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POTENCIACIÓN - TEOREMAS Equipo de Ciencias

Potenciación - Teoremas

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Page 1: Potenciación - Teoremas

POTENCIACIÓN - TEOREMAS

Equipo de Ciencias

Page 2: Potenciación - Teoremas

APLICACIONES

Page 3: Potenciación - Teoremas

X cm

X cm

X cm

X cm

x2

x3Longitud

Área

Volumen

APLICACIONES

Page 4: Potenciación - Teoremas

LEYES DE EXPONENTES Y

TEORÍA DE EXPONENTES II

POTENCIACIÓN: TEOREMAS

PROBLEMAS DE POTENCIACIÓN

RADICACIÓN: TEOREMAS

ECUACIONES EXPONENCIALES

DE BASES IGUALES

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Page 5: Potenciación - Teoremas

DEFINICIÓN DE UNA POTENCIA

an = a . a . a . … . a

n veces

Recuerda que si elevamos un número a (la base) Al exponente n, significa que se multiplica ese número atantas veces como indique el exponente n.

Base

Exponente

Page 6: Potenciación - Teoremas

DEFINICIONES

EXPONENTE NATURAL

; x R n Z+

EXPONENTE CERO

x0 = 1

; x R – { 0 }

EXPONENTE NEGATIVO

; x R – {0} n Z+

vecesn

n xxxx .................. n

n

xx

1

TEOREMAS DE POTENCIACIÓN

Page 7: Potenciación - Teoremas

EXPONENTE NATURAL

•3 2 = 3 . 3 = 9

•(-3) 2 = -3 . -3 = 9

•5 3 = 5 . 5 . 5 = 125

•(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125

•x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6

•(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6

•-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6

Recuerda que no se multiplica la base por el exponente.

Si la base es negativa hay que encerrarla en paréntesis.

Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si tuviera signo delante, el signo no le pertenece a la base. Hay que considerarlo como el opuesto de lo que sea el resultado de elevar la base a la potencia indicada.

Page 8: Potenciación - Teoremas

EXPONENTE NATURAL

•3 2 = 3 . 3 = 9•(-3) 2 = -3 . -3 = 9•5 3 = 5 . 5 . 5 = 125•(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125•x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6

•(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6

•-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6

•Recuerda que: •-Si elevamos una base negativa a una potencia par, el resultado es positivo. •-Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.•-Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.

Page 9: Potenciación - Teoremas

EXPONENTE CERO

•3 0 = 1

•(-3) 0 = 1

•135 0 = 1

•(-275) 0 = 1

•x 0 = 1

•(-x) 0 = 1

•(x2y3) 0 = 1Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia cero, el resultado es uno.

00 no está definido.

Page 10: Potenciación - Teoremas

EXPONENTE NEGATIVO

•3 -2 =

•(-3) -2 =

•2 -3 =

•(-2) -3 =

•x -5 =

•(x2y3) -7 =

1 1=

32 9

1 1=

(-3)2 9

1 1=

23 8

1 1=

(-2)3 - 81

x5 1

(x2y3)7

x -3 =

y

y 3

x

Page 11: Potenciación - Teoremas

TEOREMAS DE POTENCIACIÓN• Si a y b son números reales distintos de cero y, m y n son números enteros,

se cumple:

m.nnm a)(a

nmnm a.aa

nm

n

m

aa

a

mmm .ba(a.b)

m

mm

b

a

b

a

Multiplicación de Potencias con Bases Iguales

Potencia elevada a otra potencia

Producto elevado a una potencia

División de Potencias con Bases Iguales

Fracción elevada a una potencia

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

Page 12: Potenciación - Teoremas

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS CON BASES IGUALES

• a n . a m = a n + m

Ejemplos:

4 5 . 4 2 = 4 7

x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6

x 2 . x . x 4 = x 7

x + x 3 =

Al multiplicar bases iguales se suman los exponentes

No se puede aplicar esta ley ya que las potencias no se están multiplicando. La ley aplica cuando tenemos una multiplicación, no aplica en suma.

Page 13: Potenciación - Teoremas

DIVISIÓN DE POTENCIAS CON BASES IGUALES

7 5 = 75-3 = 72

73

7 5 = 7 2 = 49 7 3

7 5 = 7 0 = 1 7 5

x 3 = x x 2

Ejemplos:

Al dividir bases iguales se restan los exponentes. nm

n

m

aa

a ; a 0

Page 14: Potenciación - Teoremas

PRODUCTO ELEVADO A UNA POTENCIA

• (a b) n = a n . b n

Ejemplos:

( x y ) 3 = x3y3

( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5

(x + y ) 2 = No se puede aplicar esta ley ya que no hay una multiplicación, hay una suma.

Page 15: Potenciación - Teoremas

FRACCIÓN ELEVADA A UNA POTENCIA

a n = a n

b b n

2

5

3

y

Se eleva cada término de la fracción a la misma potencia n.

2

y

x

3

2

3

y

x

2

2

y

x

9

10y6

9

y

x

; b 0

Page 16: Potenciación - Teoremas

POTENCIA ELEVADA A OTRA POTENCIA

(EXPONENTE DE EXPONENTE)

Ejemplos:

(x 2 ) 3 = x 6

(5 3 ) 4 = 5 12

(y 7 ) 0 = 1

Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes

mnnm aa )(

{(22)3}4 = 2 2.3.4

Page 17: Potenciación - Teoremas

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

5,021

21 16981 P1) Calcula el valor de:

111

4

1

3

1

2

1

Q2) Reducir:

yxy

xyx

C7.33.77

373 11

3) Si: 3x = 7y; reducir:

124927

A4) Calcular:

Page 18: Potenciación - Teoremas

EVALUACIÓN

05

2

3322

1

Q1) Reducir

2) Calcular: (32)0,252