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DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I Capítulo 5 Teoremas de Rede

Cap05 - Teoremas de Rede

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  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Captulo 5

    Teoremas de Rede

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    5.1 Circuitos Lineares

    Propriedade da Proporcionalidade:

    Se x e y so variveis associadas a um elemento de dois terminais, ento este elemento dito linear se a multiplicao de x por uma constante Kresulta na multiplicao de y pela mesma constante.

    Exemplo de elementos lineares:

    onde a uma constante.

    Circuito linear se ele contm somente fontes de correntes independentes e/ou elementos lineares.

    dtdx

    ay

    axdtdy

    axy

    =

    =

    =

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    As equaes que descrevem um circuito linear so obtidas pela aplicao das leis de Kirchhoff para tenses e correntes.

    Estas equaes so, por exemplo, da forma:

    onde f a soma algbrica das tenses das fontes independentes no lao e

    ai = 0, -1 ou +1.

    fvavava nn =+++ L2211

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Exemplo:

    +

    2

    vg1

    5

    + v1

    i1

    +

    v3

    +

    vg2

    +v2

    i2

    3i6

    21321 gg vvvvv =+Lei de Kirchhoff:

    Ento, a1 = +1, a2 = +1, a3 = 1 e f = vg1 vg2.

    Note que:

    O mesmo vale para a equao de correntes.

    fvavava =++ 332211

    KfKvaKvaKva =++ 332211

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Exemplo: Propriedade de Proporcionalidade

    +-

    2

    vg1 4 ig2

    i

    Lei de Kirchhoff de tenses: ( ) 12 42 gg viii =+3621 gg ivi +=

    8636

    4318

    i [A]ig2 [A]vg1 [V]

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Exemplo: Propriedade de Proporcionalidade. Achar a v1.

    +-

    i5 i3

    i4

    vg = 45 V 5

    i2 i1

    1 1/2 +v3

    +v1

    1 3

    + v4 + v2

    Chute: v1 = 1 [V], ento i1 = 2 [A]

    [ ]A 3 211

    1331 =

    += iii

    [ ]A 123 2321 ===+ iiii

    [ ]V 9333 32 === iv[ ]V 1091213 =+=+= vvv

    [ ]A 25

    1053

    4 ===vi

    [ ]A 532 5345 =+=+= iiii[ ]V 5511 54 === iv

    [ ]V 1510534 =+=+= vvvgEnto v1 tem que ser 3 vezes maior, ou seja, v1 = 3 [V]

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Exemplo:

    +-

    2

    vg R (no linear) v = i 2= iii

    +v

    Calculo da corrente que sai do terminal positivo da fonte para:

    a) vg = 8 [V]

    b) vg = 16 [V]

    ( ) 222 iiviiiRv gsg +=+==[ ]A 208228 22 ==++= iiiii

    [ ]A 1231,301622 ==+ iiivg dobrou mas i no!

    Proporcionalidade no se aplica!

    R = i

    Rs = i + 2

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    5.2 Superposio

    Circuitos lineares com mais de 1 entrada.

    Propriedade de linearidade torna possvel obter a resposta nestes circuitos pela anlise de apenas uma entrada.

    Exemplo:

    +-

    2

    vg1 4 ig2

    i

    ( ) 12 42 gg viii =+3621 gg ivi +=Lei de Kirchhoff de tenses:

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    ( ) 12 42 gg viii =+Se i1 a componente de i devido apenas a vg1, isto , ig2 = 0, ento:

    ( ) 111 402 gvii =+

    Se i2 a componente de i devido apenas a ig2, isto , vg1 = 0, ento:

    ( ) 12 42 gg viii =+ ( ) 042 222 =+ iii g( ) 111 402 gvii =+

    ( ) 042 222 =+ iii g+( )[ ] ( ) 121221 42 gg viiiii =+++

    ( ) 12 42 gg viii =+21 iii +=

    611gvi =

    322gii =

    3621 gg ivi +=

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Processo alternativo para obteno de i:

    +-

    2

    vg1 4

    i1

    2

    4 ig2

    i2

    61

    1gvi =

    3422 2

    22g

    gi

    ii =+

    =

    3621 gg ivi +=

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Superposio:

    Em qualquer circuito resistivo linear contendo duas ou mais fontes independentes, qualquer tenso (ou corrente) do circuito pode ser calculada como a soma algbrica de todas as tenses (ou correntes) individuais causadas pelas atuao isolada de cada fonte independente, isto , com todas as outras fontes independentes mortas.

    Obs.: As equaes envolvidas no circuito so de primeiro grau (lineares).

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Exemplo: Circuito com trs fontes independentes

    Resoluo tradicional:

    [ ][ ]

    [ ]V 18A 2

    V 6

    3

    2

    1

    =

    =

    =

    g

    g

    g

    v

    i

    v

    3

    +-

    2

    18 V6 2 A

    + v -

    + -

    6 V

    ab

    c

    dn de referncia

    13

    3

    3

    : n no tenso

    : n no tenso

    : n no tenso

    gg

    g

    g

    vvv

    vv

    v

    +

    a

    c

    bEquao nodal (n genrico):

    0326 2

    113=

    ++

    +g

    ggg ivvvvvv

    [ ]V 5234 =+= v231 6

    132

    ggg ivvv +=

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Resoluo por sobreposio:

    3 2

    6

    + v1 -

    + -

    6 V

    ab

    c

    d

    [ ]V 463

    23

    31 =

    +=v

    6 // 2 em srie com 3 :

    3 2

    6 + v1 -

    + -

    6 V

    ab, d

    c

    [ ]=+

    =

    23

    6262

    eqR

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    [ ]==++= 1131

    21

    611

    eqeq

    RR

    3 2

    6 2 A

    + v2 -a

    bc

    d3 resistores em paralelo:

    [ ]V 22122 === eqRv

    b d

    3 2 6 2 A-

    v2+

    a c

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    [ ]=+

    =

    56

    3232

    eqR

    3

    +-

    2

    18 V6

    + v3 -a

    bc

    d3 // 2 em srie com 6 :

    3

    +-

    2

    18 V6

    + v3 -

    a, c b

    d

    [ ]V 3186

    56

    56

    3 =+

    =v

    [ ]V 5324321 =+=++= vvvv

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Exemplo: Circuito com uma fonte dependente. Potncia entregue a R3.

    +

    1

    12 V

    3

    i

    +

    +v

    2i V

    6 A

    A potncia no uma combinao linear de tenses ou correntes.

    3

    2vp =

    Superposio no pode ser diretamente aplicada para a potncia.

    Mas superposio pode ser aplicada para a tenso.

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    +

    1

    12 V

    3

    i1

    +

    +v1

    2i1 V

    11 3 iv =

    01212 111 =+++ iiv

    [ ]A 26

    12012312 1111 ===+++ iiii

    [ ]V 63 11 == iv

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    1 3

    i2

    +

    +v2

    2i2 V

    6 A

    1833

    6 2222 +==+ ivvi

    22222 312 ivivi ==+[ ]V 918

    33 222 =+

    = vv

    v

    [ ]V 159621 =+=+= vvv [ ]W 75315

    3

    22===

    vp

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    5.3 Teoremas de Thvenin e de Norton

    O uso destes teoremas permite a troca de um circuito inteiro, visto de seus terminais, por um circuito equivalente, composto de uma fonte e um resistor.

    Circuito A: fontes independentes e/ou dependentes, resistores.

    Circuito B: pode tambm ter elementos no lineares.

    Restrio adicional: nenhuma fonte dependente do circuito A pode ser controlada por uma tenso ou corrente do circuito B e vice-versa.

    Circuito Linear A Circuito B

    a

    b

    i

    +v-

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Pode-se substituir o circuito A por um circuito equivalente:

    uma fonte e um resistor,

    relaes de tenso e corrente nos terminais a-b sejam as mesmas

    Em relao ao circuito A, pode-se trocar o circuito B por uma fonte de tenso:

    Aplicando o princpio da superposio ao circuito linear obtido, temos:

    Circuito Linear A

    a

    b

    i

    +v-

    v+-

    sciii += 1

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    i1 = corrente produzida pela fonte de tenso v com o circuito A morto (todas as fontes independentes foram mortas).

    Lei de Ohm:

    Circuito A morto

    a

    b

    i1

    v+-

    Rth = resistncia equivalente de A

    thRvi =1

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    isc = corrente de curto circuito produzida por alguma fonte no circuito A com a fonte v morta (curto-circuitada).

    Circuito A

    a

    b

    isc

    scth

    sc iRviii +=+= 1Descreve o circuito A, no caso geral:

    Suponha que os terminais a-b estejam abertos, ento

    scthocscthoc iRvi

    Rv

    =+=0

    v = voc tenso de circuito aberto

    thsc R

    vii +=

    thoc

    sc Rvi =

    ocththoc

    thviRv

    Rv

    Rvi +==+

    Circuito A

    a

    b

    +voc_

    i = 0

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    octh viRv +=

    Circuito equivalente de Thvenin descrito pela equao:

    sendo a tenso v e corrente i orientadas como na figura:

    Note que v a soma de dois termos representando 2 elementos em srie cujas tenses somadas do o valor v.

    Circuito Linear A Circuito B

    a

    b

    i

    +v-

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Circuito equivalente de Thvenin do circuito A:

    +-

    Rth

    voc

    i

    +

    v

    a

    b

    octh viRv +=

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Circuito equivalente de Norton do circuito A:

    Rthisc

    +

    v

    ia

    b

    Circuito equivalente de Norton o dual do Thvenin.

    thoc

    thocth R

    v

    RviviRv +=+=

    thoc

    sc Rvi =

    scth

    iRvi +=

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Exemplo: Circuito de Thvenin e de Norton

    6 V

    6

    i

    3 R

    +

    v

    2 - +

    2 A

    a

    b

    Obter i em termos da carga R.

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Circuito morto e obteno Rth:

    6 3

    2 a

    b Rth

    =+

    += 463632thR

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Obteno voc:

    6 V

    6 3

    +

    voc

    2 - +

    2 A

    a

    b

    vocvoc 6

    236

    6=+

    ococ vv

    [ ]V 6=ocv

    thoc

    RRvi+

    =

    +-

    Rth

    voc

    i

    +

    v

    a

    b

    R

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    +-

    4

    voc = 6 V

    +

    v

    -

    a

    b

    i

    R

    Circuito equivalente de Thvenin:

    [ ]A 4

    6+

    =

    Ri

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Circuito equivalente de Norton:

    4

    i

    R1,5 A

    a

    b

    = 4thR

    [ ]A 5,14646 ==== scscscthoc iiiRv

    [ ]A 4

    65,14

    4+

    =

    +=

    RRi

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Exemplo: Circuito equivalente de Norton.

    Circuito morto e obteno Rth:

    2i1 V

    4 6

    3

    10 A

    a

    b

    - +

    i1

    2i1 V

    4 6

    3 a

    b

    - +

    i1

    i

    +

    v

    Rth

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    sc

    octh i

    vR =

    2i1 V

    4 6

    3

    10 A

    a

    b

    - +

    i1 isci2

    sciii = 12 100624 112 =+ iii

    11 2036 iiii scsc ==+

    [ ]A 5=sci

    1 2

    ( ) 062104 111 =+ iiii sc

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    2i1 V

    4 6

    3

    10 A

    a

    b

    - +

    i1 +

    voc

    16 ivoc = ( ) 062104 111 =+ iii[ ]A 5

    840062440 1111 ===++ iiii

    [ ]V 3056 ==ocv

    [ ] 6530 ===sc

    octh i

    vR

    [ ]A 5=sci

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    6 5 A

    +

    v

    -

    ia

    b

    Circuito equivalente de Norton:

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Exemplo: Circuito equivalente de Thvenin2i1 V

    4 6

    a

    b

    - +

    i1

    Por inspeo: voc = 0 e isc = 0 (no h fontes independentes).No podemos achar Rth atravs de voc = Rth isc

    Soluo: Excitar o circuito com uma fonte nos terminais a e b e calcular Rth.

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    1vRth =

    2i1 V

    4 6

    a

    b

    - +

    i1

    1 A

    +

    v

    -

    Rth

    vv 2i1

    56121

    642 11 ivviv +==+

    16iv =[ ]V 3=v [ ]= 3thR

    3 Circuito equivalente de Thvenin

    chute

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    5.4 Fontes Prticas

    Na prtica uma fonte de tenso fornece uma tenso V somente quando seus terminais esto sem carga (abertos).

    Quando uma corrente flui atravs de seus terminais a tenso fornecida menor que V.

    Modelo:

    +-

    Rg

    vg

    +

    v

    i

    RL

    Fonte de tenso prtica

    iRvv gg =

    Circuito aberto (i = 0):

    Curto circuito (v = 0):gvv =

    g

    gRv

    i =

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Fixados os valores de vg e Rg, a carga RL determina o valor da corrente que flui nos terminais.

    Assim, corrente de carga

    E a tenso de sada

    Lg

    gRR

    vi

    +=

    Lg

    gLL RR

    vRiRv

    +==

    vg

    v

    RL

    fonte ideal

    fonte prtica

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Pode-se substituir a fonte de tenso prtica por uma fonte de corrente prtica, reescrevendo a equao:

    Fazendo

    Obtemos

    gg

    ggg R

    v

    Rv

    iiRvv ==

    g

    gg R

    vi =

    gg R

    vii =

    Rg

    i

    RLig

    a

    b

    +

    v

    Fonte de corrente prtica

    gLg

    g iRR

    Ri

    +=

    iRv L =

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    ig

    i

    RL

    fonte ideal

    fonte prtica

    Fixados os valores de ig e Rg, a carga RL determina o valor da corrente que flui nos terminais.

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Exemplo: Encontrar a corrente i.

    2 +-

    i

    32 V 6 6

    3 4 1

    4 A

    Resoluo pelo mtodo de troca sucessiva de fontes:

    2

    +-

    i

    32/3 A 6 6 3

    4 1

    8 V

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    +-

    i

    32/3 A 2 6

    4 3

    8 V

    +-

    i

    64/3 V 6

    4

    3 8/3 A

    2

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    +-

    i

    64/3 V 2

    4

    8/3 A

    2

    +-

    i

    64/3 V

    2 4

    16/3 V

    2

    +-

    [ ]A 2242

    316

    364

    =

    ++

    =i

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    +-

    i

    64/3 V

    2 4

    16/3 V

    2

    +-

    Exemplo: Combinao de fontes em srie.

    +-

    16 V

    8 i

    [ ]A 28

    16==i

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    5.5 Transferncia Mxima e Potncia

    Potncia pL entregue ao resistor RL:

    Queremos maximizar pL!!!

    +-

    Rg

    vg

    +

    v

    -

    i

    RL

    Fonte de tenso prtica

    LLg

    gLL RRR

    vRip

    22

    +==

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Tenso vg e Rg fixas, ento,

    ( ) ( )( )

    ( )( ) 0

    2

    2

    2

    4

    22

    2

    =

    +

    =

    +

    ++=

    +=

    Lg

    gLg

    Lg

    LLgLggL

    Lg

    g

    LLL

    RR

    vRR

    RR

    RRRRRvR

    RRv

    dRd

    dRdp

    gL RR =

    08 3

    2

    2

    2

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Teorema da Mxima Transferncia de Potncia:

    a mxima potncia entregue por uma fonte prtica quando a carga RLpossui valor igual a resistncia interna da fonte.

    Potncia mxima que uma fonte de tenso prtica pode entregar a uma carga dada por:

    Potncia mxima que uma fonte de corrente prtica pode entregar a uma carga dada por:

    g

    gg

    gg

    gL

    Lg

    gL R

    vR

    RRv

    RRR

    vp

    4

    222

    max =

    +=

    +=

    4

    2max

    ggL

    iRp =

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Pode-se estender o Teorema da Mxima Transferncia de Potncia para um circuito linear:

    mxima potncia obtida em um dado par de terminais quando estes terminais possuir carga igual resistncia de Thvenin do circuito.

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Exemplo: Potncia mxima do circuito abaixo conectando nos terminais a-b uma carga com a resistncia de Thvenin:

    2i1 V

    4 6

    3

    10 A

    a

    b

    - +

    i1

    [ ]== 6thL RR

    [ ]A 5=sci

  • DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

    Circuito equivalente de Norton:

    6 RL = 6 5 A

    a

    bPotncia fornecida para a carga:

    ( ) ( ) [ ]W 5,37666900

    6900

    22 =+

    =

    +=

    L

    LR

    Rp

    Qualquer outro valor de RL fornece potncia menor.