UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA

08/07/2011

Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica

INTRODUCCION

Sea dada una ecuación diferencial donde la función está definida en un recinto D del plano XOY que contiene el punto Si la función satisface a las condiciones:

Es una función continua de dos variables x e y, en el recinto D.

Admite derivada parcial continua con respecto de x e y en el recinto D, entonces, existe una, y sólo una, solución de la ecuación dada que satisface a la condición.

La condición se llama condición inicial.

El problema de la búsqueda de la solución de la ecuación que satisface la condición inicial, lleva el nombre de Cauchy.

Geométricamente esto significa que se busca la curva integral que pasa por el punto dado del plano XOY.

El teorema expresa las condiciones suficientes para la existencia de solución única del problema de Cauchy para la ecuación pero estas condiciones no son necesarias. Precisamente, puede existir una solución única de la ecuación que satisface a la condición, a pesar de que en el punto no se cumpla la condición a) o la condición b), o estas condiciones simultáneamente.

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TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIÓN PARA

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL (PVI).

Los teoremas de existencia y unicidad de solución tienen gran importancia en el estudio de las ED. Muchas ED son difíciles de resolver y por ello es importante asegurarse de la existencia de solución antes de intentar resolverlas. Por otra parte el tema tiene interés para las aplicaciones: si el PVI representa un modelo matemático determinista de una situación física, esperamos que exista solución.

Además la solución debe ser única pues si se repite el experimento en las mismas condiciones, cabe esperar los mismos resultados.

Presentamos a continuación el Teorema de Picard-Lindel˝of de existencia y unicidad de solución para PVI. La demostración que indicaremos está basada en el teorema del punto fijo para aplicaciones contractivas y se debe a Bielecki.

Ejemplos de no unicidad en sistemas físicos:

Exceptuando el caso de malos modelos, suelen aparecer problemas de no unicidad de solución de ecuaciones diferenciales cuando las ecuaciones de movimiento se derivan de constantes de movimiento. Por ejemplo, el modelo diferencial de la experiencia de arrojar una pelota hacia arriba es:

Si se utilizan consideraciones energéticas, se puede encontrar un modelo alternativo

Donde E es la “energía vertical” del sistema, E = mV22 /2, y mx2 (t)/2 y mgx(t)

representan las energías cinéticas y potencial del sistema, respectivamente. De modo que la ecuación que rige la velocidad puede escribirse como:

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Si esta ecuación se utiliza como ecuación de movimiento y se cambian las condiciones iniciales, los resultados deben tomarse con cautela –por ejemplo, al utilizar programas de integración numérica– ya que no es Lipschitz continua en x = E/(mg). Para el punto inicial x(0) = E/(mg), x˙ (0) = 0, que corresponde al máximo de la trayectoria de la pelota, la solución de la ecuación de movimiento se mantiene sobre la rama espuria

Para la cual x˙ (t) ≡ 0: la pelota se queda “flotando” a una altura E/(mg), en lugar de seguir por la “rama física”

La resolución de la ecuación con condiciones iniciales x(0) = E/(mg), x˙ (0) = 0 permite calcular la solución correcta.

Ejemplos de este tipo, pero más sutiles, ocurren cuando se analiza la dinámica de osciladores no lineales acoplados utilizando variables acción-ángulo (Jk, θ), ya que en este caso nuevamente aparecen términos de la forma J1/2 k en las ecuaciones de movimiento. Si algunos Jk(t) ' 0, aumenta el error de los métodos de integración numérica, reflejando la no unicidad de las ecuaciones en Jk(t) = 0.

La cuestión de la unicidad de las soluciones se torna más compleja si las ecuaciones diferenciales no son de la forma ˙x(t) = f [t, x(t)]. Por ejemplo, la ecuación diferencial

Que es de primer orden pero de segundo grado, puede dar cualesquiera de tres soluciones para x(0) = 0 :

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TEOREMA DE PIRCAD Y LINDELOF

El teorema debe su nombre al matemático francés Charles Émile Picard y al topólogo finés Ernst Leonard Lindelöf.

Enunciado general

"Sea , donde Ω es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de x (interprétese f(t,x) como la forma estándar de una

EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado , podemos encontrar un intervalo cerrado donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:

Que cumple que los pares "

De hecho, esta α puede ser encontrada de manera explícita, en la demostración se dan detalles de ello.

El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si queremos aplicar el teorema. Añadiendo más condiciones al enunciado original, podemos dar este otro más sencillo: "Sea una función

Lipschitz. Entonces, dados " existe una única solución x(t) del problema de valor inicial

Definida ".

Es importante observar que el teorema de Picard sólo nos garantiza la existencia y unicidad local de la solución de una EDO. Es decir, más allá del intervalo proporcionado por el teorema (dado que su demostración es constructiva) no podemos decir nada, en principio, del comportamiento de la solución del problema de valor inicial. Es posible complementar el teorema señalando que existe un intervalo abierto, que llamaremos intervalo maximal en el cual puede garantizarse que la solución existe y es única; fuera de este intervalo, el teorema de Picard no puede aplicarse.

Sea el cilindro compacto donde f está definida, esto es

y .

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Sea , és decir, el valor de máxima pendiente en módulo. Y finalmente sea L la constante de Lipschtitz de f respecto la segunda variable.

Definimos el siguiente operador entre funciones continuas, el operador de Picard, como sigue:

Definido como: .

Vamos a imponer que esté bien definido, es decir, que su imagen sea una función que

tome valores en Bb(x0), es decir, que la norma de sea menor que b.

El último paso es imposición, por lo que deberá ser que α < b / M.

Veamos ahora que el operador de Picard es contractivo bajo ciertas hipótesis sobre α que más adelante podrán ser omitidas.

Dadas dos funciones queremos:

. Pero como f es Lipschitz respecto la segunda variable tenemos que:

.

Esto es contractivo si α < 1 / L o equivalentemente para tener igualdad si

.

Por lo tanto como el operador de Picard es un operador entre espacios de Banach (en particular espacios métricos inducidos por la norma) y contractivo, por el teorema del

punto fijo de Banach, existe una única función tal que es decir, solución del problema de valor inicial definida en Iα donde α debe

satisfacer las condiciones dadas, es decir, α = min {a,b / M,1 / (2L)}.

Optimización del intervalo de la solución

Ahora bien, hay un corolario del teorema del punto fijo de Banach que nos dice que si un operador Tn es contractivo para alguna potencia entonces T tiene un único punto fijo. Intentaremos aplicar este resultado al operador de Picard. Pero antes veamos un pequeño lema que nos será muy útil para aplicar el anterior corolario.

Lema:

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Lo demostraremos por inducción:

Para m = 1 ya lo hemos visto, suponemos cierto para m − 1 y probemos para m:

Por lo tanto ahora sí, teniendo esta desigualdad podemos asegurar que para m suficientemente grande,

la cantidad y por lo tanto Γm será contractivo y por el corolario anterior Γ tendrá un único punto fijo. Por lo que, finalmente, hemos podido optimizar el intervalo a tomar α = min {a,b / M}.

Esto lo que nos dice es que el intervalo de definición de la solución no depende de la constante de Lipschitz del campo, sino esencialmente en el intervalo de definición del campo y la máxima pendiente del mismo.

Bibliografia de Charles-Émile Picard

(París, 1856-1941) Matemático francés que realizó importantes avances en geometría analítica. Lector de La Sorbonne en 1878, un año más tarde fue profesor en la Universidad de Toulouse, y en 1879 regresó a París con un puesto docente en La Sorbonne, que compaginó con una plaza de profesor de matemáticas en la prestigiosa École Normale Supérieure.

En sus investigaciones contribuyó notablemente al análisis matemático, campo en el que creó el método de aproximaciones sucesivas para demostrar la existencia de soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Publicó Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes (dos volúmenes escritos en 1897 y 1906 en colaboración con George Smart), obra en la que, partiendo de la labor de Riemann y Abel, realizó un estudio de las integrales en superficies algebraicas referido a las vibraciones armónicas, que supo aplicar al análisis de fenómenos físicos como la elasticidad, el calor y la electricidad, labor que supone una importante contribución a la teoría de ecuaciones integrales.

Fue nombrado miembro de la Accadémie des Sciences en 1889, institución que lo nombró secretario perpetuo en 1917, Académico de Francia en 1924 y miembro honorario de la Royal Society en 1909. Contrajo matrimonio con la hermana de Charles Hermite. Algunas publicaciones suyas sonTraité d'analyse (1891-93), Les sciences mathématiques en France depuis un demi siècle, Coup d'oeil sur l'histoire des sciences et des théories physiques (1930) y La théorie de la rélativité et ses applications a l'Astronomie (1930).

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Emile Picard 's padre era el gerente de una fábrica de seda que murieron durante el asedio de París en 1870. El sitio fue consecuencia de la franco-alemán que comenzó la guerra el 19 de julio de 1870. Se pasó mal para Francia y el 19 de septiembre de 1870 los alemanes comenzaron un asedio de París. Este fue un momento desesperado para los habitantes de la ciudad que mataron a sus caballos, los gatos y perros para la alimentación. Fue durante este asedio que Emile padre del fallecido. París se rindió el 28 de enero de 1871 y el Tratado de Frankfurt, firmado el 10 de mayo de 1871, fue una humillación para Francia.

La madre de Picard, hija de un médico, fue puesto en una posición extremadamente difícil cuando murió su marido. Así como Emile, tuvo un segundo hijo, y con el fin de apoyarlos a través de su educación tenía que encontrar un empleo. Sólo su voluntad de dar a sus hijos un buen comienzo, a pesar de la tragedia, Emile permitido a recibir la educación que le dio la oportunidad de lograr el más alto stading internacional en matemáticas. Picard de la enseñanza secundaria fue en el Liceo Napoleón, más tarde llamado el liceo Henri IV. Extrañamente fue un alumno brillante en casi todos sus súbditos, particularmente en la traducción de griego y latín poesía, pero le disgustaba las matemáticas. Él mismo escribió que odiaba la geometría, sino que:

... aprendido de memoria con el fin de evitar ser castigados.

Fue sólo durante las vacaciones después de terminar su estudios secundarios Picard que leer un libro de álgebra y de repente se quedó fascinado por las matemáticas. Tomó los exámenes de ingreso para la École Polytechnique y la Ecole Normale Supérieure, quien se colocó segundo y primero, respectivamente, en los dos exámenes. Hadamard escribió en:

Como cualquier joven francés de nuestro tiempo que se dota a la ciencia, se vio obligado a elegir entre la École Polytechnique que, en principio, preparado para ser un ingeniero, y la Escuela Normal, con su orientación científica pura. Se le ocuparon el primer lugar y eligió la última. Se dice que ha hecho esta decisión después de una emocionante visita a Pasteur, durante el cual el padre de la bacteriología se refirió a la ciencia pura en términos tales nobles que la joven estaba completamente persuadido.

Picard recibió su agrégation en 1877, siendo colocado en primer lugar. Permaneció en la École Normale Supérieure de un año, donde fue contratado como asistente. Fue nombrado profesor de la Universidad de París en 1878 y luego profesor en Toulouse en 1879. En 1881 regresó a París cuando nombró maître de conférence en mecánica y astronomía en la École Normale.

En 1881 Picard fue nombrado para formar parte de la sección de matemáticas de la Académie des Sciences. Dice mucho de la habilidad extraordinaria que le estaba mostrando a tan temprana edad que fue nombrado. Él ya ha demostrado dos importantes teoremas son a la vez que hoy se conoce bajo el nombre de Picard, pero todavía es un poco pronto para ganar la admisión a la prestigiosa academia y tendría que esperar unos cuantos años más. En este año de su primer nombramiento se casó con Hermite 's hija. Picard y su esposa tenía tres hijos, una hija y dos hijos, que fueron todos muertos en la Primera Guerra Mundial I. Su nietos resultaron heridos y capturados en la Segunda Guerra Mundial.

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En 1885 Picard fue nombrado para la presidencia del cálculo diferencial en la Sorbona en París cuando el presidente cayó vacante por el fallecimiento de Claude Bouquet. Sin embargo una universidad reglamento impedido a nadie por debajo de la edad de treinta celebración de una silla. Los reglamentos se eludidas haciendo su propio Picard suppléant hasta que llegó a la edad de treinta que fue en el año siguiente. El orador pidió el intercambio de su silla para que de mayor análisis y álgebra en 1897 a fin de que pudo formar a los investigadores.

Picard hizo sus contribuciones más importantes en materia de análisis, función de la teoría, las ecuaciones diferenciales, geometría analítica y. Usó métodos de aproximación sucesiva para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias resolver el problema de Cauchy para estas ecuaciones diferenciales. A partir de 1890, extendió las propiedades de la ecuación de Laplace más general a las ecuaciones elípticas. Picard de la solución estuvo representado en la forma de una serie convergente.

En 1879 demostró que toda una función que no es constante cada valor tiene un número infinito de veces, con una posible excepción. Picard utiliza la teoría de Hermite 's modular funciones en la prueba de este importante resultado.

Basándose en los trabajos de Abel y Riemann, Picard del estudio de las integrales adjunta a las superficies algebraicas y topológicas preguntas relacionadas convertido en una parte importante de lageometría algebraica. Sobre este tema publicó, con Georges Simart, Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes que fue un período de dos volúmenes, el primer volumen que aparece en 1897 y la segunda en 1906. Picard también descubrió un grupo, ahora llamado el grupo de Picard, que actúa como un grupo de transformaciones en una ecuación diferencial lineal.

Sus tres volúmenes la obra maestra Traité d'analizar se publicó entre 1891 y 1896. El tratado:

... de inmediato se convirtió en un clásico y fue revisado con cada edición. El trabajo era accesible a muchos estudiantes a través de su gama de temas, exposición clara, lúcida y estilo. Picard examinado varios casos concretos antes de la discusión de su teoría general.

Picard también se aplica el análisis al estudio de la elasticidad, el calor y la electricidad. Estudió la transmisión de pulsos eléctricos a lo largo de cables de encontrar una bella solución al problema. Como puede verse en sus contribuciones son a la vez amplio e importante.

Entre los honores a Picard fue su elección a la Académie des Sciences en 1889, ocho años después de que él fue designado sin éxito. Posteriormente sirvió a la Academia como su secretario permanente a partir de 1917 hasta su muerte en 1941. En esta función:

... él escribió un aviso anual, ya sea en un científico o un tema de interés actual. También escribió numerosos prefacios a libros de matemáticas y participó en la publicación de obras de C Hermite y GH Halphen.

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Picard fue galardonado con el premio Poncelet en 1886 y el Grand Prix des Sciences Mathématiques en 1888. Además de Doctorados Honoris Causa de cinco universidades y miembros honorarios de treinta y siete sociedades científicas que recibió la Gran Cruz de la Legión de Honor en 1932 y la Mittag-Leffler Medalla de Oro en 1937. Él se convirtió en un miembro de la Academia Francesa en 1924. Otro honor fue dado a él le estaba haciendo el Presidente del Congreso Internacional de Matemáticos en Estrasburgo en septiembre de 1920.

Hadamard dijo lo de Picard como un maestro cuando se dirigió a él en 1937:

Usted fue capaz de hacer [mecánica] casi interesante, siempre he preguntado cómo le iba sobre esto, porque yo nunca pudo hacerlo cuando era mi turno. Pero usted también escapó, usted nos presenta no sólo a la hidrodinámica y la turbulencia, sino a muchas otras teorías de la física matemática e incluso de la geometría infinitesimal; todo esto en las conferencias, la más magistral que he escuchado en mi opinión, donde no hubo una sola palabra demasiados ni una palabra demasiado poco, y donde la esencia del problema y los medios utilizados para superar parecía claro como el agua, con todos los detalles secundaria tratada en profundidad y, al mismo tiempo, con destino a su lugar correcto.

Hadamard escribió en:

Una característica notable de Picard de la personalidad científica es la perfección de su enseñanza, uno de los más maravilloso, si no el más maravilloso, que he conocido jamás.

Es un hecho que entre 1894 y 1937 se capacitó a más de 10000 ingenieros que estaban estudiando en la École Centrale des Arts et manufacturas.

Existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias

Consideremos una funcion f dada tal que

Sin saber más de este problema con valores iniciales rápidamente nos vienen a la cabeza tres preguntas:

¿Cómo sabemos que (1) tiene solición si sabemos que no siempre podemos exhibirla?

¿Cómo sabemos, en caso que existiera, que tal solución es única? ¿son dos, tres o hay una infinidad de soluciones a (1)?

¿Para qué nos molestamos en saber esto? después de todo ¿qué utilidad tiene molestarse en encontrar una solución que podamos exhibir con presición?

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La respuesta a la tercer pregunta está en la observacón en que casi nunca, en aplicaciones reales, es necesario una solución exacta: basta con exhibirla hasta unos cuantos decimales para que sea “suficientemente precisa” lo cual es sencillo con la ayuda de una computadora. Así pues, el saber que existe tal solución es motivo suficiente para buscarla.

De este modo respondamos las dos primeras preguntas que es la idea de este artículo.

1.- Existencia de soluciones

El problema de encontrar una función que cumpla ciertas características no es uno raro y en cálculo están los primeros ejemplos. En la teoría de suceciones de funciones uno puede preguntarse, por ejemplo, si

Es decir, si una sucesión de funciones converge puntualmente hacia otra función f. ¿Será que si cada una de las funciones de la suceción comparten una propiedad (continuidad, integrebilidad, derivabilidad o ser solución de una ecuación diferencial) ésta se transfiere a la función límite? Vemos, en general, no es así pues la convergencia puntual no es una característica lo suficientemente fuerte para transferir muchas propiedades de la sucesión a la función límite, por consiguiente es necesario desarrollar métodos de convergencia más fuertes que preserven las propiedades, siendo el más importante el de la convergencia uniforme.

DEFINICIÓN:Una sucesión de funciones se llama uniformemente convergente a en el conjunto

S si:

tal que

y escribimos

De esta definición se desprende el siguiente teorema:

TEOREMA:Supongamos que

Si cada es continua en un punto entonces f también es continua en c.

Como este, existen teoremas equivalentes para la continuidad en toda x de S, para integrabilidad, derivabilidad, etc. Nosotros buscaremos un teorema equivalente para ver que una suceción de funciones, donde todos sus elementos son soluciones de (1), converge uniformemente a otra función que también será solución de (1).

El camino sugerido a seguir, entonces, podría ser este:

Construir una suceción de funciones que converga a una solución de (1)

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Probar que

en el intervalo

Probar que, en efecto, construida de tal manera es una solución de (1)

a) Construcción de la sucesión

Comenzamos definiendo una nueva función que puede depender exclusivamente de y de integrales de

Así que de momento nos concentraremos en buscar soluciones a (2), como, por ejemplo, podemos buscar una función tal que

O bien

Entonces, podemos caracterizar las soluciones de (2) como todas aquellas tales que al ser sustituidas en obtenemos la misma función, de donde dicha sea solución de (2)

Lo interesante de es que podemos tomar (1) y ponerla en esa forma especial si integramos de ambos lados:

Donde podemos ver que

De esta manera, si es continua y satisface (3) entonces y por lo tanto, será solución de (1) si es una solución continua de (3)

Nuestro problema pues, se ha reducido a encontrar una solución contínua a (3) que se conoce como ecuación integral. Este razonamiento sugiere la siguiente línea para construir una solución conveniente.

Comenzamos tomando (atención en dónde están los subíndices) como nuestra primera función de la suceción y construimos de la siguiente manera:

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Si sin duda es una solución de (3). En caso contrario (que no sean iguales) consideramos a como nuestro siguiente candidato y calculamos como sigue:

Procediendo indefinidamente hasta n, hemos construido una suceción bajo la siguiente regla de correspondencia:

la cual recibe el nombre de iteradas de Picard. Es posible demostrar que dicha suceción siempre converge a una solución de (3) aunque no siempre para toda t, pero es posible restringir el intervalo donde estarán definidas las funciones de la suceción de forma que sean convergentes a una solución de (3) en un intervalo conveniente al rededor de

b) convergencia de las iteradas de Picard

Para encontrar un estimado de dónde convergen las iteradas de Picard, bscaremos un intervalo donde toda la suceción esté uniformemente acotada (es decir, necesitamos una K tal que donde K sea constante). Además, buscamos un rectángulo R que contenga a las gráficas de todas las

Esta búsqueda se sumariza en el siguiente lema:

LEMA 1:Sean:

Entonces:

La demostración se lleva a cabo con inducción sobre n y utilizando el teorema fundamental del cálculo.

Este lema establece que las gráficas de están entre las dos líneas en el intervalo

Ahora veremos que converge para toda t en el intervalo

Primero reescribimos de la siguiente manera:

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La cual veremos que converge si y solo si la suceción infinita

también converge, para lo cual basta con probar que la serie:

no diverge.

Observamos que por (3)

donde el numero está entre los números y

Observación:El teorema del valor medio de Cauchy establece lo siguiente:

Si es continua en el intervalo y derivable en entonces existe un

número tal que:

En nuestro caso, estamos consierándolo de la siguiente manera:

Se sigue entonces del lema 1 que todos los puntos para de donde:

con constante.

Si en (5) ponemos n = 2 tenemos:

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Del mismo modo si n = 3 tenemos:

Por lo tanto, para n:

Si : De este modo la sucesión infinita (4) queda de la siguiente manera:

que evidentemente es un número finito, o sea, la serie no diverge, y por lo tanto, las iteradas de Picard convergen para toda t en el intervalo y así cuando

Un argumento semejante sirve para probar la convergencia en el intervalo donde y para los puntos (t,y) en el rectángulo:

c) Demostracion que satisface (1)

Probaremos ahora que y(t) definida como en (4) satisface la ecuación integral (3) y que además es contínua, como se necesita, lo cual queda sumarizado en el siguiente teorema:

TEOREMA 2:Sea tal que es contínua en el rectángulo R definido como:

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y sean:

Entonces el problema de valores iniciales tiene al menos una solución en el intervalo

Recordemos que la iteradas de Picard se definen como:

Aplicando limite de ambos lados obtenemos:

Lo siguiente a demostrar es que el lado derecho de (8) es igual a:

es decir, que podemos meter el límite dentro de la integral. Esto es equivalente a demostrar que:

cuando

Observamos primero que la gráfica de está en el rectángulo R para por ser el límite de la suceción de funciones y por éstas tener sus gráficas dentro de R

De allí obtenemos lo siguiente:

Con L definida como anteriormente. Ahora notamos que:

por dos motivos:

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Al hacer la resta término a término se obtienen los índices de la suma antes mencionada. Luego, por (6):

Y entonces tenemos:

Esta última suma tiende a 0 cuando por ser la cola de una serie de Taylor para de donde:

y así, satisface (3) y por lo tanto (1)

Ahora, para probar que es una función continua, veremos que tal que si entonces

El problema ahora es nuestro desconocimiento de pues nos es imposible compararla directamente con , pero recordando que es el límite de una sucesión convergente, podemos elegir un natural N suficientemente grande de forma que:

Ahora, observamos que:

Por nuestra elección de N y por (6) sabemos dos cosas

para y h suficientemente chica de forma que

Como es continua por ser obtenida de N integraciones sobre funciones continuas, podemos elegir un suficientemente chica tal que

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y así:

si por lo tanto es continua.

Resumen

Con el desarrollo del presente trabajo se busca demostrar que, bajo ciertas condiciones, una ecuación diferencial ordinaria admite una única solución.

Existencia y unicidad

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:

Existencia: ¿Existirá una solución al problema ?

Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ?

Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos ?

En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo.

Ejemplo

Dado el problema de valor inicial no resulta difícil comprobar que es solución, pues separando variables e integrando obtenemos que Y usando la condición inicial obtenemos que , con lo cual la solución sería . Observe que al resolver la ecuación diferencial dividimos por lo cual supone que , pero podemos verificar que es solución, en este caso una solución singular. En conclusión, el problema de valor inicial dado tiene solución pero no es única, como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo; el siguiente teorema nos da una respuesta parcial.

Teorema

Sea tal que . Si y son continuas en , entonces existe un intervalo abierto , centrado en y una función definida en , que satisface el problema de valor inicial

Ejemplo:

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En el ejemplo anterior tenemos que y , las cuales son continual en el semiplano definido por ; por consiguiente, el teorema garantiza que para cada punto con de ese semiplano, hay un intervalo centrado en en el cual la ecuación diferencial tiene una solución única. Así por ejemplo, sin resolverlo sabemos que el problema de valor inicial tiene solución única, mientras que para los problemas en donde el teorema no garantiza nada, es decir, podría suceder cualquier cosa: que no tenga solución, que tenga solución única o varias soluciones, como sucedió en el ejemplo anterior.

Ejemplo:

Hallar los valores de y para los cuales el teorema de existencia y unicidad garantiza que el problema de valor inicial tiene solución única.

Como la derivada parcial y son continua en todo punto donde , el teorema garantiza que existe una solución en el conjunto .

El teorema de existencia y unicidad nos da una condición suficiente. Por lo tanto el hecho de que no se cumplan las hipótesis no nos permite concluir nada. Por otro lado, aunque el teorema nos asegure la existencia no nos garantiza que exista un método para llegar a ella, quizás, lo mejor que podamos hacer sea aproximarla.

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Bibliografía

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Martin BraunDifferential Equations and Their Applications : An Introduction to Applied Mathematics 4th ed. (Texts in Applied Mathematics, Vol. 11)Springer

Tom M. ApostolAnálisis Matemático, segundada edición.Reverté

Michael SpivakCalculus, segunda edición.Reverté

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