Teoremas de Pappus-Guldinus

Primer teoremaSea una línea L en el plano x -y (Fig. a). Sean x , y las coordenadas del centroide de la línea. Podemos generar una superficie

haciendo girar la línea alrededor del eje x (Fig. b). Como la línea gira alrededor del eje x , su centroide se mueve en una trayectoria circular de radio y . El primer teorema de Pappus-

Guldinus establece que el área de la superficie de revolución es igual al producto de la distancia que el centroide de la línea recorre y la longitud de la línea:

Para demostrar este resultado, observamos que conforme la línea gira alrededor del eje x , el área dA generada por un elemento dL de la línea es dA = 2iry dL , donde y es la ordenada del elemento dL (Fig. 7.27c). Por consiguiente, el área total de la superficie de revolución es

De la definición de la coordenada y del centro de la línea,Obtenemos

Sustituyendo

Segundo teorema

Sea un área A en el plano x -y (Fig. 7.28a). Sean x , y las coordenadas del centroide del área. Podemos generar un volumen haciendo girar el área alrededor del eje x (Fig. 7.28b). Conforme el área gira alrededor del eje x , su centroide recorre la trayectoria circular de longitud El segundo teorema de Pappus-Guldinus establece que la magnitud V del volumen de revolución generado es igual al producto de la distancia que recorre el centroide del área y la magnitud del área:

Al girar el área alrededor del eje x, el volumen d V generado por un elemento dA del área es donde y es la ordenada del elemento dA (Fig. 7.28c). P or

consiguiente, el volumen total es

De la definición de la coordenada y del centroide del área,

Obtenemos: Sustituyendo