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Teoremas de Pappus- Guldinus Primer teorema Sea una línea L en el plano x - y (Fig. a). Sean x , y las coordenadas del centroide de la línea. Podemos generar una superficie haciendo girar la línea alrededor del eje x (Fig. b). Como la línea gira alrededor del eje x , su centroide se mueve en una trayectoria circular de radio y . El primer teorema de Pappus-Guldinus establece que el área de la superficie de revolución es igual al producto de la distancia que el centroide de la línea recorre y la longitud de la línea: Para demostrar este resultado, observamos que conforme la línea gira alrededor del eje x , el área dA generada por un elemento dL de la línea es dA = 2iry dL , donde y es la ordenada del

Teoremas de Pappus

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Explicación del Teorema de Pappus

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Teoremas de Pappus-Guldinus

Primer teoremaSea una lnea L en el plano x -y (Fig. a). Sean x , y las coordenadas del centroide de la lnea. Podemos generar una superficie haciendo girar la lnea alrededor del eje x (Fig. b). Como la lnea gira alrededor del eje x , su centroide se mueve en una trayectoria circular de radio y . El primer teorema de Pappus-Guldinus establece que el rea de la superficie de revolucin es igual al producto de la distancia que el centroide de la lnea recorre y la longitud de la lnea:

Para demostrar este resultado, observamos que conforme la lnea gira alrededor del eje x , el rea dA generada por un elemento dL de la lnea es dA = 2iry dL , donde y es la ordenada del elemento dL (Fig. 7.27c). Por consiguiente, el rea total de la superficie de revolucin es

De la definicin de la coordenada y del centro de la lnea,Obtenemos

Sustituyendo

Segundo teorema

Sea un rea A en el plano x -y (Fig. 7.28a). Sean x , y las coordenadas del centroide del rea. Podemos generar un volumen haciendo girar el rea alrededor del eje x (Fig. 7.28b). Conforme el rea gira alrededor del eje x , su centroide recorre la trayectoria circular de longitud El segundo teorema de Pappus-Guldinus establece que la magnitud V del volumen de revolucin generado es igual al producto de la distancia que recorre el centroide del rea y la magnitud del rea:

Al girar el rea alrededor del eje x, el volumen d V generado por un elemento dA del rea es donde y es la ordenada del elemento dA (Fig. 7.28c). P or consiguiente, el volumen total esDe la definicin de la coordenada y del centroide del rea,Obtenemos: Sustituyendo