

2


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2

3.1 Introduccin

- Como hemos visto en temas anteriores, las ecuaciones de Kirchhoffpermiten analizar un circuito sin alterar su configuracin original.

- Sin embargo, la complejidad creciente de los circuitos que se usan enla prctica hace que los clculos se vuelvan tediosos.

- En este tema veremos un conjunto de tcnicas que permiten reducirla complejidad que un circuito antes de proceder a su anlisis:

- El principio de superposicin

- La transformacin de fuentes

- Los teoremas de Thevenin y Norton

3

3.2 Superposicin

- Los circuitos lineales verifican el principio de superposicin

El principio de superposicin establece que la tensin entre losextremos (o corriente a travs) de un elemento de un circuitolineal es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a travsde ese elemento debidas a cada una de las fuentes independientescuando acta sola.

- El principio de superposicin ayuda a analizar un circuito lineal conms de una fuente independiente mediante el clculo de la contribucinde cada fuente independiente por separado

- Un circuito lineal es aqul que slo tiene elementos lineales y fuentes

- Un elemento lineal es aqul cuya relacin i-v es lineal:

ctecon, aiav

- En esta asignatura slo se consideran circuitos lineales

4


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3

3.2 Superposicin

- La aplicacin del principio de superposicin tiene los siguientes pasos:

1. Apagar todas las fuentes independientes excepto una.

Encontrar la salida (tensin o corriente) debido a la fuente activa.

2. Repetir el paso anterior para cada una de las fuentes

independientes presentes en el circuito.

3. La contribucin total vendr dada por la suma algebraica de las

contribuciones de cada una de las fuentes independientes.

- Apagar una fuente independiente de tensin implica reemplazarla

por una fuente de tensin de 0V (cortocircuito)

- Apagar una fuente independiente de corriente implica reemplazarlapor una fuente de corriente de 0A (circuito abierto)

- Las fuentes dependientes no se modifican

- Observaciones:

5

-Ejemplo 1: Calcular ven el circuito de la figura, aplicando el principiode superposicin. Ra = 8 Ohm, Rb = 4 Ohm, Vs = 6 V, Is = 3 A

sV bRv

aR

sI

A&S-3 Ej. 4.3

6


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4

Solucin:

- Puesto que hay dos fuentes21

vvv

- v1 es la tensin debida a Vs con Is=0

- v2 es la tensin debida a Is con Vs=0

- Clculo de v1: (dejamos Is en circuito abierto)

iRiRV bas - Aplicando la KVL:

- luego A5.048

6

ba

s

RR

Vi

V25.041 iRv b- Por tanto

SV bR 1v

aR

i

sV bRv

aR

sI

7

- Clculo de v2: (cortocircuitamos Vs )

bR

2v

aR

sIba

sR

v

R

vI 22 - Aplicando la KCL:

- luego V8348

482

s

ba

ba IRR

RRv

- La solucin final es: V108221 vvv

8


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5


- La transformacin de fuentes se usa para simplificar circuitos

Una transformacin de fuentes es el proceso de sustituir unafuente de tensin vs en serie con una resistencia Rpor una fuentede corriente is en paralelo con una resistencia R, o viceversa

circuitov

iA

B

R

sv circuitov

iA

B

Rsi

SS Riv

9

- Comprobacin


circuitov

iA

B

R

sv - Aplicando KVL:

circuitov

iA

B

Rsi

- Aplicando KCL:

R

viii

R

vi ss

R

v

R

v

ivRiv

s

s s

R

vis

Debe cumplise para que amboscircuitos sean equivalentes!

10


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6

-Ejemplo 2: Calcular v0 en el circuito de la figura. Para ello, reducir elcircuito a un divisor de corriente aplicando transformacin de fuentes

A&S-3 Ej. 4.6

0v

4 8A3 V12

2 3

11

Solucin:

- Comenzamos transformando la fuente de corriente a una de tensin:

0v

4 8A3 V12

2 3

0v

8 V12

2 34

V12

- Ahora, asociamos las dos resistencias en serie:

V1234 SS Riv

12


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7

- Seguidamente, transformamos las fuentes de tensin:

0v

8 V12

6 3

V12

0v

6 8A2 3 A4

A26

12

R

vi SS

A43

12

R

vi SS

- Agrupando resistencias y fuentes:

13

2

36

363||6

- Por ltimo, usamos la frmula del divisor de corriente:

A0.4282

20

i

- y la ley de Ohm:

V2.30.4800 Riv

0v

2 8A2

0i

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8


- Suele ocurrir que un elemento de un circuito sea variable (carga),

mientras que los dems permanecen fijos. Entonces, cada vez que secambia la carga debemos volver a analizar todo.

El teorema de Thevenin establece que un circuito lineal de dosterminales puede sustituirse por un circuito equivalente formadopor una fuente de tensin VTh en serie con una resistencia RTh

circuito lineal

de dosterminales

cargav

iA

B

cargav

iA

B

ThR

ThV

Circuito original Circuito equivalentede Thevenin

- El teorema de Thevenin proporciona una tcnica para sustituir la partefija por un circuito equivalente sencillo.

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- Clculo de la tensin equivalente de Thevenin:

circuito lineal

de dosterminales

ocv

0iA

B

Thoc Vv

0iA

B

ThR

ThV

- Utilizamos como circuito de carga un circuito abierto

- En esta situacin se cumple

ocTh vV

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9


- Clculo de la resistencia equivalente de Thevenin, RTh

:

- Se ponen a cero las fuentes independientes. Entonces la RTh coincidecon la resistencia de entrada Rin vista en los terminales del circuito

A

B

ThR

0Th VinTh RR

circuito confuentes

independientespuestas a cero

A

B

inR

cero)antesindependiefuenteslas(coninTh RR

- Entonces

- Poner las fuentes independientes a cero significa:1. Cortocircuitar las fuentes independientes de tensin2. Dejar en circuito abierto las fuentes independientes de corriente

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- Determinacin de la resistencia de entrada Rin:

circuito confuentes

independientespuestas a cero

A

B

inR

- CASO 1: Circuito SIN fuentes dependientes.

1. Se ponen las fuentes independientes a cero

2. Se calcula Rin mediante asociacin de resistencias

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10

-Ejemplo 3: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura

A&S-3 Ej. 4.8

V32

A

B

21

4 1

A2

19

Solucin:

- Comenzamos calculando la resistencia Thevenin. Para ello, ponemos a

cero las fuentes independientes y calculamos la resistencia de entrada

V32

A

B

21

4 1

A2

A

B

21

4 1

inR

41

214

214112||4inR

20


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11

- Para obtener la tensin Thevenin calculamos la tensin de circuitoabierto en los terminales A-B

V32

A

B

21

4 1

A2ThV

0i

- Resolvemos por anlisis de nudos

V32

21

4

A2

ThV1i 3i

2i- KCL: 231 iii

122

4

32 ThTh VV

- Usando la ley de Ohm:

- Despajando: V30Th V

21

- Por tanto:

V32

A

B

21

4 1

A2

V30

A

B

4

22


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12


- Determinacin de la resistencia de entrada Rin

:

- CASO 2: Circuito CON fuentes dependientes.

1. Se ponen las fuentes independientes a cero2a. Se aplica una fuente de tensin v0 entre los terminales ABy se

calcula la corriente i0 que circula por la fuente.2b. O bien, se aplica una fuente de corriente i0 entre los terminales

ABy se calcula la tensin v0 entre dichos terminales.

Entonces Rin=v0/i0

circuito con

fuentesindependientespuestas a cero

A

B

0i

0v 0v

circuito con

fuentesindependientespuestas a cero

A

B

0i

(2a) (2b)00in ivR 00in ivR 23

-Ejemplo 4: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figuraA&S-3 Ej. 4.9

64

2

xv

2

A5

xv2

A

B

24


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13

Solucin:

- Comenzamos calculando la resistencia Thevenin. Para ello, ponemos acero las fuentes independientes, ponemos una fuente de tensin v0entre los terminales y calculamos la corriente que pasa por ella.

64

2

xv

2

xv2

A

B

0i

0v

00in ivR

64

2

xv

2

A5

xv2

A

B

25

- NUDO C:

- En funcin de las tensiones de nudo:

- Resolvemos por anlisis de nudos:

0A vV ;C xvV ;3D xvV

64

2

xv

2

xv2

0i

0v

1i

xi

A

B

C D

2i3i

xiii 12

xxx ivv

42

2

- NUDO D: 320 iiii x

6

3

2

2

2

30 xxx

x vvivv

- De la ley de Ohm en A-D:

09

2vvx

00 23 ivv x

6Th0

0R

i

v

26


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14

- Para obtener la tensin Thevenin calculamos la tensin de circuitoabierto

64

2

xv

2

A5

xv2

A

B

ThV

0i1i

x

i

C D

2i3i

- NUDO C:

- En funcin de las tensiones de nudo:

- Resolvemos por anlisis de nudos:

xiii 12 5

- NUDO D: 32 iiix

xxx ivv 4

52

2

6

3

2

2 xxx

vvi

;C xvV

xvVVV 3ThAD

V3

20xv V203Th xvV

27


- El teorema de Norton es el dual del teorema de Thevenin

El teorema de Norton establece que un circuito lineal de dosterminales puede sustituirse por un circuito equivalente formadopor una fuente de corriente IN en paralelo con una resistencia RN

circuito linealde dos

terminales

cargav

iA

B

Circuito original Circuito equivalentede Norton

cargav

iA

B

NRNI

28


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15


- Clculo de la corriente de Norton:

circuito linealde dos

terminales0v

sciA

B

0v

sciA

B

NRNI

- Utilizamos como circuito de carga un corto circuito

- En esta situacin se cumple

scN iI

29


- Clculo de la resistencia de Norton:

- Partimos del equivalente Thevenin y aplicamos transformacinde fuentes

v

iA

B

NRNI

ThR

v

iA

B

ThV

Th

ThN

R

VI

ThN RR

ocTh vV

sc

oc

N

ThTh

i

v

I

VRR

N

- Adems, teniendo en cuenta que

- se obtienescN iI

30


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16

- Ejemplo 5: Calcular el equivalente Norton del circuito de la figura.Is = 2 A, Vs = 12 V, R1 = 4 Ohm, R2 = R4 = 8 Ohm, R3 = 5 Ohm

sI1R

2R

sV

A

B

3R

4R

A&S-3 Ej. 4.11

31

Solucin:

- Clculo de la resistencia equivalente de Norton RN

- Ponemos a cero las fuentes independientes

1R

2R A

B

3R

4R

NR

4

520

5205||20||)( 3421N RRRRR

32


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17

- Clculo de la fuente de corriente equivalente de Norton IN

- Calculamos la corriente de cortocircuito

0)( 24222S1s iRiRiIRV

A1884

2412

421

S1s2

RRR

IRVi

- KVL para la malla 2:

- Resolviendo: A12N iI

- Malla 1: S2 Ii

0421s VVVV

2V

sI1R

2R

sV

A

B

3R

4R

scN iI

1i 2i

1V

4V

33


- En muchas situaciones prcticas un circuito se disea para suministrarpotencia a una carga

En condiciones de circuito fuente fijo y carga variable, latransferencia de potencia a la carga es mxima cuando laresistencia de carga RL es igual a la resistencia del equivalenteThevenin del circuito fuente RTh visto desde la fuente

LR

circuitofuente

A

B

ThR

ThV LR

Thmax RRpp L

34


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18

2

Th3

Th

Thp VRR

RR

RL

L

L

0p

2

2

LR


- Demostracin

- Partimos del equivalente Thevenindel circuito fuente

A

B

ThR

ThV LRv

i

4

2

Thmax

LR

Vp

Th

Th

VRR

Rv

L

L

LL RR

V

R

vi

Th

Th 2

Th2

Th

p VRR

Rvi

L

L

- Para encontrar el mximo derivamos:

- Igualando a cero la derivada: Th0p

RR

R

L

L

- Se puede comprobar que

- La potencia mxima resulta:35

- Ejemplo 6: Determinar el valor de RL para que la transferencia depotencia en el circuito de la figura sea mxima. Calcular la potenciamxima.

A212

26

V12

A

B

3

LR

A&S-3 Ej. 4.13

36


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19

Solucin:

- Comenzaremos determinando el equivalente Thevenin delcircuito fuente

- Clculo de la resistencia Thevenin RTh

12

26 A

B

3

ThR

923

1261262312||6ThR

37

- Clculo de la tensin Thevenin VTh

ThV

A212

26

V12

A

B

3

1i2i

xv

- Malla 1: 0)2(12612 11 ii A32

1 i

- Malla 2: A22 i

21Th 3612 iiV

ThV

26

V12

A

B

3

1i 2i 0i

V22 Th V

- Clculo de VTh:

38


20/20

- Clculo de la potencia mxima

V44.1394

22

4

22Th

max

LR

Vp

A

B

ThR

ThV ThR

39

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