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    Tema 3. Teoremas de la Teora de Circuitos

    3.1 Introduccin

    3.2 Superposicin

    3.3 Transformacin de fuentes

    3.4 Teorema de Thevenin

    3.5 Teorema de Norton

    3.6 Mxima transferencia de potencia

    A

    B

    ThR

    ThV LRv

    i

    1

    Bibliografa Bsica para este Tema:

    [1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentos de circuitoselctricos, 3 ed., McGraw-Hill, 2006.

    [2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, Introduction to electric circuits,7th ed., John Wiley & Sons, 2006.

    Sadiku Tema 4

    Dorf Tema 5

    http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm

    - Esta presentacin se encuentra, temporalmente, en:

    2

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    2

    3.1 Introduccin

    - Como hemos visto en temas anteriores, las ecuaciones de Kirchhoffpermiten analizar un circuito sin alterar su configuracin original.

    - Sin embargo, la complejidad creciente de los circuitos que se usan enla prctica hace que los clculos se vuelvan tediosos.

    - En este tema veremos un conjunto de tcnicas que permiten reducirla complejidad que un circuito antes de proceder a su anlisis:

    - El principio de superposicin

    - La transformacin de fuentes

    - Los teoremas de Thevenin y Norton

    3

    3.2 Superposicin

    - Los circuitos lineales verifican el principio de superposicin

    El principio de superposicin establece que la tensin entre losextremos (o corriente a travs) de un elemento de un circuitolineal es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a travsde ese elemento debidas a cada una de las fuentes independientescuando acta sola.

    - El principio de superposicin ayuda a analizar un circuito lineal conms de una fuente independiente mediante el clculo de la contribucinde cada fuente independiente por separado

    - Un circuito lineal es aqul que slo tiene elementos lineales y fuentes

    - Un elemento lineal es aqul cuya relacin i-v es lineal:

    ctecon, aiav

    - En esta asignatura slo se consideran circuitos lineales

    4

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    3

    3.2 Superposicin

    - La aplicacin del principio de superposicin tiene los siguientes pasos:

    1. Apagar todas las fuentes independientes excepto una.

    Encontrar la salida (tensin o corriente) debido a la fuente activa.

    2. Repetir el paso anterior para cada una de las fuentes

    independientes presentes en el circuito.

    3. La contribucin total vendr dada por la suma algebraica de las

    contribuciones de cada una de las fuentes independientes.

    - Apagar una fuente independiente de tensin implica reemplazarla

    por una fuente de tensin de 0V (cortocircuito)

    - Apagar una fuente independiente de corriente implica reemplazarlapor una fuente de corriente de 0A (circuito abierto)

    - Las fuentes dependientes no se modifican

    - Observaciones:

    5

    -Ejemplo 1: Calcular ven el circuito de la figura, aplicando el principiode superposicin. Ra = 8 Ohm, Rb = 4 Ohm, Vs = 6 V, Is = 3 A

    sV bRv

    aR

    sI

    A&S-3 Ej. 4.3

    6

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    4

    Solucin:

    - Puesto que hay dos fuentes21

    vvv

    - v1 es la tensin debida a Vs con Is=0

    - v2 es la tensin debida a Is con Vs=0

    - Clculo de v1: (dejamos Is en circuito abierto)

    iRiRV bas - Aplicando la KVL:

    - luego A5.048

    6

    ba

    s

    RR

    Vi

    V25.041 iRv b- Por tanto

    SV bR 1v

    aR

    i

    sV bRv

    aR

    sI

    7

    - Clculo de v2: (cortocircuitamos Vs )

    bR

    2v

    aR

    sIba

    sR

    v

    R

    vI 22 - Aplicando la KCL:

    - luego V8348

    482

    s

    ba

    ba IRR

    RRv

    - La solucin final es: V108221 vvv

    8

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    5

    3.3 Transformacin de fuentes

    - La transformacin de fuentes se usa para simplificar circuitos

    Una transformacin de fuentes es el proceso de sustituir unafuente de tensin vs en serie con una resistencia Rpor una fuentede corriente is en paralelo con una resistencia R, o viceversa

    circuitov

    iA

    B

    R

    sv circuitov

    iA

    B

    Rsi

    SS Riv

    9

    - Comprobacin

    3.3 Transformacin de fuentes

    circuitov

    iA

    B

    R

    sv - Aplicando KVL:

    circuitov

    iA

    B

    Rsi

    - Aplicando KCL:

    R

    viii

    R

    vi ss

    R

    v

    R

    v

    ivRiv

    s

    s s

    R

    vis

    Debe cumplise para que amboscircuitos sean equivalentes!

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    -Ejemplo 2: Calcular v0 en el circuito de la figura. Para ello, reducir elcircuito a un divisor de corriente aplicando transformacin de fuentes

    A&S-3 Ej. 4.6

    0v

    4 8A3 V12

    2 3

    11

    Solucin:

    - Comenzamos transformando la fuente de corriente a una de tensin:

    0v

    4 8A3 V12

    2 3

    0v

    8 V12

    2 34

    V12

    - Ahora, asociamos las dos resistencias en serie:

    V1234 SS Riv

    12

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    7

    - Seguidamente, transformamos las fuentes de tensin:

    0v

    8 V12

    6 3

    V12

    0v

    6 8A2 3 A4

    A26

    12

    R

    vi SS

    A43

    12

    R

    vi SS

    - Agrupando resistencias y fuentes:

    13

    2

    36

    363||6

    - Por ltimo, usamos la frmula del divisor de corriente:

    A0.4282

    20

    i

    - y la ley de Ohm:

    V2.30.4800 Riv

    0v

    2 8A2

    0i

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    8

    3.4 Teorema de Thevenin

    - Suele ocurrir que un elemento de un circuito sea variable (carga),

    mientras que los dems permanecen fijos. Entonces, cada vez que secambia la carga debemos volver a analizar todo.

    El teorema de Thevenin establece que un circuito lineal de dosterminales puede sustituirse por un circuito equivalente formadopor una fuente de tensin VTh en serie con una resistencia RTh

    circuito lineal

    de dosterminales

    cargav

    iA

    B

    cargav

    iA

    B

    ThR

    ThV

    Circuito original Circuito equivalentede Thevenin

    - El teorema de Thevenin proporciona una tcnica para sustituir la partefija por un circuito equivalente sencillo.

    15

    3.4 Teorema de Thevenin

    - Clculo de la tensin equivalente de Thevenin:

    circuito lineal

    de dosterminales

    ocv

    0iA

    B

    Thoc Vv

    0iA

    B

    ThR

    ThV

    - Utilizamos como circuito de carga un circuito abierto

    - En esta situacin se cumple

    ocTh vV

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    3.4 Teorema de Thevenin

    - Clculo de la resistencia equivalente de Thevenin, RTh

    :

    - Se ponen a cero las fuentes independientes. Entonces la RTh coincidecon la resistencia de entrada Rin vista en los terminales del circuito

    A

    B

    ThR

    0Th VinTh RR

    circuito confuentes

    independientespuestas a cero

    A

    B

    inR

    cero)antesindependiefuenteslas(coninTh RR

    - Entonces

    - Poner las fuentes independientes a cero significa:1. Cortocircuitar las fuentes independientes de tensin2. Dejar en circuito abierto las fuentes independientes de corriente

    17

    3.4 Teorema de Thevenin

    - Determinacin de la resistencia de entrada Rin:

    circuito confuentes

    independientespuestas a cero

    A

    B

    inR

    - CASO 1: Circuito SIN fuentes dependientes.

    1. Se ponen las fuentes independientes a cero

    2. Se calcula Rin mediante asociacin de resistencias

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    10

    -Ejemplo 3: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura

    A&S-3 Ej. 4.8

    V32

    A

    B

    21

    4 1

    A2

    19

    Solucin:

    - Comenzamos calculando la resistencia Thevenin. Para ello, ponemos a

    cero las fuentes independientes y calculamos la resistencia de entrada

    V32

    A

    B

    21

    4 1

    A2

    A

    B

    21

    4 1

    inR

    41

    214

    214112||4inR

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    - Para obtener la tensin Thevenin calculamos la tensin de circuitoabierto en los terminales A-B

    V32

    A

    B

    21

    4 1

    A2ThV

    0i

    - Resolvemos por anlisis de nudos

    V32

    21

    4

    A2

    ThV1i 3i

    2i- KCL: 231 iii

    122

    4

    32 ThTh VV

    - Usando la ley de Ohm:

    - Despajando: V30Th V

    21

    - Por tanto:

    V32

    A

    B

    21

    4 1

    A2

    V30

    A

    B

    4

    22

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    3.4 Teorema de Thevenin

    - Determinacin de la resistencia de entrada Rin

    :

    - CASO 2: Circuito CON fuentes dependientes.

    1. Se ponen las fuentes independientes a cero2a. Se aplica una fuente de tensin v0 entre los terminales ABy se

    calcula la corriente i0 que circula por la fuente.2b. O bien, se aplica una fuente de corriente i0 entre los terminales

    ABy se calcula la tensin v0 entre dichos terminales.

    Entonces Rin=v0/i0

    circuito con

    fuentesindependientespuestas a cero

    A

    B

    0i

    0v 0v

    circuito con

    fuentesindependientespuestas a cero

    A

    B

    0i

    (2a) (2b)00in ivR 00in ivR 23

    -Ejemplo 4: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figuraA&S-3 Ej. 4.9

    64

    2

    xv

    2

    A5

    xv2

    A

    B

    24

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    13

    Solucin:

    - Comenzamos calculando la resistencia Thevenin. Para ello, ponemos acero las fuentes independientes, ponemos una fuente de tensin v0entre los terminales y calculamos la corriente que pasa por ella.

    64

    2

    xv

    2

    xv2

    A

    B

    0i

    0v

    00in ivR

    64

    2

    xv

    2

    A5

    xv2

    A

    B

    25

    - NUDO C:

    - En funcin de las tensiones de nudo:

    - Resolvemos por anlisis de nudos:

    0A vV ;C xvV ;3D xvV

    64

    2

    xv

    2

    xv2

    0i

    0v

    1i

    xi

    A

    B

    C D

    2i3i

    xiii 12

    xxx ivv

    42

    2

    - NUDO D: 320 iiii x

    6

    3

    2

    2

    2

    30 xxx

    x vvivv

    - De la ley de Ohm en A-D:

    09

    2vvx

    00 23 ivv x

    6Th0

    0R

    i

    v

    26

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    - Para obtener la tensin Thevenin calculamos la tensin de circuitoabierto

    64

    2

    xv

    2

    A5

    xv2

    A

    B

    ThV

    0i1i

    x

    i

    C D

    2i3i

    - NUDO C:

    - En funcin de las tensiones de nudo:

    - Resolvemos por anlisis de nudos:

    xiii 12 5

    - NUDO D: 32 iiix

    xxx ivv 4

    52

    2

    6

    3

    2

    2 xxx

    vvi

    ;C xvV

    xvVVV 3ThAD

    V3

    20xv V203Th xvV

    27

    3.5 Teorema de Norton

    - El teorema de Norton es el dual del teorema de Thevenin

    El teorema de Norton establece que un circuito lineal de dosterminales puede sustituirse por un circuito equivalente formadopor una fuente de corriente IN en paralelo con una resistencia RN

    circuito linealde dos

    terminales

    cargav

    iA

    B

    Circuito original Circuito equivalentede Norton

    cargav

    iA

    B

    NRNI

    28

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    15

    3.5 Teorema de Norton

    - Clculo de la corriente de Norton:

    circuito linealde dos

    terminales0v

    sciA

    B

    0v

    sciA

    B

    NRNI

    - Utilizamos como circuito de carga un corto circuito

    - En esta situacin se cumple

    scN iI

    29

    3.5 Teorema de Norton

    - Clculo de la resistencia de Norton:

    - Partimos del equivalente Thevenin y aplicamos transformacinde fuentes

    v

    iA

    B

    NRNI

    ThR

    v

    iA

    B

    ThV

    Th

    ThN

    R

    VI

    ThN RR

    ocTh vV

    sc

    oc

    N

    ThTh

    i

    v

    I

    VRR

    N

    - Adems, teniendo en cuenta que

    - se obtienescN iI

    30

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    - Ejemplo 5: Calcular el equivalente Norton del circuito de la figura.Is = 2 A, Vs = 12 V, R1 = 4 Ohm, R2 = R4 = 8 Ohm, R3 = 5 Ohm

    sI1R

    2R

    sV

    A

    B

    3R

    4R

    A&S-3 Ej. 4.11

    31

    Solucin:

    - Clculo de la resistencia equivalente de Norton RN

    - Ponemos a cero las fuentes independientes

    1R

    2R A

    B

    3R

    4R

    NR

    4

    520

    5205||20||)( 3421N RRRRR

    32

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    17

    - Clculo de la fuente de corriente equivalente de Norton IN

    - Calculamos la corriente de cortocircuito

    0)( 24222S1s iRiRiIRV

    A1884

    2412

    421

    S1s2

    RRR

    IRVi

    - KVL para la malla 2:

    - Resolviendo: A12N iI

    - Malla 1: S2 Ii

    0421s VVVV

    2V

    sI1R

    2R

    sV

    A

    B

    3R

    4R

    scN iI

    1i 2i

    1V

    4V

    33

    3.6 Mxima transferencia de potencia

    - En muchas situaciones prcticas un circuito se disea para suministrarpotencia a una carga

    En condiciones de circuito fuente fijo y carga variable, latransferencia de potencia a la carga es mxima cuando laresistencia de carga RL es igual a la resistencia del equivalenteThevenin del circuito fuente RTh visto desde la fuente

    LR

    circuitofuente

    A

    B

    ThR

    ThV LR

    Thmax RRpp L

    34

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    18

    2

    Th3

    Th

    Thp VRR

    RR

    RL

    L

    L

    0p

    2

    2

    LR

    3.6 Mxima transferencia de potencia

    - Demostracin

    - Partimos del equivalente Thevenindel circuito fuente

    A

    B

    ThR

    ThV LRv

    i

    4

    2

    Thmax

    LR

    Vp

    Th

    Th

    VRR

    Rv

    L

    L

    LL RR

    V

    R

    vi

    Th

    Th 2

    Th2

    Th

    p VRR

    Rvi

    L

    L

    - Para encontrar el mximo derivamos:

    - Igualando a cero la derivada: Th0p

    RR

    R

    L

    L

    - Se puede comprobar que

    - La potencia mxima resulta:35

    - Ejemplo 6: Determinar el valor de RL para que la transferencia depotencia en el circuito de la figura sea mxima. Calcular la potenciamxima.

    A212

    26

    V12

    A

    B

    3

    LR

    A&S-3 Ej. 4.13

    36

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    19

    Solucin:

    - Comenzaremos determinando el equivalente Thevenin delcircuito fuente

    - Clculo de la resistencia Thevenin RTh

    12

    26 A

    B

    3

    ThR

    923

    1261262312||6ThR

    37

    - Clculo de la tensin Thevenin VTh

    ThV

    A212

    26

    V12

    A

    B

    3

    1i2i

    xv

    - Malla 1: 0)2(12612 11 ii A32

    1 i

    - Malla 2: A22 i

    21Th 3612 iiV

    ThV

    26

    V12

    A

    B

    3

    1i 2i 0i

    V22 Th V

    - Clculo de VTh:

    38

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    - Clculo de la potencia mxima

    V44.1394

    22

    4

    22Th

    max

    LR

    Vp

    A

    B

    ThR

    ThV ThR

    39