Teoremas de Stokes y Gauss

Concepto y aplicacion

Teorema de Stokes O Establece que el cálculo de la integral de

línea del campo vectorial F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulación del campo F alrededor de la frontera, en la dirección de la componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada positivamente, de tal manera que es la frontera de la superficie orientada positivamente S.

DescripciónO Este teorema establece una relación

entre una integral de línea y una de superficie,

O En que S es una superficie abierta, y C es la cueva cerrada que limita a dicha superficie. La dirección de recorrido de la curva C determina la orientación del vector, normal a la superficie.

Aspectos generalesO El teorema se extiende fácilmente a las

combinaciones lineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de De Rham.

O El teorema fundamental del cálculo y el teorema de Green son también casos especiales del teorema de Stokes generalizado.

Ejemplo de stokes

Teorema de GaussO Establece que el flujo de campo eléctrico que atraviesa

una superficie cerrada es igual a la carga neta situada en su interior dividida por la constante dieléctrica del medio.

O donde:O ΦE es el flujo neto de cargaO E⃗ es la intensidad de campo eléctricoO dS⃗ es un diferencial del vector de superficie (trozo

elemental de superficie)O Q es la carga contenida en la superficieO ε es la constante dieléctrica del medio.

Aplicaciones de la ley de Gauss

O Aunque a la hora de calcular el campo eléctrico generado por ciertas superficies cargadas es posible hacer uso de la ley de Coulomb, en muchas ocasiones resulta más sencillo utilizar el teorema de Gauss sobre el flujo eléctrico. Para ello es común seguir los siguientes pasos:

O 1. Se escoge una superficie cerrada perpendicular al campo eléctrico y cuya área sea conocida para nosotros. Esta superficie recibe el nombre de superficie gaussiana y deberá envolver a la superficie que genera el campo.

O 2. Se aplica la expresión general del flujo eléctrico para cualquier tipo de superficie.

O 3. El valor obtenido en el punto anterior se iguala a la expresión del teorema de Gauss.

Ejemplo de Gauss