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TEOREMAS GERAIS DE ENERGIA Professora: Patrícia Soares

Teoremas de Energia

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TEOREMAS GERAIS DE ENERGIA

Professora: Patrcia Soares

Teorema de BettiSe um corpo livre de variaes de temperatura e de recalques de apoios est em equilbrio sob a ao de dois sistemas independentes de foras externas, o trabalho do primeiro sistema de foras na deformao produzida pelo segundo sistema de foras igual ao trabalho produzido pelo segundo sistema de foras na deformao produzida pelo primeiro sistema de foras.

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Teorema de Betti

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Teorema de Betti

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Teorema de BettiSeja uma viga submetida a duas cargas independentes. A aplicao dessas foras produzir um trabalho sobre a viga que a deixar na seguinte configurao deslocada.

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Teorema de BettiSe imaginarmos que foi aplicada primeiro, teremos na viga o deslocamento provocado por P1 nos pontos 1 e 2. Esses deslocamentos so funes de P1 e podem ser representados pela equao:

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Teorema de BettiDa mesma forma, supondo que seja aplicada aps , a viga, que j assumiu uma configurao deslocada, se desloca devido a aplicao da fora , havendo, nos pontos 1 e 2, deslocamentos dados pelas equaes:

Nessas equaes, os valores de so os coeficientes de influncia das foras nos valores dos deslocamentos.7

Teorema de Betti

Trabalho produzido por P1

Trabalho produzido por P2

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Teorema de BettiQuando P2 comeou a ser aplicada, surgiu no ponto 1, onde P1 j estava aplicada com seu valor integral, um deslocamento x21. Desse modo, a aplicao de P2 fez com que P1 produzisse um trabalho definido pela equao:

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Teorema de BettiAssim, o trabalho total realizado pelas duas foras sobre a estrutura dado por:

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Teorema de BettiCaso a ordem de aplicao das duas foras fosse invertida, isto , aplicssemos primeiro P2 e em seguida P1, verificaramos que o trabalho produzido pelo sistema de foras dado pela equao:

Que exatamente igual ao valor dado pela equao do caso anterior.11

Teorema de Betti

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Teorema de Castigliano

Para as trelias

Para as vigas

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Teorema de CastiglianoPara o exemplo anterior:

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Teorema de MenabreaQuando um corpo livre de variao de temperatura e de recalques de apoio est em equilbrio elstico sob a ao de um sistema de foras externas, o sistema de foras que equilibra o sistema de foras externas aquele que minimiza o trabalho interno de deformao. Matematicamente, o teorema de Menabrea definido pela equao (2). Nessa equao, a funo que descreve o trabalho interno de deformao e %& so as reaes de apoio, isto , a derivada parcial do trabalho externo em relao a cada reao de apoio deve ser nula, j que supomos ausncia de recalques de apoio e variao de temperatura. 15

Teorema de MenabreaQuando um corpo livre de variao de temperatura e de recalques de apoio est em equilbrio elstico sob a ao de um sistema de foras externas, o sistema de foras que equilibra o sistema de foras externas aquele que minimiza o trabalho interno de deformao.

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Exemplo 1A viga em balano suporta uma fora uniformemente distribuda e uma fora concentrada P aplicada na ponta do balano. Sabendo que a viga possui 2,0 m de comprimento, rigidez flexo EI = 5 MN.m2 e que as foras aplicadas so w = 4 kN/m e P = 6 kN. Empregando o Teorema de Castigliano, determine o deslocamento sofrido pela extremidade livre.

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Exemplo 1

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Exemplo 1

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Exemplo 2A viga hiperesttica est submetida a uma fora uniformemente distribuda. Determine a reao de apoio vertical no n A empregando o Teorema de Menabrea.

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Exemplo 2

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Exemplo 2

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