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Euclésio Rangel Waiandt Alguns Teoremas Limites para Sequências de Variáveis Aleatórias Vitória-ES, Brasil Outubro de 2014

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  • Euclsio Rangel Waiandt

    Alguns Teoremas Limites para Sequncias deVariveis Aleatrias

    Vitria-ES, BrasilOutubro de 2014

  • Euclsio Rangel Waiandt

    Alguns Teoremas Limites para Sequncias de VariveisAleatrias

    Dissertao submetida como parte dos re-quisitos para a obteno do ttulo de Mes-tre em Matemtica pelo Programa de Ps-Graduao em Matemtica da UniversidadeFederal do Esprito Santo.

    Universidade Federal do Esprito Santo UFESDepartamento de Matemtica

    Programa de Ps-Graduao em Matemtica

    Orientador: Fbio Jlio da Silva Valentim

    Vitria-ES, BrasilOutubro de 2014

  • Dados Internacionais de Catalogao-na-publicao (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Esprito Santo, ES, Brasil)

    Waiandt, Euclsio Rangel, 1982- W138a Alguns teoremas limites para sequncias de variveis

    aleatrias / Euclsio Rangel Waiandt. 2014. 104 f. Orientador: Fbio Jlio da Silva Valentim. Dissertao (Mestrado em Matemtica) Universidade

    Federal do Esprito Santo, Centro de Cincias Exatas. 1. Variveis aleatrias. 2. Convolues (Matemtica). 3.

    Distribuio (Teoria da probabilidade). I. Valentim, Fbio Jlio da Silva. II. Universidade Federal do Esprito Santo. Centro de Cincias Exatas. III. Ttulo.

    CDU: 51

  • Aos meus filhos, pois a existncia deles o que me faz querer evoluir como ser humano.

  • Agradecimentos

    minha esposa, Ervnia, por ter confiado na minha escolha em fazer o Mestradoem Matemtica e por ter me apoiado e motivado durante o curso.

    Aos meus filhos, ndrio e Eduarda, por existirem e serem a motivao para seguirsempre em frente.

    Ao meu orientador, Prof. Dr. Fbio Jlio da Silva Valentim, por ter confiado naminha capacidade em fazer este trabalho.

    Aos meus pais, Helmut e Marineuza, pelos valores que me ensinaram, os quaiscontribuem nas escolhas que fao.

  • Resumo

    O Teorema Central do Limite e a Lei dos Grandes Nmeros esto entre osmais importantes resultados da teoria da probabilidade. O primeiro deles busca con-dies sob as quais E

    converge em distribuio para a distribuio normal com

    parmetros 0 e 1, quando tende ao infinito, onde a soma de variveis ale-atrias independentes. Ao mesmo tempo, o segundo estabelece condies para queE

    convirja a zero, ou equivalentemente, para que convirja para a esperana

    das variveis aleatrias, caso elas sejam identicamente distribudas. Em ambos oscasos as sequncias abordadas so do tipo + , onde > 0 e so constantesreais. Caracterizar os possveis limites de tais sequncias um dos objetivos dessadissertao, j que elas no convergem exclusivamente para uma varivel aleatriadegenerada ou com distribuio normal como na Lei dos Grandes Nmeros e no Te-orema Central do Limite, respectivamente. Assim, somos levados naturalmente aoestudo das distribuies infinitamente divisveis e estveis, e os respectivos teoremaslimites, e este vem a ser o objetivo principal desta dissertao. Para as demonstra-es dos teoremas utiliza-se como estratgia principal a aplicao do mtodo deLyapunov, o qual consiste na anlise da convergncia da sequncia de funes ca-ractersticas correspondentes s variveis aleatrias. Nesse sentido, faremos tambmuma abordagem detalhada de tais funes neste trabalho.

    Palavras-chave: Sequncias de Variveis Aleatrias. Funes Caractersticas. Dis-tribuies Infinitamente Divisveis e Estveis. Teoremas Limites.

  • Abstract

    The Central Limit Theorem and the Law of Large Numbers are among themost important results of probability theory. The first one seeks conditions underwhich E

    converges in distribution to the normal distribution with parameters

    0 and 1, when tends to infinity, where is the sum of independent random vari-ables. At the same time, the second gives conditions such that E converges tozero, or equivalently, that converges to the expectation of the random variables,if they are identically distributed. In both cases, the sequences discussed are of thetype + , where > 0 and are real constants. Characterizing the possible lim-its of such sequences is one of the goals of this dissertation, as they not only convergeto a degenerated random variable or a random variable with normal distribution,as the Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem, respectively. Thus,we are naturally led to the study of infinitely divisible and stable distributions andtheir limits theorems. This becomes the main objective of this dissertation. In orderto prove the theorems, the method of Lyapunov is applied as the main strategy,which analyzes the convergence of the sequence of characteristic functions relatedto the random variables. So we carry out a detailed approach of such functions inthis research.

    Key-words: Sequences of Random Variables. Characteristic Functions. InfinitelyDivisible and Stable Distributions. Limits theorems.

  • Lista de smbolos

    E Esperana da varivel aleatria

    Varincia da varivel aleatria

    1= 2 1 igual a 2 em distribuio

    converge a em distribuio

    converge a em probabilidade

    e

    e Unio disjunta* Convoluo

    (+) lim+

    ()

    () lim

    ()

    () lim

    ()

    () lim

    ()

    Famlia de ndices

    (R) lgebra de Borel

    Parte inteira de

    lim inf

    lim

    inf

    lim sup

    lim

    sup

  • Sumrio

    1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2 Noes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1 Espaos de Probabilidade e Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Existncia de Infinitas Variveis Aleatrias Independentes . . . . . . . . . . 172.3 Esperana Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Funes Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Exemplos de Distribuies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.5.1 Distribuio Degenerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.2 Distribuio Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5.3 Distribuio de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.4 Distribuio de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.5 Distribuio Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.6 Distribuio Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.7 Distribuio Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3 Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . 443.1 Tipos de Convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2 Teoremas Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Famlias Relativamente Compactas e Rgidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4 Distribuies Infinitamente Divisveis e Estveis . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1 Caracterizao das Funes Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Distribuies Infinitamente Divisveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 Distribuies Estveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    5 Consideraes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.1 Diferenas entre os Teoremas 4.2.1 e 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2 Consequncias do Teorema 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3 Variveis Aleatrias com Distribuies no Idnticas . . . . . . . . . . . . . 101

    Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

  • 10

    1 Introduo

    A origem da teoria da probabilidade se deu em meados do sculo XVII e estatrelada forma como Pascal e Fermat lidavam com jogos de azar, a qual no se encaixavanos conceitos matemticos daquela poca. Como as cincias naturais at ento eram poucodesenvolvidas, os jogos de azar e os problemas de demografia foram durante muito tempoo seu nico objeto de estudo, e os problemas eram resolvidos com o uso de aritmticaelementar e mtodos combinatrios.

    Com a evoluo das cincias naturais foi necessrio o surgimento de mtodos maissofisticados e eficazes para o tratamento das informaes. Na fsica molecular, por exem-plo, descobriu-se que cada substncia composta por pequenas partculas que esto emconstante movimento, o que ficou conhecido como movimento browniano. Esta nomen-clatura uma homenagem ao britnico Robert Brown, que foi o primeiro a observar talfato, em 1827. Em 1905 Albert Einstein props uma descrio matemtica do movimentoa partir das leis da fsica, mas somente na dcada de 20 que tal teoria foi formalizadapor Norbert Wiener.

    Para termos uma ideia intuitiva do que o movimento browniano, consideremosuma partcula que a cada unidade de tempo se move para a direita ou para a esquerda,uma distncia com probabilidade 12 para ambos os lados. Considere tambm as va-riveis aleatrias independentes 1, 2, , tais que ( = ) = ( = ) = 12 , = 1, 2, . Observe que num tempo , a partcula salta

    vezes, onde indica a

    parte inteira de , e assim, a posio da partcula no instante dada por

    () = 1 + + .

    Como E() = 0 e E2() =

    ()2, tomamos =

    para que a varincia de

    () seja sempre finita e diferente de zero. Da, tomando = 1, teremos = 1

    , e

    logo, ( = 1) = ( = 1) = 12 . Assim, () ter a mesma distribuio que

    () = 1 + +

    ,

    onde ( = 1) = ( = 1) = 12 . Agora, observando que

    () =

    (1 + +

    ),

    basta aplicarmos o Teorema Central do Limite e teremos () (0, ) quando vaipara o infinito.

  • Captulo 1. Introduo 11

    A partir da define-se que um movimento browniano ()0 um processo esto-cstico : [0,) R, tal que valem as trs condies abaixo: (BREIMAN, 1992,Captulo 12)

    1. Para quase todo fixado, (, ) : [0,) R uma funo contnua com(, 0) = 0;

    2. Os incrementos , 0 < , so tais que (0, );

    3. Incrementos em intervalos de tempo disjuntos so independentes, isto , 4 3e 2 1 so independentes sempre que 0 1 < 2 3 < 4.

    Na construo do movimento browniano que fizemos acima fica claro que as noeselementares da teoria da probabilidade no so suficientes para resolver tal problema. Foinecessrio construir uma sequncia de variveis aleatrias e aplicar o Teorema Central doLimite a ela. Pascal e Fermat j tinham a ideia de que propriedades importantes podiamaparecer a partir da anlise de um grande nmero de eventos aleatrios, mas somentena dcada de 1910, quando E. Borel percebeu que seria interessante conectar a teoria daprobabilidade com a teoria mtrica das funes de uma varivel real, que tal abordagemse tornou efetiva. Na dcada seguinte, Khintchin, Kolmogorov, Paul Lvy, entre outros,desenvolveram essas ideias, fazendo com que a teoria da probabilidade passasse a destacar-se pela rapidez do seu desenvolvimento e pela sua grande aplicabilidade.

    Alm do Teorema Central do Limite, que utilizamos acima, um outro teoremamuito importante a respeito do limite de uma sequncia de variveis aleatrias a Lei dosGrandes Nmeros, que alm de ser fundamental na teoria de processos estocsticos, podeser utilizado tambm para a obteno de resultados em outras reas do conhecimento.Vejamos uma pequena aplicao de tal teorema anlise: sendo uma funo contnuaem [0, 1], e para cada N, () =

    =0

    (

    ) (

    )(1 ) o polinmio de Bernstein

    de , ento {}1 converge pontualmente a em [0, 1], quando . De fato,fixado [0, 1], considere as variveis aleatrias independentes 1, 2, , todas comdistribuio de Bernoulli com probabilidade de sucesso, isto , ( = 1) = e ( = 0) = 1 . Sendo = 1 + +, temos da teoria bsica de probabilidadeque

    ( = ) =(

    )(1 ), 0 .

    Logo, (

    = ) =

    (

    )(1 ), donde segue que E(

    ) =

    =0

    (

    )(1 ), e

    consequentemente,

    E(

    )=

    =0

    (

    )(

    )(1 ) = ().

  • Captulo 1. Introduo 12

    Como 1, 2, tm esperana igual a , temos pela Lei Fraca dos Grandes Nmerosde Khintchin que

    , quando , e como contnua em [0, 1], segue que(

    ) (), quando (CHUNG, 2001, Seo 4.1). Alm disso, como [0, 1]

    compacto, uniformemente contnua em [0, 1], e como |

    | 1 segue que {(

    )}1

    limitada. Assim, pelo Teorema da Convergncia Dominada segue que E(

    )

    E() = (), isto , () ().

    No exemplo acima mostramos que converge pontualmente a , e usando a de-sigualdade de Chebyshev, poderamos mostrar tambm que a convergncia uniforme(CHUNG, 2001, Teorema 5.5.4). Mas esse no o nosso objetivo aqui, bem como noestvamos preocupados em definir rigorosamente o movimento browniano acima. Na ver-dade, a ideia ressaltar a importncia que tm os teoremas limites para sequncias devariveis aleatrias, destacando o Teorema Central do Limite e a Lei dos Grande Nme-ros, como fizemos. Estes so dois dos mais clebres resultados da teoria de probabilidade.Informalmente, o primeiro assegura que, sob condies bem gerais, mdias amostrais devariveis aleatrias, devidamente normalizadas em mdia e varincia, convergem em dis-tribuio para a normal com parmetros 0 e 1 quando o tamanho da amostra tende aoinfinito. Da mesma forma, o segundo assegura que a mdia de um grande nmero devariveis aleatrias normalizadas pelas suas respectivas mdias, converge a zero em pro-babilidade. Em ambos os casos, as sequncias que aparecem so da forma +

    , onde

    > 0 e so sequncias de nmeros reais, e somos levados naturalmente seguintequesto: alm da distribuio degenerada e da distribuio normal, quais so as outrasdistribuies que podem aparecer como limite das sequncias {+

    }1? Na procura da

    resposta de tal questo somos levados a estudar as classes das distribuies infinitamentedivisveis e estveis, bem como os correspondentes teoremas limites, o que vem a ser oobjetivo principal desta dissertao.

    O segundo captulo da dissertao preocupar-se- em fazer as definies e enunciaros principais teoremas que sero utilizados durante a dissertao. As referncias para talcaptulo so (CHUNG, 2001) ou (JAMES, 2006).

    O terceiro captulo tratar dos diferentes tipos de convergncia que temos parauma sequncia de variveis aleatrias e da relao que existe entre elas, enunciando-se osprincipais teoremas a respeito. O roteiro descrito basicamente o encontrado em (JA-MES, 2006), exceto a seo que trata das famlias de medidas de probabilidade rgidas erelativamente compactas. Tal teoria pode ser encontrada em (SHIRYAEV, 1996). Nessecaptulo so enunciados o Teorema de Poisson e algumas verses do Teorema Centraldo Limite e da Lei dos Grandes Nmeros. Para a demonstrao deles utiliza-se o m-todo de Lyapunov, o qual consiste na anlise da convergncia da sequncia de funescaractersticas e se destaca pela sua simplicidade e aplicabilidade.

    No quarto captulo que estudaremos as classes das distribuies infinitamente

  • Captulo 1. Introduo 13

    divisveis e estveis, e os correspondentes teoremas limites. Nesse intuito faremos primeiroum estudo detalhado sobre as funes caractersticas, pois isto se faz necessrio paraidentificar as distribuies infinitamente divisveis. As demonstraes feitas nesse captulotm como referncia principal (CHUNG, 2001) e (SHIRYAEV, 1996).

    Os resultados aqui demonstrados no podem ser todos obtidos a partir de umanica referncia citada. A maior parte deles est enunciada e demonstrada em (CHUNG,2001). No entanto, tal obra no aborda as distribuies estveis e nem a convergnciados arranjos triangulares para as distribuies infinitamente divisveis. Tais resultadospodem ser encontrados em (SHIRYAEV, 1996). Ressalto tambm que as demonstraesnesta dissertao foram feitas tentando sempre detalhar e simplificar os clculos o m-ximo possvel, visando que o texto fique acessvel tambm para alunos de graduao.Em particular, a demonstrao do Teorema 4.2.3 aqui feita a partir do Teorema 4.2.1 muito mais simples do que a feita em (CHUNG, 2001), j que l o Teorema 4.2.1 no enunciado. Outros resultados, como por exemplo as Proposies 4.1.1 e 4.2.2, nos livrosso apenas enunciados, enquanto que aqui so tambm demonstrados, e o Exemplo 3.2.1foi por mim elaborado para enfatizar que as somas normalizadas nem sempre convergempara a distribuio normal.

    Aos interessados, resultados similares ou que complementam os que aqui esto,podem ser encontrados em (GNEDENKO; KOLMOGOROV, 1954).

  • 14

    2 Noes Preliminares

    Para compreender a teoria aqui descrita necessrio o conhecimento prvio dateoria bsica de probabilidade. Nesse sentido, este captulo preocupar-se- em fazer asdefinies e enunciar os principais teoremas que sero utilizados durante a dissertao,dando-se destaque ao teorema que garante a existncia de infinitas variveis aleatriasidenticamente distribudas, j que tal fato que d sentido noo de distribuio in-finitamente divisvel e estvel. Por uma questo de objetividade algumas demonstraessero ocultadas, mas podero ser encontradas em (CHUNG, 2001) ou (JAMES, 2006).

    2.1 Espaos de Probabilidade e Variveis AleatriasComo j foi dito na introduo, quando E. Borel percebeu que seria interessante

    conectar a teoria da probabilidade com a teoria mtrica das funes de uma varivelreal que a teoria da probabilidade passou a destacar-se como cincia. Nascia assim oconceito de varivel aleatria, o qual abordaremos nesta seo. Como j foi dito tambm,por uma questo de objetividade, apenas enunciaremos as proposies e teoremas, semfazer as respectivas demonstraes, as quais podem ser encontradas em (JAMES, 2006)e (CHUNG, 2001).

    Fixado um conjunto no vazio, uma lgebra de uma coleo de sub-conjuntos de satisfazendo:

    i. ;ii. para todo ;iii. , N, implica que

    N

    .

    O par (,) chamado de espao mensurvel.

    Dado um espao mensurvel (,), uma medida de probabilidade uma fun-o : [0, 1] tal que:

    i. () 0;ii. () = 1;iii. Se 1, 2, so elementos disjuntos pertencentes a , ento (

    N

    ) =N

    ().

    Em particular, temos () = 1 () para todo .

    Definio 2.1.1 (Espao de Probabilidade). O trio (, , ) chamado de espao deprobabilidade.

  • Captulo 2. Noes Preliminares 15

    Em Probabilidade comumente refere-se ao conjunto como espao amostral e aoselementos da -lgebra como eventos aleatrios.

    A propriedade acima que diz que ( N

    ) =

    N () denominada aditividade

    da medida . Quando acontece de termos apenas (

    =1) =

    =1

    () dizemos que aprobabilidade finitamente aditiva. Note que verificar se uma medida finitamenteaditiva mais simples do que verificar a -aditividade. Nesse sentido temos uma valiosaproposio:

    Proposio 2.1.1. Uma probabilidade finitamente aditiva uma probabilidade (-aditiva)se, e somente se, contnua no vazio, isto , se () 0 quando .

    Definio 2.1.2 (Varivel Aleatria). Seja (, , ) um espao de probabilidade. Umafuno : R ser chamada de varivel aleatria se for uma funo mensurvel, isto, se para todo R, [ ] = { : () } um evento aleatrio.

    De outro modo, denotando por (R) a -lgebra de Borel para R (isto , a -lgebra gerada pelos intervalos), podemos dizer tambm que : R uma varivelaleatria se 1() para todo 0, onde 0 qualquer famlia de subconjuntosde R que gera (R), por exemplo 0 = {(, ] R : R} ou 0 = {(, ) R :, R}.

    Definio 2.1.3 (Eventos Aleatrios Independentes). Os eventos aleatrios 1, 2, , so ditos independentes se

    (

    =1) =

    =1

    ().

    Da mesma forma, dizemos que {} uma famlia de eventos aleatrios independentesse para todo N os eventos aleatrios 1 , , so independentes para quaisquer1, , .

    Definio 2.1.4 (Variveis Aleatrias Independentes). As variveis aleatrias 1, , so ditas independentes se para todo 1, , (R) tivermos

    (1 1, , ) =

    =1 ( ).

    Informalmente podemos dizer que as variveis aleatrias so independentes se oseventos aleatrios determinados por variveis aleatrias distintas, 1 () com (R),so sempre independentes. Da podemos considerar a definio acima vlida tambm paraum nmero infinito de variveis aleatrias.

    Definio 2.1.5 (Funo de Distribuio). Seja (, , ) um espao de probabilidade e : R uma varivel aleatria. Definimos a funo de distribuio de , : R R,por

    () = [ ].

  • Captulo 2. Noes Preliminares 16

    Dada uma funo : R R, temos que ela uma funo de distribuio se, esomente se, no-decrescente e contnua direita com () = lim

    () = 0 e

    () = lim

    () = 1. Outra propriedade importante que os pontos de continuidadede uma funo de distribuio so densos em R, como mostra a seguinte proposio:

    Proposio 2.1.2. Seja : R R uma funo montona. Ento, o conjunto dos pontosde descontinuidade de enumervel. Em particular, o conjunto dos pontos de desconti-nuidade de uma funo de distribuio enumervel, enquanto que o conjunto dos pontosde continuidade denso em R.

    Demonstrao. Sendo 1 < 2 pontos de descontinuidade de , considere os intervalos1 = { R; (1) (1+)} e 2 = { R; (2) (2+)}. Como montona, dado tal que 1 < < 2, temos

    (1+) () (2),

    se no decrescente, ou ento,

    (2) () (1+),

    se no crescente. Segue que 1 e 2 so intervalos disjuntos, e como em cada intervaloaberto h um nmero racional, podemos construir uma funo injetiva associando cada que ponto de descontinuidade de a algum nmero racional pertencente a = { R; () (+)}. Segue que o conjunto dos pontos de descontinuidade de enumervel.

    Definio 2.1.6. Sejam 1, , variveis aleatrias definidas no espao de proba-bilidade (, , ). A funo de distribuio conjunta de 1, , a funo : R R dada por

    1, ,(1, , ) = (1 1, , ).

    A partir da definio acima temos o seguinte resultado a respeito da independnciade variveis aleatrias:

    Proposio 2.1.3 (Critrio Para Independncia). Sejam 1, , variveis aleatriasdefinidas no espao de probabilidade (, , ).

    i. Se 1, , so independentes, ento

    1, ,(1, , ) =

    =1 (), para todo (1, , ) R.

  • Captulo 2. Noes Preliminares 17

    ii. Reciprocamente, se existem funes 1, , tais que

    lim

    () = 1 para todo , e

    1, ,(1, , ) =

    =1(), para todo (1, , ) R,

    ento 1, , so independentes e = para todo = 1, , .

    Definio 2.1.7. Seja (, , ) um espao de probabilidade e : R uma varivelaleatria.

    Dizemos que uma varivel aleatria discreta se existe um conjunto enume-rvel {1, 2, } R tal que () {1, 2, } para todo . Se o conjuntofor finito com elementos, dizemos que a funo de distribuio de possui tomos.

    Dizemos que uma varivel aleatria absolutamente contnua se existeuma funo : R R+ tal que a funo de distribuio de dada por

    () =

    (), R

    Nesse caso, chamada de densidade de probabilidade de , ou simplesmente,densidade de .

    Dizemos que uma varivel aleatria singular se a sua funo de distribuio contnua com () = 0 em quase toda a parte, isto , se () = 0 apenasnum conjunto de medida nula.

    Note que uma funo : R R+ densidade de alguma varivel aleatria se, esomente se,

    () = 1.

    Por definio, dada uma medida de probabilidade, existe uma funo de distribui-o associada a ela. A recproca de tal fato tambm verdadeira, isto , dada uma funode distribuio , obtemos uma medida de probabilidade em (R,(R)). A medida nos intervalos dada por (, ] = () () e se estende pelo Teorema de Extensode Medidas de Caratheodory (SHIRYAEV, 1996, Captulo 2, Seo 3) a uma medida deprobabilidade definida em (R,(R)).

    2.2 Existncia de Infinitas Variveis Aleatrias IndependentesUm dos principais objetivos desta dissertao investigar o comportamento de

    uma sequncia de variveis aleatrias. Nesse contexto, precisamos da existncia de

  • Captulo 2. Noes Preliminares 18

    variveis aleatrias independentes e identicamente distribudas definidas num espao deprobabilidade adequado, qualquer que seja o inteiro positivo . Assim, antes de qualquercoisa, preciso que tenhamos certeza de que tais variveis aleatrias existem, e isso ficaclaro no teorema seguinte (CHUNG, 2001, Captulo 3, Teorema 3.3.4).

    Teorema 2.2.1. Seja {}1 uma sequncia finita ou infinita de medidas de probabi-lidade definidas em (R,(R)). Ento existe um espao de probabilidade (, , ) e umasequncia de variveis aleatrias independentes {}1 em (, , ) tais que amedida de probabilidade de para todo .

    Demonstrao. Sem perda de generalidade podemos supor que a sequncia {}1 infinita, uma vez que a prova nesse caso tambm servir para o caso finito. Observe quepara todo existe um espao de probabilidade (,, ) e uma varivel aleatria nele definida com sendo a medida de probabilidade a ela associada. De fato, basta tomar(,, ) = (R,(R), ) e como a funo identidade em R, isto , () = .Vamos fixar ento um espao (,, ) e uma varivel aleatria para cada . Resta-nos construir o espao (, , ) no qual as variveis aleatrias esto definidas e provarque elas so independentes. Para o espao amostral vamos considerar

    = =1,

    que o conjunto formado pelos pontos da forma = (1, 2, ...) com para todo. Passaremos agora determinao de uma -lgebra de subconjuntos de .

    Dizemos que um conjunto produto finito se

    = =1= {(1, 2, ); },

    onde para todo e = para um nmero finito de . Vamos representar aclasse de tais conjuntos por 0, isto ,

    0 = { : um conjunto produto finito}

    Seja 0 uma classe de subconjuntos de cujos elementos so a unio disjunta de umnmero finito de conjuntos produto finito, isto ,

    0 = { : =

    =1() com (1), , () 0 e () () = se = }.

    Vamos verificar que 0 uma lgebra, definir uma medida de probabilidade ,-aditiva em 0, e usando o Teorema de Caratheodory, estenderemos 0 de maneira nicaa uma -lgebra e a uma medida de probabilidade em .

    Claramente 0. Alm disso, dados 1 e 2 0, temos

    1 =1

    =1(), e 2 =

    2=1

    (),

  • Captulo 2. Noes Preliminares 19

    onde os () e os () pertencem a 0, () () = se = e () () = se

    = , e logo,

    1 2 =1

    =1()

    2=1

    () =1+2

    =1(),

    onde () = () para 1 1 e () = (1) para 1 + 1 1 + 2. Note que os() no so necessariamente disjuntos, mas se usarmos () = () [(1) (1)],teremos

    1+2=1

    () =1+2

    =1(),

    onde os () so disjuntos e pertencem a 0. Assim, 1 2 0, e para mostrarmosque 0 uma lgebra de conjuntos de , falta mostrar que 0 fechado em relao complementao. De fato, dado () 0, temos

    () = =1,

    onde para todo e = para um nmero finito de . Logo, () serdado pela unio finita de conjuntos da forma =1, onde = ou = para 0 e = para > 0. Assim, () se escreve como unio de um nmero finitode elementos de 0, e logo temos que,

    () 0.

    Para o caso geral, dado 0, temos

    =

    =1().

    Logo, =

    =1

    () 0,

    uma vez que a interseo de um nmero finito de elementos de 0 resulta em um elementode 0 (basta observar que [1 ] [2 ] = [1 2] ).

    Assim, verificamos que 0 uma lgebra de subconjuntos de . Agora vamosdefinir uma medida de probabilidade em 0 da seguinte maneira:

    Se 0 (temos = =1, onde para todo e = para umnmero finito de ) vamos definir

    () =

    =1().

    Note que nesse caso existe 0 N tal que () = () = 1 para todo > 0, eassim temos

    () =0

    =1().

  • Captulo 2. Noes Preliminares 20

    Para o caso geral, se 0 (temos =

    =1() com (1), , () 0 e ()() =

    se = ) definimos

    () =

    =1 (()). (2.1)

    Trivialmente temos () 0 para todo 0 e () = 1. fcil verificar tambmque se , 0, com = , temos =

    1=1

    () e =2

    =1 (), e logo, usando

    () = () se 1 1 e () = (1) se 1 + 1 2, segue que

    ( ) = 1

    =1()

    2=1

    ()

    = (1+2=1

    ())

    =1+2

    =1(()

    )=

    1=1

    (()

    )+

    2=1

    ( ()

    )= () + ().

    Assim, uma medida de probabilidade finitamente aditiva em 0. Para verificar que -aditiva, vamos mostrar que contnua no vazio, conforme a Proposio 2.1.1.Para tanto, considere uma sequncia {}1 em 0 de forma que exista > 0 tal quepara todo tenhamos +1 e () . Precisamos mostrar que

    =1

    = .Recorde que para todo 0 existe N tal que determinado por coordenadas,isto , dados = (1, 2, ) e = (1, 2, ) com = para 1 temosque ambos pertencem a , ou nenhum dos dois pertence. Note tambm que sendo 1 e2 o nmero mnimo de coordenadas de 1 e 2, respectivamente, temos que 2 1implica que 1 2. Alm disso, se determinado por coordenadas, ser determinadotambm por + coordenadas, qualquer que seja o inteiro positivo . Assim, tomandouma subsequncia se necessrio, podemos supor que para grande, determinado por coordenadas. Agora, dado 1 1, defina

    (|1) = 1 1,

    onde1 = {(2, 3, ) =2 : (1, 2, 3, ) }.

    Note que se 1 no for a primeira coordenada de nenhum ponto de , ento (|1) = .Outro fato que se 0, o mesmo ocorre com (|1). Alm disso, se 0, com = =1, temos imediatamente que

    (|1) =

    1 2 3 , se 1 1, se 1 / 1 .Vamos mostrar que existe 1 1 tal que ((|1)) 2 para todo . Para tanto,observe primeiramente que

    () =

    1 ((|1))1(1).

  • Captulo 2. Noes Preliminares 21

    Isso imediato se 0, pois nesse caso temos = =1 com para todo, = se > , e

    (|1) =

    1 2 3 , se 1 1, se 1 / 1 .Da segue que

    ((|1)) = 1(1)

    =2(),

    onde

    1(1) =

    1, se 1 10, se 1 / 1 ,e logo,

    1 ((|1))1(1) =

    11(1)

    =2

    ()1(1) =

    =1() = (()).

    No caso geral, se 0, ento =

    =1(), e logo temos (|1) =

    =1

    (()|1), onde

    (()|1) (()|1) = se = . Segue que

    () =

    =1 (()) =

    =1

    1 (()|1)1(1)

    =

    1

    (

    =1 ((()|1))

    )1(1) =

    1

    (

    =1(()|1)

    )1(1)

    =

    1 ((|1))1(1).

    Defina agora o conjunto 1 por

    = {1 1 : ((|1))

    2}.

    Note que para 1 temos 2 ((|1)) 1, e para 1 / temos 0 ((|1)) < 2 . Segue da que

    () =

    1 ((|1))1(1)

    =

    ((|1))1(1) +

    ((|1))1(1)

    1(1) +

    21(1) =

    (1 2

    )1(1) +

    21(1)

    =(

    1 2

    )1() +

    2 ,

    donde temos (1 2

    )1()

    2 ,

  • Captulo 2. Noes Preliminares 22

    e logo1()

    22(2 )

    2 ,

    qualquer que seja 1. Observe que decresce junto com , uma vez que 1 +1implica ((|1)) ((+1|1)) 2 , e consequentemente 1 . Assim, temos1(

    =1

    ) 2 , e logo,

    =1 = . Tomando 1

    =1

    , temos que para todo 1vale

    ((|1))

    2 .

    Resumindo, partindo de () para todo 1, chegamos existncia de 1 1 talque ((|1)) 2 para todo 1. Repetindo o argumento, partindo de ((|1))

    2

    para todo 1, obteremos a existncia de 2 2 tal que ((|1, 2)) 4 para todo 1, e por recorrncia, obteremos para todo 1 a existncia de de formaque para todo 1 vale

    ((|1, , ))

    2 .

    Segue da que (|1, , ) = para todo , isto , sempre existe um ponto em cujas primeiras coordenadas so 1, , , respectivamente. Logo, todo ponto cujasprimeiras coordenadas so 1, , , respectivamente, est em , qualquer que seja. Assim, tomando = (1, 2, ), temos que para todo , e da

    =1,

    como queramos demonstrar.

    Assim, uma medida de probabilidade definida em 0, e logo, do Teorema deExtenso de Medidas de Caratheodory (SHIRYAEV, 1996, Captulo 2, Seo 3) temosque existe uma nica -lgebra que estende 0 e uma medida de probabilidade queestende definida em . Dessa forma fica provado que existe um espao de probabilidade(, , ) no qual est definida a varivel aleatria = (1, 2, ), e alm disso, como (=1) =

    =1

    () para todo , temos que as variveis aleatrias 1, 2, so independentes.

    Em nenhum momento se fez necessrio que as medidas de probabilidade fossemtodas distintas, e portanto, bastava que existisse uma quantidade finita delas. Em parti-cular, se tomarmos as medida de probabilidade todas iguais, obteremos a existncia deinfinitas variveis aleatrias independentes e identicamente distribudas.

    Outra fato que importante observar que na equao (2.1) definimos () para

    0 usando a decomposio =

    =1() com (1), , () 0. importante

    ressaltar que essa decomposio no nica, mas esse fato no influencia a definio de

  • Captulo 2. Noes Preliminares 23

    (), pois se tivermos

    =1

    =1() =

    2=1

    (), (2.2)teremos

    1=1

    (()) =2

    =1 ( ()). (2.3)

    De fato, dado 0, consideremos as representaes de como na equao (2.2). Note

    que para todo = 1, , 1 teremos () =2

    =1(() ()), e portanto, (()) =

    2=1

    (() ()). Segue que1

    =1 (()) =

    1=1

    2=1

    (() ()).

    Analogamente teremos tambm para todo = 1, , 2 que () = 1=1

    (() ()), eportanto

    2=1

    ( ()) = 2=1

    1=1

    (() ()),verificando-se assim a equao (2.3), como queramos.

    2.3 Esperana MatemticaPara falarmos sobre a Lei dos Grandes Nmeros e o Teorema Central do Limite

    necessrio definirmos primeiro o que so a esperana e a varincia de uma varivel aleat-ria. Informalmente, a esperana o valor que se espera obter ao escolher aleatoriamenteum elemento de (), e a varincia mede quanto que a esperana de 2 se afasta doquadrado da esperana de . Com isso em mente, natural pensarmos que no caso davarivel aleatria discreta que assume apenas valores positivos, a esperana coincide coma mdia aritmtica ponderada dos valores de (), e em (CHUNG, 2001, Captulo 3)ela definida exatamente dessa maneira. No caso geral, ela obtida por aproximao apartir de uma sequncia de variveis aleatrias discretas, analisando-se separadamente aspartes positiva e negativa, chegando-se assim aos resultados que seguem.

    Definio 2.3.1 (Esperana). Seja : R uma varivel aleatria cuja funo dedistribuio . A esperana de definida como

    E =

    () =

    =

    () (),

    desde que as integrais estejam bem definidas. Se E = < , dizemos integrvel.

  • Captulo 2. Noes Preliminares 24

    Note que

    E =

    () =

    0

    () +

    0 () = + ,

    de onde segue que

    i. integrvel se e so finitas;ii. E = se finita e = ;iii. E = se finita e = ;iv. E no est definida se = e = .

    Proposio 2.3.1. Seja uma varivel aleatria.

    i. Se discreta, tomando os valores {1, 2, }, temos

    E =

    ( = ).

    ii. Se contnua com densidade (), temos

    E =

    ().

    iii. Para toda funo mensurvel : R R, a esperana da varivel aleatria() dada por

    E() =

    () ().

    No caso em que a varivel aleatria for discreta, tomando os valores{1, 2, }, teremos

    E() =

    () ( = ).

    No caso em que a varivel aleatria for absolutamente contnua, comdensidade (), teremos

    E =

    ()().

    Proposio 2.3.2. A varivel aleatria integrvel se, e somente se, || integrvel.

    Proposio 2.3.3 (Propriedades da Esperana). Sejam , : R variveis aleat-rias integrveis. Ento vale que

    Se , ento E = ;

    E(aX+bY)=aEX+bEY;

    Se , ento E E ;

  • Captulo 2. Noes Preliminares 25

    Se 1, , so variveis aleatrias independentes, ento

    E(1 ) = E1 E.

    Definio 2.3.2 (Momentos). Seja uma varivel aleatria e R. Definimos o -simo momento de em torno de como sendo E( ). Se = 0, ento E o -simo momento de , simplesmente. Se = E, ento E( E) o -simomomento central de .

    Obviamente, o primeiro momento de E, e o primeiro momento central E( E) = 0.

    Definio 2.3.3 (Varincia). A varincia da varivel aleatria corresponde ao segundomomento central de , isto ,

    = E( E)2.

    Note que pela Proposio 2.3.3 vale que

    = E( E)2 = E(2 2E + (E)2)

    = E2 2EE + (E)2 = E2 (E)2.

    Proposio 2.3.4. Propriedades da Varincia:

    1. Se , ento = 0;

    2. ( + ) = 2 ;

    3. Se e so independentes, ento ( + ) = + ;

    4. = 0 se, e somente se, ( = ) = 1 para algum R.

    Teorema 2.3.1 (Teorema da Convergncia Dominada). Sejam ,1, 2, variveisaleatrias definidas num mesmo espao de probabilidade tais que {}1 converge emquase toda parte para . Se existe uma varivel aleatria integrvel tal que para todo 1 tenhamos || em quase toda parte, ento e so integrveis e E E.

    2.4 Funes CaractersticasAnalisar o comportamento de uma sequncia de variveis aleatrias no costuma

    ser uma tarefa fcil. No entanto, dada uma varivel aleatria , existe uma funo com-plexa : R C unicamente determinada por que chamaremos de funo caracte-rstica de X. Desta forma, dada uma sequncia de variveis aleatrias {}1, existe

  • Captulo 2. Noes Preliminares 26

    uma sequncia de funes caractersticas {}1 associada a ela, cujo comportamentocostuma ser mais fcil de analisar. Nesse contexto, vamos agora estudar algumas propri-edades de tal funo.

    Definio 2.4.1 (Funo Caracterstica). Seja uma varivel aleatria cuja funode distribuio . Define-se como funo caracterstica de , a funo : R Cdefinida por

    () = E = E cos() + E sin().

    Da Proposio 2.3.1 segue imediatamente que

    () =

    cos() () +

    sin() () =

    () =

    () ().

    Quando no houver risco de confuso, usaremos simplesmente para nos referirmos funo caracterstica .

    Proposio 2.4.1 (Propriedades da funo caracterstica). Seja uma funo caracte-rstica. Ento vale que:

    |()| (0) = 1 e () = (), qualquer que seja R;

    +() = () e () = (), quaisquer que sejam , , R;

    uniformemente contnua em R;

    Se 1, , so funes caractersticas, ento = 1 tambm uma funocaracterstica;

    A varivel aleatria tem distribuio simtrica em torno de zero (isto , ( ) = ( ), R) se, e somente se, () R para todo R.

    Demonstrao. A primeira propriedade segue imediatamente das igualdades

    (0) = E0 = E1 = 1,

    |()| =

    ()

    || () =

    () = 1, e,

    () =

    () =

    () = ().

    Para verificar a segunda propriedade, temos das propriedades da esperana que

    +() = E(+) = E = (),

    e consequentemente,() = () = ().

  • Captulo 2. Noes Preliminares 27

    Vamos provar agora que uniformemente contnua em R. Para tanto, dado > 0,precisamos mostrar que existe > 0 tal que || < implica |(+ ) ()| < , e que ovalor de no depende do valor de . Observemos primeiro que

    |(+ ) ()| =

    (+) ()

    () =

    [ ] ()

    ||| 1| () =

    | 1| ().

    Como | 1| converge a zero quando tende a zero e | 1| 2, temos pelo Teoremada Convergncia Dominada que

    |1| () converge a zero quando tende a zero.

    Logo existe > 0 tal que || < implica

    | 1| () < , e da segue que

    || < |(+ ) ()|

    | 1| () < ,

    qualquer que seja R, como queramos demonstrar.

    Quanto quarta propriedade, sejam 1, , as variveis aleatrias tais que() = E so as respectivas funes caractersticas. Pelo Teorema 2.2.1 podemossupor que elas so independentes, e logo,

    () = 1() () = E1 E = E1 = E(1++).

    Assim, a funo caracterstica da varivel aleatria 1 + +.

    A ltima propriedade segue das propriedades anteriores, das propriedades dasfunes de distribuio e do Corolrio 2.4.1, segundo as quais

    ( ) = ( ) () = ( ) = ( ) = ()

    () = () = ()

    () R.

    Um importante resultado sobre funes caractersticas que existe uma corres-pondncia biunvoca com as funes de distribuio. Para provarmos este resultado co-meamos com o lema seguinte:

    Lema 2.4.1 (Integral Clssica de Dirchlet). 0

    sin()

    = 2 .

    Demonstrao. Observe inicialmente que 0

    sin()

    =

    0sin()

    (

    =

    =0

    ) =

    0

    sin()(

    0

    )

    =

    0

    0

    sin().

  • Captulo 2. Noes Preliminares 28

    Agora, note que 0

    sin()

    =

    =0

    (+1)

    sin()

    uma srie alternada cujos termos convergem para zero, uma vez que dado [, + 1],temos sin() 0 se par, e sin() 0 se mpar, ao mesmo tempo que sin()

    0.Logo,

    0

    sin() = < , e da, o integrando sin() contnuo e integrvel. Portanto

    podemos trocar a ordem de integrao e temos 0

    sin()

    =

    0

    0

    sin() =

    0

    (cos() + sin())1 + 2

    =

    =0

    =

    0

    11 + 2 = arctan()

    =

    =0= 2 .

    Proposio 2.4.2 (Frmula da Inverso). Seja uma varivel aleatria, sua funode distribuio e sua funo caracterstica. Se < , ento

    12 lim

    () = () + ()2

    () + ()2 .

    Demonstrao. Seja

    () =

    (),

    onde < so pontos de continuidade de . Logo,

    () =

    [

    ()]

    =

    ().

    Por LHpital temos

    lim0

    = lim

    0

    +

    = ,

    e logo() =

    (, ) (),

    onde

    (, ) =

    , se = 0

    , se = 0.

    Como |(, )| 0, temos limitada, exceto possivelmente em uma vizinhana de = 0. Mas vimos que contnua em = 0, e logo, |(, )| < para todo R e [, ], de onde segue que

    (, ) ()

    |(, )| ()

    ()

    =

    () =

    =

    =

    == 2.

  • Captulo 2. Noes Preliminares 29

    Assim podemos trocar a ordem de integrao, e logo,

    () =

    () ()

    ()

    =

    cos(( )) + sin(( )) cos(( )) sin(( ))

    ()

    =

    [cos(( )) cos(( ))

    + sin(( )) sin(( ))

    ] ().

    Como cos()

    uma funo mpar e sin()

    uma funo par, segue que

    () = 2

    0

    sin(( )) sin(( ))

    () = E(),

    onde() = 2

    0

    sin(( ))

    2

    0

    sin(( ))

    .

    Vamos agora fazer as verificaes necessrias para aplicar o Teorema da ConvergnciaDominada sequncia (())1. Pela Integral de Dirichlet, dado R, vale que:

    > 0

    0

    sin()

    =

    0

    sin()

    lim

    0

    sin()

    = 2 ,

    < 0

    0

    sin()

    =

    0

    sin()

    lim

    0

    sin()

    = lim

    0

    sin()

    = 2 ,

    = 0 lim

    0

    sin()

    = 0.

    Assim, lembrando que < , temos

    lim

    () =

    0, se <

    , se =

    2, se < <

    , se =

    0, se >

    .

    Em termos de variveis aleatrias isso significa que

    () [=] + 2[ 0 que

    |()| 2

    0

    sin(( ))

    + 2

    0

    sin(( ))

    4,

  • Captulo 2. Noes Preliminares 30

    e logo, do Teorema da Convergncia Dominada segue que

    lim

    E() = E lim

    () = E[=] + 2E[

  • Captulo 2. Noes Preliminares 31

    Teorema 2.4.1. Se 1 e 2 so variveis aleatrias independentes com funes de dis-tribuio 1 e 2, e funes caractersticas 1 e 2, respectivamente, ento a varivelaleatria = 1 + 2 tem funo de distribuio = 1 * 2 e funo caracterstica = 12.

    Demonstrao. Pela independncia de 1 e 2 temos que para todo R,

    () = E = E(1+2) = E(12) = E1E2 = 1()2().

    Para verificar que = 1 * 2, vamos definir a funo : R2 R tal que

    (1, 2) =

    1, se 1 + 2 0, se 1 + 2 > .Logo, pela independncia de 1 e 2, e pela Proposio 2.1.3, vale que

    () = (1 +2 ) =R2(1, 2) (1, 2)

    =

    (1, 2)1(1)2(2) =

    [ 2

    1(1)]2(2)

    =

    1( 2)2(2).

    Corolrio 2.4.2. Se =

    =1, onde 1, , so variveis aleatrias indepen-

    dentes, ento tem funo de distribuio = 1 * * e funo caracterstica = 1 , onde a funo de distribuio e a funo caracterstica de , = 1, , .

    Demonstrao. Basta aplicar 1 vezes o Teorema 2.4.1.

    Corolrio 2.4.3. Se uma funo caracterstica, ento o mesmo ocorre com ||2.

    Demonstrao. Seja uma varivel aleatria cuja funo caracterstica . Do Teorema2.2.1 temos que existe uma varivel aleatria tal que e so independentes eidenticamente distribudas, e portanto tm tambm a mesma funo caracterstica. Segueda que a funo caracterstica da varivel aleatria ser

    E( ) = EE = ()() = ()() = |()|2.

    Teorema 2.4.2. Seja uma varivel aleatria cuja funo de distribuio e a funocaracterstica . Ento E|| < se, e somente se, possui derivadas contnuas,valendo

    ()() =

    () ().

  • Captulo 2. Noes Preliminares 32

    Demonstrao. Supondo inicialmente que E|| < , vamos provar a ida por induo.Se = 1, temos E|| < , e queremos mostrar primeiramente que para todo Rexiste

    () =

    (),

    isto ,(+ ) ()

    0

    ().

    Primeiramente observe que para = 0 temos

    (+ ) ()

    =

    (+)

    () =

    ( 1

    ) ()

    = E(

    ( 1

    )).

    Como 1

    0 para todo R, temos que (

    1

    )converge pontualmente

    para a varivel aleatria , quando 0. Por outro lado temos 1

    =

    0

    ||

    0

    ||

    ||0 ||

    || ||

    ||0

    ||= ||,

    e logo,

    ( 1

    ) ||.

    Como |X| integrvel, segue do Teorema da Convergncia Dominada que

    E(

    ( 1

    ))0 E(),

    e assim,

    () = lim0

    (+ ) ()

    = lim0

    E(

    (1

    ))= E() =

    ().

    A continuidade de tambm decorre do Teorema da Convergncia Dominada, uma vezque temos para todo R e || = ||, donde segue que

    converge pontualmente para quando , e | | = ||, e logo, como || integrvel, temos que

    () = E E = ().

    Suponha agora que valha ()() =

    () () e que E||(+1) < . Logo,

    ()(+ ) ()()

    =

    ()

    ((+)

    ()

    )

    =

    ()

    ( 1

    ) ()

    = E(

    ()( 1

    )).

  • Captulo 2. Noes Preliminares 33

    De modo anlogo ao caso em que = 1, temos que ()(

    1

    )converge pontual-

    mente para ()+1 , e,()

    ( 1

    ) = |()|| |

    1

    |||| = ||+1.

    Da, pelo Teorema da Convergncia Dominada,

    E(

    ()( 1

    ))0 E(()+1).

    Assim,

    (+1)() = lim0

    ()(+ ) ()()

    = lim0

    E(

    ()(1

    ))

    = E(()+1) =

    ()+1 ().

    Novamente de modo anlogo ao caso em que = 1, tambm temos ()+1 conver-gindo pontualmente para ()+1 e |()+1 | = ||+1, donde segue do Teoremada Convergncia Dominada que

    (+1)() = E(()+1) E(()+1) = (+1)().

    Quanto recproca, se

    ()(0) =

    () () = E(),

    e possui derivadas contnuas, segue que integrvel, e portanto, || tambm.

    Corolrio 2.4.4. Seja uma varivel aleatria cuja funo caracterstica . Ento integrvel se, e somente se, uma funo de classe 1. Ao mesmo tempo, tem varincia finita se, e somente se, uma funo de classe 2. Em particular,E = (0), e, = (0) + (0)2.

    Demonstrao. O corolrio apenas uma aplicao do Teorema 2.4.2 para = 1 e = 2.Quanto ao clculo da esperana e da varincia, basta observar que

    (0) =

    () = E E = (0),

    ao mesmo tempo que

    (0) =

    ()2 () = E(2) = E(2) (E)2 = (0) + (0)2.

  • Captulo 2. Noes Preliminares 34

    2.5 Exemplos de DistribuiesNesta seo vamos apresentar alguns exemplos de distribuies importantes e de

    grande aplicabilidade. Alm da distribuio normal e da distribuio degenerada queaparecem respectivamente no Teorema Central do Limite e na Lei dos Grandes Nmeros,abordaremos tambm as distribuies de Poisson e de Cauchy, as quais so dois exemplosinteressantes de distribuies infinitamente divisveis, conforme definiremos adiante.

    2.5.1 Distribuio Degenerada

    Definio 2.5.1. A varivel aleatria tem distribuio degenerada, se existe R talque

    ( = ) = 1.

    Pela Proposio 2.3.1 imediato que a funo caracterstica correspondente distribuio degenerada

    () = ,

    e logo, pelo Corolrio 2.4.4, temos E = e = 0. Um fato que ocorre em ralao funo caracterstica da varivel aleatria com distribuio degenerada, que, em mdulo,ela constante e igual a 1, e a recproca tambm verdadeira, como segue.

    Proposio 2.5.1. Seja uma varivel aleatria, e : R C a sua funo caracters-tica. Se |()| 1, ento a distribuio de degenerada.

    Demonstrao. A demonstrao ser feita a partir das seguintes afirmaes:

    i. Se |(0)| = 1 para algum 0 = 0, ento existe R tal que tem massaconcentrada nos pontos da forma + 2

    0, Z, isto ,

    Z

    ( = + 2

    0

    )= 1.

    ii. Se |(0)| = |(0)| = 1, onde 0 = 0 e um nmero irracional, ento adistribuio de degenerada.

    Note que, provada a segunda afirmao, a proposio estar demonstrada.

    Para provar a primeira afirmao, observe que como |(0)| = 1 e 0 = 0, existe R tal que (0) = 0. Logo, sendo a funo de distribuio de , temos

    0 =

    0 () 1 =

    0() () =

    cos(0( )) ()

    [1 cos(0( ))] () = 0.

  • Captulo 2. Noes Preliminares 35

    Como 1cos(0()) 0 para todo R, segue da igualdade acima que 1cos(0()) = 0 em quase toda parte, isto , exceto num conjunto de medida nula. Segue da que0( ) = 2, Z, e consequentemente, = + 20 em quase toda parte, e da,

    Z( = + 2

    0

    )= 1.

    Quanto segunda afirmao, sendo |(0)| = |(0)| = 1, temos pela primeiraafirmao que existem 1, 2 R, tais que

    Z( = 1 +

    20

    )=Z

    ( = 2 +

    20

    )= 1.

    Da, supondo por absurdo que a distribuio de no degenerada, existiro 1 = 2 e1 = 2, tais que

    1 +210

    = 2 +210

    , e, 1 +220

    = 2 +220

    ,

    onde a probabilidade de ambos no nula. Segue que

    20

    (1 2) =20

    (1 2),

    e consequentemente, = 1 2

    1 2.

    Chegamos assim a uma contradio, j que um nmero irracional, e portanto, nopode ser escrito como frao de nmeros inteiros.

    2.5.2 Distribuio Normal

    Definio 2.5.2. A varivel aleatria tem distribuio normal padro se ela tiverfuno densidade dada por

    () = 12

    22 , R,

    isto , se a sua funo de distribuio for dada por

    () = 12

    22 , R.

    Nesse caso, escrevemos (0, 1).

    Para verificar que de fato uma funo de densidade, note que () > 0 paratodo R, e logo basta mostrar que

    () = 1. Para tanto, observemos primeiro

    que (

    ())2

    =

    ()

    () = 12

    (2+2)

    2 .

  • Captulo 2. Noes Preliminares 36

    Em coordenadas polares temos = cos() e = sin(), com [0,) e [0, 2].Logo,

    12

    (2+2)

    2 = 12

    20

    0

    2

    2 = 12

    20

    2

    2

    =

    =0

    = 12

    20

    = 1.

    Assim, como(

    ())2

    = 1 e () > 0 para todo R, segue que

    () = 1.

    Proposio 2.5.2. A funo caracterstica correspondente distribuio normal padro

    () = 2

    2 .

    Demonstrao. Pela Proposio 2.3.1 temos

    () =

    () = 1

    2

    22

    = 12

    (22 ) = 1

    2

    22

    ()2

    2

    = 12

    22

    22 ,

    onde = e : R C dada por () = .

    Note que

    22 = lim

    [,]

    22 , e pela teoria da integrao com-

    plexa de Cauchy, temos para todo R que[,]

    22 +

    [,]

    22 +

    22 +

    [,]

    22 = 0.

    Logo,

    22 + lim

    [,]

    22

    22 + lim

    [,]

    22 = 0.

    Agora, como [ , ] determinado por () = + , [, 0], temos

    [,]

    22

    =

    0

    (+)22

    0

    22+22

    = 0

    || 222

    || =

    0

    222

    = 2

    2

    0

    22

    0.

    Analogamente temos tambm que |

    [,]

    22 | 0, e consequentemente,

    22 =

    22 =

    2.

    Segue da que

    () = 12

    22

    22 =

    22 .

  • Captulo 2. Noes Preliminares 37

    Definio 2.5.3. Uma varivel aleatria tem distribuio normal com parmetros e 2 se tivermos = + , onde tem distribuio normal padro. Nesse casoescrevemos (, 2).

    Como veremos no Corolrio 2.5.2, os parmetros e 2, so a esperana e varinciade , respectivamente.

    Corolrio 2.5.1. A funo caracterstica correspondente distribuio normal com pa-rmetros e 2

    () = 22

    2 .

    Demonstrao. Como = + , onde a funo caracterstica de () = 22 ,

    temos da Proposio 2.4.1 que

    () = () = 22

    2 = 222 .

    Corolrio 2.5.2. Se tem distribuio normal com parmetros e 2, ento E = e = 2.

    Demonstrao. Sendo () = 22

    2 a funo caracterstica de , temos () =(2)

    222 e () = 2

    222 +(2)2

    222 , que so funes contnuas

    em R com (0) = e (0) = 2 2. Segue do Corolrio 2.4.4 que

    E = (0) = e

    = (0) + (0)2 = 2.

    2.5.3 Distribuio de Cauchy

    Definio 2.5.4. A varivel aleatria tem distribuio de Cauchy padro se ela tiverfuno densidade dada por

    () = 1(1 + 2) , R,

    isto , se a sua funo de distribuio for dada por

    () = 1

    11 + 2, R.

    Note que de fato uma funo de densidade, j que () > 0 para todo R,e,

    () = 1

    11 + 2 =

    1

    arctan()=

    == 1

    (

    2 (

    2 ))

    = 1.

  • Captulo 2. Noes Preliminares 38

    Proposio 2.5.3. A funo caracterstica correspondente distribuio de Cauchy pa-dro

    () = ||.

    Demonstrao. Pela Proposio 2.3.1 temos

    () =

    () = 1

    1 + 2.

    Note que () = 1+2 tem polo simples em = . Logo, o resduo de calculado noponto ser

    (, ) = lim

    ( )1 + 2 =

    2 .

    Sendo o semicrculo de raio centrado na origem e percorrido no sentido anti-horrio,e = [, ], temos pelo Teorema dos Resduos (SOARES, 1999, Captulo 6) quepara todo > 1

    1

    1 + 2 =2(, ) = .

    Por outro lado, como = (cos() + sin()), [0, ], uma parametrizao de ,temos que dado 0,

    1 + 2 =

    0

    (cos()+ sin())( sin() + cos())2(cos() + sin())2 + 1

    0

    | sin()||(cos() + sin())2 + 1

    2|

    0

    sin()

    (cos() + sin())2 + 1

    0.

    Segue portanto, que para todo 0,

    () = 1

    1 + 2 = lim1

    1 + 2 lim1

    1 + 2 = .

    Para < 0 temos da Proposio 2.4.1 que

    () = () = () = .

    e portanto, para todo R,() = ||.

    Definio 2.5.5. Uma varivel aleatria tem distribuio de Cauchy com parmetro > 0 se tivermos = , onde tem distribuio de Cauchy padro.

    Corolrio 2.5.3. A funo caracterstica correspondente distribuio de Cauchy comparmetro > 0

    () = ||.

  • Captulo 2. Noes Preliminares 39

    Demonstrao. Como = , onde a funo caracterstica de () = ||, temosda Proposio 2.4.1 que

    () = () = ||.

    Corolrio 2.5.4. Se tem distribuio de Cauchy com parmetro > 0, ento no integrvel.

    Demonstrao. Sendo () = || a funo caracterstica de , temos

    () =

    , se > 0

    , se < 0,

    que uma funo descontnua em = 0. Segue do Corolrio 2.4.4 que no integrvel.

    2.5.4 Distribuio de Poisson

    Definio 2.5.6. A varivel aleatria discreta , que assume apenas valores inteirospositivos, tem distribuio de Poisson com parmetro > 0 se tivermos

    ( = ) =

    ! , para todo N.

    Nesse caso, escrevemos ().

    Note que a funo de distribuio de ser

    () = ( ) =

    0 ( = ),

    isto ,

    () =

    0, se < 0=0

    ! , se 0,

    onde denota a parte inteira de .

    Proposio 2.5.4. A funo caracterstica correspondente distribuio de Poisson comparmetro > 0

    () = (1).

    Demonstrao. Pela Proposio 2.3.1 segue que

    () = E =

    =0 ( = )

    =

    =0

    ! =

    =0

    ()!

    = = (1).

  • Captulo 2. Noes Preliminares 40

    Corolrio 2.5.5. Se tem distribuio de Poisson com parmetro > 0, ento E = = .

    Demonstrao. Sendo () = (1) a funo caracterstica de , temos imediatamente() = (1) e () = ( 22)(1), que so funes contnuas em Rcom (0) = e (0) = 2 . Segue do Corolrio 2.4.4 que

    E = (0) = e

    = (0) + (0)2 = .

    2.5.5 Distribuio Uniforme

    Definio 2.5.7. A varivel aleatria tem distribuio uniforme em [, ] se a suafuno de distribuio for dada por

    () =

    0, se , se

    1, se >

    .

    Nesse caso, escrevemos [, ].

    Note que tal varivel aleatria tem funo densidade dada por () = 1 para

    e () = 0 para < e > .

    Proposio 2.5.5. A funo caracterstica correspondente distribuio uniforme em[, ]

    () =

    +2 sin( 2 )

    2, se = 0

    1, se = 0.

    Demonstrao. Vamos comear pelo caso em que [1, 1], onde temos pela Propo-sio 2.3.1 que, para = 0

    () =

    () =

    11

    2 =

    2

    =1

    =1=

    2 =sin()

    .

    Para = 0 imediato que

    (0) =

    () =

    11

    12 = 1.

  • Captulo 2. Noes Preliminares 41

    Por outro lado, se [, ], temos que = 2 ++

    2 , onde [1, 1]. Logo,pela Proposio 2.4.1, a funo caracterstica de ser

    () =

    +2 sin( 2 )

    2, se = 0

    1, se = 0.

    Corolrio 2.5.6. Se tem distribuio uniforme em [, ], ento E = +2 e =()2

    12 .

    Demonstrao. Se [1, 1], ento, para = 0, a funo caracterstica de ser() = sin() e logo,

    () =

    cos()sin()2

    e () =(22) sin()2 cos()

    3, que so funes

    possivelmente descontnuas em = 0. Mas, pela regra de LHpital temos

    lim0

    () = lim0 cos() sin()

    2= lim

    0

    sin()2 = 0 e

    lim0

    () = lim0(2 2) sin() 2 cos()

    3= lim

    0

    2 cos()32 =

    13 .

    Assim () e () so funes contnuas em R com (0) = 0 e (0) = 13 . Segue doCorolrio 2.4.4 que

    E = (0) = 0 e

    = (0) + (0)2 =13 .

    Agora, se [, ], = 2 ++

    2 , onde [1, 1]. Logo, pelas Proposies 2.3.3e 2.3.4 temos

    E = 2 E ++

    2 =+

    2 e

    = ( 2 )2 = ( )

    2

    12 .

    2.5.6 Distribuio Exponencial

    Definio 2.5.8. A varivel aleatria tem distribuio exponencial com parmetro se ( > ) = para 0 e ( < 0) = 0. Nesse caso, escrevemos exp().

    Note que a funo de distribuio de ser

    () = ( ) =

    1 , se 0

    0, se < 0,

    e que sua funo densidade dada por () = para 0 e () = 0 para < 0.

  • Captulo 2. Noes Preliminares 42

    Proposio 2.5.6. A funo caracterstica correspondente distribuio exponencial comparmetro

    () =

    = 11

    .

    Demonstrao. Se exp(), temos pela Proposio 2.3.1 que

    () =

    () =

    0

    () = ()

    =

    =0=

    = 11

    .

    Corolrio 2.5.7. Se tem distribuio exponencial com parmetro , ento E = 1

    e = 12

    .

    Demonstrao. Sendo () = 11

    a funo caracterstica de , temos, () =

    (1

    )2 e

    () =22

    (1

    )3 , que so funes contnuas em R com (0) =

    e (0) = 2

    2. Segue do

    Corolrio 2.4.4 queE = (0) = 1

    e

    = (0) + (0)2 = 12.

    2.5.7 Distribuio Binomial

    Definio 2.5.9. A varivel aleatria discreta , que assume apenas um nmero finitode valores inteiros positivos, tem distribuio binomial com parmetros e , onde Ne 0 < < 1, se tivermos

    ( = ) =(

    )(1 ), = 0, 1, , .

    Nesse caso, escrevemos (, ).

    Note que a funo de distribuio de dada por

    () = ( ) =

    0 ( = ) =

    0, se < 0=0

    (

    )(1 ), se 0

    .

    Proposio 2.5.7. A funo caracterstica correspondente distribuio binomial comparmetros e dada por

    () = (1 + ( 1)).

  • Captulo 2. Noes Preliminares 43

    Demonstrao. Pela Proposio 2.3.1 segue que

    () = E =

    =0 ( = )

    =

    =0

    (

    )(1 ) = ( + 1 )

    = (1 + ( 1)),

    onde a penltima igualdade vem do binmio de Newton.

    Corolrio 2.5.8. Se tem distribuio binomial com parmetros e , ento E = e = (1 ).

    Demonstrao. Sendo () = (1+( 1)) a funo caracterstica de , temos () =(1+(1))1 e () = (1+(1))1(1)22(1+(1))2,que so funes contnuas em R com (0) = e (0) = (1 + ). Segue doCorolrio 2.4.4 que

    E = (0) = e

    = (0) + (0)2 = (1 ).

    Para encerrar este captulo, destaco que a esperana e a varincia de uma varivelaleatria podem ser obtidos sem determinar a sua funo caracterstica. No entanto, umavez que temos a funo caracterstica, muito mais fcil obter a esperana e a varinciaa partir dela, como fizemos aqui.

  • 44

    3 Convergncia de Sequncias de VariveisAleatrias

    De um modo geral, a convergncia de uma sequncia est associada noo deaproximao. No nosso caso, estamos preocupados com a convergncia de uma sequnciade variveis aleatrias. Especificamente, vamos considerar trs tipos de convergncia: aconvergncia em quase toda parte, em probabilidade e em distribuio. Vamos defini-lase mostrar que ocorrendo a primeira, ocorrer tambm a segunda, e consequentemente aterceira. Em seguida vamos apresentar alguns teoremas envolvendo o limite de sequnciasde variveis aleatrias. Especificando, vamos enunciar e demonstrar o Teorema de Poisson,a Lei Fraca dos Grandes Nmeros de Khintchin e algumas verses do Teorema Centraldo Limite. Outro assunto que abordaremos neste captulo so as famlias de medidasde probabilidade rgidas e relativamente compactas. Tal abordagem ser fundamentalna demonstrao do Teorema 4.2.1, o qual um dos principais desta dissertao. Osresultados aqui obtidos tm como referncia (JAMES, 2006) e (SHIRYAEV, 1996).

    3.1 Tipos de ConvergnciaSeja {}1 uma sequncia de variveis aleatrias definidas no mesmo espao de

    probabilidade (, , ). Naturalmente, surgem as sequncias {}1 e {}1 formadasrespectivamente pelas funes de distribuio e funes caractersticas correspondentes svariveis aleatrias, e fica a seguinte questo: se uma das trs sequncias converge dealguma forma, o que acontece com as outras duas? Na resposta de tal questo queestaremos preocupados no que segue.

    Definio 3.1.1. Seja {}1 uma sequncia de variveis aleatrias definidas no mesmoespao de probabilidade (, , ), e {}1 a sequncia formada pelas respectivas funesde distribuio. Ento, dizemos que:

    1. converge para em quase toda parte se ( ) = 1, isto , se converge pontualmente para em quase toda parte (exceto num conjunto de medidanula).

    2. converge para em probabilidade se para todo > 0, (| | ) 0.Nesse caso, escrevemos .

    3. converge para em distribuio se {}1 converge fracamente para , isto, se () (), para todo que ponto de continuidade de . Nesse caso,escrevemos .

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 45

    O exemplo a seguir mostra que a convergncia em probabilidade no garante aconvergncia em quase toda parte. No entanto, a convergncia em quase toda parte garantea convergncia em probabilidade, como veremos em seguida.

    Exemplo 3.1.1. Seja uma varivel aleatria com distribuio uniforme no intervalo[0, 1]. Considere os intervalos

    1 = [0, 1],

    2 =[0, 12

    ], 3 =

    [12 , 1

    ],

    4 =[0, 14

    ], 5 =

    [14 ,

    12

    ], 6 =

    [12 ,

    34

    ], 7 =

    [34 , 1

    ],

    8 =[0, 18

    ], ,

    onde para todo N, 2 2+11 = [0, 1]. Seja para todo N, a varivel aleatria dada por

    () =

    1, se () 0, se () / .Ento, converge a zero em probabilidade, mas no converge para 0 em quase toda parte.

    De fato, dado 0 < 1, temos

    (| 0| ) = ( = 1) = ( ) 0.

    Para > 1, imediato que (| 0| ) = () = 0, e portanto, 0. Por outrolado, dado arbitrrio, temos () para algum tal que 2 < 2+1 1,qualquer que seja N. Da, existe uma subsequncia { }1 infinita tal que () = 1para todo N. De modo anlogo, existe tambm uma subsequncia infinita {}1 talque () = 0 para todo N, e logo () no converge. Portanto, no convergepara 0 em quase toda parte. Alis, no converge em ponto algum.

    Proposio 3.1.1. Se converge para em quase toda parte, ento .

    Demonstrao. Dado > 0 arbitrrio, precisamos mostrar que (| | ) 0.Para tanto, considere os seguintes eventos aleatrios:

    0 = { : () ()}, e

    = { : para todo , |() ()| < }.

    Pela definio da convergncia em quase toda parte temos (0) = 1. Alm disso, se 0, ento para suficientemente grande temos |() ()| < para todo ,e logo, . Da, temos

    0

    1.

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 46

    Por outro lado, se |() ()| < para todo , obviamente temos |() ()| < para todo + 1. Logo +1 para todo , e portanto,

    0

    1 = lim

    .

    Segue portanto que 1 = (0) (

    1). Pela continuidade da probabilidade, temos

    () 1. Para finalizar, observe que para todo temos

    { : |() ()| < },

    e logo, () (| | < ) qualquer que seja . Segue da que

    (| | < ) 1,

    e logo, (| | ) = 1 (| | < ) 0.

    Proposio 3.1.2. Se , ento .

    Demonstrao. Sendo a funo de distribuio de, 1, a funo de distribuiode , e um ponto de continuidade de , precisamos mostrar que () (). Paratanto, observe que dado > 0 arbitrrio e , temos () + ou () > + ,e da, () implica () + ou () () > . Assim, temos [ ] [ + ] [| | > ], e logo,

    () = ( ) ( + ) + (| | > )

    = (+ ) + (| | > ).

    De modo anlogo, temos que

    () () ou () () > .

    Desta forma, [ ] [ ] [| | > ], e assim, ( ) () + (| | > ). Juntando as duas desigualdades obtemos

    ( ) (| | > ) () (+ ) + (| | > ).

    Como , obtemos, fazendo tender ao infinito, que

    ( ) lim

    inf () lim

    sup() (+ ),

    e como um ponto de continuidade de , fazendo tender a zero obtemos

    () = lim

    (),

    o que conclui a prova da proposio.

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 47

    Exemplo 3.1.2. Sejam ,1, 2, variveis aleatrias independentes com distribuionormal com parmetros 0 e 12 . Ento

    , mas no converge para emprobabilidade.

    De fato, como as variveis aleatrias so identicamente distribudas, bvio que

    . Por outro lado, sendo e as funes caractersticas de e respectiva-mente, temos da independncia de tais e da Proposio 2.4.1 que a funo caractersticade ser dada por

    () = ()() = 24

    24 =

    22 ,

    e assim, tem distribuio normal padro, qualquer que seja . Assim, sendo() = 12

    22 a funo de distribuio normal (que simtrica em torno de

    zero), temos

    (| | ) = ( ) + ( )

    = ( ) + ( )

    = 2 ( )

    = 2(1 ()).

    Assim temos que (| | ) 2(1 ()) = 0 se = 0, e portanto, no temos

    .

    Proposio 3.1.3. Se , onde c uma constante real, ento .

    Demonstrao. Sejam , 1, 2, as funes de distribuio de ,1, 2, respecti-vamente, onde . Temos que

    () =

    1, se 0, se < .Assim, todo = ponto de continuidade de , e como , temos () ()para todo = , isto , () 1 se > e () 0 se < . Logo, dado > 0,temos

    (| | ) = ( + )

    ( < + )

    = ( + ) ( )

    = (+ ) ( ) 1.

    Assim, (| | > ) = 1 (| | ) 0, e portanto, .

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 48

    Pelo Exemplo 3.1.2 fica claro que a recproca da Proposio 3.1.2 no vale em geral,mas como vimos na Proposio 3.1.3, temos que vale no caso em que degenera em umponto, e isso ser de grande utilidade na demonstrao da Lei dos Grande Nmeros.

    Recorde que no incio da seo fizemos a seguinte pergunta: qual a relao entrea convergncia da sequncia de variveis aleatrias e a convergncia das sequncias defunes de distribuio e funes caractersticas que surgem? Pelo que vimos at agoratemos que a convergncia em quase toda parte implica a convergncia em probabilidade,que por sua vez implica a convergncia em distribuio, enquanto que a recproca no valeem geral em nenhum dos dois casos. Falta ento apenas analisar como estas convergnciasse relacionam com as funes caractersticas. Como vimos no Corolrio 2.4.1, h umarelao biunvoca entre funo de distribuio e funo caracterstica, e portanto naturalpensarmos que a convergncia da sequncia de funes caractersticas tambm estabeleatal relao com a convergncia em distribuio. De fato isso ocorre, como veremos nosresultados seguintes, os quais podem ser encontrados em (JAMES, 2006, Captulo 6).

    Teorema 3.1.1 (Teorema de Helly-Bray). Sejam , 1, 2, funes de distribuiocom {}1 convergindo fracamente para , isto , () (), para todo que ponto de continuidade de . Ento,

    ()()

    () ()

    para toda funo : R R contnua e limitada. Em particular, sendo , 1, 2, asrespectivas funes caractersticas de , 1, 2, , temos que implica () (), para todo R.

    Demonstrao. Dados e tais que < < < , temos

    ()()

    () () + + ,

    onde

    =

    ()()

    ()()

    ,

    =

    ()()

    () ()

    ,

    =

    () ()

    () ().

    Como limitada, temos supR

    |()| = < , e logo,

    =

    () () +

    () ()

    () ()

    +

    () ()

    |()| () +

    |()| () (

    () +

    ())

    = ( () + 1 ()).

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 49

    Uma vez que, pela Proposio 2.1.2, os pontos de continuidade de so densos em R, elim

    lim

    [ () + 1 ()] = 0, dado > 0, podemos escolher suficientemente pequenoe suficientemente grande entre os pontos de continuidade de , de modo que

    ( () + 1 ()) < .

    Como converge fracamente para , temos para esses mesmos e que

    =

    ()() +

    ()()

    ()()

    +

    ()()

    |()|() +

    |()|() (

    () +

    ())

    = (() + 1 ()) ( () + 1 ()).

    Da, para suficientemente grande temos < , e logo, + < 2. Agora, como uma funo contnua em R, temos que uniformemente contnua no intervalo compacto[, ], e logo podemos escolher 0, 1, , tais que:

    = 0 < 1 < < = ,

    0, 1, , so pontos de continuidade de F, e

    |() ()| < para todo [, +1], = 0, 1, , 1.

    Segue agora que

    = (() )[(+1) ()]

    +1

    ()()

    (() + )[(+1) ()]=

    e

    = (() )[ (+1) ()]

    +1

    () ()

    (() + )[ (+1) ()]= ,

    e consequentemente,

    +1

    ()()

    +1

    () () ,

    qualquer que seja = 0, 1, , 1. Somando termo a termo segue que

    1=0

    ( )

    ()()

    () ()

    1=0

    ( ).

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 50

    Como os so pontos de continuidade de e {}1 converge fracamente para ,temos que

    e . Logo,

    1=0

    ( )

    1=0

    ( )

    =1=0

    [(() )( (+1) ()) (() + )( (+1) ())]

    = 21=0

    ( (+1) ())

    = 2( () ()) 2,

    e analogamente,

    1=0

    ( )

    1=0

    ( ) 2( () ()) 2.

    Assim, para suficientemente grande temos

    3

    ()()

    () () 3,

    e consequentemente,

    ()()

    () () = + + 5,

    donde segue que

    ()()

    () ().

    Lema 3.1.1. Suponha que para toda sequncia de funes de distribuio {}1, cu-jas funes caractersticas correspondentes convergem pontualmente para , existe umasubsequncia { }1 e uma funo de distribuio de forma que { }1 convergefracamente para . Ento a sequncia {}1 de funes de distribuio converge fraca-mente para . Note que ainda no podemos dizer que uma funo caracterstica.

    Demonstrao. Suponha por absurdo que { }1 converge fracamente para , mas queo mesmo no ocorre com {}1. Ento, existiro um ponto no qual contnuae uma subsequncia {}1 de forma que ()

    = (). Como as funescaractersticas correspondentes a {}1 convergem para , o mesmo ocorre com asfunes caractersticas de {}1, e portanto, pelas hipteses do lema, {}1 possuiuma subsequncia {}1 que converge fracamente para . Como e tm a mesmafuno caracterstica, temos pelo Corolrio 2.4.1 que = . Desta forma temos que() () = (), ao mesmo tempo que () = (). Chegamos assim auma contradio, e portanto {}1 converge fracamente para .

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 51

    Teorema 3.1.2 (Teorema da Continuidade de Paul Lvy). Sejam 1, 2, funes dedistribuio cujas funes caractersticas correspondentes so 1, 2, , respectivamente.Se converge pontualmente para que contnua em = 0, ento temos que

    a) existe uma funo de distribuio tal que converge fracamente para , e

    b) a funo caracterstica correspondente a .

    Demonstrao. Note inicialmente que suficiente provar o primeiro item, pois a partirda o Teorema de Helly-Bray garante a validade do segundo. A demonstrao ser feita apartir das seguintes afirmaes:

    Afirmao 1. Existem uma subsequncia 1 , 2 , e uma funo : R [0, 1] nodecrescente e contnua direita onde ()

    () para todo que ponto decontinuidade de .

    Afirmao 2. A funo obtida uma funo de distribuio.

    Como a sequncia 1, 2, , tomada arbitrria, a existncia de no primeiro itemsegue do Lema 3.1.1.

    Para provar a afirmao 1 observe que a sequncia {}1 limitada, e logo, sendoQ = {1, 2, } o conjunto (enumervel) dos nmeros racionais, temos, pelo mtodo dadiagonal de Cantor (LIMA, 2009, Captulo 10, Teorema 21), que existe uma subsequn-cia { }1 que converge pontualmente em Q. Vamos definir ento no conjunto dosracionais por

    () = lim

    (), Q.

    Como temos para todo que () [0, 1] e no decrescente, o mesmo acontecercom no conjunto dos racionais.

    Para irracional vamos definir () como limQ

    (), e teremos no decrescente

    em R. Alm disso, () () para todo que ponto de continuidade de , pois

    dado > 0, existem e racionais tais que < < e () < () < () + , elogo

    () < () = lim

    () lim inf ()

    lim

    sup () lim () = () < () + .

    Como a exigncia que () () apenas nos pontos de continuidade de ,

    podemos redefinir nos pontos de descontinuidade, de forma que seja contnua direita.

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 52

    Para provar a afirmao 2, basta provarmos ainda que () = 1 e () = 0.Para tanto, dada a funo caracterstica correspondente a uma funo de distribuio, vamos definir a funo caracterstica integrada por

    () =

    0() =

    0

    ()

    =

    0() =

    1

    (),

    onde a troca na ordem de integrao se justifica no fato de que

    0()

    0

    |()|

    0 .

    Para fixo, 1

    uma funo limitada e contnua, j que lim0

    1

    = e lim

    1

    =lim

    1

    = 0. Assim, de forma anloga prova do Teorema de Helly-Bray (CHUNG,

    2001, Teorema 4.4.1), temos que

    1

    ()

    1

    (),

    isto , () =

    0 ()

    0

    (). (3.1)

    Como uma funo contnua (pois uma funo caracterstica), temos mensurvelpara todo , e como

    , tambm mensurvel. Assim, sendo [0,]() dada por

    [0,]() =

    1, se 0 0, caso contrrio,temos do Teorema da Convergncia Dominada (aplicado parte real e parte imaginriade [0,]() ) que

    () =

    0 () =

    [0,]() ()

    [0,]()() =

    0(). (3.2)

    Das equaes (3.1) e (3.2) segue que 0() =

    0

    (),

    e logo, para todo = 0,1

    0() = 1

    0

    (). (3.3)

    Alm disso, como e || 1, temos novamente do Teorema da ConvergnciaDominada que () =

    contnua em = 0. Como tambm contnua em = 0, podemos derivar

    0 () e

    0

    () numa vizinhana de = 0, e logo,

    pela regra de LHpital temos

    lim0

    1

    0() = lim

    0() = (0) e (3.4)

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 53

    lim0

    1

    0

    () = lim0

    () =

    (), (3.5)

    onde a ltima igualdade decorre do Teorema da Convergncia Dominada aplicado a .Como (0) = lim

    (0) = 1, temos das equaes (3.3), (3.4) e (3.5) que

    () () =

    () = (0) = 1,

    e como 0 () 1, temos () = 1 e () = 0.

    Corolrio 3.1.1. se, e somente se, converge pontualmente para .

    Demonstrao. Se , temos pelo Teorema de Helly-Bray que para R fixo,

    E cos() =

    cos()()

    cos()() = E cos() e

    E sin() =

    sin()()

    sin()() = E sin(),

    uma vez que cos() e sin() so funes contnuas e limitadas. Segue que

    () = E cos() + E sin() E cos() + E sin() = (),

    qualquer que seja R, isto , converge pontualmente para .

    Reciprocamente, suponha que converge pontualmente para . Como a funo caracterstica de , temos que contnua em = 0. Logo, pelo Teorema daContinuidade de Paul-Lvy, temos .

    No corolrio acima temos, como aplicao do Teorema de Helly-Bray, que a con-vergncia em distribuio implica a convergncia pontual das funes caractersticas. Noteorema que segue vamos mostrar, que nesse caso, a convergncia das funes caracters-tica uniforme em cada intervalo limitado.

    Teorema 3.1.3. Sejam , 1, 2, funes de distribuio, com {}1 convergindofracamente para , e , 1, 2, , as respectivas funes caractersticas. Ento, {}1converge uniformemente para em todo intervalo limitado.

    Demonstrao. Acabamos de ver, no corolrio acima, que {}1 converge pontualmentepara . Para mostrar que a convergncia uniforme, dado > 0, observe que paraquaisquer e em R, temos

    |(+ ) ()| =

    (+)()

    ()

    | 1|().

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 54

    Da temos, para grande, que

    |(+ ) ()|

    ||| 1|() +

    ||>

    | 1|()

    ||||() + 2

    ||>

    ()

    ||+ 2

    ||>().

    Por outro lado, como {}1 converge fracamente para , existe 0 > 0 tal que,

    0

    ||>()

    ||>

    () < 6

    ||>()

    ()

    + 6 ,

    e logo,|(+ ) ()| ||+ 2

    ||>

    () + 3 .

    Agora, tomando suficientemente grande, temos

    |(+ ) ()| ||+23 ,

    e da, tomando suficientemente pequeno, teremos

    |(+ ) ()| .

    Assim, temos que {}1 uma famlia de funes equicontnua e limitada, e logo, peloTeorema de Arzel-Ascoli (LIMA, 2009, Captulo 10, Teorema 22), converge uniforme-mente em cada intervalo limitado.

    3.2 Teoremas LimitesNesta seo vamos comear a falar sobre a convergncia das sequncias do tipo

    +

    . Antes de enunciarmos a Lei dos Grandes Nmeros e o Teorema Central do Limite,vamos expor alguns exemplos que deixam claro que tais sequncias nem sempre convergempara uma varivel aleatria que tenha distribuio normal ou degenerada. Tais exemplossero a motivao para estudarmos as distribuies infinitamente divisveis e estveis noprximo captulo. Outro fato que veremos adiante que as sequncias mencionadas podemser escritas sob a forma de um arranjo triangular, e nesse contexto surge o Teorema dePoisson, o qual tambm estaremos abordando aqui.

    Exemplo 3.2.1. Sejam 1, 2, variveis aleatrias independentes onde tem dis-tribuio de Poisson com parmetro > 0 e

    =1

    = . Ento, sendo = 1+ +,

    temos que E

    =

    , onde tem distribuio de Poisson com parmetro .

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 55

    Demonstrao. De acordo com a Proposio 2.5.4, para cada , a funo caractersticade ser () = (

    1), e como, pelas Proposies 2.3.3 e 2.3.4,

    E

    = (1 + + )1 + +

    = 1 + +

    1 + + ,

    de acordo com a Proposio 2.4.1, a funo caracterstica de E

    ser

    () =

    1++

    (

    1 + +

    )

    =

    1++1

    (

    1 + +

    )

    (

    1 + +

    )=

    1++ exp

    (1(

    1++ 1)

    ) exp

    ((

    1++ 1)

    )=

    1++ exp

    ((1 + + )(

    1++ 1)

    ).

    Segue que ()

    (

    1), que uma funo contnua em = 0, e logo, peloTeorema da Continuidade de Paul-Lvy, funo caracterstica da varivel aleatria tal que E

    . Para finalizar, das Proposies 2.4.1 e 2.5.4, temos =

    onde tem distribuio de Poisson com parmetro .

    Exemplo 3.2.2. Sejam 1, 2, variveis aleatrias independentes com distribuiode Cauchy com parmetro > 0 e = 1 + +. Ento

    , onde tambmtem distribuio de Cauchy com parmetro .

    Demonstrao. De acordo com o Corolrio 2.5.3 as funes caractersticas de 1, 2, sero todas iguais a () = ||, e de acordo com a Proposio 2.4.1 a funo caracters-tica de

    ser

    () = 1

    ()

    () = (

    )

    (

    )=(

    ||

    )= ||,

    qualquer que seja . Assim, () ||, e pelo Teorema da Continuidade de Paul-Lvy

    , onde tem distribuio de Cauchy com parmetro .

    Lema 3.2.1. Seja ,, 1 e 1 , uma sequncia de nmeros complexos taisque

    =1

    , , max

    1|,|

    0 e

    =1|,| < , onde uma constante que

    no depende de . Ento,

    =1(1 + ,) .

    Demonstrao. De max1

    |,| 0 temos que existe 0 tal que |,| 12 para todo

    0, e logo 1 + , = { C; |1 | 12}. Logo podemos considerar o logaritmoprincipal em C R, o qual em assume a forma

    ln(1 + ) =

    =1

    (1)1

    = +

    =2

    (1)1

    , || 12 .

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 56

    Segue que para 0,

    =1

    ln(1 + ,) =

    =1, +

    =1

    =2

    (1)1,

    .

    Agora, observe que

    lim

    =1

    =2

    (1)1,

    lim

    =1

    =2

    (1)1,

    = lim

    =1

    |,|2

    =0

    (1)+1, + 2

    lim

    max1

    |,|

    =1

    |,|

    =0

    (1)+1, + 2

    lim

    max1

    |,|

    =1

    |,|

    =0

    (1)+1 max1

    ,

    + 2

    lim

    (max

    1|,|

    )( =1

    |,|)

    =0

    (1)+1 max1

    ,

    + 2

    = 0,

    uma vez que max1

    |,| 0,

    =1

    |,| < para todo e

    =0

    (1)+1 max1

    ,

    +2

    12 . Segue portanto que

    lim

    =1

    ln(1 + ,) = lim

    =1

    , = ,

    e consequentemente,

    =1(1 + ,) = exp

    (

    =1ln(1 + ,)

    ) .

    Teorema 3.2.1 (Teorema de Poisson). Para todo 1 considere as variveis aleatriasindependentes ,1, , , de modo que se forma a seguinte sequncia de variveisaleatrias, a qual chamaremos de Arranjo Triangular:

    1 = 1,12 = 2,1 +2,23 = 3,1 +3,2 +3,3

    ...

    = ,1 +,2 +,3 + +,...

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 57

    Suponha que para todo 1 , tenhamos (, = 1) = , e (, = 0) = ,,com ,+, = 1, max1 ,

    0 e

    =1,

    > 0. Ento, para todo = 0, 1, 2, vale que

    ( = )

    ! ,

    isto , ().

    Demonstrao. Para todo 1 temos da Proposio 2.3.1 que a funo caractersticade , ser

    ,() = E, =

    {0,1} (, = ) = , + ,.

    Como as variveis aleatrias so independentes, temos da Proposio 2.4.1 que a funocaracterstica de ser

    () = ,1() ,() =

    =1(, + ,)

    =

    =1(, + 1 ,) =

    =1

    (1 + ,( 1)).

    Agora, tomando , = ,( 1), temos claramente do lema anterior que

    =1,

    ( 1). (3.6)

    Alm disso, como |,| = ,|( 1)| 2, para quaisquer e , temos

    max1

    |,| 0, (3.7)

    ao mesmo tempo que

    =1|,| 2

    =1

    , 2 < . (3.8)

    Por (3.6), (3.7) e (3.8), segue do Lema 3.2.1 que

    () (1),

    e portanto, do Teorema da Continuidade de Paul-Lvy, ().

    Uma sequncia de variveis aleatrias 1, 2, satisfaz a Lei Fraca dos GrandesNmeros quando E

    0, onde = 1 + + . Analogamente, dizer que1, 2, satisfazem a Lei Forte dos Grandes Nmeros significa que E converge emquase toda parte para 0. Note que o Exemplo 3.1.1 e a Proposio 3.1.1 deixam claro quea Lei Forte implica a Lei Fraca, enquanto a recproca no vale em geral, justificando assimo uso dos termos Forte e Fraca. No caso em que as variveis aleatrias so identicamentedistribudas com mdia < , temos E

    =

    , e logo, E

    0 equivalentea

    .

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 58

    Teorema 3.2.2 (A Lei Fraca dos Grandes Nmeros de Khintchin). Sejam 1, 2, variveis aleatrias independentes e identicamente distribudas com E = < paratodo = 1, 2, , e = 1 + +. Ento,

    .

    Noutros termos, 1, 2, satisfazem a Lei Fraca dos Grandes Nmeros.

    Demonstrao. Seja () a funo caracterstica de 1, 2, , e () a funo carac-terstica de

    = 1++

    . Como as variveis aleatrias so independentes, temos da

    Proposio 2.4.1 que

    () = 1

    ()

    () =((

    )).

    Por outro lado, como < , temos do Teorema 2.4.2 que possui pelo menos umaderivada contnua, a qual no ponto = 0 dada por (0) = . Alm disso, pelaexpanso de Taylor temos, para prximo de zero, que

    () = (0) + (0)+() = 1 + +().

    Da, para todo R vale que, para suficientemente grande,

    (

    )= 1 +

    +

    ( 1

    ),

    e consequentemente, tomando , = +(

    1

    ), = 1, , , temos do Lema 3.2.1 que

    () =(

    1 +

    +( 1

    )) .

    Como () = a funo caracterstica da varivel aleatria degenerada em ,segue do Teorema da Continuidade de Paul-Lvy que

    , e consequentemente,pela Proposio 3.1.3,

    .

    Nas condies do Teorema 3.2.2 vale tambm a Lei Forte dos Grandes Nmeros,isto ,

    converge em quase toda parte para , o que conhecido como a Lei Forte de

    Kolmogorov (JAMES, 2006, Captulo 5).

    Teorema 3.2.3 (Teorema Central do Limite para Variveis Aleatrias Independentes eIdenticamente Distribudas). Sejam 1, 2, variveis aleatrias independentes e iden-ticamente distribudas com E = < e 0 < = 2 < para todo = 1, 2, ,e = 1 + +. Ento, quando ,

    E

    =

    (0, 1).

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 59

    Demonstrao. Sem perda de generalidade vamos supor que = 0, pois considerandoa sequncia formada por = teremos que o valor E no se altera quandotrocamos por . Seja ento () a funo caracterstica de 1, 2, , e () afuno caracterstica de

    . Como as variveis aleatrias so independentes, temos da

    Proposio 2.4.1 que

    () = 1

    ()

    () =

    (

    (

    )).

    Por outro lado, como E||2 < , temos do Teorema 2.4.2 e do Corolrio 2.4.4 que possui pelo menos duas derivadas contnuas, as quais no ponto = 0 so dadas por(0) = = 0 e (0) = 2E2 = 2. Alm disso, pela expanso de Taylor teremos,para prximo zero, que

    () = (0) + (0)+ (0)2

    2 +(2) = 1

    22

    2 +(2).

    Da, segue que para todo R, quando suficientemente grande,

    () =(

    (

    ))=(

    1 22

    22 +( 1

    ))=(

    1 2

    2 +( 1

    )),

    e consequentemente, tomando , = 2

    2 + (

    1

    ), = 1, , , temos do Lema 3.2.1

    que()

    22 .

    Como () = 22 a funo caracterstica correspondente a distribuio normal padro,

    segue do Teorema da Continuidade de Paul-Lvy que

    E

    =

    (0, 1).

    Para enunciarmos uma verso mais geral do teorema anterior, observe que para aexpresso E

    fazer sentido, no necessrio que as variveis aleatrias sejam identi-

    camente distribudas. Basta que as varincias sejam todas finitas com pelo menos umadiferente de zero. Um fato que ocorre no entanto que, sendo =

    , as parcelas

    E

    da soma E

    so uniformemente pequenas para grande. Vamos ento tentarestabelecer condies sob as quais max

    1E

    0, ou equivalentemente, sendo amdia e a varincia de , estabelecer condies sob as quais

    max1

    22

    = max1

    E( )22

    = max1

    12

    ( )2() 0.

  • Captulo 3. Convergncia de Sequncias de Variveis Aleatrias 60

    Para tanto, observe que dado > 0 arbitrrio, temos

    22

    = 12

    ||

    ( )2() +12

    ||>

    ( )2()

    12

    ||

    22() +12

    =1

    | |>

    ( )2()

    12

    22() +12

    =1

    | |>

    ( )2().

    Como o resultado obtido no depende do ndice escolhido, segue que

    max1

    22

    2 + 12

    =1

    ||>

    ( )2().

    Como > 0 arbitrrio, para que max1

    22

    0 suficiente que tenhamos para todo > 0

    12

    =1

    ||>

    ( )2() 0,

    o que conhecido como condio de Lindeberg. Da temos o seguinte resultado:

    Teorema 3.2.4 (Teorema Central do Limite de Lindeberg). Sejam 1, 2, variveisaleatrias independentes com E = < e = 2 < para todo = 1, 2, , > 0 para pelo menos um ndice . Sendo = 1 + + e =

    =

    21 + + 2, ento, para que E (0, 1) quando , suficiente que seja

    satisfeita a condio de Lindeberg.

    Demonstrao. Sejam 1, 2, as funes caractersticas e 1, 2, as funes de dis-tribuio de 1, 2, , respectivamente, e ()