Los dos teoremas de Tales[editar]

Semicrculo que ilustra el segundo teorema de Tales.El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir untringulo semejantea uno previamente existente ("los tringulos semejantes son los que tienen iguales ngulos y sus lados homlogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraa una propiedad esencial de los circuncentros de todos los tringulos rectngulos ("encontrndose stos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construccin geomtrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construccin de ngulos rectos. Si tres o ms rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.Primer teorema

Una aplicacin del teorema de Tales.Como definicin previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos tringulos sonsemejantessi tienen los ngulos correspondientes iguales y sus lados sonproporcionalesentre s. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados ms bsicos de la geometra, al saber, que:Teorema primeroSi en un tringulo se traza una lnea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un tringulo que es semejante al tringulo dado.

Tales de Mileto

Segn parece, Tales descubri el teorema mientras investigaba la condicin de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos tringulos no es condicin suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicacin del teorema, y la razn de su fama, se deriva del establecimiento de la condicin de semejanza de tringulos, a raz de la cual se obtiene el siguiente corolario.Corolario[editar]Del establecimiento de la existencia de una relacin de semejanza entre ambos tringulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razn entre la longitud de dos de ellos en un tringulo se mantiene constante en el otro.Por ejemplo, en la figura se observan dos tringulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del tringulo pequeo es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el tringulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos tringulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometra descriptiva. Su utilidad es evidente; segnHerdoto, el propio Tales emple el corolario de su teorema para medir la altura de lapirmide de KeopsenEgipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos tringulos, no la constancia del cociente.Del primer teorema de Tales se deduce adems lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo):Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.Segundo teorema[editar]

fig 2.1Ilustracin del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema degeometraparticularmente enfocado a lostringulos rectngulos, lascircunferenciasy losngulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:Teorema segundoSeaBun punto de la circunferencia de dimetroAC, distinto deAy deC. Entonces el tringuloABC, es un tringulo rectngulo.

Tales de Mileto

Este teorema (vasefig 2.1y2.2), es un caso particular de una propiedad de lospuntos cocclicosy de la aplicacin de losngulos inscritosdentro de una circunferencia.Demostracin[editar]

fig 2.2Siempre queACsea undimetro, el nguloBser constante yrecto.

fig 2.3Los tringulosAOByBOCson issceles.En la circunferencia de centroOy radior(vasefig 2.3), los segmentosOA,OByOCson iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.Por lo tanto los tringulosAOByBOCson issceles.La suma de los ngulos del tringuloABCes:

Dividiendo ambos miembros de la ecuacin anterior por dos, se obtiene:

Con la expresin anterior el segundo teorema queda demostrado.Corolarios[editar](Corolario 1)En todo tringulo rectngulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre de la hipotenusa.

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posicin que adopte el vrticeBvale la igualdad,OA=OB=OC=r, dondeOBes la mediana de la hipotenusa, (vasefig 2.3).(Corolario 2)La circunferencia circunscripta a todo tringulo rectngulo siempre tiene radio igual a de la hipotenusa y su circuncentro se ubicar en el punto medio de la misma.

El corolario 2 tambin surge de aplicar el teorema anterior, para una comprensin intuitiva basta observar lafig 2.2.Aplicacin (Tales - teorema segundo)[editar]

Construccin de tangentes (lneas rojas) a una circunferenciakdesde un puntoP, utilizando el segundo teorema de Tales.El segundo teorema (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferenciakdada, que adems pasen por un puntoPconocido y externo a la misma (vase figura).Se supondr que una tangente cualquierat(por ahora desconocida) toca a la circunferenciaken un puntoT(tambin desconocido por ahora). Se sabe por simetra que cualquier radiorde la circunferenciakes perpendicular a la tangente del puntoTque dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que nguloOTPes necesariamente recto.Lo anterior implica que el tringuloOTPes rectngulo. Recordando el corolario 2 del teorema segundo de Tales podemos deducir que entonces el tringuloOTPes inscribible en una circunferencia de radio de la hipotenusaOPdel mismo.Entonces marcando el puntoHcomo punto medio de la hipotenusaOPy haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que ser la que circunscribe al tringuloOTP.Esta ltima circunferencia trazada se intersecar con la circunferenciaken dos puntosTyT', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultneamente tangentes aky adems pasan por el puntoP, ahora ya conocidos los puntosTyT'solo basta trazar las rectasTPyT'P(rojas en la figura) para tener resuelto el problema.Leyenda[editar]Segn la leyenda (relatada porPlutarco),1Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visit las pirmides deGuiza(las de Keops, Kefrn y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilizacin, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trat este problema con semejanza de tringulos (y bajo la suposicin de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relacin de semejanza (teorema primerodeTales) entre dos tringulos rectngulos, por un lado el que tiene por catetos (CyD) a la longitud de la sombra de la pirmide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valindose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (AyB) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del da en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual meda la sombra de la pirmide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtena la longitud totalCde la sombra de la pirmide hasta el centro de la misma.

Como en tringulos semejantes, se cumple que, por lo tanto la altura de la pirmide es, con lo cual resolvi el problema.