Teoremas Fundamentales de Circuitos Electricos

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELCTRICOS

JOS RICARDO GALLEGO VSQUEZ

COD. 10032068

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PEREIRA

FACULTAD DE INGENIERAS ELCTRICA, ELECTRNICA,

FSICA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIN

PEREIRA

2008

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELCTRICOS

JOS RICARDO GALLEGO VSQUEZ

COD. 10032068

Monografa

Director

M. Sc. LVARO NGEL OROZCO GUTIRREZ

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PEREIRA

PROGRAMA DE INGENIERA ELCTRICA

FACULTAD DE INGENIERAS ELCTRICA, ELECTRNICA,

FSICA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIN

PEREIRA

2008

5

Nota de aceptacin:

Firma del presidente del jurado

Firma del jurado

Firma del jurado

Pereira, noviembre del 2008

6

AGRADECIMIENTOS

Hay personas de una estatura tal que trascienden los espacios y la historia de los

que comparten a su alrededor, esas personas son escasas y por ende muy

valiosas, es por eso que mis ms sinceros agradecimientos y m mas infinita

gratitud es para el ingeniero Jorge Eduardo Calle Trujillo; quien con su

colaboracin, dedicacin y esmero hizo posible la realizacin de este proyecto.

7

CONTENIDO

pg.

INTRODUCCIN 13

1. GENERALIDADES . 17

1.1 Qu es la teora de circuitos elctricos? 17

1.2 Qu es un circuito elctrico? 17

1.3 Cmo se describe un circuito elctrico? 18

1.4 Teoremas (definicin) 18

1.5 Por qu usar los teoremas para resolver los circuitos elctricos? 21

2. LOS TEOREMAS BSICOS 23

2.1 Teorema de sustitucin 23

2.1.1 Enunciado 24

2.1.2 Demostracin 24

2.1.3 Ejemplo de aplicacin 25

2.1.4 Ejercicios resueltos 31

2.1.5 Ejercicios propuestos 38

8

2.2 Teorema de superposicin 40

2.2.1 Enunciado 40

2.2.2 Por qu no se requiere de una demostracin 41




2.3 Teorema de Thvenin 63

2.3.1 Enunciado 63


2.3.2.1 Teorema unificado de Thvenin 5




2.4 Teorema de Norton 94

2.4.1 Enunciado 95





9

2.5 Teorema de reciprocidad 10

2.5.1 El principio de reciprocidad 10

2.5.2 El teorema como una consecuencia del principio 11

2.5.3 Enunciado 112





3. OTROS TEOREMAS . 131

3.1 Teoremas de Tellegen I y II 131

3.1.1 Enunciados 31





3.2 Teorema de Millman 53

3.2.1 Enunciado 53


10




3.3 Teorema de Kennelly (Rosen) 63

3.3.1 Enunciado 64





3.4 Teorema de mxima transferencia de potencia 80

3.4.1 Enunciado 81





3.5 Teorema de Miller 194

3.5.1 Enunciado 94



11



3.6 Teorema de compensacin 207

3.6.1 Enunciado 207



3.6.4 Ejercicios resueltos . 211


3.7 Teorema de biseccin de Bartlett 221

3.7.1 Enunciado 222



3.7.4 Ejercicio resuelto 229


4. CONCLUSIONES 235

BIBLIOGRAFA 237

ANEXOS Biografas 241

12

RESUMEN

Este documento se propone dar a conocer las aplicaciones de los diversos

teoremas que se emplean en la teora de circuitos elctricos, para as desarrollar

una solucin ms rpida en el momento de hallar la respuesta del circuito. De esta

forma con la explicacin previa de cada teorema se llevar a cabo el

entendimiento y posterior desarrollo de cada uno de estos en el momento que este

se pueda y se deba aplicar.

13

INTRODUCCIN

Este trabajo pretende establecer un manual de fcil consulta acerca de los ms

conocidos y utilizados teoremas de los circuitos elctricos.

Para ello se aclararn, primero, conceptos de Qu es la teora de los circuitos

elctricos?, Qu es un circuito elctrico?, Cmo se describe un circuito

elctrico?, Qu es un teorema1? y Cmo se usan los teoremas para describir

rpidamente los circuitos elctricos?

Se presentarn luego uno a uno especificando en qu tipo de circuitos se pueden

usar, cmo se aplican (ejercicios y problemas resueltos) y se propondrn algunos

para la cabal comprensin. En lo posible los problemas cubrirn circuitos en el

dominio del tiempo, en trminos de la transformada de Laplace y en rgimen

permanente con excitacin sinusoidal.

En la literatura existente los teoremas se enuncian, demuestran y usan cuando se

requieren, es decir, aparecen de repente, como una forma de salir de una

dificultad en el proceso del anlisis de los circuitos elctricos, es por esto que su

posterior aplicacin, es difcil. Se debe buscar dentro de la literatura en extenso. Si

se hubiera planeado el hacer una presentacin sistematizada de todos ellos,

bastara buscar el apartado de teoremas dentro del conjunto y aplicarlo al caso

particular. Algo as como la forma en que se ensea en la Universidad la teora de

circuitos elctricos.

Es posible, pero no se hace as, explicar el funcionamiento de los diferentes

fenmenos fsicos asociados con la carga elctrica y su movimiento estableciendo

el modelo adecuado para su solucin (circuito elctrico) y detenerse luego a

explicar un mtodo para resolver las ecuaciones que resultan (solucionar los 1 Para entender qu es un teorema se transcribir un texto del libro MAGIA Y BELLEZA DE LAS

MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA del seor IVN OBREGN el cual est escrito en primera persona, se respetar la redaccin del original

14

circuitos elctricos que aparecen en este caso particular). Lo mismo se hara con

todos los dems fenmenos. Es decir, se iniciara explicando que fenmeno o

fenmenos fsicos se asocian con una mquina elctrica, con la generacin de la

energa elctrica, con su transmisin, con su uso, etc. y en cada uno de estos

casos se enseara cmo resolver el correspondiente circuito equivalente, tantas

veces cuantas sea necesario.

Ms fcil, si se ensea a resolver, de forma genrica, los circuitos elctricos en

general, de todo tipo. Posteriormente se explica, en cada asignatura, que

fenmeno o fenmenos se estudian, se presenta el modelo correspondiente

(circuito equivalente) y se aplican los conocimientos adquiridos previamente para

resolverlo y continuar con el estudio de los resultados obtenidos.

Con los teoremas ocurre lo primero, cuando lo ideal sera adelantar un estudio de

ellos, en general, habilitando a quien se inicia en el estudio de los fenmenos

elctricos y magnticos para su posterior uso, de manera rpida, en cada caso.

Se precisarn, enunciarn y demostrarn los principales teoremas de circuitos, se

har explcito su significado y su alcance dentro del rango vlido para ello.

Los teoremas son de gran utilidad en las investigaciones que se hacen dentro del

campo de la ingeniera elctrica, como por ejemplo el Teorema de Thvenin en el

anlisis de los sistemas elctricos de potencia.

Para cada uno de los teoremas que se mencionan ms abajo, hay una forma de

entenderlos, analizarlos, comprenderlos y aplicarlos debidamente sistematizados:

Enunciado, demostracin, ejemplo de aplicacin, ejercicios resueltos y ejercicios

propuestos.

Los teoremas que se desarrollarn son: Teorema de sustitucin, Teorema de

superposicin, Teorema de Thvenin, Teorema de Norton, Principio de

reciprocidad, Teorema de reciprocidad, Teoremas de Tellegen I y II, Teorema de

Millman, Teorema de Rosen (Kennelly), Teorema de la mxima transferencia de

15

potencia, Teorema de Miller, Teorema de compensacin y el Teorema de

biseccin de Bartlett.

Se recopilar toda la informacin disponible y se realizar un documento de fcil

consulta y entendimiento que redundar en el beneficio de la academia y ser una

herramienta muy til en el anlisis de los sistemas elctricos de potencia.

17

1. GENERALIDADES

1.1 Qu es la teora de circuitos elctricos?

El circuito elctrico es uno de los modelos empleados para estudiar los fenmenos

fsicos asociados con la carga elctrica y con su movimiento. Es a su vez una

aproximacin al otro modelo, la teora electromagntica, que al basarse en el

estudio de los campos elctrico y magntico, introduce funciones del tiempo y la

posicin.

Esta dependencia del tiempo y la posicin (x, y, z en coordenadas rectangulares;

r, z y en cilndricas; etc.) hace que el manejo matemtico sea pesado y exigente en cuanto a su solucin; es cierto que sus resultados son ms exactos y que a

travs de este tipo de anlisis se logran soluciones que estn cada vez ms

cercanas a lo que realmente ocurre con los fenmenos estudiados, pero las

aproximaciones que se hacen para llegar a la teora de los circuitos elctricos

facilitan notablemente el procedimiento al eliminar la posicin, y generan

afortunadamente resultados bastante precisos.

1.2 Qu es un circuito elctrico?

Un circuito elctrico es la interconexin arbitraria de puertas que contienen al

menos una trayectoria cerrada o una que eventualmente se puede cerrar.

Una puerta es el resultado de concentrar los fenmenos de almacenamiento de

energa en los campos elctrico y magntico, conversin de energa elctrica en

calor, conversin de cualquier tipo de energa en energa elctrica y la

transferencia de energa de un lugar a otro dentro del dispositivo o a su inmediata

vecindad mediante un campo magntico, entre otros.

18

Al concentrar los fenmenos la posicin pierde todo inters, desaparecen las

variables que lo definen en dos o tres dimensiones.

1.3 Cmo se describe un circuito elctrico?

Para describir un circuito elctrico se han empleado tradicionalmente los voltajes

de nodo y las corrientes de malla, la literatura est llena de ejercicios y

explicaciones de ambos mtodos, pero el desarrollo en la sistematizacin de los

procesos y la computacin han generado procedimientos lgicos basados en la

topologa.

Aparecen as en la teora de circuitos conceptos como NODO, GRFICO, RBOL,

RAMA, ENLACE, etc. y procedimientos como la descripcin de un circuito

arbitrario usando como incgnitas las corrientes de enlace o los voltajes de rama.

Estos dos ltimos, unidos a los de mallas y nodos, permiten resolver de forma

sistemtica los diferentes circuitos elctricos.

Este trabajo emplear, al desarrollar los ejercicios, uno u otro, procurando un

equilibrio entre ellos.

1.4 Teoremas (definicin)

Para aclarar los trminos de teorema, axioma, postulado, demostracin, etc. se

transcribe el No 1.01 y el No 1.02 del libro MAGIA Y BELLEZA DE LAS

MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA del seor IVN OBREGN2, dice el

ingeniero Obregn:

Veamos primero unas cuantas definiciones imprescindibles: 2 IVN OBREGN (Medelln, 1937) es ingeniero, matemtico, actuario e investigador operacional. Ha sido

profesor en varias universidades colombianas.

19

Teorema: es una afirmacin que debe ser demostrada.

Axioma: es una afirmacin que est tan en la base de una ciencia, que

se parte de ella, aceptndola como cierta, sin demostracin alguna.

Postulado: es casi sinnimo de axioma. Para nosotros sern

sinnimos.

Definicin: es una descripcin de un concepto, que incluya todo lo que

se quiere incluir, pero slo eso.

Demostracin: es la serie de pasos mediante los cuales se llega a

establecer la verdad de un teorema. Los matemticos son muy

exigentes en cuanto que una demostracin slo puede invocar:

axiomas, postulados, definiciones, u otros teoremas previamente

demostrados.

Corolario: es una conclusin que se sigue inmediatamente de un

teorema o definicin y, por lo tanto, no requiere demostracin, o basta

una demostracin mnima.

Lema: es un teorema auxiliar que se enuncia y demuestra, slo como

preparacin para la demostracin de otro teorema.

CMO SE DEMUESTRA Y CMO NO SE DEMUESTRA UN

TEOREMA?

Miremos ste (tomado de la llamada Teora de los Nmeros):

/DVXPDGHGRVQ~PHURVLPSDUHVGDXQQ~PHURSDU

Naturalmente este teorema estara precedido de definiciones: qu es

un nmero par?, qu es un nmero impar?. La siguiente es una

supuesta demostracin: (3+5) da 8 que es par; (3+7) da 10 que es par;

GDTXHHVSDU

20

La anterior no es una demostracin; a lo sumo podemos llamarla una

verificacin, pues quin garantiza que (1.235 + 5.679) d un nmero

par?

Una demostracin debe dejar garantizada su verdad, ms all de

cualquier ejemplo en particular.

Existen las llamadas demostraciones directas, en las cuales se

construye una serie de pasos, que a partir de axiomas, definiciones o

teoremas anteriores, llevan finalmente a concluir la verdad del teorema

en cuestin. Existen otras llamadas demostraciones por reduccin al

absurdo, en las cuales se empieza por suponer que lo que se quiere

demostrar es falso; a partir de esa suposicin se construyen

conclusiones que de ellas se derivan: si se llega a alguna que

contradice la suposicin original o contradice algn teorema ya

demostrado, o alguna definicin, se concluye que la suposicin era

falsa y por lo tanto el teorema es verdadero.

9R\DGDUOHVDFRQWLQXDFLyQGRVGHPRVWUDFLRQHVGHOWHRUHPDODVXPDGHGRVLPSDUHVGDSDU6XSRQJRTXHHVWiGHILQLGRORTXHHVXQDVXPDy lo que es una multiplicacin, y que estn demostradas todas las

propiedades que deben recordar de sus primeros aos de bachillerato.

Definiciones previas: nmero par es aquel que resulta de multiplicar a

algn otro nmero por 2; los dems se llaman nmeros impares.

Teorema previo (que supondremos ya demostrado): todo nmero impar

es igual a 1 ms algn nmero par (incluyendo el cero como par).

Demostracin directa.

Paso 1: Sean m y n dos nmeros impares. Entonces, por el teorema

anterior,

21

= 2 + 1 ; = 2 + 1 donde k y r son otros nmeros. Paso 2: + = 2 + 1 + 2 + 1 que por propiedades de la suma y de la multiplicacin es igual a + 2 + 1 + 1 = + 2 + 2 = + + 1 2. Paso 3: pero + + 1 es otro nmero, llammoslo s: entonces + = 2. Por lo tanto, + es par. Demostracin por reduccin al absurdo.

Paso 1: Supongamos que + es impar. Paso 2: Repitiendo los pasos 1 a 3 de la demostracin directa,

llegamos a que + = 2 , lo cual implicara que un nmero impar es igual a un nmero par, contradiciendo las definiciones de par e

impar. Por lo tanto, la suposicin es falsa y el teorema queda

demostrado. 3

1.5 Por qu usar los teoremas para resolver los circuitos elctricos?

Puesto que un circuito elctrico se resuelve empleando las ecuaciones primitivas

de cada uno de los elementos pasivos que lo conforman, las ecuaciones de las

fuentes y las ecuaciones de red (primera y segunda ley de Kirchhoff); su solucin

se har ms corta si el nmero de ellas se reduce, Teorema de Thvenin, o se

sistematiza el procedimiento, Teorema de Millman, para lograr el resultado ms

fcil.

Lo anterior llev a enunciar cada vez un mayor nmero de teoremas que en la

literatura se encuentran dispersos y algunas veces con enunciados difciles de

comprender. 3 IVN OBREGNMAGIA Y BELLEZA DE LAS MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA, pgs. 31-34

22

Es por esto que una sistematizacin y aclaracin de los enunciados y usos es

imprescindible para quienes se iniciaron en el campo de la electricidad,

procurando que el tema sea tratado de tal forma que el iniciado pueda usarlo

adecuadamente.

23

2. LOS TEOREMAS BSICOS

Se presentan algunos teoremas, los ms difundidos y empleados de la teora de

circuitos. Para cada uno de ellos se da el enunciado (resultado de la adecuacin

de los que aparecen en la bibliografa) se explica en qu casos y a qu tipo de

circuitos se aplica, sus ventajas, la demostracin y al menos un ejemplo de

aplicacin. Se resuelven algunos ejemplos tpicos y se proponen otros para el

cabal entendimiento.

2.1 TEOREMA DE SUSTITUCIN

Sus aplicaciones se dan especialmente en la investigacin asociada con los

circuitos elctricos. Se usa bastante en las demostraciones de otros teoremas y en

el anlisis de los sistemas de potencia.

Se aplica a cualquier circuito sin limitaciones, lineal o no, variante o invariante con

el tiempo, bilateral o no, cuyo estado energtico inicial sea nulo o no. Permite

incluso, convertir un circuito no lineal por la presencia de un solo elemento no

lineal en uno lineal, al sustituirlo por una fuente de corriente o voltaje.

Este teorema es de gran utilidad cuando se analizan circuitos complejos formados

por diversas redes pasivas, puesto que permite simplificar el esquema inicial del

circuito, el uso ms comn de este teorema es para reemplazar un elemento de

impedancia4 por una fuente de corriente o voltaje, y viceversa.

4 Se llamar elemento tipo impedancia a una resistencia, una inductancia, una capacitancia o cualquier

interconexin de ellos.

24

2.1.1 ENUNCIADO

Si el n-simo elemento de un circuito de una red arbitraria (Figura 1a) no est mutuamente acoplado, es decir, no es una fuente dependiente ni un inductor

acoplado, se puede reemplazar por una fuente independiente de voltaje =() (Figura 1d) igual al que se produce a travs de l en el circuito original, siempre y cuando ambos circuitos tengan solucin nica. De la misma forma, si a

travs del elemento en consideracin circula una corriente () se puede sustituir por una fuente independiente de corriente = () (Figura 2d). 5 Si en vez de reemplazar un elemento del circuito se sustituye un elemento del

grfico que no contenga fuentes dependientes, ni inductores acoplados, el

teorema sigue siendo vlido.

2.1.2 DEMOSTRACIN

Figura 1. Caso de la fuente de voltaje

5 Tomado de K^d>>:'/Z>K/EdZKh/ME>E>/^/^/RCUITOS >dZ/K^

25

Figura 2. Caso de la fuente de corriente

En las figuras 1 y 2 se puede ver paso a paso la justificacin del teorema, se

observa que cuando se conectan los nodos b y c en la figura 1c no circula

corriente a travs de la fuente, se unen dos nodos a igual potencial, y adems por

el elemento contina circulando la misma corriente que en el circuito original,

puesto que el voltaje entre sus bornes sigue siendo () = .El n-simo elemento en paralelo con una fuente independiente de voltaje (figura 1c) se

convierte en un elemento redundante6 y por lo tanto se puede retirar del circuito.

De igual forma el voltaje a travs de la fuente de independiente de corriente en

cortocircuito (figura 2b) es nulo, la fuente opera en vaco, y el elemento en serie

con esta fuente es tambin redundante.

2.1.3 EJEMPLO DE APLICACIN

En trminos de la transformada de Laplace.

6 Un elemento redundante es cualquiera que est conectado en paralelo con una fuente de voltaje o en

serie con una fuente de corriente, dependiente o independiente.

26

Determinar en el circuito1 de la figura 3 e en ambos. El valor de es el obtenido .

Figura 3. Ejemplo de aplicacin

SOLUCIN:

Para el circuito 1: Se obtienen las ecuaciones aplicando corrientes de enlace

27

Figura 4. Grfico orientado para el circuito 1

El unir los nodos inferiores para formar uno solo no altera el resultado y garantiza

que el grfico est conectado.

Las incgnitas son: 4 e 5

Las ecuaciones primitivas son:

2()3() = 2 2()3()

4 = 1 4 5 = 5()

La ecuacin de la fuente de voltaje es:

1 = 1 Aplicando sumatorio de voltajes a los anillos formados por los enlaces 4 y 5 se

tiene:

4 + 2 1 = 0 (1) 3 + 5 = 0 (2)

28

Reemplazando las ecuaciones primitivas en (1) y (2):

1 4 + 2 + 3 = 1 (3) 2 + 23() + 5 = 0

Expresando 2 e 3() en funcin de las corrientes de enlace: Aplicando sumatorio de corrientes a los cortes 1 y 2 y despejando: 2 = 4 3 = 5 Reemplazando en 3:

1 4 + 4 + 5 = 1 4 + 25() + 5 = 0 se obtendr del hecho de que : = 5 = (1)5 Despejando 4:

4 = 1 51 + = 12 + 1 22 + 1 5 Reemplazando la ecuacin anterior para obtener el valor de 5:

12 + 1 22 + 1 5 + 1 + 25 = 0

29

5 = 2 + 132 + 1 (1 + 2) = 3 1 + 2(2 + 1) = 3 2 2 1 De donde:

= 3 + 2 + 2 + 1

La impedancia de 1 se reemplaza por la fuente , como se ve en el circuito siguiente:

Figura 5. Circuito 2 con el valor de V(s) calculado

Ahora se calcula la corriente para ambos circuitos: Circuito 1:

Despejando 5 de la siguiente ecuacin: 4 + 25 + 5 = 0 5 = (1 + 2) 4

30

Reemplazando en la ecuacin que se presenta a continuacin:

1 = 1 + 4 + (1 + 2) 4 4 = 11 + 2(1 + 2) ; organizando = 4 = 2 + 13 + 2 + 2 + 1

Circuito 2:

Figura 6. Corrientes de malla aplicadas al circuito 2

Tomando sumatorio de voltajes en las mallas:

1 = 1 + 1 + 2 4

3 + 2 + 2 + 1 = 1 + 22 (5)

Dividiendo por S y despejando 2 de la ecuacin 5: 2 = 12 13 + 2 + 2 + 1 1()

31

Reemplazando 2 en la ecuacin 4 y despejando 1: 1 = 1 + 1 + 12 13 + 2 + 2 + 1 1()

Organizando:

1 = 23 + 2 + 4 + 22 + 2(3 + 2 + 2 + 1) = 2 + 12 + 22 + 2(3 + 2 + 2 + 1) = 2 + 13 + 2 + 2 + 1 = 1 = 2 + 13 + 2 + 2 + 1

Como se ve, las corrientes son iguales en los dos circuitos.

2.1.4 EJERCICIOS RESUELTOS

2.1.4.1 Aplicar el teorema de sustitucin a la resistencia de 2 del circuito de la figura 7.

Figura 7. Ejercicio resuelto

SOLUCIN:

32

Empleando el teorema de sustitucin se reemplaza la resistencia de 2, por una fuente de voltaje, que equivale al voltaje en bornes de la resistencia: 2 = 2 = 20,83 71,60 = (1,66 71,60) , la corriente ha sido calculada previamente y es un dato del problema.

Ahora se reemplaza la resistencia de 2 por la fuente de voltaje 2:

Figura 8. Circuito donde se cambio la resistencia de 2 por la fuente 2

En este nuevo circuito se quiere hallar la corriente : 2 = Malla 1: 1 = 3 + 41 51 2

3 1 + 52 = 10 6 Malla 2: 2 = 9,5 + 2,52 52 1

51 + 9,5 2,52 = 1,66 71,60 (7)

33

Despejando 1 de la ecuacin 6: 1 = 10 (5)2(3 ) Reemplazando en la ecuacin 7:

5 10 (5)2(3 ) + 9,5 2,52 = 1,66 71,60

Organizando y despejando 2 se tiene: 172 = 1,66 71,60 + 5 15; 2 = 0,83 71,60

El valor de 2 es el mismo de la corriente del circuito de la figura 7, como se puede ver la sustitucin de la resistencia de 2, por la fuente de voltaje 2 no altera las respuestas del circuito.

2.1.4.2 Mediante el teorema de sustitucin hallar el voltaje 0 , de la figura 9.


SOLUCIN:

34

La resistencia equivalente: = 1 + 1 2 = 1 a la derecha de a-b es el resultado del paralelo de una resistencia de 2 con la serie de 2 resistencias de 1. Se reemplaza el valor de la resistencia equivalente y se obtiene el valor de 1 en el

siguiente circuito:

Figura 10. Circuito equivalente para obtener el valor de 1

Haciendo de nuevo un paralelo entre las resistencias se obtiene el valor de 0,5 y a este circuito se le aplica un divisor de tensin para hallar 1.

1 =6(0,5)

1 + 0,5= 2

Aplicando el teorema de sustitucin se reemplaza la resistencia de 2 del circuito original por una fuente ideal de voltaje de valor 2 como se muestra en la figura 11:

35

Figura 11. Circuito equivalente para obtener el valor de 0

Y aplicando de nuevo un divisor de tensin se obtiene el valor de 0 , pedido

inicialmente.

0 =2(1)

1 + 1= 1

Resultado que podra haberse obtenido usando voltajes de nodo, sin usar el

teorema de sustitucin as:

Figura 12. Circuito aplicando voltajes de nodo

36

Nodo 2:

1 6

1+

1

1+

1

2+

1 01

= 0 (8)

Nodo 3:

0 1

1+

0

1= 0 (9)

Despejando 1 de la ecuacin 9: 1 = 2 0 y reemplazando en la ecuacin 8:

3,5 2 0 6 0 = 0 0 = 1

2.1.4.3 Aplicar el teorema de sustitucin en la figura 13 para reemplazar la fuente

de voltaje de 9,2 .


SOLUCIN:

Se reemplaza la fuente de voltaje, por una fuente de corriente aplicando el

teorema de sustitucin:

Del circuito se puede ver que:

37

3 = 20 9,23 = 3,6 ; 1 = 1 2 = 3 + 1 = 3 + 1 = 3,6 + 1 = 4,6 Este valor de 2 , se reemplaza en el circuito original y se hallan los voltajes del circuito de la figura14:

Figura 14. Circuito con la fuente de voltaje reemplazada por la fuente de corriente

1 = 11 = 1 ; 3 = 33 = 3,63 = 10,8 Aplicando voltajes de nodo, al nodo 2:

1 +20 2

3= 4,6 ; 2 = 9,2

El valor de 2 es el mismo del circuito de la figura 13, con lo que se demuestra la

validez del teorema de sustitucin.

38

2.1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS

2.1.5.1 Determine 1 , 2 y 3 para cada uno de los circuitos 1 y 2 de la figura15. Verifique el cumplimiento del teorema de sustitucin7.

Figura 15. Ejercicio propuesto

7 Tomado de ACOSTA, lvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didie/EdZKh/ME>E>/^/^/Zh/dK^>dZ/K^

39

2.1.5.2 a) En el circuito de la figura 16, reemplace la resistencia de 300 por un generador con una resistencia interna de 75 de tal forma que el resto del circuito no note el cambio.

b) Repetir el procedimiento anterior, haciendo que la resistencia interna del

generador sea de 600.


2.1.5.3 En el circuito de la figura 17:

a) Conectar una fuente ideal de voltaje entre los terminales a y b de valor

= 33,8 147,20 y hallar la corriente a travs de ella b) Conectar una fuente ideal de corriente en serie con la impedancia de

6 de valor = 17,26 94,310 y hallar el voltaje a travs de ella c) Para el circuito de la figura 17, hallar e

40


2.2 TEOREMA DE SUPERPOSICIN

Este teorema se aplica a circuitos lineales, variantes o invariantes con el tiempo y

cuyo estado energtico8 inicial es nulo y permite reducir un circuito con varias

fuentes independientes a varios circuitos, cada uno con una sola fuente o con

fuentes del mismo tipo.

2.2.1 ENUNCIADO

En un circuito lineal arbitrario que contiene dos o ms fuentes independientes, el voltaje a travs de cualquier elemento o la corriente que fluye por cualquier

elemento de la red se puede calcular como la suma algebraica de los aportes

individuales de cada fuente independiente actuando por separado. Para encontrar

la respuesta debida a una fuente especfica, todas las dems se deben

8 El estado energtico es el conjunto de variables que permiten determinar la energa almacenada por el

circuito en un instante determinado. Como = 2 2 ; = 2 2 y =12 1 2 + 22 2 2 12() , entonces el estado energtico (ee) est conformado por los

voltajes en las capacitancias y las corrientes a travs de las inductancias, para capacitancias e inductancias invariantes con el tiempo.

41

reemplazar por circuitos abiertos si son de corriente o por cortocircuitos si son de

voltaje.

Cuando se aplica el teorema de superposicin a circuitos lineales que contengan

fuentes dependientes se debe tener en cuenta que estas fuentes nunca se

desactivan, a menos que su seal de control valga cero.

El circuito como se dijo, debe ser lineal, puede ser variante o invariante con el

tiempo y su estado energtico inicial debe ser nulo9.

2.2.2 POR QU NO SE REQUIERE DE UNA DEMOSTRACIN?

Un sistema lineal es un sistema que obedece las propiedades de escalado

(homogeneidad) y de superposicin (aditiva), mientras que un sistema no-lineal es

cualquier sistema que no obedece al menos una de estas propiedades.

Para demostrar que un sistema 10 obedece la propiedad de escalado se debe demostrar que: = (10)

9 Si el estado energtico inicial no es nulo, se puede recurrir a desenergizar los elementos almacenadores de

energa reemplazando las inductancias por la misma inductancia desenergizada en paralelo con una fuente independiente de corriente de valor iL(0+) iL(o-) y las capacitancias por la capacitancia desenergizada en serie con una fuente independiente de voltaje de valor Vc(0+) Vc(0-).Para los circuitos en trminos de la Transformada de Laplace, no hay problema, el proceso de transformacin los desenergiza. 10

Donde H es un operador.

42

Figura 18. Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de escalado de linealidad

Para demostrar que un sistema H obedece la propiedad de superposicin de

linealidad se debe mostrar que:

1 + 2 = 1 + 2 (11)

Figura 19. Diagrama de bloques demostrando la propiedad de superposicin de

linealidad

Es posible verificar la linealidad de un sistema en un paso sencillo. Para hacer

esto simplemente se combinan los dos primeros pasos para obtener:

1 1 + 2 2 = 1 1 + 2 2 (12)

2.2.3 EJEMPLOS DE APLICACIN

43

1. En trminos de la transformada de Laplace.

Hallar 2() usando superposicin.


SOLUCIN:

2 = 21 + 22 (13) Donde 21 es el valor del voltaje que se obtiene con la fuente de corriente independiente desactivada, y 22 es el valor del voltaje con la fuente de voltaje independiente () desactivada.

Figura 21. Circuito con la fuente de corriente desactivada

44

Circuito A: Contribucin de la fuente de voltaje, con la fuente de corriente

desactivada11. Aplicando la 2 Ley de Kirchhoff a la trayectoria cerrada a la

izquierda del circuito se obtiene la primera ecuacin:

+ + 1 + 21 = 0 (14) Usando voltajes de nodo en la segunda parte del circuito se obtiene la segunda

ecuacin:

1 + 211 = 0 (15) Se despeja 1 de (14) y se reemplaza en la ec. (15): 1 = 21 + + Reemplazando:

21 + + + 21 = 0 Ahora se despeja 21:

21 = () + + + = () + ( + ) Reemplazando los valores:

21 = () + ( + ) = 0,4 5 + 10,40,3 + , 5(3 + 2) 21 = 23 + 3,52 + 1,62 + 0,12

11

Obsrvese que las fuentes dependientes o controladas continan operando.

45

Figura 22. Circuito con la fuente de voltaje desactivada

Circuito B: Contribucin de la fuente de corriente, con la fuente de voltaje

desactivada. Aplicando la 2 Ley de Kirchhoff a la primera trayectoria cerrada del

circuito se obtiene la tercera ecuacin:

( + )1 + 22 = 0 (16) Usando voltajes de nodo en la segunda parte del circuito se obtiene la cuarta

ecuacin:

1 + 221 () = 0 (17) Se despeja 1 de (17) y se reemplaza en (16): 1 = 1 22 Reemplazando 1 en (16):

( + ) 22 () + 22 = 0 Ahora se despeja 22:

46

22 = ( + ) () + ( + ) = ( + )() + ( + ) Reemplazando por los valores:

22 = ( + )() + ( + ) = 3 + 2 20,40,3 + , 5(3 + 2) 22 = 4 + 63 + 1,52 + 0,12

Finalmente se suman los dos voltajes para obtener el resultado pedido

inicialmente:

2 = 21 + 22 = 23 + 3,52 + 1,62 + 0,12 + 4 + 63 + 1,52 + 0,12

2. Circuito resistivo

En el circuito de la figura 23, calcular el voltaje aplicando el teorema de superposicin.

Figura 23. Circuito resistivo

47

SOLUCIN:

Se empieza por encontrar la componente de que resulta de la fuente de 60, el circuito de la figura 24 muestra el circuito con la fuente de corriente desactivada,

convirtiendo esta parte en un circuito abierto como se puede ver.


Se deduce del circuito que: = 1 ; 2 = 0,4 = 0,41 Se obtiene la siguiente ecuacin despus de aplicar el anlisis de mallas al

circuito:

201 + 101 60 + 301 0,41 = 0 Despejando 1:

130 + 30 12 = 60 1 = 6048 = 54 = 1,25 Reemplazando 1 en la ecuacin:

48

1 = 301 0,41 = 301,25 0,41,25 1 = 22,5

Ahora se calcula la contribucin de la fuente de corriente, para este anlisis se

trabaja con el circuito de la figura 25 donde la fuente de voltaje se reemplaza por

un corto circuito.


Del circuito se halla la corriente =

20 (18)

Aplicando voltajes de nodo al circuito se obtienen las dos ecuaciones que se

presentan a continuacin:

Nodo A: 4 + 20

+ 2

10= 0

Organizando:

3 2 2 = 80 (19)

49

Nodo 2:

2

30 0,4 + 2

10= 0 ; reemplazando = VA

20 ;

2

30 0,4

20 + 2

10= 0

7,2 + 8 2 = 0 20 Despejando :

= 20,9 Reemplazando en (19):

3

0,9 2 2 2 = 80 ; 2 = 60

Finalmente: = 1 + 2 = 22,5 + 60 = 82,5


2.2.4.1 Aplicando el teorema de superposicin hallar el valor de la corriente ().


50

SOLUCIN:

La solucin total ser:

= 1 + 2 (21) Clculo de la corriente aportada por la fuente de corriente 1, con la fuente de voltaje reemplazada por un corto circuito.


El nodo b pasa a ser el que se muestra en la figura 27 por cuanto, al reemplazar la

fuente por un corto la corriente que circula por se hace cero y los voltajes en ellos tambin.

Aplicando un divisor de voltaje para hallar se obtiene: (Se reemplaza todo el resto del circuito por una fuente de voltajes de valor V - Teorema de sustitucin-)

= = 3050 + 30 22

51

Aplicando voltajes de nodo en V:

2 460 + 50 + 30 + 8 + 0,1 = 0 (23)

Reemplazando en la ecuacin 23: 2 460 + 50 + 30 + 8 + 0,1 3050 + 30 = 0

(0,17 11,990) = (2 460) = (11,76 34,010) 1 = 8 = (11,76 34,010 )8 = (1,47 34,010 )

Clculo de la corriente 2 aportada por la fuente de voltaje, con la fuente de corriente reemplazada por un circuito abierto.


52

2 = 1 28 (24) = = 1 3050 + 30 2 1210 + 12 12

= 0,51 59,0401 0,77 39,802 (25) donde 2 = 42 00 por lo tanto = 0,51 59,0401 (32,34 39,80) Aplicando voltajes de nodo en V1:

1

50 + 30 + 1 28 + 0,1 = 0 (26) Reemplazando y 2 en la anterior ecuacin se obtiene 1: 0,17 11,8801 = 8 14,980 ; 1 = (47,06 26,860) Como 2 = 1 28 = 47,06 26,860 (42 00)8 = 2,66 90,050 Entonces la respuesta ser la suma de las dos corrientes: = 1 + 2 = 1,47 34,010 + 2,66 90,050 = 2,20 56,500

12

Para poder aplicar el divisor de voltajes es necesario usar previamente el teorema de sustitucin. Ejemplo:

53

2.2.4.2 Calcular por medio del teorema de superposicin la corriente 0.


SOLUCIN:

Se empieza por encontrar la componente de I0 que resulta de la fuente de 12.El circuito de la figura 30, muestra el circuito con la fuente de corriente desactivada,

convirtiendo esta parte en un circuito abierto como se puede ver.

54


Se puede ver en el circuito que hay relacin entre las corrientes: 01 = 3 ; 1 = Mediante un anlisis de mallas se hallan las ecuaciones del circuito:

Malla 1:

81 + 101 2 + 41 = 12 Organizando:

221 102 = 12 (27) Supermalla 2 y 3:

102 1 + 22 + 63 = 0 Organizando:

101 + 122 + 63 = 0 (28) Haciendo sumatorio de corrientes en el nodo A:

55

= 0 ; 0,6 + 2 = 3 como 1 = Entonces:

0,61 2 + 3 = 0 (29) Reemplazando (29) en (28) se obtiene 1 en trminos de 2: 3 = 2 0,61 101 + 122 + 62 0,61 = 0 despejando 1 ; 1 = 4534 2 Ahora se reemplaza este valor de 1 en (27) para encontrar 2:

22 4534 2 102 = 12 de donde 2 = 204325 = 0,63

Con este valor se obtiene 1 e 3: 1 = 0,83 ; 3 = 01 = 0,13 Ahora se calcula la contribucin de la fuente de corriente, para este anlisis se

trabaja con el circuito de la figura 31 donde la fuente de voltaje se reemplaza por

un corto circuito.

56


Se puede deducir del circuito de la figura 31 que:

= 1 24 ; 02 = 36 Aplicando voltajes de nodo al circuito de la figura 31 se hallan las siguientes

ecuaciones:

Nodo 1:

1 24

+ 1 3

8 2 = 0

Organizando:

3

8 1 1

4 2 1

8 3= 2 (30)

Nodo 2:

2 14

+ 2

2 +

2 310

= 0

57

14 1

1720 2

110 3

= 0 (31)

Nodo 3:

3 210

+ 3 1

8+ 0,6 + 36 = 0 ; pero x = 1 24 reemplazando:

3 210

+ 3 1

8+ 0,6 1 2

4 + 3

6= 0

Organizando:

1140 1

+ 1

20 2 47

120 3= 0 (32)

Solucionando las tres ecuaciones resultantes se hallan: 1 ; 2 ; 3

3

8 1 1

4 2 1

8 3= 2

14 1

1720 2

110 3

= 0

1140 1

+ 1

20 2 47

120 3= 0

1 = 9,98 2 = 3,72 3 = 6,53 Como 02 = 36 = 6,536 = 1,09

Finalmente se calcula 0 : 0 = 01 + 02 = 0,13 + 1,09 = 1,22 ; 0 = 1,22

58

2.2.4.3 El circuito opera en estado estacionario. Determinar .


SOLUCIN:

Aporte de la fuente de corriente:


59

El circuito cumple con las cinco condiciones de un circuito equivalente:

- Circuito en estado estacionario

- Resistencia no redundante

- Excitacin constante

- No hay trayectorias cerradas, formadas slo por fuentes de voltaje

independientes e inductancias

- No hay cortes compuestos slo por fuentes de corriente independientes y

capacitancias

Circuito equivalente:

Capacitancias cambiadas por un circuito abierto y las inductancias por un corto

circuito

Figura 34. Circuito equivalente

En este circuito se puede ver claramente que la corriente es cero: 2 = 0

60

Aporte de la fuente de voltaje:


= 10 00 2 = (10 00)12 50 2512 50 + 25 + 1,6 = 0,65 85,130 2 = 0,65 cos(400 + 85,130) = 1 + 2 = 0 + 0,65 cos400 + 85,130 = 0,65 cos400 + 85,130 = 0,65 cos400 + 85,130

61


2.2.5.1 Calcular por medio del teorema de superposicin, el voltaje 0 de la red

que se muestra a continuacin.


2.2.5.2 En el circuito de la figura 37, determine usando el teorema de superposicin.


62

2.2.5.3 Aplicar el principio de superposicin, para hallar el valor de 0.


2.2.5.4 El circuito de la figura 39 opera en estado estacionario

Determinar: 2()


63

2.3 TEOREMA DE THVENIN

El conocido teorema de Thvenin 13 fue estudiado a mediados del siglo XIX por

Helmholtz 14 en forma ms general, es decir para una red activa con N bornes

externos, dicho teorema permaneci casi que olvidado, hasta que fue

redescubierto por Thvenin en 1.883, dndose a conocer de nuevo bajo este

nombre actual, el famoso teorema de Thvenin.

Se aplica a circuitos lineales con una carga que puede ser lineal o no lineal,

variantes o invariantes con el tiempo y cuyo estado energtico sea nulo o no.

Permite reemplazar un circuito de anlisis complejo por uno equivalente de menos

tamao que facilite el clculo de los efectos externos (circuito equivalente), puede

usarse en sistemas de potencia para analizar partes de l reemplazando el resto

del sistema de esta forma.

2.3.1 ENUNCIADO

Cualquier red lineal (Na) variante o invariante con el tiempo, compuesta por elementos pasivos y activos (dependientes e independientes) conectada a otra red

(Nb) o carga que puede ser lineal o no, variante o invariante con el tiempo y su

estado energtico nulo o no mediante dos terminales p y q (figura 40a), se puede

sustituir desde el punto de vista de sus terminales por un circuito equivalente que

contenga slo una fuente de voltaje independiente en serie con una red Nao

(figura 40b) que se obtiene de Na haciendo todas las fuentes independientes

contenidas en ellas y el estado energtico inicial iguales a cero, siempre y cuando

13

Len Charles Thvenin (Meaux, 30 de marzo de 1857 - 21 de septiembre de 1926), fue un ingeniero en telegrafa francs, que extendi el anlisis de la Ley de Ohm a los circuitos elctricos complejos. Su aporte ms importante fue el teorema que lleva su nombre. 14

Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (Agosto 31, 1821 Septiembre 8, 1894) fsico alemn que contribuy con sus conocimientos en mltiples campos de la ciencia.

64

la interconexin entre la carga Nb y la red Na tengan solucin nica y no haya

ningn acoplamiento entre ellas.15

FIGURA 40. Circuito original y circuito equivalente de Thvenin

2.3.2 DEMOSTRACIN

FIGURA 41. Demostracin del teorema de Thvenin

Aplicando el teorema de superposicin al circuito de la figura 41a se puede ver

que la corriente () que pasa a travs de la red pasiva Nb, se puede descomponer en la corriente 1() que es generada por la accin de todas las fuentes de la red Na de la figura 40a y la corriente 2() debida a la fuente de voltaje () de la figura 41b. Por lo tanto: = 1 + 2 (33) 15

Tomado de K^d>>:'/Z>K/EdZKh/ME>E>/^/^/Zh/dK^>dZ/K^

65

Cuando () es cero se puede reemplazar la red Nb en la figura 41a por un circuito abierto (teorema de sustitucin) en el cual la diferencia de potencial entre sus

terminales sea nula (la red Nb es pasiva y la corriente que la circula es cero), por

lo tanto al aplicar el teorema de superposicin se obtiene que:

0 = + (34) Esto indica que para que la corriente a travs de la red pasiva Nb sea nula () debe ser igual a () como se muestra en la figura 42. Si la polaridad de () = (), se inyecta una corriente 1() en la red pasiva Nb de la figura 40b.

FIGURA 42. Determinacin del voltaje de Thvenin

2.3.2.1 TEOREMA UNIFICADO DE THVENIN

Ling-Ming Jin y Shin Park Chan en la revista IEEE TRANSACTIONS ON

EDUCATION de agosto de 1989 (Volumen 32 Nmero 3) presentaron el artculo

A unified and Efficient Approach for Determining Thvenin (Norton) Equivalent &LUFXLWV donde muestran una forma unificada y eficiente de determinar el equivalente de Thvenin, mtodo que permite obtener simultanea y

sistemticamente la impedancia ( ) y la fuente de Thvenin ( ). Se basan en el hecho de que si ambos circuitos (el original y el de Thvenin) son

equivalentes, deben producir los mismos efectos externos, es decir, si se conecta

a ambos el mismo circuito externo, los resultados son idnticos.

66

En la figura 43 se muestran ambos circuitos, a los que se ha conectado una fuente

independiente de corriente como carga.

Figura 43. Teorema unificado de Thvenin

Al ser equivalente, () ser el mismo en ambos En la figura 43b, tomando sumatorio de voltajes en el anillo (malla) se tiene: + + = 0 = + 35 Si se resuelve el circuito mostrado en la figura 43a y se despeja se tendr una expresin de la forma:

= + (36) Por simple comparacin el primer trmino es y el segundo es . Un ejemplo mostrar la facilidad del mtodo, se har uno de los ejemplos del

artculo como homenaje a los autores:

Determinar el equivalente de Thvenin entre los terminales a y b del circuito de la

figura 44:

67

Figura 44. Ejemplo del teorema unificado de Thvenin

SOLUCIN:

Primero se aplica una fuente de corriente de prueba () entre los terminales a y b de la figura 44:

Figura 45. Aplicacin de una fuente de corriente de prueba entre a y b

68

Aplicando sumatorio de corrientes en los nodos 1, 2 y a se obtienen las siguientes

ecuaciones:

1 + 1 + 1 0 2 2 2 2 + + 3 1()2() () = ()0() Resolviendo para () se obtiene:

= 2 + 1 + 1 + 2 ()() Organizando:

= 2 + 1 + 1 + 2 (37) Donde = 21 + 3 + 13 + 3 De este modo se conocen y ():

= 2 + 1 + 1 = 2


En trminos de la transformada de Laplace. Determinar el equivalente de

Thvenin entre las terminales a y b del circuito de la figura 46.

69


SOLUCIN:

Clculo de :

Figura 47. Clculo de

Del circuito anterior se puede ver que: 1 = ; = () Aplicando voltajes de nodo al circuito:

Nodo 2:

70

2 1 + + 2 ()2 0,03 = 0 (38) Nodo a: 22 + 1 = 0 39 Reemplazando los valores y despejando 2 de ec.(39) se obtiene:

2 = 50 150 + 104 Ahora se reemplaza 2 en la ec.(38): + 0,005 120 + 0,01 + + 0,005 50 0,03 = ()20 + 0,01 Despejando :

= ()1 1062 + 0,0167 + 19,4 Reemplazando el valor de se obtiene el : = 5 + 1 ; = 5 + 1 11 1062 + 0,0167 + 19,4

= 5 1063 + 16,7 1032 + 19,42 106 + 19,4 106

Clculo de :

71

Como se tienen fuentes dependientes es necesario calcular inyectando una fuente de corriente de prueba 16 y obteniendo , la relacin es la impedancia equivalente , igual procedimiento se debe hacer cuando se tengan inductancias mutuas, incluso este procedimiento funciona

cuando no se tienen elementos acoplados (fuentes dependientes o inductancias

mutuas) pero en este caso puede resultar ms corto usar las equivalencias serie,

paralelo , Y-RYiceversa.


Mediante una fuente de corriente de prueba se va a hallar un voltaje de prueba , para que la relacin de ambos arroje el resultado de la : = ; = = ()

16

Tambin puede aplicarse una fuente de voltaje y calcular para obtener la relacin propuesta = .

72

Nodo 1:

120 + 0,01 + 1 50 0,03 = 0 (40) Nodo a:

150

= 0 (41) Despejando 1 de (41):

1 = 50 Reemplazando este valor en la ec.(40): 50

20 + 0,01 + 50 50 0,03 = 0 Organizando la ecuacin anterior se tiene:

= = 0,01 + 700,3 103 + 0,4

Figura 49. Equivalente de Thvenin

73

Ahora se resuelve el mismo ejercicio usando el teorema unificado de Thvenin:

Figura 50. Ejemplo aplicando el teorema unificado de Thvenin

= + (42) Usando voltajes de rama: 17

Figura 51. Grfico orientado

Incgnitas: 1 , 2() y 3() 17

No es problema, para describir el circuito usando como incgnitas los voltajes de rama, elegir las fuentes de corriente como ramas (si la descripcin fuera por corrientes de enlace es recomendable elegirlas como enlace). La direccin elegida para el elemento 3 es la indicada para determinar 3 = ().

74

No hay inductancias acopladas

Fuentes de corriente: 2 = 0,03 ; 3 = () Los dems elementos pasivos:

4 = 4()1 + ; 5 = 5()2 ; 6 = 6()1 = 6() Sumatorio de corrientes en los nodos a los que no llegan fuentes de voltaje: 2 = 0 2 4 + 5 = 0 43

3 = 0 3 5 + 6 = 0 44 Ecuacin de la fuente de voltaje:

1 = elimina una incgnita Reemplazando:

0,03 4()1 + + 5()2 = 0 (45) () 5()2 + 6 (46) Se conoce que: () = 6() Expresando Venlace en funcin de los de rama:

Sumatorio de voltajes en anillos: 4 = 0 4 2 1 = 0 4 = + 2 5 = 0 5 + 3 + 2 = 0 5 = 2 3

75

6 = 0 6 3 = 0 6 = 3 Reemplazando en las ecuaciones (45) y (46):

0,03 3 () + 2()1 + + 2 32 = 0 (47) 2 32 + 3 = () (48) Despejando 3() que es (): De la ec.(47):

2 = ()1 + 3() 0,03 + 12 12 + 11 + Reemplazando en la ec.(48):

12 ()1 + () 0,03 + 12 12 + 11 + + + 1 2 = () Despejando ():

+ 1 2 12 0,03 + 1 2 12 + 11 + = + ()21 + 12 + 11 +

76

= 1 + 1 2 0,03 + 1 22 12 + 11 + +

+()21 + 12 + 11 + + 1 2 0,03 + 1 22 12 + 11 +

= 1 + 21 + + 12 1 + 21 + 0,03 + 1 2 = ()21 + 12 + 11 + 1 +

21 + + 12 1 + 21 + 0,03 + 1 2


2.3.4.1 Calcular el equivalente de Thvenin entre las terminales a y b de la

figura 52.

77


SOLUCIN:

Primero se empieza por calcular el entre las terminales a y b.


= 63 ; 1 = 5 ; = 41 3 = 20 43 Por medio de un anlisis de mallas se obtiene la corriente 3 :

78

Malla 2:

22 3 = 2 ; reemplazando ; 22 3 = 40 83 22 + 63 = 40 (49)

Malla 3:

23 2 + 63 + 43 1 = 0 ; organizando ; 22 + 123 = 20 2 = 63 10 (50)

Reemplazando 2 en la ecuacin (49) se puede hallar la corriente 3 que se necesita para calcular el .

263 10 + 63 = 40 ; despejando 3 3 = 103 = 63 = 6 103 = 20 Para el clculo de se conecta entre las terminales a y b una fuente de prueba y se reemplaza la fuente de corriente independiente por un circuito abierto.


79

Del circuito anterior se puede ver que:

= = 1 ; = 3 ; = 42 A continuacin se hace un anlisis de mallas para obtener el valor de las

corrientes

Malla 1:

21 2 = 2 ; reemplazando ; 21 2 = 82 1 + 32 = 0 (51) Malla 2:

62 3 + 42 + 22 1 = 0 ; organizando 1 62 + 33 = 0 (52) Malla 3:

63 2 + 23 = 1 ; organizando 83 62 = 1 (53)

Resolviendo las ecs.(51), (52) y (53) se obtienen los valores de las corrientes: 1 = 0,168 ; 2 = 0,055 ; 3 = 0,167 Finalmente se halla el : = 1 = 13 = 10,167 = 6

80


2.3.4.2 Calcular el equivalente de Thvenin entre los terminales a y b de la

figura 56.


SOLUCIN:

Para calcular se determina el voltaje en bornes a y b con los terminales abiertos

81


Como la corriente 2 = 0, entonces = 50 1 y mediante un anlisis de mallas se obtiene el valor de 1, necesario para obtener el . Malla 1: 80 + 1001 1001 + 1001 = 0 despejando 1001 = 80 ; 1 = 0,8 Reemplazando 1 se halla : = 50 1 = 500,8 = 40 Mediante una fuente de prueba se halla la .


82

= Malla 1: 100 + 100 100 + 50 = 0

= 50100

(54) Malla 2: + 50 + 50 = 0 (55)

reemplazando ; = 50 + 50 50100 Organizando: = 50 + 25 = 50 + 25

= = 25 + 50


83

Ahora se resuelve por el mismo ejercicio por medio del teorema unificado de

Thvenin: = + (56)

Figura 60. Ejercicio resuelto por medio de Thvenin unificado

Malla de la izquierda: 80 + 100 100 + 100 + 50 = 0 Organizando:

= 0,8 0,5 (57) Malla de la derecha: + 50 + 50 = 0 (58) Reemplazando la ec.(57) en (58): = 50 + 500,8 0,5 = 25 + 50 + 40 = (25 + 50)

84

= 40

2.3.4.3 En el circuito que se muestra a continuacin, calcular el equivalente de

Thvenin entre las terminales a y b.


SOLUCIN:

Del circuito anterior se obtienen las siguientes ecuaciones.

= 18 ; por lo tanto = 8

85


Aplicando voltajes de nodo al circuito se obtiene la ecuacin necesaria para hallar

el valor de . 1 = ; 2 = 24 ; = 8

Nodo 1:

242

+ 3 + 4 + 8 = 0 (59) Reemplazando :

242

+ 3 8 + 4 +

8= 0 despejando ; = 8

Para obtener el valor de la se pone una fuente de prueba entre las terminales a y b del circuito, y se reemplazan la fuente independiente de corriente por un

circuito abierto y la fuente independiente de voltaje por un corto circuito.

86


Del circuito se puede ver que:

= 8 ; = Nodo 1:

8

+

2 + 3 = 0 (60)

Reemplazando :

8

+

2 + 3 8 = 0 ; = 1 = = 1

87


2.3.4.4 Hallar el equivalente de Thvenin entre los terminales a y b de la figura 65.


SOLUCIN:

Haciendo una transformacin de fuentes se obtiene el siguiente circuito donde se

han puesto en cortocircuito las terminales a y b:

88

Figura 66. Circuito con transformacin de fuentes

Del circuito se puede ver que: = 20 00 10 Aplicando corrientes de malla al circuito anterior: 20 00 = 10 3 + 10 5 (61) 20 00 = 10 60 00 + 30 + 10 5 80 00 = 40 + 5

= 80 0040 + 5 = 1,98 7,120 Donde es la 18

Clculo de : = = 10 + 320 00 10 10 + 20 00 + 5 (62) En el circuito abierto la corriente es cero: = 0 18

El teorema de Norton se explica en el numeral 2.4

89

Por lo tanto: = 60 00 + 20 00 = 80 Voltaje que se habra podido obtener ms fcilmente del circuito original (figura 65)

puesto que si los terminales a y b estn abiertos la corriente de valor 2 00 circula DWUDYpVGHODUHVLVWHQFLDGH\SRUORWDQWR = 2 00 10 = 20 Por lo tanto = + 3 = 80 Clculo de : = = = 80(40 + 5)80 = 40 + 5 Ms adelante se mostrar que los equivalentes de Thvenin y de Norton son

equivalentes entre s.



2.3.5.1 En el circuito de la figura 68, hallar el voltaje 0.

90


2.3.5.2 Calcular el voltaje entre los terminales a y b en el circuito de la figura 69.


2.3.5.3 En trminos de la transformada de Laplace, determinar el equivalente de

Thvenin entre las terminales a y b del circuito de la figura 70.

91


2.3.5.4 Determinar el equivalente de Thvenin a la izquierda de a y b, en trminos

de la transformada de Laplace


2.3.5.5 a) Transformar el circuito ilustrado y obtener la red equivalente de

Thvenin entre los terminales a y b [ () y ()]

92

b) Repetir el ejercicio usando el teorema unificado de Thvenin


2.3.5.6 Determinar () entre a y b para la red de la figura 73


93

2.3.5.7 Para el circuito de la figura 74 hallar ()


2.3.5.8 Determinar el equivalente de Thvenin a la izquierda de a y b en trminos

de la transformada de Laplace


94

2.3.5.9 El circuito de la figura 76 es un cubo de lado 3m, cada lado tiene una

resistencia de = 1/. Determinar entre 1 y 1


2.4 TEOREMA DE NORTON

El teorema de Norton19 se puede considerar el dual del teorema de Thvenin ya

que permite reemplazar parte de la red por un circuito equivalente constituido por

la misma red Nao en paralelo con una fuente independiente de corriente.

Debieron transcurrir casi cuarenta aos para que una versin del de Thvenin, que

no es ms que el uso de la transformacin de una fuente de voltaje en una de

corriente, se enunciara como otro teorema.

19

Edward Lawry Norton (Rockland, Maine, 28 de julio de 1898 - Chatham, Nueva Jersey, 28 de enero de 1983) fue un ingeniero y cientfico empleado de los Laboratorios Bell. Es conocido principalmente por enunciar el teorema que lleva su nombre. Sirvi como operador de radio en el U.S Marina entre 1917 y 1919, asisti a la Universidad de Maine durante un ao antes y un ao despus de su servicio durante la guerra, luego fue trasladado al M.I.T.

95

2.4.1 ENUNCIADO

Cualquier red lineal (Na) variante o invariante con el tiempo, compuesta por elementos pasivos y activos (dependientes e independientes) conectada a otra red

(Nb) o carga que puede ser lineal o no, variante o invariante con el tiempo y su

estado energtico nulo o no mediante dos terminales p y q (figura 77a) , se puede

sustituir desde el punto de vista de sus terminales por un circuito equivalente que

contenga slo una fuente de corriente independiente en paralelo con una red Nao

(Figura 77b) que se obtiene de Na haciendo todas las fuentes independientes

contenidas en ella y el estado energtico inicial iguales a cero, siempre y cuando

la interconexin entre la carga Nb y la red Na tengan solucin nica y no haya

ningn acoplamiento entre ellas.20

Figura 77. Circuito original y Circuito equivalente de Norton

2.4.2 DEMOSTRACIN

20

Tomado de ACOSTA, lvaro, CALLE, Jorge. y'/Z>K/EdZKh/ME>E>/^/^/Zh/dK^ELCTRICO^

96

Figura 78. Demostracin del teorema de Norton

Aplicando el teorema de superposicin al circuito de la figura 78a se puede ver

que el voltaje () a travs de la red pasiva Nb, se compone del voltaje 1() que es generado por la accin de todas las fuentes en la red Na de la figura 77a y el

voltaje 2() debido a la fuente de corriente () de la figura 78b. Por lo tanto: = 1 + 2 (63) Cuando () es cero se puede reemplazar la red pasiva Nb en la figura 78a por un corto circuito a travs del cual no circula ninguna corriente, por lo tanto al aplicar el

teorema de superposicin se obtiene que:

0 = + (64) Esto indica que para que el voltaje a travs de la red pasiva Nb sea nulo, () debe ser igual a () como se muestra en la figura 79. Si la direccin de = (), se produce una cada de tensin 1() en la red pasiva Nb de la figura 77b.

Figura 79. Determinacin de la corriente de Norton

97


En trminos de la transformada de Laplace. Hallar el equivalente de Norton entre

los terminales a y b de la figura 80.


SOLUCIN:

Clculo de 0: Red 0 Figura 81. Clculo de 0

98

0 Paralelo de 1 con la serie de 1,2 y 0 = 1 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + = 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = +

122 + 1 + 2 + 1 0 = + 12 + 2 + 3 donde 1 = 12 ; 2 = 1 + 2 ; 3 = 1

Figura 82. Clculo de :

Se halla la impedancia equivalente entre 1,2 y y se convierte la fuente de voltaje en fuente de corriente:

Figura 83. Impedancia equivalente y conversin de las fuentes

99

= = ()1 + 2 +

Figura 84. Equivalente de Norton:

= = ()1 + 2 + ; 0 = + 12 + 2 + 3


2.4.4.1 Encontrar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la

figura 85


100

SOLUCIN:

Primero se determina la , para esto se ponen en cortocircuito las terminales a y b de la figura 85. Como se ve = 0 cuando las terminales estn en cortocircuito:


Entonces:

= 5500

= 10 ; por lo tanto = 10 = 1010 = 0,1

Clculo de RN:

Haciendo la ecuacin de la corriente de malla en la parte izquierda del circuito de

la figura 86: 5 + 500 + = 0 (65) Ahora se hace la malla del lado derecho del circuito (sin el cortocircuito): = 2510 = 250 (66)

despejando = 250

101

Al sustituir en la ecuacin (65) se obtiene : 500

250 + = 5 ; = 5

Por lo tanto se procede a obtener la : = = 50,1 = 50

Figura 87. Equivalente de Norton:

2.4.4.2 Hallar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la figura 88,

en rgimen permanente sinusoidal (usando fasores).


102

SOLUCIN:

Se halla un circuito equivalente y por medio de un divisor de corriente se obtiene el

valor de :


= 1 900 = = 3 + 3 + + 8 + 6 = 0,24 104,030

Clculo de : Se elimina la fuente de corriente y se encuentra la impedancia equivalente del

circuito:


103

= 11 + 7

Figura 91. Equivalente de Norton

2.4.4.3 Encontrar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la

figura 92.


SOLUCIN:

Clculo de :

104

La fuente de corriente se reemplaza por un circuito abierto y la fuente de voltaje se

reemplaza por un corto circuito:


= 5 8 + 4 + 8 = 20 520 + 5 = 4 Clculo de : Se pone en cortocircuito las terminales a y b, de esta forma se halla la corriente de

Norton que circula por el circuito:


105

1 = 2 ; 2 = Malla 2:

4(2 1) + 162 12 = 0 (67) Organizando y despejando 2 : = 2 = 1

Figura 95. Equivalente de Norton


2.4.5.1 Resolver todos los ejemplos de aplicacin, ejercicios resueltos y los

propuestos de la parte anterior (teorema de Thvenin) usando el teorema

de Norton.

2.4.5.2 En el circuito de la figura 96, hallar el voltaje 0 empleando el teorema de

Norton.

106


2.4.5.3 Para el circuito de la figura 97, encontrar el voltaje 0, empleando el

teorema de Norton.


2.4.5.4 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales a y b del circuito

de la figura 98, en trminos de la transformada de Laplace.

107


2.4.5.5 Transformar el circuito ilustrado y obtener la red equivalente de Norton

entre los terminales a y b, y ()


2.4.5.6 Determinar el circuito equivalente de Norton, en trminos de la

transformada de Laplace

108


2.4.5.7 Determinar la impedancia equivalente entre los terminales p y q


2.4.5.8 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales a y b del circuito

de la figura 102, en trminos de la transformada de Laplace

109


2.4.5.9 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales p y q del circuito

de la figura 103, en trminos de la transformada de Laplace


110

2.4.5.10 Cuando el circuito ha alcanzado el estado estacionario con el interruptor

en la posicin 1, este se pasa a la posicin 2. Tomando este instante

como referencia (t=0) determinar la red equivalente de Norton en

trminos de la Transformada de Laplace entre los terminales x y considerando como carga la inductancia L.

Determine e para 0


2.5 TEOREMA DE RECIPROCIDAD

2.5.1 EL PRINCIPIO DE RECIPROCIDAD

Una de las propiedades ms tiles para la solucin de muchos problemas

prcticos e investigaciones en la teora de los circuitos elctricos LINEALES,

PASIVOS e INVARIANTES CON EL TIEMPO, es la de la reciprocidad. Su estudio

se basa en la comparacin de dos circuitos constituidos alrededor de la misma red

F0 (que como se dijo debe ser lineal, pasiva e invariante con el tiempo, su estado

111

energtico inicial debe ser nulo y no contener fuentes dependientes), una vez

hecho esto se relacionan las corrientes y voltajes 1, 2, 1, 2 y 1, 2, 1, 2 , definidos como se muestra en la figura 105 de la siguiente forma21:

11 + 22 = 11 + 22 (68)

Figura 105. Principio de reciprocidad

2.5.2 EL TEOREMA COMO UNA CONSECUENCIA DEL PRINCIPIO

Un caso particular del principio de reciprocidad es el Teorema de reciprocidad:

Figura 106. Teorema de reciprocidad

21

La demostracin de este principio se basa en el teorema de Tellegen que se enuncia en el captulo 3. Se deja como ejercicio su demostracin

112

Utilizando la ecuacin (68) del principio de reciprocidad y reemplazando los valores de la figura 106, se tiene:

11() + 2()2() = 1()1() + 2()2() 1() + 0 2() = 0 1() + ()2() 1 = 2 1 = 2 La lectura de los ampermetros es la misma, si se intercambian excitacin y medida

2.5.3 ENUNCIADO

/D UHODFLyQ HQWUH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH GH XQD respuesta ya sea de corriente o voltaje medida en un nodo de la red, y la excitacin aplicada a otro

nodo, permanece invariante a un cambio de posiciones entre el nodo de

observacin y el de excitacin, siempre y cuando esta transformacin no altere la

estructura topolgica de la red.

Es decir, la corriente en cualquier rama de una red, debida a una fuente simple de

tensin en cualquier otro punto de la red, ser igual a la corriente que pasa por la

rama en la que se encontraba originalmente la fuente, si sta se pusiera en la

rama en que se midiyRULJLQDOPHQWHODFRUULHQWH22

Como se dijo, hay una serie de restricciones bajo las cuales el teorema se puede

aplicar:

- Este teorema slo es aplicable a redes de una sola fuente independiente; por

lo tanto no es un teorema que se emplee en el anlisis de redes con fuentes

mltiples.

- La red es lineal e invariante con el tiempo.

22

Tomado de K^d>>:'/Z>K/EdZKh/ME>E>/^/^/Zh/dKS >dZ/K^

113

- La red est inicialmente en reposo (estado energtico inicial nulo).

- La red no puede contener fuentes dependientes.

2.5.4 DEMOSTRACIN23

Figura 107. Redes auxiliares para demostrar el teorema de reciprocidad

Aplicando el teorema de Tellegen a las redes de la figura 107 se obtiene

1 1 + 2 2 + =3 = 0 (69)

1 1 + 2 2 + =3 = 0 Puesto que la matriz de la ecuacin primitiva que relaciona los () con los () es la misma que relaciona los () con los (), es decir: 23

Tomado de K^d>>:'/Z>K/EdZKh/ME>E>/^/^/Zh/dK^>dZ/K^

114

= = = = = (70) La ecuacin (70) es una clara demostracin de que si la red 0 es la misma en ambos circuitos de la figura 107 entonces:

=3 = =3 Igualando las ecuaciones de (69) se obtiene la definicin ms general de

reciprocidad: 1 1 + 2 2 = 1 1 + 2 2 (71) Se pueden considerar los siguientes casos:

Caso 1: Se reemplazan las redes A y D por fuentes de voltaje y , las redes B y C por cortocircuitos a travs de los cuales circulan corrientes e , respectivamente (figura 108). Es decir:

1 = 2 = 2 = (72) 1 =

2 = 1 = 0

115

Figura 108. Intercambio de posiciones entre fuentes de voltaje y registradores de

corriente

Reemplazando la ec.(72) en (71) se obtiene: 2()1() = ()() = ()() = 1()2() (73)

Caso 2: Se sustituyen las redes A y D por fuentes de corriente () e () y las redes B y C por circuitos abiertos (figura 109) a travs de los cuales

aparecen voltajes () y (), respectivamente. Es decir: 1 = 2 = 2 = (74) 1 = 2 = 1 = 0

116

Figura 109. Intercambio de posiciones entre fuente de corriente y registrador o

medidor de voltaje

Reemplazando la ec.(74) en (71) se obtiene:

2()1() = ()() = ()() = 1()2() (75)

Debe enfatizarse que una fuente independiente de voltaje se toma como un corto

circuito = 0 y una de corriente como un circuito abierto = 0 generalizados. Por esta razn tanto en el punto de observacin como en el de

excitacin hay implcitas restricciones de corto circuito cuando la respuesta es una

corriente y la excitacin una fuente independiente de voltaje. Similarmente, un

voltaje debido a una fuente de corriente implica restricciones de circuito abierto

tanto en el punto de observacin como en el de excitacin. As, por ejemplo, la

figura 110 ilustra una situacin en la que el teorema de reciprocidad se cumple ya

que en el punto de observacin del primer circuito y en el de excitacin del

segundo se mantiene la restriccin de circuito abierto, mientras que en el punto de

excitacin del primer circuito y de observacin del segundo se mantiene la

restriccin de corto circuito. En este mismo orden de ideas en la figura 111 no se

cumple el teorema de reciprocidad.

117

Figura 110. Situacin en la que se aplica el teorema de reciprocidad

Figura 111. Situacin en la que no se aplica el teorema de reciprocidad


Demostrar que las corrientes medidas por los ampermetros son iguales en los dos

circuitos.

118


SOLUCIN:

Circuito 1:

Se halla el equivalente de Thvenin en el circuito:

= 10 (5)3 + 4 5 = 5 15 = 3 + 4(5)3 + 4 5 + 2 = (9,5 2,5)

La corriente medida por el ampermetro ser:

= = 5 15(9,5 2,5) = 0,881 1,35 Circuito 2:

Por medio de un divisor de corriente se obtiene : = 10

2 +3 + 4(5)

3 + 4 5 (5)3 + 4 5 = (50)(26 17) = (0,881 1,35)

119


2.5.6.1 Hallar el valor de las corrientes 1 e 2 para los circuitos de la figura 113.


SOLUCIN:

Circuito 1:

Se halla la corriente 1 por medio de un divisor de corriente: 1 = 10020 +

(160)(20)160 + 20

20

20 + 160= 0,294

Circuito 2:

De la misma forma se obtiene la corriente 2 : 2 = 100160 +

(20)(20)20 + 20

20

20 + 20= 0,294

Como se puede ver las corrientes son iguales, con lo que se verifica el teorema de

reciprocidad.

120

2.5.6.2 Aplicar el teorema de reciprocidad para hallar el valor de las corrientes e para los circuitos de la figura 114.


SOLUCIN:

Figura 115. Aplicacin del teorema de Reciprocidad

11 + 22 = 11 + 22 (76)

121

Del circuito 1 se conoce que: 1 = 4 ; 2 = 0 Para el circuito 2 se tiene: 1 = 0 ; 2 = 6 Aplicando la ec.(76) se tiene:

41 + 02 = 01 + 62 ; 1 = 32 2 Del circuito 1 se obtiene 1: 1 = 4

1 +(2 2)2 + 2

= 2 Para hallar se realiza un divisor de corriente en el circuito 1 original: = 2

2 + 2 1 = 22 + 2 2 = 1 = 2

Para hallar : 41 = 62 ; 1 = 32 2 = 32 1 = 32 = 1 = 32 = 32

2.5.6.3 Verificar el cumplimiento del Teorema de reciprocidad.

122


SOLUCIN:

El teorema de reciprocidad establece que si se intercambian excitacin y medida,

ste no se altera, se resolvern ambos circuitos para comprobar este hecho ( debe ser igual en ambos)

Circuito 1:

Usando voltajes de rama


= 1 = 150 incognitas: V1 , V2 , 3

123

Ecuaciones de inductancias mutuas: NO HAY

Ecuaciones de fuentes de corriente: NO HAY

1 = 150 2 = 210 4 = 410 5 = 525 6 = 650 a los que no llegan fuentes de corriente:

= 0 2 4 + 5 = 0 (77) = 0 1 5 + 6 = 0 (78)

Fuentes de voltaje: 3 = VHHOLPLQDXQDLQFyJQLWD Reemplazando los valores de las corrientes en las ecs.(77) y (78):

2

10 4

10+

5

25= 0 ; multiplicando por 50: 5 2 5 4 + 2 5 = 0 79

1

50 5

25+

6

50= 0 ; multiplicando por 50: 1 2 5 + 6 = 0 80

Expresando los Venlace en funcin de los de rama: 4 = 0 4 + 2 3 = 0 4 = 3 2 = 2 5 = 0 5 + 1 2 = 0 5 = 1 + 2 6 = 0 6 1 = 0 6 = 1 Reemplazando en las ecs.(79) y (80):

5 2 5 2 + 2 1 + 2 = 0 2 1 + 12 2 = 5 (81)

124

1 2 1 + 2 + 1 = 0 4 1 2 2 = 0 2 = 2 1 (82) Reemplazando (82) en (81):

2 1 + 122 1 = 5 ; 22 1 = 5 1 = 522 = 1 = 150 = 5 22 50 = 220

Circuito 2:

Se respetan las direcciones dadas = 4 , = 5 , = 3 , = 1 Usando voltajes de rama:


= 1 = 110 incognitas: V1 , V2 , 3 1 = 110 3 = 350 4 = 425 5 = 550 6 = 610 a los que no llegan fuentes de corriente:

125

= 0 2 4 + 6 = 0 (83) = 0 3 4 + 5 = 0 (84)

Fuentes de voltaje: 2 = VHHOLPLQDXQDLQFyJQLWD Reemplazando los valores de las corrientes en las ecs.(83) y (84):

1

10 4

25+

6

10= 0 85

350

+4

25+

5

50= 0 86

Expresando los Venlace en funcin de los de rama: 4 = 0 4 + 1 2 + 3 = 0 4 = 1 + 2 3 = 1 + 3 5 = 0 5 2 + 3 = 0 5 = 2 3 = 3 6 = 0 6 1 = 0 6 = 1 Reemplazando en las ecs.(85) y (86):

1

101 + 325 + 110 = 0 3

50+ 1 + 3

25+ 3

50= 0

Multiplicando por 50 y reorganizando:

12 1 + 2 3 = 2 87 2 1 4 3 = 3 88 Despejando 3 de la ec.(88) se tiene:

126

3 =3 2 1

4

Reemplazando la ec.(88) en (87):

12 1 + 2 3 2 14 = 2 1 = 22 = 1 = 110 = 2210 = 220

El resultado es igual al obtenido en el circuito anterior; con lo que se comprueba el

teorema de reciprocidad.


2.5.7.1 Aplicar el teorema de reciprocidad a los circuitos de la figura 119 que se

presenta a continuacin.


127

2.5.7.2 Aplicar el teorema de Reciprocidad a los circuitos de la figura 120 que se

presenta a continuacin.


2.5.7.3 La red de la figura 121 est compuesta exclusivamente de resistencias

lineales de valor constante. La tabla corresponde a mediciones de voltaje

y corriente para dos valores definidos de 2 y de la excitacin. Determine 2 en el segundo caso


128

2.5.7.4 Si se sabe que la red F es lineal, pasiva y recproca. Determine () en rgimen permanente sinusoidal


Para los circuitos se tomaron los siguientes datos en el laboratorio:

Tabla 1. Mediciones de laboratorio

Magnitud ngulo de fase con respecto a I2(t) 1 00 7 900 10 900

129

2.5.7.5 a) La figura 123 muestra una red lineal recproca excitada por dos fuentes

de voltaje 1 y 2. Cuando 1 = 10 , 2 = 0 y el circuito alcanza el estado estacionario, entonces 1 = 2 cos , =13 4 2 = 2,82( + 8,10). Calcular 1 en rgimen permanente sinusoidal si 1 = 10 2 = 10

b) Si la red de la figura 123 contiene nicamente resistencias y si se sabe

que 1 = 20 2 = 0 producen corrientes 1 = 5 2 =2. Calcular 1 cuando 1 = 30 + 60 2 = 60 + 15


2.5.7.6 La tabla adjunta muestra mediciones obtenidas en el laboratorio para dos

formas diferentes de excitacin de la red mostrada en la figura 124.

a) Calcular el valor de 5 b) Si 1 = 5 2 = 5 , para que valor de , 6 = 0 ? c) Determinar el valor de 3 4 d) Determinar el valor de 6

130


131

3. OTROS TEOREMAS

3.1 TEOREMA DE TELLEGEN I Y II

Estos teoremas, son de gran utilidad en las investigaciones tericas de los

circuitos elctricos, no son ms que una consecuencia directa del hecho de que

los circuitos elctricos constituyen un sistema cerrado24, se aplican a todo tipo de

circuitos elctricos, lineales o no, variantes o invariantes con el tiempo y cuyo

estado energtico puede ser nulo o no.

Los teoremas de Tellegen25 establecen que las sumas de las potencias generadas

y consumidas por los elementos de un circuito deben ser nulas. Este teorema

permite comprobar los resultados obtenidos en el anlisis del circuito y a veces es

OODPDGREDODQFHGHSRWHQFLDV

3.1.1 ENUNCIADO

TEOREMA I: En cualquier red de parmetros concentrados en cualquier instante, la suma algebraica de las potencias absorbidas o generadas por todos

los elementos de circuito es nula. Es decir, cuando todas las corrientes

se definen en el sentido de las cadas de potencial (o todas en el

sentido de las subidas de potencial).

()=1 = 0 ; () . () = 0 = () . () (89)

24

Que no intercambia energa con el medio 25

Bernard D.H. Tellegen (Winschoten, 24 Junio de 1900 - Eindhoven, 30 Agosto de 19

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Teoremas Fundamentales de Circuitos Electricos