Cap05 - Teoremas de Rede

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

Captulo 5

Teoremas de Rede


5.1 Circuitos Lineares

Propriedade da Proporcionalidade:

Se x e y so variveis associadas a um elemento de dois terminais, ento este elemento dito linear se a multiplicao de x por uma constante Kresulta na multiplicao de y pela mesma constante.

Exemplo de elementos lineares:

onde a uma constante.

Circuito linear se ele contm somente fontes de correntes independentes e/ou elementos lineares.

dtdx

ay

axdtdy

axy

=

=

=


As equaes que descrevem um circuito linear so obtidas pela aplicao das leis de Kirchhoff para tenses e correntes.

Estas equaes so, por exemplo, da forma:

onde f a soma algbrica das tenses das fontes independentes no lao e

ai = 0, -1 ou +1.

fvavava nn =+++ L2211


Exemplo:

+

2

vg1

5

+ v1

i1

+

v3

+

vg2

+v2

i2

3i6

21321 gg vvvvv =+Lei de Kirchhoff:

Ento, a1 = +1, a2 = +1, a3 = 1 e f = vg1 vg2.

Note que:

O mesmo vale para a equao de correntes.

fvavava =++ 332211

KfKvaKvaKva =++ 332211


Exemplo: Propriedade de Proporcionalidade

+-

2

vg1 4 ig2

i

Lei de Kirchhoff de tenses: ( ) 12 42 gg viii =+3621 gg ivi +=

8636

4318

i [A]ig2 [A]vg1 [V]


Exemplo: Propriedade de Proporcionalidade. Achar a v1.

+-

i5 i3

i4

vg = 45 V 5

i2 i1

1 1/2 +v3

+v1

1 3

+ v4 + v2

Chute: v1 = 1 [V], ento i1 = 2 [A]

[ ]A 3 211

1331 =

+= iii

[ ]A 123 2321 ===+ iiii

[ ]V 9333 32 === iv[ ]V 1091213 =+=+= vvv

[ ]A 25

1053

4 ===vi

[ ]A 532 5345 =+=+= iiii[ ]V 5511 54 === iv

[ ]V 1510534 =+=+= vvvgEnto v1 tem que ser 3 vezes maior, ou seja, v1 = 3 [V]


Exemplo:

+-

2

vg R (no linear) v = i 2= iii

+v

Calculo da corrente que sai do terminal positivo da fonte para:

a) vg = 8 [V]

b) vg = 16 [V]

( ) 222 iiviiiRv gsg +=+==[ ]A 208228 22 ==++= iiiii

[ ]A 1231,301622 ==+ iiivg dobrou mas i no!

Proporcionalidade no se aplica!

R = i

Rs = i + 2


5.2 Superposio

Circuitos lineares com mais de 1 entrada.

Propriedade de linearidade torna possvel obter a resposta nestes circuitos pela anlise de apenas uma entrada.

Exemplo:

+-

2

vg1 4 ig2

i

( ) 12 42 gg viii =+3621 gg ivi +=Lei de Kirchhoff de tenses:


( ) 12 42 gg viii =+Se i1 a componente de i devido apenas a vg1, isto , ig2 = 0, ento:

( ) 111 402 gvii =+

Se i2 a componente de i devido apenas a ig2, isto , vg1 = 0, ento:

( ) 12 42 gg viii =+ ( ) 042 222 =+ iii g( ) 111 402 gvii =+

( ) 042 222 =+ iii g+( )[ ] ( ) 121221 42 gg viiiii =+++

( ) 12 42 gg viii =+21 iii +=

611gvi =

322gii =

3621 gg ivi +=


Processo alternativo para obteno de i:

+-

2

vg1 4

i1

2

4 ig2

i2

61

1gvi =

3422 2

22g

gi

ii =+

=

3621 gg ivi +=


Superposio:

Em qualquer circuito resistivo linear contendo duas ou mais fontes independentes, qualquer tenso (ou corrente) do circuito pode ser calculada como a soma algbrica de todas as tenses (ou correntes) individuais causadas pelas atuao isolada de cada fonte independente, isto , com todas as outras fontes independentes mortas.

Obs.: As equaes envolvidas no circuito so de primeiro grau (lineares).


Exemplo: Circuito com trs fontes independentes

Resoluo tradicional:

[ ][ ]

[ ]V 18A 2

V 6

3

2

1

=

=

=

g

g

g

v

i

v

3

+-

2

18 V6 2 A

+ v -

+ -

6 V

ab

c

dn de referncia

13

3

3

: n no tenso

: n no tenso

: n no tenso

gg

g

g

vvv

vv

v

+

a

c

bEquao nodal (n genrico):

0326 2

113=

++

+g

ggg ivvvvvv

[ ]V 5234 =+= v231 6

132

ggg ivvv +=


Resoluo por sobreposio:

3 2

6

+ v1 -

+ -

6 V

ab

c

d

[ ]V 463

23

31 =

+=v

6 // 2 em srie com 3 :

3 2

6 + v1 -

+ -

6 V

ab, d

c

[ ]=+

=

23

6262

eqR


[ ]==++= 1131

21

611

eqeq

RR

3 2

6 2 A

+ v2 -a

bc

d3 resistores em paralelo:

[ ]V 22122 === eqRv

b d

3 2 6 2 A-

v2+

a c


[ ]=+

=

56

3232

eqR

3

+-

2

18 V6

+ v3 -a

bc

d3 // 2 em srie com 6 :

3

+-

2

18 V6

+ v3 -

a, c b

d

[ ]V 3186

56

56

3 =+

=v

[ ]V 5324321 =+=++= vvvv


Exemplo: Circuito com uma fonte dependente. Potncia entregue a R3.

+

1

12 V

3

i

+

+v

2i V

6 A

A potncia no uma combinao linear de tenses ou correntes.

3

2vp =

Superposio no pode ser diretamente aplicada para a potncia.

Mas superposio pode ser aplicada para a tenso.


+

1

12 V

3

i1

+

+v1

2i1 V

11 3 iv =

01212 111 =+++ iiv

[ ]A 26

12012312 1111 ===+++ iiii

[ ]V 63 11 == iv


1 3

i2

+

+v2

2i2 V

6 A

1833

6 2222 +==+ ivvi

22222 312 ivivi ==+[ ]V 918

33 222 =+

= vv

v

[ ]V 159621 =+=+= vvv [ ]W 75315

3

22===

vp


5.3 Teoremas de Thvenin e de Norton

O uso destes teoremas permite a troca de um circuito inteiro, visto de seus terminais, por um circuito equivalente, composto de uma fonte e um resistor.

Circuito A: fontes independentes e/ou dependentes, resistores.

Circuito B: pode tambm ter elementos no lineares.

Restrio adicional: nenhuma fonte dependente do circuito A pode ser controlada por uma tenso ou corrente do circuito B e vice-versa.

Circuito Linear A Circuito B

a

b

i

+v-


Pode-se substituir o circuito A por um circuito equivalente:

uma fonte e um resistor,

relaes de tenso e corrente nos terminais a-b sejam as mesmas

Em relao ao circuito A, pode-se trocar o circuito B por uma fonte de tenso:

Aplicando o princpio da superposio ao circuito linear obtido, temos:

Circuito Linear A

a

b

i

+v-

v+-

sciii += 1


i1 = corrente produzida pela fonte de tenso v com o circuito A morto (todas as fontes independentes foram mortas).

Lei de Ohm:

Circuito A morto

a

b

i1

v+-

Rth = resistncia equivalente de A

thRvi =1


isc = corrente de curto circuito produzida por alguma fonte no circuito A com a fonte v morta (curto-circuitada).

Circuito A

a

b

isc

scth

sc iRviii +=+= 1Descreve o circuito A, no caso geral:

Suponha que os terminais a-b estejam abertos, ento

scthocscthoc iRvi

Rv

=+=0

v = voc tenso de circuito aberto

thsc R

vii +=

thoc

sc Rvi =

ocththoc

thviRv

Rv

Rvi +==+

Circuito A

a

b

+voc_

i = 0


octh viRv +=

Circuito equivalente de Thvenin descrito pela equao:

sendo a tenso v e corrente i orientadas como na figura:

Note que v a soma de dois termos representando 2 elementos em srie cujas tenses somadas do o valor v.

Circuito Linear A Circuito B

a

b

i

+v-


Circuito equivalente de Thvenin do circuito A:

+-

Rth

voc

i

+

v

a

b

octh viRv +=


Circuito equivalente de Norton do circuito A:

Rthisc

+

v

ia

b

Circuito equivalente de Norton o dual do Thvenin.

thoc

thocth R

v

RviviRv +=+=

thoc

sc Rvi =

scth

iRvi +=


Exemplo: Circuito de Thvenin e de Norton

6 V

6

i

3 R

+

v

2 - +

2 A

a

b

Obter i em termos da carga R.


Circuito morto e obteno Rth:

6 3

2 a

b Rth

=+

+= 463632thR


Obteno voc:

6 V

6 3

+

voc

2 - +

2 A

a

b

vocvoc 6

236

6=+

ococ vv

[ ]V 6=ocv

thoc

RRvi+

=

+-

Rth

voc

i

+

v

a

b

R


+-

4

voc = 6 V

+

v

-

a

b

i

R

Circuito equivalente de Thvenin:

[ ]A 4

6+

=

Ri


Circuito equivalente de Norton:

4

i

R1,5 A

a

b

= 4thR

[ ]A 5,14646 ==== scscscthoc iiiRv

[ ]A 4

65,14

4+

=

+=

RRi


Exemplo: Circuito equivalente de Norton.

Circuito morto e obteno Rth:

2i1 V

4 6

3

10 A

a

b

- +

i1

2i1 V

4 6

3 a

b

- +

i1

i

+

v

Rth


sc

octh i

vR =

2i1 V

4 6

3

10 A

a

b

- +

i1 isci2

sciii = 12 100624 112 =+ iii

11 2036 iiii scsc ==+

[ ]A 5=sci

1 2

( ) 062104 111 =+ iiii sc


2i1 V

4 6

3

10 A

a

b

- +

i1 +

voc

16 ivoc = ( ) 062104 111 =+ iii[ ]A 5

840062440 1111 ===++ iiii

[ ]V 3056 ==ocv

[ ] 6530 ===sc

octh i

vR

[ ]A 5=sci


6 5 A

+

v

-

ia

b



Exemplo: Circuito equivalente de Thvenin2i1 V

4 6

a

b

- +

i1

Por inspeo: voc = 0 e isc = 0 (no h fontes independentes).No podemos achar Rth atravs de voc = Rth isc

Soluo: Excitar o circuito com uma fonte nos terminais a e b e calcular Rth.


1vRth =

2i1 V

4 6

a

b

- +

i1

1 A

+

v

-

Rth

vv 2i1

56121

642 11 ivviv +==+

16iv =[ ]V 3=v [ ]= 3thR

3 Circuito equivalente de Thvenin

chute


5.4 Fontes Prticas

Na prtica uma fonte de tenso fornece uma tenso V somente quando seus terminais esto sem carga (abertos).

Quando uma corrente flui atravs de seus terminais a tenso fornecida menor que V.

Modelo:

+-

Rg

vg

+

v

i

RL

Fonte de tenso prtica

iRvv gg =

Circuito aberto (i = 0):

Curto circuito (v = 0):gvv =

g

gRv

i =


Fixados os valores de vg e Rg, a carga RL determina o valor da corrente que flui nos terminais.

Assim, corrente de carga

E a tenso de sada

Lg

gRR

vi

+=

Lg

gLL RR

vRiRv

+==

vg

v

RL

fonte ideal

fonte prtica


Pode-se substituir a fonte de tenso prtica por uma fonte de corrente prtica, reescrevendo a equao:

Fazendo

Obtemos

gg

ggg R

v

Rv

iiRvv ==

g

gg R

vi =

gg R

vii =

Rg

i

RLig

a

b

+

v

Fonte de corrente prtica

gLg

g iRR

Ri

+=

iRv L =


ig

i

RL

fonte ideal

fonte prtica

Fixados os valores de ig e Rg, a carga RL determina o valor da corrente que flui nos terminais.


Exemplo: Encontrar a corrente i.

2 +-

i

32 V 6 6

3 4 1

4 A

Resoluo pelo mtodo de troca sucessiva de fontes:

2

+-

i

32/3 A 6 6 3

4 1

8 V


+-

i

32/3 A 2 6

4 3

8 V

+-

i

64/3 V 6

4

3 8/3 A

2


+-

i

64/3 V 2

4

8/3 A

2

+-

i

64/3 V

2 4

16/3 V

2

+-

[ ]A 2242

316

364

=

++

=i


+-

i

64/3 V

2 4

16/3 V

2

+-

Exemplo: Combinao de fontes em srie.

+-

16 V

8 i

[ ]A 28

16==i


5.5 Transferncia Mxima e Potncia

Potncia pL entregue ao resistor RL:

Queremos maximizar pL!!!

+-

Rg

vg

+

v

-

i

RL

Fonte de tenso prtica

LLg

gLL RRR

vRip

22

+==


Tenso vg e Rg fixas, ento,

( ) ( )( )

( )( ) 0

2

2

2

4

22

2

=

+

=

+

++=

+=

Lg

gLg

Lg

LLgLggL

Lg

g

LLL

RR

vRR

RR

RRRRRvR

RRv

dRd

dRdp

gL RR =

08 3

2

2

2


Teorema da Mxima Transferncia de Potncia:

a mxima potncia entregue por uma fonte prtica quando a carga RLpossui valor igual a resistncia interna da fonte.

Potncia mxima que uma fonte de tenso prtica pode entregar a uma carga dada por:

Potncia mxima que uma fonte de corrente prtica pode entregar a uma carga dada por:

g

gg

gg

gL

Lg

gL R

vR

RRv

RRR

vp

4

222

max =

+=

+=

4

2max

ggL

iRp =


Pode-se estender o Teorema da Mxima Transferncia de Potncia para um circuito linear:

mxima potncia obtida em um dado par de terminais quando estes terminais possuir carga igual resistncia de Thvenin do circuito.


Exemplo: Potncia mxima do circuito abaixo conectando nos terminais a-b uma carga com a resistncia de Thvenin:

2i1 V

4 6

3

10 A

a

b

- +

i1

[ ]== 6thL RR

[ ]A 5=sci



6 RL = 6 5 A

a

bPotncia fornecida para a carga:

( ) ( ) [ ]W 5,37666900

6900

22 =+

=

+=

L

LR

Rp

Qualquer outro valor de RL fornece potncia menor.

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