Teoremas de P. Hall - mate.unlp.edu.ardemetrio/Monografias/Materias/EA/28. A... · probar dos teoremas que funcionan a modo de una generalizaci on de los teoremas de Sy- ... Un anillo

Teoremas de P. Hall

Caruso, Matıas I.Cochella, Agustın E.

Estructuras AlgebraicasTrabajo Final

Indice

1. Preliminares 11.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Anillos y cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Un poquito de teorıa de Galois 72.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Grupo de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Teorema de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. El Teorema de Jordan-Holder 163.1. Zassenhaus y Schreier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2. Teorema de Jordan-Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Grupos solubles 194.1. Otra definicion de solubilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2. Una ultima definicion de solubilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Teoremas de P. Hall 245.1. Primer teorema de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2. Recıproca del teorema de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6. Apendice: El grupo alternado 296.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2. Simplicidad del grupo alternado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.1. Grupos 1. Preliminares

Introduccion

A lo largo de las siguientes paginas desarrollaremos la teorıa de grupos necesaria paraprobar dos teoremas que funcionan a modo de una generalizacion de los teoremas de Sy-low, conocidos como teoremas de Hall. Estos teoremas fueron demostrados en 1928 y 1937,respectivamente, por el matematico ingles Philip Hall (1904-1958).

1. Preliminares

La primera seccion esta destinada a resultados ya vistos, que tomaremos como base parael resto del trabajo.

1.1. Grupos

Definicion 1.1.1. Un grupo (G, ·) es un conjunto G equipado de una operacion binaria ·que satisface:

1. (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ G

2. Existe e ∈ G tal que e · a = a · e = a ∀a ∈ G. Se dice que e ∈ G es el neutro del grupo.

3. Para todo a ∈ G existe un elemento a′ ∈ G tal que a ·a′ = a′ ·a = e. Se dice que a′ ∈ Ges el inverso de a, y como se puede probar que es unico, se lo suele anotar a−1.

Si a · b = b · a ∀a, b ∈ G, decimos que G es abeliano.

Definicion 1.1.2. Sean (G, ·) y (H,+) dos grupos. Una funcion f : G→ H es un morfismode grupos si

f(a · b) = f(a) + f(b) ∀a, b ∈ G

Definicion 1.1.3. Un subconjunto S de un grupo G es un subgrupo (de G) si ∀s, t ∈ Ss−1 ∈ S y st ∈ S. Suele usarse la notacion S ≤ G.

Un subgrupo S de G se dice propio si S 6= G y S 6= 1

Proposicion 1.1.4. Sea I un conjunto de ındices y sea Hi ≤ G para cada i ∈ I. Entonces,⋂i∈I Hi ≤ G.

Definicion 1.1.5. Sea S ≤ G. Entonces, 〈S〉 denota la interseccion de todos los subgruposde G que contienen a S. El subgrupo 〈S〉 es llamado subgrupo generado por S. Si S = {a},anotamos G = 〈a〉.

Definicion 1.1.6. Sea S ≤ G. Definimos el ındice de S en G, notado [G : S], como elnumero de coclases a derecha de S en G.

Definicion 1.1.7. Sea G un grupo finito. Definimos su orden, notado |G|, como el numerode elementos de G.

Si G es un grupo y a ∈ G, definimos el orden de a, notado |〈a〉|, como el numero deelementos de 〈a〉.

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Teorema 1.1.8 (Lagrange). Si G es un grupo finito y S ≤ G, entonces |S| divide a |G| y[G : S] = |G|/|S|.

Definicion 1.1.9. Un grupo G se dice cıclico si G = 〈a〉.

Observacion 1.1.10. Dos grupos cıclicos de orden n son isomorfos.

Definicion 1.1.11. Sea S ≤ G y sea t ∈ G. Definimos una coclase a derecha de S en Gcomo el subconjunto

St = {st : s ∈ S}

Analogamente, una coclase a izquierda es un subconjunto tS = {ts : s ∈ S}. A t se lo suelellamar representante de St (y de tS).

Definicion 1.1.12. Un subgrupo K ≤ G es un subgrupo normal, notado KCG, si gKg−1 =K para todo g ∈ G.

Definicion 1.1.13. Dos elementos a y b de un grupo G se dicen conjugados si a = xbx−1

para algun x ∈ G.Esto define una relacion de equivalencia en G, cuyas clases de equivalencia son llamadas

clases de conjugacion.

Observacion 1.1.14. La normalidad no es transitiva.

Definicion 1.1.15. Dado un subgrupo H de un grupo G, definimos la clausura normal deH, notada HG, como la interseccion de todos los subgrupos normales de G que contienen aH.

Definicion 1.1.16. Un subgrupo H de un grupo G se dice contranormal en G si HG = G.

Definicion 1.1.17. Un grupo G se dice simple si no tiene subgrupos normales no triviales.

Proposicion 1.1.18. Si G es un grupo finito abeliano simple, entonces G es cıclico de ordenprimo.

Proposicion 1.1.19. Sea f : G −→ H un morfismo de grupos. Entonces, ker f CG.

Teorema 1.1.20 (Primer teorema del isomorfismo). Sea f : G −→ H un morfismo degrupos con ker f = K. Entonces, G/K ∼= Im(f).

Teorema 1.1.21 (Segundo teorema del isomorfismo). Sean H y N subgrupos de G conN CG. Entonces, H ∩N CH y H/(H ∩N) ∼= HN/N .

Teorema 1.1.22 (Tercer teorema del isomorfismo). Sean K ≤ H ≤ G donde H y K sonsubgrupos normales de G. Entonces, H/K es un subgrupo normal de G/K y

G/K

H/K∼= G/H

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Teorema 1.1.23 (Teorema de correspondencia). Sea K CG y sea v : G −→ G/K el mapeonatural. Entonces, S 7→ v(S) = S/K es una biyeccion entre la familia de todos los subgruposS de G que contienen a K y la familia de todos los subgrupos de G/K. Mas aun, si notamosS/K como S∗, entonces:

1. T ≤ S sii T ∗ ≤ S∗, y entonces [S : T ] = [S∗ : T ∗].

2. T C S sii T ∗ C S∗, y entonces S/T ∼= S∗/T ∗.

Teorema 1.1.24 (Cauchy, 1845). Si G es un grupo finito cuyo orden es divisible por unprimo p, entonces G contiene un elemento de orden p.

Definicion 1.1.25. Si H y K son grupos, definimos su producto directo, notado H ×K, esel grupo cuyos elementos son los pares ordenados (h, k), donde h ∈ H y k ∈ K, junto con laoperacion

(h, k)(h′, k′) = (hh′, kk′)

Teorema 1.1.26. Sea G un grupo con subgrupos normales H y K. Si HK = G y H∩K = 1,entonces G ∼= H ×K.

Teorema 1.1.27. Si ACH y B CK, entonces A×B CH ×K y

H ×KA×B

∼=H

A× K

B

Corolario 1.1.28. Si G = H ×K, entonces G/(H × 1) ∼= K.

Definicion 1.1.29. Sea G un grupo y sea X un conjunto. Una accion de G en X es unafuncion α : G×X −→ X, notada α : (g, x) 7→ gx, tal que

1. 1x = x ∀x ∈ X

2. g(hx) = (gh)x ∀g, h ∈ G ∀x ∈ X.

Decimos que G actua transitivamente en X si ∀x, y ∈ X existe g ∈ G tal que gx = y.

Definicion 1.1.30. Si a, b ∈ G, el conmutador de a y b, notado [a, b], es [a, b] = aba−1b−1

El subgrupo conmutador (o derivado) de G, notado G′, es el subgrupo generado por todoslos conmutadores.

Teorema 1.1.31. El subgrupo conmutador G′ es un subgrupo normal de G. Mas aun, siH CG, entonces G/H es abeliano sii G′ ≤ H.

Definicion 1.1.32. Si H ≤ G y g ∈ G, entonces el subgrupo conjugado gHg−1 es {ghg−1 :h ∈ H}.

Definicion 1.1.33.

1. Si p es primo, un grupo finito G es un p-grupo si |G| = pn para algun n ≥ 1.

2. H es un p-subgrupo de un grupo G si H ≤ G y H es un p-grupo.

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1.2. Anillos y cuerpos 1. Preliminares

Definicion 1.1.34. Si p es un primo, un p-subgrupo de Sylow de un grupo G es un p-subgrupomaximal.

Teorema 1.1.35 (Sylow, 1872).

1. Si P es un p-subgrupo de Sylow de un grupo finito G, entonces todos los p-subgruposde Sylow de G son conjugados a P .

2. Si hay r p-subgrupos de Sylow, entonces r es un divisor de |G| y r ≡ 1 modulo p.

Definicion 1.1.36. El centro de un grupo G, notado Z(G), es el conjunto de todos los a ∈ Gque conmutan con todos los elementos de G.

Observacion 1.1.37. El centro Z(G) es un subgrupo normal abeliano de G. En efecto, sitomamos z ∈ Z(G) y a ∈ G, entonces aza−1 = aa−1z = z ∈ Z(G). Ası, aZ(G)a−1 ⊂ Z(G), ypor lo tanto es normal. La conmutatividad es trivial, porque Z(G) = {a ∈ G : ab = ba ∀b ∈G}.

Teorema 1.1.38. Si G 6= 1 es un p-grupo finito, entonces su centro Z(G) 6= 1.

Definicion 1.1.39. Si p es primo, entonces un p-grupo es elementalmente abeliano si ungrupo finito G isomorfo a Zp × . . .× Zp.

1.2. Anillos y cuerpos

Definicion 1.2.1. Un anillo es un conjunto R dotado de dos operaciones binarias + y ∗tales que:

1. (R,+) es un grupo abeliano.

2. a ∗ (b+ c) = (a ∗ b) + (a ∗ c) y (a+ b) ∗ c = (a ∗ c) + (b ∗ c) ∀a, b, c ∈ R.

3. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀a, b, c ∈ R.

Si a ∗ b = b ∗ a ∀a, b ∈ R, decimos que (R,+, ∗) es un anillo conmutativo. Decimos que R esun anillo con identidad si R 6= {0} y tiene una identidad para la multiplicacion, i.e., existe1 ∈ R tal que 1a = a1 = a para todo a ∈ R.

Definicion 1.2.2. Si a, b 6= 0 son elementos de un anillo R tales que ab = 0, entonces a y bson llamados divisores de cero del anillo R.

Si R tiene identidad, un elemento a ∈ R es una unidad si tiene un inverso multiplicativo,i.e., si existe b ∈ R tal que ab = 1 = ba. Notaremos R∗ al conjunto de unidades de R. R∗ esun grupo, llamado grupo de unidades de R.

Definicion 1.2.3.

1. Un anillo R es un dominio de integridad si es un anillo conmutativo con identidad talque R no tiene divisores de cero.

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1.3. Polinomios 1. Preliminares

2. Un anillo R con identidad es un anillo de division si R∗ = R \ {0}, i.e., todo elementono nulo tiene inverso multiplicativo.

3. Un cuerpo es un anillo conmutativo de division.

Definicion 1.2.4. Sean R, S anillos. Una funcion f : R −→ S es un morfismo de anillos sipara todos a, b ∈ R se cumplen:

f(a+ b) = f(a) + f(b) ; f(ab) = f(a)f(b)

Definicion 1.2.5. Sea R un anillo y sea I ⊂ R. Decimos que I es un ideal de R sii

1. I es un subgrupo aditivo de R.

2. rI ⊂ I para todo r ∈ R.

3. Ir ⊂ I para todo r ∈ R.

Definicion 1.2.6. Si X ⊂ R es un subconjunto, entonces el subanillo generado por X es elmenor subanillo de R que contiene a X, y el ideal generado por X es el menor ideal de Rque contiene a X. Usaremos (X) para anotar el ideal generado por X.

Lema 1.2.7. Sea X ⊂ R un subconjunto no vacıo de un anillo R.

1. El subanillo de R generado por X es la suma o diferencia de todos los productos finitosde elementos de X.

2. Si R es un anillo con identidad, entonces el ideal de R generado por X es el conjunto

RXR =

{n∑i=1

rixisi : ri, si ∈ R, xi ∈ X,n ≥ 1

}

3. Si R es un anillo conmutativo con identidad, entonces el ideal de R generado por X esel conjunto

RX =

{n∑i=1

rixi : ri ∈ R, xi ∈ X,n ≥ 1

}

1.3. Polinomios

Definicion 1.3.1. Dado un anillo R con identidad, llamamos R[x] al conjunto de todas lasfunciones Z+ −→ R tales que f(n) = 0 para todos los n naturales salvo finitos. Definimosuna estructura de anillos en R[x] mediante

(f + g)(n) = f(n) + g(n)

(fg)(n) =n∑

m=0

f(m)g(n−m)

Ası, R[x] es llamado anillo de polinomios en la indeterminada x con coeficientes en R.

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2.1. Introduccion 2. Un poquito de teorıa de Galois

Observacion 1.3.2. Definimos x como una funcion sobre Z+ mediante

x(n) =

{1 si n = 1

0 si n 6= 1

Ası, la funcion xn satisface

xn(m) =

{1 si m = n

0 si m 6= n

Por lo tanto, cualquier f ∈ R[x] puede ser escrita de forma unica como

f =∞∑n=0

f(n)xn

donde la sumatoria es en realidad finita, porque solamente hay finitos f(n) 6= 0.

Definicion 1.3.3. Dado f(x) =∑∞

m=0 amxm 6= 0 ∈ R[x], definimos el grado de f(x), notado

gr(f) o deg(f), como deg(f) = max{m : am 6= 0}. Definimos deg(0) = −∞.El coeficiente an se llama coeficiente principal de f(x) y a0 se llama termino constante.

Decimos que un polinomio es monico si su coeficiente principal es 1.

Lema 1.3.4. Sea R un anillo conmutativo y sean f, g ∈ R[x]. Entonces,

1. deg(f + g) ≤ max{deg f, deg g}

2. deg(fg) ≤ deg f + deg g

3. La igualdad en 2 vale cuando el coeficiente principal de f o g no es un divisor de cero.En particular, vale cuando R es un dominio de integridad.

Teorema 1.3.5 (Algoritmo de division). Sea R un anillo conmutativo, sea f(x) ∈ R[x], ysea g(x) ∈ R[x] un polinomio monico. Entonces, existen unicos polinomios q(x) y r(x) enR[x] con deg r(x) < deg g(x) tales que

f(x) = g(x)q(x) + r(x)

Corolario 1.3.6 (Teorema del resto). Sea R un anillo conmutativo y sea a ∈ R. Entonces,para cualquier f(x) ∈ R[x],

f(x) = (x− a)q(x) + f(a)

para algun q(x) ∈ R[x].

Corolario 1.3.7. Sean R un anillo conmutativo, f(x) ∈ R[x] y a ∈ R. Entonces, f(a) = 0sii x− a divide a f(x).

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2.2. Grupo de Galois 2. Un poquito de teorıa de Galois

2. Un poquito de teorıa de Galois

2.1. Introduccion

Discutamos los elementos de la Teorıa de Galois, la cuna de la teorıa de grupos. Asumi-remos en esta exposicion que todo cuerpo F es un subcuerpo de un cuerpo algebraicamentecerrado C. En la practica, esto significa: Si f(x) ∈ F [x], el anillo de todos los polinomios concoeficientes en F , y si f(x) tiene grado n ≥ 1, entonces existen (no necesariamente distintos)elementos α1, . . . , αn ∈ C (las raıces de f(x)) y un elemento no nulo a ∈ F tales que

f(x) = a(x− α1) . . . (x− αn)

en C[x]. La interseccion de cualquier familia de subcuerpos de un cuerpo es en sı misma unsubcuerpo. Definimos el menor subcuerpo de C que contiene a un subconjunto X dado comola interseccion de todos los subcuerpos de C que contienen a X. Por ejemplo, si α ∈ C, elmenor subcuerpo de C que contiene a X = F ∪ {α} es

(2.1) F (α) = {f(α)/g(α) : f(x), g(x) ∈ F [x], g(α) 6= 0}

Definicion 2.1.1. F (α) se dice que es el subcuerpo obtenido a partir de F adjuntandoleα. De forma similar, uno puede definir F (α1, . . . , αn), el subcuerpo obtenido a partir deadjuntarle α1, . . . , αn a F .

Definicion 2.1.2. Si f(x) ∈ F [x] y f(x) = (x−α1) . . . (x−αn) ∈ C[x], entonces F (α1, . . . , αn)se dice que es el cuerpo de descomposicion de f(x) sobre F .

Observacion 2.1.3. Notar que el cuerpo de descomposicion de f(x) depende de F . Porejemplo, si f(x) = x2 + 1 ∈ Q[x], entonces su cuerpo de descomposicion sobre Q es Q(i).Por otro lado, si consideramos f(x) ∈ R[x], su cuerpo de descomposicion sobre R es C. Y esclaro que Q(i) 6= C.

2.2. Grupo de Galois

Definicion 2.2.1. Sea f(x) ∈ F [x] con cuerpo de descomposicion E sobre F . Decimos quef(x) es soluble por radicales si existe una cadena de subcuerpos

F = K0 ⊂ K1 ⊂ . . . ⊂ Kt

donde E ⊂ Kt y cada Ki+1 se obtiene de Ki adjuntandole una raız de un elemento de Ki,i.e., Ki+1 = Ki(βi+1), donde βi+1 ∈ Ki+1 y alguna potencia de βi+1 esta en Ki.

Definicion 2.2.2. Sean E y E ′ cuerpos. Decimos que una funcion σ : E −→ E ′ es unhomomorfismo si ∀α, β ∈ E,

1. σ(1) = 1

2. σ(α + β) = σ(α) + σ(β)

3. σ(αβ) = σ(α)σ(β).

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Si σ es biyectiva, decimos que es un isomorfismo. Un isomorfismo σ : E −→ E se dice quees un automorfismo.

Lema 2.2.3. Sea f(x) ∈ F [x], sea E su cuerpo de descomposicion sobre F y sea σ : E −→ Eun automorfismo que fija F (i.e., σ(a) = a ∀a ∈ F ). Si α ∈ E es una raız de f(x), entoncesσ(α) tambien es una raız de f(x).

Demostracion. Sea f(x) =∑aix

i.

0 = f(α) = σ(f(α)) pues σ es morfismo

= σ(∑

aiαi)

=∑

σ(ai)σ(α)i

=∑

aiσ(α)i pues σ fija a F

Por lo tanto, σ(α) es raız de f(x). ♣

Lema 2.2.4. Sean F un subcuerpo de K, {α1, . . . , αn} ⊂ K y E = F (α1, . . . , αn). Si K ′ esun cuerpo que contiene a F como subcuerpo y σ : E −→ K ′ es un homomorfismo que fija aF con σ(αi) = αi ∀i, entonces σ es la identidad.

Demostracion. Lo probamos por induccion en n ≥ 1. Si n = 1, entonces E = F (α1) y usando(2.1) tenemos que los elementos de E son de la forma f(α1)/g(α1) con f(x), g(x) ∈ F [x] yg(α1) 6= 0. Como σ es homomorfismo y σ(αi) = αi ∀i, es claro que fija a cada uno de esoselementos.

Asumamos que vale el enunciado para n = h y veamos que entonces vale para n = h+ 1.Haciendo F ∗ = F (α1, . . . , αh), tenemos que F (α1, . . . , αh+1) = F ∗(αh+1). Usando nuevamen-te (2.1), todo elemento de F ∗(αh+1) es de la forma f(αh+1)/g(αh+1) con f(x), g(x) ∈ F ∗[x]y g(αh+1) 6= 0. Por hipotesis inductiva, σ fija a F ∗ y σ(αh+1) = αh+1. Usando el mismorazonamiento que en el caso n = 1, tenemos el resultado. ♣

Observacion 2.2.5. Si F es un subcuerpo de un cuerpo E, entonces el conjunto de todoslos autmorfismos de E que fijan a F forman un grupo bajo composicion.

Sea G = {σ : E −→ E : σ es un ismorfismo y σ fija a F}. La composicion de funcioneses asociativa, ası que solamente deberıamos ver que hay un neutro y un inverso. Sea e ∈ Gdado por e(x) = x ∀x ∈ E y sea γ ∈ G. Entonces,

(γ ◦ e)(x) = γ(e(x)) = γ(x) = e(γ(x)) = (e ◦ γ)(x) ∀x ∈ E

Luego, e es el neutro de G. Tomemos ahora γ ∈ G y consideremos γ−1 ∈ G como su inverso(que existe porque γ es un isomorfismo). Ası,

γ(γ−1(x)) = x = e(x) = x = γ−1(γ(x)) ∀x ∈ E

Por lo tanto, G forma un grupo con la composicion.

Definicion 2.2.6. Si F es un subcuerpo de E, definimos el grupo de Galois, notadoGal(E/F ),como el grupo bajo composicion de todos los automorfismos de E que fijan a F .

Si f(x) ∈ F [x] y E = F (α1, . . . , αn) es el cuerpo de descomposicion de f(x) sobre F ,entonces el grupo de Galois de f(x) es Gal(E/F ).

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Teorema 2.2.7. Sea f(x) ∈ F [x] y sea X = {α1, . . . , αn} el conjunto de sus distintasraıces (en su cuerpo de descomposicion E = F (α1, . . . , αn) sobre F ). Entonces, la funcionϕ : Gal(E/F ) −→ SX ∼= Sn dada por ϕ(σ) = σ|X es un morfismo de grupos inyectivo.

Demostracion. Sea σ ∈ Gal(E/F ). Por el Lema 2.2.3, tenemos que σ(X) ⊂ X; σ|X es unabiyeccion porque σ es inyectiva (σ es automorfismo) y X es finito. Ası, ϕ esta bien definido.

Veamos que ϕ es un morfismo de grupos. Sean σ, ρ ∈ Gal(E/F ) y sea α ∈ X. Entonces,

ϕ(σ ◦ ρ)(α) = (σ ◦ ρ)|X(α) = σ(ρ(α)) pues α ∈ X= σ(β) β = ρ(α) ∈ X pues ρ(X) ⊂ X

(ϕ(σ) ◦ ϕ(ρ))(α) = (σ|X ◦ ρ|X)(α)

= σ|X(ρ(α))

= σ(β) pues β ∈ X

Por lo tanto, ϕ(σ ◦ ρ) = ϕ(σ) ◦ ϕ(ρ) y ϕ es un morfismo de grupos.Veamos que ker(ϕ) = {IdE}. Sea σ ∈ Gal(E/F ) tal que ϕ(σ) = IdSX

. Entonces, σ fija aF (pues σ ∈ Gal(E/F )) y σ(αi) = αi ∀i (pues ϕ(σ) = σ|X). Ası, por el Lema 2.2.4 tenemosque σ = IdE. Por lo tanto, ϕ es inyectiva. ♣

Definicion 2.2.8. Si F es un subcuerpo del cuerpo E, entonces E es un espacio vectorialsobre F (si a ∈ F y α ∈ E, definimos la multiplicacion por un escalar como el producto aαde dos elementos de E). El grado de E sobre F , notado [E : F ], es la dimension de E.

Proposicion 2.2.9. Sea p(x) ∈ F [x] un polinomio irreducible de grado n. Si α es una raızde p(x) (en un cuerpo de descomposicion), entonces {1, α, α2, . . . , αn−1} es una base de F (α)(visto como espacio vectorial sobre F ).

Demostracion. Veamos primero el siguiente isomorfismo de anillos F [x]/(p(x)) ∼= F (α) viala funcion ϕ : g(x) + (p(x)) 7→ g(α). En efecto, es un morfismo de anillos: Sean g(x) +(p(x)), h(x) + (p(x)) ∈ F [x]/(p(x)). Entonces,

ϕ(g(x) + (p(x)) + h(x) + (p(x))) = ϕ(g(x) + h(x) + (p(x))) = g(α) + h(α)

= ϕ(g(x) + (p(x))) + ϕ(h(x) + (p(x)))

Ademas,

ϕ((g(x) + (p(x)))(h(x) + (p(x)))) = ϕ(g(x)h(x) + (p(x))) = g(α)h(α)

= ϕ(g(x) + (p(x)))ϕ(h(x) + (p(x)))

A partir de ahora usaremos la notacion g(x) + (p(x)) = g(x).ϕ es inyectiva, porque si ϕ(g(x)) = ϕ(h(x)), entonces

ϕ(0) = 0 = ϕ(g(x))− ϕ(h(x)) = ϕ(g(x)− h(x)) = ϕ(g(x)− h(x))

Luego, g(x)− h(x) = 0, y g(x) = h(x). Por ultimo, es suryectiva. Si tomamos f(α) ∈ F (α),entonces f(α) = ϕ(f(x) + (p(x)), donde f(x) ∈ F [x].

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Sea p(x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0. Como p(x) = 0 en F [x]/(p(x)), podemos

escribir

(2.2) xn = −an−1xn−1 − . . .− a0

Veamos que B = {1, x, . . . , xn−1} genera a F [x]/(p(x)). En efecto, si q(x) es un polinomiode grado ≥ n, podemos escribir a los xj con j ≥ n usando (2.2), de forma que el polinomioquede escrito como una combinacion lineal de los elementos de B. Ası, como son isomorfos,{1, α, α2, . . . , αn−1} generan F (α). Veamos que son linealmente independientes:

Si no lo fueran, existirıa una combinacion lineal

a0α0 + a1α + . . .+ an−1αn−1 = 0

Pero eso significa que hay un polinomio de grado menor que n que anula a α, y eso esabsurdo, porque p(x) es irreducible. ♣

Lema 2.2.10. Sea p(x) ∈ F [x] irreducible, y sean α, β raıces de p(x) en un cuerpo dedescomposicion de p(x) sobre F . Entonces, existe un isomorfismo λ∗ : F (α) −→ F (β) quefija a F y tal que λ∗(α) = β.

Demostracion. Por la proposicion anterior, todo elemento de F (α) tiene una unica expresionde la forma a0 + a1α + . . .+ an−1α

n−1. Definimos λ∗ como

λ∗(a0 + a1α + . . .+ an−1αn−1) = a0 + a1β + . . .+ an−1β

n−1

Veamos que λ∗ es un homomorfismo de cuerpos. Es claro que λ∗(1) = 1, pues 1 ∈ F .Sean a0 + a1α+ . . .+ an−1α

n−1 y b0 + b1α+ . . .+ bn−1αn−1 elementos de F (α). Entonces,

λ∗(a0 + a1α + . . .+ an−1αn−1 + b0 + b1α + . . .+ bn−1α

n−1) =

= a0 + a1β + . . .+ an−1βn−1 + b0 + b1β + . . .+ bn−1β

n−1

= λ∗(a0 + a1α + . . .+ an−1αn−1) + λ∗(b0 + b1α + . . .+ bn−1α

n−1)

Por otro lado,

λ∗

((n∑i=0

aiαi

)(n∑j=0

bjαj

))= λ∗

(2n∑k=0

(k∑

m=0

ambk−m

)αk

)

=2n∑k=0

(k∑

m=0

ambk−m

)βk

= λ∗

(n∑i=0

aiαi

)λ∗

(n∑j=0

bjαj

)

Ası, λ∗ es un homomorfismo de cuerpos. Es un isomorfismo, pues podemos construir lainversa de la misma manera. Por ultimo, λ∗(α) = λ∗(0 + α) = 0 + β = β. ♣

10


Observacion 2.2.11. Existe una generalizacion de este lema con la misma demostracion.Sea λ : F −→ F ′ un isomorfismo de cuerpos, sea p(x) = a0 + a1x + . . . + anx

n ∈ F [x] unpolinomio irreducible y sea p′(x) = λ(a0)+λ(a1)x+ . . .+λ(an)xn ∈ F ′[x]. Finalmente, sea αuna raız de p(x) y β una raız de p′(x) (en cuerpos de descomposicion adecuados). Entonces,existe un isomorfismo λ∗ : F (α) −→ F ′(β) con λ∗(α) = β y λ∗|F = λ.

Proposicion 2.2.12. Sean F ⊂ E ⊂ K cuerpos, donde [K : E] y [E : F ] son finitos.Entonces, [K : F ] = [K : E][E : F ].

Demostracion. Sea A = {α1, . . . , αn} base de E sobre F y sea B = {β1, . . . , βm} base de Ksobre E. Veamos que {αiβj : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es una base de K sobre F .

Son linealmente independientes. En efecto, si k = nm, sean λ1, . . . , λk ∈ F tales que

λ1α1β1 + . . .+ λkαnβm = 0

Sacando factor comun los βj,

(λ1α1 + . . .+ λnαn)β1 + . . .+ (λk−nα1 + . . .+ λkαn)βm = 0

Pero λiαi ∈ E para 1 ≤ i ≤ n, por lo que tenemos una combinacion lineal de los elementosde la base de K sobre E. Ası,

λ1α1 + . . .+ λnαn = . . . = λk−nα1 + . . .+ λkαn = 0

Como A es base de E sobre F ,λ1 = . . . = λk = 0

Por lo tanto, son linealmente independientes.Veamos que generan a K. Sea γ ∈ K. Como B es base de K sobre E, existen a1, . . . , am ∈

E tales queγ = b1β1 + . . .+ bmβm

Pero como A es base de E sobre F , para cada 1 ≤ i ≤ m, bi = ai1α1 + . . . + ainαn, paraelementos ai1, . . . , a

in ∈ F . Entonces,

γ = (a11α1 + . . .+ a1nαn)β1 + . . .+ (am1 α1 + . . .+ amn αn)βm

Distribuyendo, tenemos una combinacion lineal de k elementos de la forma αiβj, con coe-ficientes en F . Por lo tanto, {αiβj : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es una base de K sobre F y[K : F ] = [K : E][E : F ]. ♣

Lema 2.2.13. Sea f(x) ∈ F [x], y sea E su cuerpo de descomposicion sobre F . Si K es un“cuerpo intermedio”, i.e., F ⊂ K ⊂ E y λ : K −→ K es un automorfismo que fija a F ,entonces existe un automorfismo λ∗ : E −→ E con λ∗|K = λ.

Demostracion. Lo hacemos por induccion en d = [E : F ]. Si d = 1, entonces E = K y todaraız α1, . . . , αn de f(x) esta en K, y podemos tomar λ∗ = λ.

Si d > 1, entonces E 6= K y hay alguna raız α de f(x) que no esta en K. Ası, α es raızde algun factor irreducible (en K) p(x) de f(x). Como α 6∈ K, el gr p(x) = k > 1. Por la

11

2.3. Teorema de Galois 2. Un poquito de teorıa de Galois

version generalizada del Lema 2.2.10, hay un β ∈ E y un isomorfismo λ1 : K(α) −→ K(β)que extiende a λ y que λ1(α) = β. Por la Proposicion 2.2.12, [E : K(α)][K(α) : F ] = d.

Veamos que [K(α) : F ] 6= 1. Si lo fuese, entonces usando de nuevo la Proposicion 2.2.12,1 = [K(α) : K][K : F ]. Como son dimensiones de espacios vectoriales y son finitas, esoimplicarıa que [K(α) : K] = 1. Pero por la Proposicion 2.2.9, [K(α) : K] = k y habıamosvisto que k > 1. Ası, [K(α) : F ] 6= 1 y [E : K(α)] < d.

Entonces, E es el cuerpo de descomposicion de f(x) sobre K(α), pues se obtiene ad-juntandole todas las raıces de f(x). Por hipotesis inductiva, λ1 puede extenderse a un auto-morfismo de E y por lo tanto tambien puede λ. ♣

Observacion 2.2.14. Al igual que el lema anterior, existe una version mas general con lamisma prueba: Si f(x) ∈ F [x], entonces cualesquiera dos cuerpos de descomposicion de f(x)sobre F son isomorfos.

2.3. Teorema de Galois

Teorema 2.3.1. Sea p primo, sea F un cuerpo conteniendo una raız primitiva de la unidadde orden p, digamos ω, y sea f(x) = xp − a ∈ F [x].

1. Si α es una raız de f(x) (en algun cuerpo de descomposicion), entonces f(x) es irre-ducible sii α 6∈ F .

2. El cuerpo de descomposicion E de f(x) sobre F es F (α).

3. Si f(x) es irreducible, entonces Gal(E/F ) ∼= Zp.

Demostracion.1. Si α ∈ F , entonces f(x) no es irreducible, porque x−α divide a f(x). Recıprocamente,

asumamos que f(x) = g(x)h(x), donde gr g(x) = k < p. Como las raıces de f(x) sonα, ωα, ω2α, . . . , ωp−1α (por ser ω raız primitiva de la unidad de orden p), toda raız de g(x) esde la forma ωiα para algun i. Si el termino constante de g(x) es c, entonces c = ±ωrαk paraalgun r (por ser c el producto de las raıces). Como c y ω estan en F , tenemos que αk ∈ F .Pero (k, p) = 1, porque p es primo, y entonces 1 = ks+ tp, para algunos t, s ∈ Z. Ası,

α = αks+tp = (αk)s(αp)t ∈ F

2. Es inmediato a partir de la observacion de que las raıces de f(x) son de la forma ωiα.3. Si σ ∈ Gal(E/F ), entonces σ(α) = ωiα para algun i, por el Lema 2.2.3. Sea ϕ :

Gal(E/F ) −→ Zp dada por ϕ(σ) = [i], la clase de equivalencia de i modulo p. Veamos quees un morfismo de grupos: Sean σ, ρ ∈ Gal(E/F ), con σ(α) = ωiα y ρ(α) = ωjα. Entonces,σ ◦ ρ(α) = ωiωjα = ωi+jα. Por otro lado, Id(α) = ω0α. Ası,

ϕ(σ ◦ ρ) = [i+ j] = [i] + [j] = ϕ(σ) + ϕ(ρ)

ϕ(Id) = [0]

Por lo tanto, ϕ es un morfismo de grupos. Si ϕ(σ) = [0], entonces σ fija a α, y como porestar en Gal(E/F ) ya fija a F , concluimos que ϕ es inyectiva (por Lema 2.2.4). Como f(x)es irreducible por hipotesis, el Lema 2.2.10 muestra que Gal(E/F ) 6= 1. Entonces, ϕ essuryectiva, porque Zp no tiene subgrupos propios. ♣

12


Teorema 2.3.2. Sea f(x) ∈ F [x], sea E el cuerpo de descomposicion de f(x) sobre F , yasumamos que f(x) no tiene raıces repetidas en E (i.e., f(x) no tiene factores de la forma(x − α)2 en E[x]). Entonces, f(x) es irreducible sii Gal(E/F ) actua transitivamente en elconjunto X de todas las raıces de f(x).

Demostracion. Notemos primero que el Lema 2.2.3 muestra que Gal(E/F ) actua en X. Enefecto, si x ∈ X y σ, ρ ∈ Gal(E/F ), σx ∈ X (por el lema); Idx = x; σ(ρx) = (σ ◦ ρ)x.

Si f(x) es irreducible, el Lema 2.2.10 nos dice que Gal(E/F ) actua transitivamente en X.Recıprocamente, supongamos que existe una factorizacion f(x) = g(x)h(x) en F [x]. En E[x],g(x) =

∏(x − αi) y h(x) =

∏(x − βj). Como f(x) no tiene raıces repetidas, αi 6= βj ∀i, j.

Pero Gal(E/F ) actua transitivamente en las raıces de f(x), entonces existe σ ∈ Gal(E/F )con σ(α1) = β1, y esto contradice el Lema 2.2.3. ♣

Proposicion 2.3.3. Sea E un cuerpo de descomposicion sobre F de algun f(x) ∈ F [x],y sea K un cuerpo de descomposicion sobre E de algun g(x) ∈ E[x]. Si σ ∈ Gal(K/F ),entonces σ|E ∈ Gal(E/F ).

Demostracion. Sea σ ∈ Gal(K/F ). Entonces, σ fija a F , por lo que solo habrıa que ver queσ es un automorfismo de E. Si α1, . . . , αn son las raıces de f(x), entonces

E = F (α1, . . . , αn) =

{p(α1, . . . , αn)

q(α1, . . . , αn): p, q ∈ F [x1, . . . , xn] q(α1, . . . , αn) 6= 0

}Ası, si tomamos e ∈ E, entonces e = p(α1, . . . , αn)/q(α1, . . . , αn). Pero por el Lema 2.2.3, σmanda raıces en raıces (de hecho si X es el conjunto de las raıces, σ|X : X −→ X es unabiyeccion, porque es inyectiva). Por lo tanto, σ(e) = e′ = p′(α1, . . . , αn)/q′(α1, . . . , αn) ∈ E.Luego, σ(E) ⊂ E. Por otro lado, el mismo argumento muestra que σ|E es suryectiva. Porultimo, σ|E es inyectiva, por ser la restriccion de un isomorfismo. ♣

Teorema 2.3.4. Sean F ⊂ K ⊂ E cuerpos, donde K y E son cuerpos de descomposicionde polinomios sobre F . Entonces, Gal(E/K) CGal(E/F ) y

Gal(E/F )/Gal(E/K) ∼= Gal(K/F )

Demostracion. La funcion Φ : Gal(E/F ) −→ Gal(K/F ), dada por Φ(σ) = σ|K , esta biendefinida (por la proposicion anterior). Veamos que es un morfismo de grupos:

Φ(Id) = Id|K = Id ∈ Gal(K/F )

Sean σ, ρ ∈ Gal(E/F ).Φ(σ ◦ ρ) = (σ ◦ ρ)|K = σ|K ◦ ρ|K

Un elemento de Gal(E/F ) esta en el kernel de Φ si restringido a K es la identidad, por loque debe ser un automorfismo que fije a K. Ası, ker Φ = Gal(E/K), que es un subgruponormal (por ser ker).

Veamos que Φ es suryectiva. Si tomamos λ ∈ Gal(K/F ), entonces λ es un automorfismode K que fija a F , y por el Lema 2.2.13 puede ser extendido a un automorfismo λ∗ de E.Ası, λ∗ ∈ Gal(E/F ) y Φ(λ∗) = λ∗|K = λ. El primer teorema del isomorfismo completa lademostracion. ♣

13


Proposicion 2.3.5. Sea f(x) = xn − a ∈ F [x], sea E el cuerpo de descomposicion de f(x)sobre F , y sea α ∈ E una raız n-esima de a. Entonces, existen subcuerpos

F = K0 ⊂ K1 ⊂ . . . ⊂ Kt = F (α)

con Ki+1 = Ki(βi+1), βp(i)i+1 ∈ Ki y p(i) es primo para todo i.

Demostracion. Si n es primo, tomamos F = K0 y K1 = K0(α). Entonces, αn ∈ K0, n esprimo y F (α) = K1.

Si n no es primo, podemos escribir n = rt y (αr)t, r, t ∈ Z. Por el Teorema fundamentalde la aritmetica, n = p1 . . . ph = r0t, donde r0 = p1 . . . ph−1 y t = ph. Ası, (αr0)t = αn = a ∈F = K0. Definamos K1 := F (αr0) y llamemos r1 = p1 . . . ph−2. Ası, (αr1)ph−1 = αr0 ∈ K1.Luego, K2 := K1(α

r1) = K0(αr0 , αr1).

Siguiendo con la misma idea, definimos Kh+1 := Kh(αrh) = F (αr0 , . . . , αrh), y entonces

(αp1)p2 = αrh−1 ∈ Kh−1. El ultimo es Kt = Kt−1(α) = F (αp1...ph−1 , . . . , αp1 , α). Entonces,αp1 ∈ Kt−1.

Como F (α) es un cuerpo y α ∈ F (α), toda potencia de α esta en F (α). Ası, tenemosque F (α) = Kt. ♣

Teorema 2.3.6 (Galois, 1831). Sea f(x) ∈ F [x] un polinomio de grado n, sea F un cuerpoque contiene a todas las raıces p-esimas de la unidad para todo primo p que divide a n!, y seaE el cuerpo de descomposicion de f(x) sobre F . Si f(x) es soluble por radicales, entoncesexisten subgrupos Gi ≤ G = Gal(E/F ) tales que

1. G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gt = 1

2. Gi+1 CGi ∀i

3. Gi/Gi+1 es cıclico de orden primo para todo i.

Demostracion. Como f(x) es soluble por radicales, existe subcuerpos F = K0 ⊂ K1 ⊂ . . . ⊂Kt con E ⊂ Kt y Ki+1 = Ki(βi+1), donde βi+1 ∈ Ki+1 y alguna potencia de βi+1 esta en Ki.Por la proposicion anterior, podemos asumir que alguna potencia prima de βi+1 esta en Ki+1.Definamos Hi = Gal(Kt/Ki) y Gi = Hi∩G. Ası, Gt = 1 y G0 = H0∩G = Gal(Kt/F )∩G =G. Ya tenemos 1.

Como F contiene raıces de la unidad, el Teorema 2.3.1 muestra que Ki+1 es un cuerpo dedescomposicion sobre Ki. El Teorema 2.3.4 muestra, para todo i, que Hi+1 = Gal(Kt/Ki+1)CGal(Kt/Ki) = Hi y Hi+1/Hi

∼= Gal(Ki+1/Ki). Este ultimo grupo es isomorfo a Zp, por elTeorema 2.3.1. ♣

Observacion 2.3.7. La hipotesis de que F contiene varias raıces de la unidad puede sereliminada, como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3.8. Sea f(x) = x6−x3+1 ∈ Q[x], que es soluble (como veremos a continuacion)y tiene grado 6. Escribiendo f(x) = (x3)2 − (x3) + 1, aplicamos Bhaskara y obtenemos

x3 =1±√

1− 4

2=

1±√

3i

2

=⇒ x =3

√1±√

3i

2

14


Llamemos ω1 =√

3i y consideremos g(x) = x2 + 3, que es irreducible en Q y tiene a ω1

como raız. Entonces, Q ⊂ Q(ω1), con [Q(ω1) : Q] = 2, ω21 ∈ Q y Gal(Q(ω1)/Q) = Z2 (por el

Teorema 2.3.1). Ahora consideremos h(x) = x3− (1+ω1)/2 ∈ Q(ω1). Ası, llamando ω2 a unaraız de h(x), tenemos que Q(ω1) ⊂ Q(ω1, ω2), donde [Q(ω1, ω2) : Q(ω1)] = 3, ω3

2 ∈ Q(ω1)y Gal(Q(ω1, ω2)/Q(ω1)) = Z3. Sin embargo, en ningun momento usamos a todas las raıcesp-esimas para todos los primos p que dividen a 6!.

Definicion 2.3.9. Una serie normal de un grupo G es una sucesion de subgrupos

G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1

donde Gi+1CGi para todo i. Los grupos factores de esta serie normal son los grupos Gi/Gi+1

para i = 0, 1, . . . , n− 1; la longitud de la serie normal es el numero de inclusiones estrictas,i.e., la longitud es el numero de grupos factores no triviales.

Observacion 2.3.10. Notar que los grupos factores son los unicos grupos cocientes quesiempre se pueden formar a partir de una serie normal, puesto que la normalidad no estransitiva.

Definicion 2.3.11. Un grupo finito G se dice soluble si tiene una serie normal cuyos gruposfactores son cıclicos de orden primo.

Con esta terminologıa, el Teorema 2.3.6 y su recıproca dicen que un polinomio es solublepor radicales si y solo si su grupo de Galois es un grupo soluble.

15

3.1. Zassenhaus y Schreier 3. El Teorema de Jordan-Holder

3. El Teorema de Jordan-Holder

La teorıa de Galois no solo enriquece el estudio de polinomios y cuerpos, sino que tambienaporta una nueva idea (las series normales) al estudio de los grupos. Las series normales nosdaran resultados al permitirnos examinar una familia de subgrupos con ordenes diferentes.

3.1. Zassenhaus y Schreier

Definicion 3.1.1. Una serie normal

G = H0 ≥ H1 ≥ . . . ≥ Hm = 1

es un refinamiento de una serie normal

G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1

si G0, G1, . . . , Gn es una subsucesion de H0, H1, . . . , Hm.

Ası, un refinamiento es una serie normal que contiene a cada uno de los terminos de laserie original.

Definicion 3.1.2. Una serie de composicion es una serie normal

G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1

donde para todo i, Gi+1 es un subgrupo maximal normal de Gi o Gi+1 = Gi.

Todo refinamiento de una serie de composicion es tambien una serie de composicion, puessolo puede repetir algunos de los terminos originales.

Proposicion 3.1.3. Si G es un grupo finito que tiene una serie normal con grupos factoresH0, H1, . . . , Hn, entonces |G| =

∏|Hi|

Demostracion. Sea G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn+1 = 1. Entonces, Hi = Gi/Gi+1. Como G esfinito, por el teorema de Lagrange,

|Hi| =|Gi||Gi+1|

Ası,n∏i=0

|Hi| =n∏i=0

|Gi||Gi+1|

=|G0||G1|

· |G1||G2|

· . . . · |Gn||Gn+1|

= |G|

pues |Gn+1| = |1| = 1. ♣

La proposicion anterior nos muestra que cierta informacion sobre G puede divisarse apartir de una serie normal.

Consideremos dos series de composicion de G = 〈x〉 ∼= Z30 (la normalidad es automaticaporque G es abeliano):

G ≥ 〈x5〉 ≥ 〈x10〉 ≥ 1

16

3.1. Zassenhaus y Schreier 3. El Teorema de Jordan-Holder

G ≥ 〈x2〉 ≥ 〈x6〉 ≥ 1

Los grupos factores de la primer serie normal son G/〈x5〉 ∼= Z5, 〈x5〉/〈x10〉 ∼= Z2, y 〈x10〉/1 ∼=〈x10〉 ∼= Z3. Los grupos factores de la segunda serie normal son G/〈x2〉 ∼= Z2, 〈x2〉/〈x6〉 ∼= Z3,y 〈x6〉 ∼= Z5. En este caso, las dos series de composicion tienen la misma longitud y los gruposfactores pueden agruparse de a pares de “forma isomorfa” luego de reacomodarlas. Le damosun nombre a este fenomeno:

Definicion 3.1.4. Dos series normales de un grupo G son equivalentes si existe una biyeccionentre sus grupos factores tal que dos grupos relacionados son isomorfos.

Por supuesto, series normales equivalentes tienen la misma longitud. Las dos series decomposicion de arriba para Z30 son equivalentes. Lo genial de esto es que es cierto para todogrupo (posiblemente infinito) que tenga una serie de composicion. El siguiente resultadotecnico, una generalizacion del segundo teorema del isomorfismo, sera usado para probareste hecho.

Lema 3.1.5 (Lema de Zassenhaus, 1934). Sean A C A∗ y B C B∗ cuatro subgrupos de ungrupo G. Entonces,

A(A∗ ∩B) C A(A∗ ∩B∗)

B(B∗ ∩ A) CB(B∗ ∩ A∗)

y existe un isomorfismoA(A∗ ∩B∗)A(A∗ ∩B)

∼=B(B∗ ∩ A∗)B(B∗ ∩ A)

Demostracion. Veamos que (A∩B∗)C (A∗ ∩B∗): Si c ∈ (A∩B∗) y x ∈ (A∗ ∩B∗), entoncesxcx−1 ∈ (A ∩ B∗). En efecto, como c ∈ A, x ∈ A∗ y A C A∗, xcx−1 ∈ A; y como c, x ∈ B∗,xcx−1 ∈ B∗. Analogamente, (A∗ ∩B) C (A∗ ∩B∗). Ası, si definimos D = (A ∩B∗)(A∗ ∩B),tenemos que D C (A∗ ∩B∗) (por estar generado por dos subgrupos normales).

Sea f : A(A∗∩B∗) −→ (A∗∩B∗)/D dada por f(ax) = xD, donde a ∈ A y x ∈ (A∗∩B∗).Veamos que esta bien definida: Si ax = a′x′, donde a′ ∈ A y x′ ∈ (A∗ ∩ B∗), entoncesxx′−1 = a−1a′. Como xx′−1 ∈ B∗ ∩ A∗ y a−1a′ ∈ A, xx′−1 = a−1a′ ∈ (B∗ ∩ A∗) ∩ A =A ∩ B∗ ≤ D. Por otro lado, D es normal, por lo que xD = Dx. Sea d ∈ D, entoncesdx = d(xx′−1)(x′x−1)x = (dxx′−1)x′. Pero como xx′−1 ∈ D (por lo anterior), tenemos quedx ∈ Dx′. Por lo tanto, Dx ⊂ Dx′. Recıprocamente, dx′ = dx′x−1xx′−1x′ = (dx′x−1)x ∈ Dx.Ası, tenemos que xD = Dx = Dx′ = x′D y f(ax) = f(a′x′).

Veamos que es un morfismo de grupos. Sean ax, a′x′ ∈ A(A∗ ∩ B∗). Entonces, axa′x′ =a′′xx′, donde a′′ = a(xa′x−1) ∈ A (pues A C A∗). Ası, f(axa′x′) = f(a′′xx′) = xx′D =f(ax)f(a′x′).

Veamos que f es suryectivo y que ker f = A(A∗ ∩ B). Dado xD ∈ (A∗ ∩ B∗)/D, x ∈(A∗ ∩B∗) y entonces xD = f(ax), para cualquier a ∈ A y ax ∈ A(A∗ ∩B∗). Sea ax ∈ ker f .Entonces f(ax) = xD = D. Ası, x ∈ D = (A ∩ B∗)(A∗ ∩ B), por lo que x = a′x′, dondea′ ∈ (A ∩ B∗) ⊂ A y x′ ∈ (A∗ ∩ B). Por lo tanto, ax = aa′x′ = A(A∗ ∩ B). Por otrolado, la otra inclusion es trivial: Si ax ∈ A(A∗ ∩ B), entonces f(ax) = xD = D, porquex ∈ (A∗∩B) ⊂ D. Ası, como el nucleo de un morfismo es normal en el dominio, tenemos que

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3.2. Teorema de Jordan-Holder 3. El Teorema de Jordan-Holder

ker f = A(A∗ ∩ B) C A(A∗ ∩ B∗). Por ultimo, aplicando el Primer teorema del isomorfismotenemos:

A(A∗ ∩B∗)A(A∗ ∩B)

∼=B∗ ∩ A∗

D

Intercambiando los sımbolos A y B tenemos otro isomorfismo entre el correspondiente grupocociente y (B∗ ∩ A∗)/D. ♣

Teorema 3.1.6 (Teorema del refinamiento de Schreier, 1928). Cualesquiera dos series nor-males de un grupo arbitrario G tienen refinamientos equivalentes.

Demostracion. SeanG = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1

yG = H0 ≥ H1 ≥ . . . ≥ Hm = 1

series normales. Insertemos una “copia” de la segunda serie entre cada Gi y Gi+1. Masprecisamente, definamos Gi,j = Gi+1(Gi ∩Hj) ∀0 ≤ j ≤ m. Ası,

Gi,j = Gi+1(Gi ∩Hj) ≥ Gi+1(Gi ∩Hj+1) = Gi,j+1

Notemos que Gi,0 = Gi+1(Gi ∩H0) = Gi+1(Gi ∩G) = Gi+1Gi = Gi y que Gi,m = Gi+1(Gi ∩1) = Gi+1. Mas aun, tomando A = Gi+1, A

∗ = Gi, B = Hj+1 y B∗ = Hj, el Lema deZassenhaus muestra que Gi,j+1 CGi,j. Ası, la serie

G0,0 ≥ G0,1 ≥ . . . ≥ G0,m ≥ G1,0 . . . ≥ Gn−1,0 ≥ . . . ≥ Gn−1,m = 1

es un refinamiento de la primer serie normal (con nm terminos). Analogamente, si Hi,j esdefinido como Hi,j = Hj+1(Hj ∩Gi), entonces Hi,j ≥ Hi+1,j y

H0,0 ≥ H1,0 ≥ . . . ≥ Hn,0 ≥ H0,1 . . . ≥ H0,m−1 ≥ . . . ≥ Hn,m−1 = 1

es un refinamiento de la segunda serie normal (con nm terminos). Finalmente, la funcionGi,j/Gi,j+1 7→ Hi,j/Hi+1,j es biyectiva, y por el Lema de Zassenhaus (con A = Gi+1, A

∗ = Gi,B = Hj+1 y B∗ = Hj) tenemos que los grupos factores correspondientes son isomorfos. Ası,ambos refinamientos son equivalentes. ♣

3.2. Teorema de Jordan-Holder

Teorema 3.2.1 (Jordan-Holder). Cualesquiera dos series de composicion de un grupo Gson equivalentes.

Demostracion. Si tomamos dos series de composicion de un grupo G, tenemos que son seriesnormales, y por el teorema de Schreier tienen refinamientos equivalentes. Pero una seriede composicion es una serie normal de longitud maxima, pues un refinamiento de ella essimplemente repetir algunos de sus terminos y eso implica que los nuevos grupos factorestienen orden 1. Por lo tanto, dos series de composicion de G son equivalentes. ♣

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4.1. Otra definicion de solubilidad 4. Grupos solubles

Definicion 3.2.2. Si G tiene una serie de composicion, entonces los grupos factores de estaserie son llamados factores de composicion de G.

Observacion 3.2.3. C. Jordan (1868) probo que los ordenes de los factores de composi-cion de un grupo finito dependen solo de G. O. Holder (1889) probo que los factores decomposicion, salvo isomorfismos, dependen solo de G.

Corolario 3.2.4 (Teorema fundamental de la aritmetica). Los primos y sus multiplicadadesen la factorizacion de un entero n ≥ 2 son determinados por n.

Demostracion. Sea n = p1p2 . . . pt, donde los pi son primos (no necesariamente distintos). SiG = 〈x〉 es cıclico de orden n, entonces

G = 〈x〉 ≥ 〈xp1〉 ≥ 〈xp1p2〉 ≥ . . . ≥ 〈xp1p2...pt−1〉 ≥ 1

es una serie normal. Pero los grupos factores tienen ordenes primos p1, p2, . . . , pt, respec-tivamente, por lo que es una serie de composicion. En efecto, si tomamos 〈xp1〉 y 〈xp1p2〉(tomamos estos para simplificar la notacion), entonces∣∣∣∣ 〈xp1〉〈xp1p2〉

∣∣∣∣ = p2

Si existiese un subgrupo H de 〈xp1〉 tal que 〈xp1p2〉 ≤ H, por Lagrange, el orden de H dividirıaal orden de 〈xp1〉, por lo que |〈xp1p2〉| ≤ |H| ≤ |〈xp1〉|, i.e., n/(p1p2) ≤ |H| ≤ n/p1. Peroentonces la desigualdad no podrıa ser estricta, por lo que 〈xp1p2〉 es un subgrupo maximalde 〈xp1〉.

Entonces, por el teorema de Jordan-Holder, los primos p1, p2, . . . , pt dependen solo den. ♣

Recordemos que un grupo finito G es soluble si tiene una serie normal cuyos gruposfactores son cıclicos de orden primo. Entonces, para verificar que un grupo no es solubleuno revisa si toda serie de composicion tiene todos sus grupos factores cıclicos. Pero porJordan-Holder, es suficiente con revisar una sola serie de composicion de G.

Teorema 3.2.5. Si n ≥ 5, entonces Sn no es soluble.

Demostracion. Como An es un grupo simple para n ≥ 5 (ver Apendice),la serie normalSn ≥ An ≥ 1 es una serie de composicion, cuyos factores de composicion son Z2 y An. Pero|An| = |Sn|/2, y por lo tanto no es primo. Ası, Sn no es soluble. ♣

4. Grupos solubles

Aunque los grupos solubles aparecen en el contexto de la Teorıa de Galois, forman unaclase de grupos de interes tambien para la teorıa de grupos. Empecemos por dar otra defini-cion de solubilidad que nos es mas conveniente para trabajar.

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4.1. Otra definicion de solubilidad 4. Grupos solubles

4.1. Otra definicion de solubilidad

Definicion 4.1.1. Una serie soluble de un grupo G es una serie normal cuyos grupos factoresson abelianos. Un grupo G es soluble si tiene una serie soluble.

Observacion 4.1.2. Veamos que ambas definiciones de grupo soluble finito son equivalentes.Sea G un grupo finito y supongamos que existe una serie normal cuyos grupos factores soncıclicos de orden primo. Pero todo grupo cıclico de orden primo p es isomorfo a Zp, y por lotanto es abeliano.

Recıprocamente, la serie de composicion de un grupo finito tiene longitud finita, y todogrupo abeliano simple finito es cıclico de orden primo. En efecto, si n = |G|, entonces existeun primo p que lo divide. Por el Teorema 1.1.24, existe un elemento a de orden p. Pero comoG es simple, G = 〈a〉. Por lo tanto, G es cıclico de orden primo.

Ahora construiremos grupos solubles. Mas adelante, daremos otra caracterizacion desolubilidad que nos proporcionara nuevas demostraciones de estos resultados.

Teorema 4.1.3. Todo subgrupo H de un grupo soluble G es soluble.

Demostracion. Si G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1 es una serie soluble (de G), consideremosla serie H = H0 ≥ (H ∩G1) ≥ . . . ≥ (H ∩Gn) = 1. Esta es una serie normal de H, pues elSegundo Teorema del Isomorfismo nos dice que H ∩ Gi+1 = (H ∩ Gi) ∩ Gi+1 C H ∩ Gi ∀i.Ahora, (H ∩ Gi)/(H ∩ Gi+1) ∼= Gi+1(H ∩ Gi)/Gi+1 ≤ Gi/Gi+1. Como Gi/Gi+1 es abeliano(pues es un grupo factor de una serie soluble), todos sus subgrupos son abelianos. Ası, Htiene una serie soluble. ♣Teorema 4.1.4. Todo cociente G/N , N CG, de un grupo soluble G es un grupo soluble.

Demostracion. Sea G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gt = 1 una sucesion de subgrupos como en ladefinicion de grupo soluble. Como NCG, tenemos que NGi ≤ G ∀i. Ası, existe una sucesionde subgrupos

G = G0N ≥ G1N ≥ . . . ≥ GtN = N ≥ 1

Veamos que es una serie normal. Con una notacion obvia:

(gin)Gi+1N(gin)−1 ≤ giGi+1Ng−1i = giGi+1g

−1i N ≤ Gi+1N

La primera desigualdad se debe a que n(Gi+1N)n−1 ≤ NGi+1N ≤ (Gi+1N)(Gi+1N) =Gi+1N (pues Gi+1N es un subgrupo de G); la igualdad se debe a que Ng−1i = g−1i N (puesN CG y las coclases a derecha y a izquierda coincidan); la ultima desigualdad se debe a queGi+1 CGi. Por el Segundo Teorema del Isomorfismo,

Gi

Gi ∩ (Gi+1N)∼=Gi(Gi+1N)

Gi+1N=

GiN

Gi+1N

donde la igualdad es porque GiGi+1 = Gi. Ahora buscamos aplicar el Tercer Teorema del Iso-morfismo. Veamos que Gi+1NCGi: sean g ∈ Gi y gi+1n ∈ Gi+1N . Entonces, ggi+1g

−1gng−1 ∈Gi+1N , pues Gi+1 C Gi y N C G. Ası, Gi ∩ Gi+1N C Gi y como Gi+1 ≤ Gi ∩ Gi+1N yGi+1 C Gi, podemos aplicar el Tercer Teorema del Isomorfismo para obtener una suryec-cion Gi/Gi+1 −→ Gi/(Gi ∩Gi+1N). Componiendo con lo de arriba, tenemos una suryeccionGi/Gi+1 −→ GiN/Gi+1N . Como Gi/Gi+1 es cıclico de orden primo, su imagen es cıclica deorden primo o es el subgrupo trivial. Ası, G/N es un grupo soluble. ♣

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4.2. Una ultima definicion de solubilidad 4. Grupos solubles

Teorema 4.1.5. Si H CG y tanto H como G/H son solubles, entonces G es soluble.

Demostracion. SeaG/H ≥ K∗1 ≥ K∗2 ≥ . . . ≥ K∗n = 1

una serie soluble. Por el teorema de correspondencia, podemos construir una sucesion pa-recida al comienzo de una serie soluble de G a H, i.e., hay subgrupos Ki (con H ≤ Ki yKi/H ∼= K∗i ) tales que

G ≥ K1 ≥ K2 ≥ . . . ≥ Kn = H

donde Ki+1 CKi y Ki/Ki+1 (∼= K∗i /K∗i+1) es abeliano. Como H es soluble, tiene una serie

soluble; si unimos estas dos series junto a H, obtenemos una serie soluble para G. ♣

Corolario 4.1.6. Si H y K son grupos solubles, entonces H ×K es soluble.

Demostracion. Si G = H ×K, entonces H CG y G/H ∼= K. ♣

Teorema 4.1.7. Todo p-grupo finito G es soluble.

Demostracion. La prueba es por induccion en |G|. Si |G| = 1, G = p0 = 1 y es soluble.Supongamos que |G| = ph+1. Por Teorema 1.1.38, |Z(G)| 6= 1. Entonces, G/Z(G) es unp-grupo (por el Teorema de Lagrange) de orden < |G|. Por lo tanto, por hipotesis inductiva,es soluble. Como todo grupo abeliano es soluble, Z(G) es soluble. Ası, G es soluble, por elteorema anterior. ♣

4.2. Una ultima definicion de solubilidad

Otra aproximacion a solubilidad es mediante subgrupos conmutadores.

Definicion 4.2.1. Los subgrupos conmutadores de orden superior de G se definen inducti-vamente:

G(0) = G G(i+1) = (G(i))′

Es decir, G(i+1) es el subgrupo conmutador de G(i). La serie

G = G(0) ≥ G(1) ≥ G(2) ≥ . . .

es llamada serie derivada de G.

Para ver que los subgrupos conmutadores de orden superor son subgrupos normales deG, es conveniente introducir un nuevo tipo de subgrupo.

Definicion 4.2.2. Un automorfismo de un grupo G es un isomorfismo ϕ : G −→ G. Unsubgrupo H de G es llamado caracterıstico en G, notado H car G, si ϕ(H) = H para todoautomorfismo ϕ de G.

Si ϕ(H) ≤ H para todo automorfismo ϕ, entonces H car G. En efecto, tanto ϕ como ϕ−1

son automorfismos de G, por lo que ϕ(H) ≤ H y ϕ−1(H) ≤ H. Esto ultimo nos da la otrainclusion: Como ϕ es inyectiva, H = ϕϕ−1(H) ≤ ϕ(H). Ası, ϕ(H) = H.

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Para cada a ∈ G, la conjugacion por a (i.e., x 7→ axa−1) es un automorfismo de G. Enefecto, sea γ : G −→ G dada por γ(x) = axa−1. Dados x, y ∈ G,

γ(e) = aea−1 = aa−1 = e

γ(xy) = axya−1 = axa−1aya−1 = γ(x)γ(y)

Ası, γ es un morfismo de grupos. Veamos que es un isomorfismo. Es inyectivo, pues siγ(x) = γ(y), entonces axa−1 = aya−1. Pero multiplicando a derecha por a y a izquierda pora−1, tenemos que x = y. Por ultimo, veamos que es suryectiva. Dado z ∈ G, z = a(a−1za)a−1.Por lo tanto, γ es un automorfismo de G.

De lo anterior se deduce que si H car G, γ(H) = aHa−1 = H. Por lo que H CG.

Lema 4.2.3. Sea H,K ≤ G.

1. Si H car K y K car G, entonces H car G.

2. Si H car K y K CG, entonces H CG.

Demostracion. Veamos 1. Si ϕ es un automorfismo de G, entonces ϕ(K) = K, y la restriccionϕ|K : K −→ K es un automorfismo de K. Como H car K, tenemos que ϕ(H) = (ϕ|K)(H) =H. Por lo tanto, H car G.

2. Sea a ∈ G y sea ϕ : G −→ G la conjugacion por a. ComoKCG, ϕ|K es un automorfismode K, y como H car K, (ϕ|K)(H) ≤ H. Esto dice que si h ∈ H, entonces aha−1 = ϕ(h) ∈ H.Por lo tanto, H CG. ♣

Teorema 4.2.4. Para todo grupo G, los subgrupos conmutadores de orden superior soncaracterısticos, y por lo tanto normales.

Demostracion. Lo hacemos por induccion en i ≥ 1. Recoremos que el subgrupo conmutadorG′ = G(1) es generado por todos los conmutadores, i.e., por todos los elementos de la formaaba−1b−1. Si ϕ es un automorfismo de G, entonces ϕ(aba−1b−1) = ϕ(a)ϕ(b)ϕ(a)−1ϕ(b)−1

tambien es un conmutador. Ası, ϕ(G′) ≤ G′ y G′ car G. Para el paso inductivo, acabamosde mostrar que G(i+1) car G(i), y como G(i) car G (por hipotesis inductiva), usando el ıtem1 del lema anterior vemos que G(i+1) car G. ♣

Todo esto nos dice que una serie derivada de un grupo G es una serie normal si terminaen 1. El resultado siguiente muestra que si G es soluble, entonces la serie derivada desciendemas rapido que cualquier otra serie soluble.

Lema 4.2.5. Si G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1 es una serie soluble, entonces Gi ≥ G(i) paratodo i.

Demostracion. Como no podıa ser de otra manera, la prueba es por induccion en i ≥ 0.Si i = 0, entonces G0 = G = G(0). Para el paso inductivo, el Teorema 1.1.31 nos dice queGi+1 ≥ G′i, puesto que Gi/Gi+1 es abeliano (pues la serie es soluble). La hipotesis inductivanos dice que Gi ≥ G(i), entonces G′i ≥ (G(i))′ = G(i+1). Por lo tanto, Gi+1 ≥ G(i+1), comoquerıamos. ♣

Ahora sı, una tercer y ultima definicion de grupo soluble.

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Teorema 4.2.6. Un grupo G es soluble sii G(n) = 1 para algun n.

Demostracion. Sea G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1 una serie soluble. Por el lema anterior,Gi ≥ G(i) para todo i. En particular, 1 = Gn ≥ G(n). Por lo tanto G(n) = 1.

Recıprocamente, si G(n) = 1, entonces la serie derivada es una serie normal. Como(G(i))′ = G(i+1) y G(i+1) C G(i), por el Teorema 1.1.31, los grupos factores son abelianos.Por lo tanto, es una serie soluble para G. ♣

Ası, vemos que una serie derivada de G es una serie normal sii G es un grupo soluble.

Proposicion 4.2.7. Un p-grupo elemental abeliano G es un espacio vectorial sobre Zp ytodo morfismo ϕ : G −→ G es una transformacion lineal.

Demostracion. Sea G = Zp×. . .×Zp. Definiendo la suma coordenada a coordenada, tenemosque cumple conmutativdad, asociatividad, existencia de neutro (el (0, . . . , 0)) y de opuesto((u1, . . . , un) + (−u1, . . . ,−un) = 0). Definimos el producto por un escalar k ∈ Zp comokv = (kv0, . . . , kvn). Ası, si a, b ∈ Zp, entonces

(ab)v = (abv0, . . . , abvn) = a(bv0, . . . , bvn) = a(bv)

(a+ b)v = ((a+ b)v0, . . . , (a+ b)vn) = (av0 + bv0, . . . , avn + bvn) = av + bv

Veamos lo de las transformaciones lineales. Sea ϕ : G −→ G un morfismo de grupos y seanu, v ∈ G, a ∈ Zp. Entonces,

ϕ(u+ v) = ϕ(u) + ϕ(v) por ser morfismo

ϕ(av) = ϕ(v + . . .+ v) = ϕ(v) + . . .+ ϕ(v) = aϕ(v)

♣

Definicion 4.2.8. Un subgrupo normal H de un grupo G es un subgrupo normal minimalsi H 6= 1 y no hay subgrupos normales K de G tales que 1 < K < H.

Teorema 4.2.9. Si G es un grupo finito soluble, entonces todo subgrupo normal minimal eselemental abeliano.

Demostracion. Sea V un subgrupo normal minimal. El Lema 4.2.3 muestra que si H car V ,entonces H CG. Como V es minimal, H = 1 o H = V . En particular, V ′ car V , por lo queV ′ = 1 o V ′ = V . Como G es soluble, tambien lo es V (Teorema 4.1.3). Por el Teorema 4.2.6,V ′ = V no puede pasar. Ası, V ′ = 1 y por lo tanto V es abeliano (Teorema 1.1.31). Veamosque |V | es divisible por un unico primo. Sea p||V |. Entonces, V tiene un p-subgrupo de SylowS. Como V es normal en G y S car V (como V es abeliano, S es el unico p-subgrupo deSylow, y |S| = |ϕ(S)| para cualquier automorfismo ϕ de V ), por el Lema 4.2.3, S CG. Peroentonces, V = S, y |V | = pn para algun n. Ası, V es un p-grupo abeliano.

Consideremos A = {x ∈ V : xp = 1} y sea ψ un automorfismo de V . Si tomamos y ∈ A,entonces ψ(y)p = ψ(yp) = ψ(1) = 1. Por lo tanto, A car V . ♣

Corolario 4.2.10. Si V es un subgrupo normal minimal de un grupo soluble finito G, en-tonces G actua en V como un grupo de transformaciones lineales.

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5.1. Primer teorema de Hall 5. Teoremas de P. Hall

Demostracion. Por el teorema anterior, V es un p-grupo elemental. Por la Proposicion 4.2.7,V es un espacio vectorial sobre Zp, y todo morfismo de V es una transformacion lineal.Definamos un morfismo G −→ GL(V ) como a 7→ φa, donde φa(v) = ava−1 ∀v ∈ V (la nor-malidad de V muestra φa(v) ∈ V ). Mas aun, cada φa es una inyeccion, pues es la restriccionde un automorfismo (conjugacion). Y toda inyeccion en un espacio vectorial de dimensionfinita es una suryeccion. Por lo tanto, φa es no singular.

¿Y eso que tiene que ver? Que entonces nuestro morfismo esta bien definido. Por ultimo,si a, b ∈ G y v ∈ V , entonces

φab(v) = abvb−1a−1 = φa(φb(v))

Por lo tanto, G actua sobre V . ♣

Definicion 4.2.11. Un grupoG cuyos unicos subgrupos caracterısticos sonG y 1 es llamadoscaracterısticamente simple.

Teorema 4.2.12. Un grupo finito G caracterısticamente simple es simple o es productodirecto de grupos simples isomorfos.

Demostracion. Tomemos un subgrupo normal minimal H de G cuyo orden es minimal entretodos los subgrupos normales no triviales. Sea H = H1, y consideremos todos los subgruposde G de la forma H1 ×H2 × . . .×Hn, donde n ≥ 1, Hi CG y Hi

∼= H. Sea M un subgrupode esa forma del mayor orden posible.

Veamos que M = G, mostrando que M car G. Veamos que ϕ(Hi) ≤ M para todo i ypara todo automorfismo ϕ de G. Por supuesto, como ϕ es inyectiva, ϕ(Hi) ∼= Hi

∼= H = H1.Veamos que ϕ(Hi) C G. Si a ∈ G, entonces a = ϕ(b) para algun b ∈ G, y aϕ(Hi)a

−1 =ϕ(b)ϕ(Hi)ϕ(b)−1 = ϕ(bHib

−1) ≤ ϕ(Hi), pues Hi CG. Por otro lado, ϕ(Hi) ≤M . En efecto,si no fuera ası, i.e., si ϕ(Hi) 6≤M , entonces ϕ(Hi)∩M 6≤ ϕ(Hi) y |ϕ(Hi)∩M | < |ϕ(Hi)| = |H|.Pero ϕ(Hi) ∩M C G, entonces la minimalidad de |H| muestra que ϕ(Hi) ∩M = 1. Peroentonces el subgrupo M × ϕ(Hi) es un subgrupo de la misma forma que M pero de mayororden, y eso es absurdo porque contradice la definicion de M . Por lo tanto, M car G, y comopor hipotesis G es caracterısticamente simple, M = G.

Por ultimo, H = H1 debe ser simple: Si N es un subgrupo normal no trivial de H,entonces N es un subgrupo normal de M = H1 ×H2 × . . . ×Hn = G, y esto contradice laeleccion minimal de H. ♣

Corolario 4.2.13. Un subgrupo normal minimal H de un grupo finito G es simple o es unproducto directo de subgrupos simples isomorfos.

Demostracion. Si N car H, entonces N CG (por el Lema 4.2.3). Entonces, N = 1 o N = H(porque H es normal minimal). Entonces, H no tiene subgrupos caracterısticos propios, y elteorema anterior nos da el resultado. ♣

5. Teoremas de P. Hall

Hemos llegado al punto de mayor interes de este trabajo. En conjunto, ambos teoremasnos dan una caracterizacion de solubilidad para grupos finitos.

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5.1. Primer teorema de Hall

Los principales resultados de esta seccion son generalizaciones de los teoremas de Sylow(que lo mira por TV) que valen para grupos solubles finitos. Necesitaremos el siguienteresultado tecnico.

Definicion 5.1.1. Si H ≤ G, el normalizador de H en G, notado NG(H), es NG(H) = {a ∈G : aHa−1 = H}.

Proposicion 5.1.2. NG(aHa−1) = aNG(H)a−1

Demostracion. Sea aba−1 ∈ aNG(H)a−1. Entonces,

(aba−1)aHa−1(ab−1a−1) = abHb−1a−1

= aHa−1 pues bHb−1 = H

Por lo tanto, aba−1 ∈ NG(aHa−1) y aNG(H)a−1 ⊂ NG(aHa−1).Recıprocamente, sea n ∈ NG(aHa−1). Entonces,

(a−1na)H(a−1n−1a) = a−1(naHa−1n−1)a

= a−1aHa−1a pues naHa−1n−1 = aHa−1

Por lo tanto, NG(aHa−1) ⊂ aNG(H)a−1. ♣

Teorema 5.1.3 (Argumento de Frattini). Sea G un grupo finito y sea K C G. Si P es unp-subgrupo de Sylow de K (para algun primo p), entonces

G = KNG(P )

Demostracion. Si g ∈ G, entonces gPg−1 ≤ gKg−1 = K, porque K C G. Entonces, gPg−1

es un p-subgrupo de Sylow de K, y por lo tanto existe k ∈ K con kPk−1 = gPg−1. Ası,P = (k−1g)P (g−1k) = (k−1g)P (k−1g)−1. Luego, k−1g ∈ NG(P ). Por lo que la factorizacionbuscada es g = k(k−1g). ♣

Teorema 5.1.4 (P. Hall, 1928). Si G es un grupo soluble de orden ab, donde (a, b) = 1,entonces G contiene un subgrupo de orden a. Mas aun, cualesquiera dos subgrupos de ordena son conjugados.

Demostracion. La prueba es por induccion en |G|. El caso inicial es trivial: si |G| = 1,entonces a = b = 1 y G es el grupo trivial. Su unico subgrupo es el mismo, de orden a.

Caso 1: G contiene un subgrupo normal H de orden a′b′, donde a′|a, b′|b y b′ < b.Existencia. En este caso, G/H es un grupo soluble de orden (a/a′)(b/b′) (por Lagrange).

Entonces, (a/a′)(b/b′) < ab. Ademas, (a/a′) y (b/b′) son coprimos, porque si no lo fuerantampoco lo serıan a y b. Por hipotesis inductiva, G/H tiene un subgrupo A/H de orden a/a′.Ahora, por Lagrange, A tiene orden (a/a′)|H| = ab′ < ab. Como A es soluble (por Teorema4.1.3), por hipotesis inductiva, tiene un subgrupo de orden a.

Conjugacion. Sean A y A′ subgrupos de G de orden a. Hagamos k = |AH|. ComoAH ≤ G, por el teorema de Lagrange, |AH| = αβ, donde α|a y β|b. Como (a, b) = 1 y

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A ≤ AH, tenemos que a|αβ, entonces a|α. Ası, a = α. Como H ≤ AH, tenemos que a′b′|αβ,por lo que b′|β. Por la formula del producto, |AH||aa′b′, pero entonces β|b′. Concluimosque |AH| = k = ab′. Analogamente, vemos que tambien |A′H| = ab′. Entonces, AH/H yA′H/H son subgrupos de G/H de orden a/a′. Como |G/H| = (a/a′)(b/b′), estos subgruposson conjugados (por hipotesis inductiva), por un xH ∈ G/H, i.e.,

xHAH

Hx−1H =

A′H

H

Notemos que

xHAH

Hx−1H = {xHahHx−1H : x ∈ G, a ∈ A, h ∈ H}

= {xahx−1H : x ∈ G, a ∈ A, h ∈ H}

Veamos que xAHx−1 = A′H. Sea xahx−1 ∈ xAHx−1. Como 1 ∈ H, existe a′ ∈ A yh ∈ H tales que xahx−1 = a′h. Entonces, xAHx−1 ⊂ A′H. Sea ahora a′h ∈ A′H. Entoncesexisten x, a, h y h tales que a′h = xahx−1h = xahx−1hxx−1 = xahh′x−1 = xahx−1, dondex−1hx = h′ porque H CG, y hh′ = h pues H es subgrupo. Ası, xAHx−1 = A′H. Entonces,xAx−1 y A′ son subgrupos de A′H de orden a, y por lo tanto son conjugados, por hipotesisinductiva. Eso completa el primer caso.

Si no estamos en el caso 1, tenemos que b no divide al orden de H. Por lo tanto, podemosasumir que b||H| para todo subgrupo normal propio H. Sin embargo, si H es un subgruponormal minimal, entonces el Teorema 4.2.9 nos dice que H es un p-grupo elemental abeliano,para algun primo p. Ası, podemos asumir que b = pm, por lo que H es un p-subgrupo deSylow de G. La normalidad de H fuerza que sea unico (pues todos los p-subgrupos de Sylowson conjugados. El problema ahora se reduce al siguiente caso.

Caso 2: |G| = apm, donde p no divide a a, G tiene un p-subgrupo de Sylow normalabeliano H, y H es el unico subgrupo normal minimal en G.

Existencia. El grupo G/H es un grupo soluble de orden a (pues H es un p-subgrupo deSylow). Si K/H es un subgrupo normal minimal de G/H, entonces |K/H| = qn, para algunprimo q 6= p, y por lo tanto |K| = pmqn. Si Q es un q-subgrupo de Sylow de K, entoncesK = HQ. En efecto, como H CK, HQ < K. Y por otro lado, H ∩Q = 1, |HQ| = |H||Q| =pmqn = |K|. Sea N∗ = NG(Q) := {a ∈ G : aQa−1 = Q} y sea N = N∗ ∩ K = NK(Q).Afirmamos que |N∗| = a.

Por el Argumento de Frattini, G = KN∗. Por el Teorema de Correspondencia, K CG, yusando el Segundo Teorema del Isomorfismo, tenemos

G

K=KN∗

K∼=

N∗

N∗ ∩K=N∗

N

Entonces, |N∗| = |G||N |/|K|. Pero K = HQ y Q ≤ N ≤ K nos dice que K = HN . Ası,|K| = |HN | = |H||N |/|H ∩N |. Por lo tanto,

|N∗| = |G||N ||K|

=|G||N ||H ∩N ||H||N |

=|G||H||H ∩N | = a|H ∩N |

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5.2. Recıproca del teorema de Hall 5. Teoremas de P. Hall

Si probamos que H ∩N = 1, tenemos que |N∗| = a. Veremos que H ∩N = 1 en dos etapas:H ∩N ≤ Z(K) y Z(K) = 1.

1. Sea x ∈ H∩N . Entonces, todo k ∈ K = HQ es de la forma k = hs, para h ∈ H y s ∈ Q.Como x conmuta con h, porque H es abeliano, es suficiente mostrar que x conmutacon s. Pero (xsx−1)s−1 ∈ Q, porque x normaliza a Q (x ∈ N), y x(sx−1s−1) ∈ H,porque H es normal. Por lo tanto, xsx−1s−1 ∈ Q ∩H = 1. Ası, xs = sx, x ∈ Z(K) yH ∩N ≤ Z(K).

2. Como Z(K)CK, Z(K) car K, y por el Lema 4.2.3, Z(K)CG. Si Z(K) 6= 1, entoncescontiene un subgrupo minimal que debe ser un subgrupo minimal normal de G. Peroen ese caso, H ≤ Z(K), pues H es el unico subgrupo minimal de G. Como K = HQ,Q car K. Por Lema 4.2.3, QCG. Entonces, H ≤ Q (por ser minimal), y eso es absurdo(pues Q es un q-subgrupo de Sylow y H es un p-subgrupo de Sylow, con q 6= p). Porlo tanto, Z(K) = 1, H ∩N = 1 y |N∗| = a.

Conjugacion. Usaremos la notacion de la prueba de existencia. Recordemos que N∗ =NG(Q) tiene orden a. Sea A otro subgrupo de G de orden a. Como |AK| es divisiblepor a y por |K| = pmqn, tenemos que |AK| = aλ = pmqnµ, para algunos λ, µ ∈ Z.Entonces, pm divide a λ (pues p no divide a a), luego |AK| = apm = |G|. Por lo tanto,AK = G,

G

K=AK

K∼=

A

(A ∩K)

y |A∩K| = qn Por el teorema de Sylow, A∩K es conjugado de Q. Por la Proposicion5.1.2, N∗ = NG(Q) y NG(A∩K) son conjugados, y entonces a = |N∗| = |NG(A∩K)|.Como A∩KCA (por el segundo teorema del isomorfismo), tenemos que A ≤ NG(A∩K),y ası A = NG(A∩K) (pues ambos tienen orden a). Por lo tanto, A es conjugado a N∗.

♣

5.2. Recıproca del teorema de Hall

La siguiente definicion esta hecha en tributo a este teorema.

Definicion 5.2.1. Si G es un grupo finito, entonces un subgrupo H de G se dice que es unsubgrupo de Hall si su orden e ındice son primos relativos (i.e., (|H|, [G : H]) = 1).

Es conveniente, a veces, expresar los divisores primos del orden de un grupo. Si π esun conjunto de primos, entonces un π-numero es un entero n tal que los primos de sufactorizacion estan en π; el complemento de π se nota π′, y un π′-numero es un entero n talque ningun primo de su factorizacion esta en π.

Definicion 5.2.2. Si π es un conjunto de primos, entonces un grupo G es un π-grupo si elorden de cada uno de sus elementos es un π-numero. Un grupo es un π′-grupo si el orden decada uno de sus elementos es un π′-numero.

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5.2. Recıproca del teorema de Hall 5. Teoremas de P. Hall

Por supuesto que si a es un π-numero y b es un π′-numero, entonces son primos relativos.Si π consiste de un solo primo p, entonces los π-grupos son simplemente los p-grupos, mientrasque los p∗-grupos no tienen elementos de orden alguna potencia de p. Ası, por el teorema deSylow, todo p-subgrupo de Sylow en un grupo finito es un p-subgrupo de Hall. En efecto, siP es un p-subgrupo de Sylow de un grupo finito G, |P | = pn, pn||G| pero pn+1 no divide a|G|. Entonces, [G : P ] no tiene a p en su factorizacion, por lo que (|P |, [G : P ]) = 1.

El teorema de Hall dice que en grupos finitos solubles siempre existen π-subgrupos deHall. Sin embargo, a diferencia de los p-subgrupos de Sylow, los π-subgrupos de Hall (con|π| ≥ 2) de un grupo G no tienen por que existir.

Definicion 5.2.3. Si p es primo y G es un grupo finito de orden apn, donde a es un p′-numero, entonces un p-complemento de G es un subgrupo de orden a.

El teorema de Hall implica que un grupo finito soluble tiene un p-complemento paratodo primo p. Si G es un grupo de orden pmqn, entonces G tiene un p-complemento (unq-subgrupo de Sylow) y tiene un q-complemento (un p-subgrupo de Sylow).

Lema 5.2.4. Si H y K son subgrupos de un grupo G tal que ([G : H], [G : K]) = 1, entonces

1. [G : H ∩K] = [G : H][G : K]

2. G = HK

Demostracion. Llamemos g = |G|, m = [G : H], n = [G : K] y a = |H ∩ K|. Entonces,existen enteros positivos h, k tales que |H| = ah y |K| = ak (pues H ∩ K es un subgrupode H y de K). Ası, g = ahm = akn, lo que implica que hm = kn. Como (m,n) = 1, ndivide a h y m divide a k, por lo que h = nr y k = mj, para algunos enteros j, r. Peroeso significa que nrm = mjn, y entonces r = j. Ası, g = amnr. Por otro lado, g = |G| ≥|HK| = |H||K||H ∩K|−1 = amnr2. Esto fuerza a que r = 1, y entonces |HK| = amn = g.Luego, HK = G. Tambien, por Lagrange, [G : H ∩K] = mn = [G : H][G : K]. ♣

El siguiente resultado (debido a Burnside) escapa a los alcances de este trabajo, por loque solamente lo enunciamos: “Si p y q son primos, entonces todo grupo de orden pmqn essoluble.”

Teorema 5.2.5. Sea G un grupo finito. Si G tiene tres subgrupos solubles cuyos ındices sondos a dos coprimos, entonces G es soluble.

Demostracion. Sean los subgrupos H1, H2, H3. Si H1 = 1, entonces |G| = [G : H1], y como([G : H1], [G : H2]) = 1, tenemos que [G : H2] = 1 y H2 = G es soluble. Ası, podemosasumir que H1 6= 1. Sea M un subgrupo normal minimal de H1. Como H1 es soluble, Mes un p-grupo elemental abeliano, para algun primo p. Ahora bien, p no puede dividir a losındices de H2 y H3, por lo que asumamos que no divide a [G : H2]. Luego, p divide a |H2|,y H2 contiene un p-subgrupo de Sylow no trivial, digamos P , que tambien es un p-subgrupode Sylow de G. Sea P1 un p-subgrupo de Sylow de H1. Entonces, P1 ⊂ P x, para algunx ∈ G. Podemos reemplazar H2 por Hx

2 sin afectar la hipotesis. Ası, P1 ⊂ P y M ⊂ P , puesMCH1. Entonces, M ⊂ H1∩H2. Por el Lema 5.2.4, G = H1H2, y cada x ∈ G es de la formax = x1x2, xi ∈ Hi. Luego, Mx = Mx2 ⊂ H2 (pues M CH1). Ası, H2 contiene a la clausura

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6.1. Preliminares 6. Apendice: El grupo alternado

normal de M en G. Como H2 es soluble, K es soluble. Por lo tanto, los subgrupos KHi/Kde G/K estan en las hipotesis del teorema. Por induccion, G/K es soluble, y entonces G essoluble. ♣

Teorema 5.2.6 (P. Hall, 1937). Si G es un grupo finito con un p-complemento para todoprimo p, entonces G es soluble.

Demostracion. Sea G = pα11 . . . pαn

n , con pi 6= pj si i 6= j. Podemos suponer que n > 2, yaque si n = 1, G es un p1-grupo y ası es soluble; y si n = 2, el Teorema de Burnside garantizaque G es soluble. Sea Hi un pi-complemento de G, para 1 ≤ i ≤ n, que existe por hipotesis.Como [G : Hi] = pαi

i , basta mostrar que cada Hi es soluble. Ası, el resultado se desprendedel teorema anterior. La demostracion es por induccion en el orden de G. Por el Lema 5.2.4,H1 ∩Hj es un π-subgrupo de Hall de G, con π = π(G)− {p1, pj}. Luego, H1 ∩Hj es un pjcomplemento de H1, para 2 ≤ j ≤ n. Por hipotesis inductiva, H1 es soluble. De la mismamanera, se prueba que cada Hi es soluble, lo que demuestra el teorema. ♣

6. Apendice: El grupo alternado

En esta parte demostraremos un resultado que nombramos al pasar y que merece un pocomas de detalle. Veremos que en la mayorıa de los casos (cuando n ≥ 5) el grupo alternadoAn es simple.

6.1. Preliminares

Definicion 6.1.1. Si X es un conjunto, entonces el conjunto SX = {f : X −→ X biyectivas}es un grupo bajo la composicion de funciones, llamado grupo simetrico de X o grupo depermutaciones de X.

Cuando X = {1, 2, . . . , n}, anotamos Sn en vez de SX .

Definicion 6.1.2. Un elemento i ∈ X = {1, 2, . . . , n} es fijado por α ∈ Sn si α(i) = i.Decimos que α ∈ Sn es un r-ciclo si existen r enteros i1, . . . , ir ∈ X tales que

α(i1) = i2 α(i2) = i3 . . . α(ir−1) = ir α(ir) = i1

y tal que α fija a los demas i ∈ X. El r-ciclo α es anotado (i1, i2, . . . , ir). Un 2-ciclo esllamado transposicion.

Dos ciclos α = (i1, . . . , ir) y β = (j1, . . . , js) son disjuntos si

{i1, . . . , ir} ∩ {j1, . . . , js} = φ

Lema 6.1.3. Ciclos disjuntos conmutan.

Teorema 6.1.4. Todo α ∈ Sn, α 6= e, puede ser escrito de forma unica (salvo el orden)como producto de ciclos disjuntos de longitud ≥ 2.

Corolario 6.1.5. Todo α ∈ Sn es producto de transposiciones.

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6.2. Simplicidad del grupo alternado 6. Apendice: El grupo alternado

Proposicion 6.1.6. El numero de transposiciones en una factorizacion de una permutacioncomo producto de transposiciones es siempre par o siempre impar.

Definicion 6.1.7. Una permutacion α ∈ Sn es par si α puede escribirse como productode un numero par de transposiciones. α es impar si puede escribirse como producto de unnumero impar de transposiciones. Definimos el signo de α, notado sgn(α), como

sgn(α) =

{1 si α es par

−1 si α es impar

La proposicion anterior muestra que una permutacion no puede ser al mismo tiempo pare impar, por lo que sgn : Sn −→ {1,−1} esta bien definida. Mas aun, es un morfismo degrupos. El kernel de sgn, i.e., el conjunto de permutaciones pares, es un subgrupo normal deSn, llamado grupo alternado y notado An.

Definicion 6.1.8. Decimos que dos permutaciones α y β tienen la misma estructura deciclos si sus factorizaciones en ciclos disjuntos tienen el mismo numero de r-ciclos para cadar.

Proposicion 6.1.9.

1. Si α ∈ Sn y β = (i1, . . . , ir) es un r-ciclo, entonces αβα−1 es el r-ciclo (α(i1), . . . , α(ir)).

2. Cualesquiera dos r-ciclos en Sn son conjugados.

Corolario 6.1.10. Dos permutaciones α, β ∈ Sn son conjugadas sii tienen la misma estruc-tura de ciclos.

6.2. Simplicidad del grupo alternado

Proposicion 6.2.1. Sea G un grupo y N ⊂ G un subgrupo. Entonces, N es normal sii Nes union de clases de conjugacion.

Demostracion. Supongamos que N es normal. Si x ∈ N esta en una clase de conjugacion C,entonces C ⊂ N , porque todo conjugado de x esta en N (por ser N normal). Ası, N es launion de las clases de conjugacion a donde pertenecen sus elementos.

Recıprocamente, supongamos que N es union de clases de conjugacion y tomemos x ∈ N .Entonces, x esta en alguna clase de conjugacion de las que forman a N . Pero entoncescualquier conjugado de x esta en N . ♣

Proposicion 6.2.2. Si σ es un k-ciclo de Sk y ρ conmuta con σ, entonces ρ es una potenciade σ.

Demostracion. Si τσ = στ , entonces

(a1, . . . , ak) = σ = σττ−1 = τστ−1 = (τ(a1), . . . , τ(ak))

Pero entonces existe i, 0 ≤ i < k, tal que

(τ(a1), . . . , τ(ak)) = (a1, . . . , ak) = (ai+1, . . . , ak, a1, . . . , ai)

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Luego, τ(a1) = ai+1 y τ(ak) = ai. Consideremos σi:

σi = (a1, ai+1, . . . , ak, ai, . . .)

Ası, σi y τ deben ser el mismo k-ciclo. ♣

Ahora analicemos que pasa con la conjugacion en el caso de A5 ≤ S5. El problema quese presenta es que dos elementos ρ, ρ′ ∈ A5 pueden ser conjugados en S5 sin serlo en A5. Enefecto, si φρφ−1 = ρ′ con φ ∈ S5, nada nos garantiza que uno pueda elegir esa φ para que seauna permutacion par. Si uno no puede, veremos que la clase de conjugacion en S5 se divideen dos clases en A5.

Los elementos de A5 (las permutaciones pares de S5) pueden clasificarse de la siguienteforma:

1. La identidad.

2. El producto de dos ciclos disjuntos, con (1, 2)(3, 4) como ejemplo. Hay 15 permuta-ciones de este tipo, pues el numero que falta (el punto fijo) puede ser elegido de 5maneras distintas, y el resto se puede dividir en pares de 3 maneras distintas. Estaspermutaciones son todas conjugadas en A5.

Asumamos que ρ es conjugado a (1, 2)(3, 4) en S5, i.e., ρ = φ ◦ (1, 2)(3, 4) ◦ φ−1. Si φes par, todo piola. Si no, reemplazamos φ por φ ◦ (1, 2). Esto es par, y entonces

φ ◦ (1, 2)(1, 2)(3, 4)(1, 2) ◦ φ−1 = φ ◦ (1, 2)(3, 4) ◦ φ−1 = ρ

Ası, ρ pertenece a la clase de conjugacion de (1, 2)(3, 4) en A5.

3. Los 3-ciclos, con (1, 2, 3) como ejemplo. Hay 20 elementos, puesto que hay(52

)= 10

maneras de elegir los 3 elementos del ciclo, y cada una puede ser ordenada de dosformas distintas. Estas permutaciones son todas conjugadas en A5. Es analogo al casoanterior, reemplazando φ por φ ◦ (4, 5).

4. Los 5-ciclos, con (1, 2, 3, 4, 5) como ejemplo. Hay 4! = 24 permutaciones de ese tipo,pues podemos asumir que arrancamos siempre con un 1. Esta S5-clase se divide endos A5-clases, cada una con 12 elementos. En efecto, por la Proposicion 6.2.2, todapermutacion que conmute con σ = (1, 2, 3, 4, 5) es una potencia de σ, y por lo tanto espar. La clase de S5 se divide en dos subconjuntos:

P = {ρσρ−1 | ρ par} I = {ρσρ−1 | ρ impar}

Es claro que si uno toma dos elementos en uno de los dos conjuntos, entonces sonconjugados en A5: Si tomamos ρσρ−1, τστ−1 ∈ I, entonces

(τρ−1)ρσρ−1(ρτ−1) = τστ−1

y τρ−1 ∈ A5. Por otro lado, no hay “conjugacion cruzada” entre ellos en A5. En efecto,si ρσρ−1 = α(φσφ−1)α−1, con ρ par y φ impar y α par, entonces φ−1α−1ρ es impar yconmuta con σ, lo que es imposible por la Proposicion 6.2.2. Por lo tanto, P e I sonclases de conjugacion diferentes en A5.

Ademas, los conjuntos P e I tienen el mismo numero de elementos, porque si α es unapermutacion impar, entonces la conjugacion por α manda a P en I, y viceversa.

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Teorema 6.2.3. A5 no es un grupo simple.

Demostracion. Supongamos que N ⊂ A5 es un subgrupo normal. La idea es contar el posiblenumero de elementos de N de dos maneras distintas (usando el teorema de Lagrange y usandola Proposicion 6.2.1) y ver que no encajan.

Por Lagrange, el orden del supuesto subgrupo normal N debe dividir al orden de A5.Como |A5| = 4 · 3 · 5 = 60, la lista de posibles ordenes es

2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30

Por otro lado, la proposicion anterior nos dice que N es union de clases de conjugacion, y suorden debe ser igual a la suma de los cardinales de las clases. Los ordenes de las cinco clasesde conjugacion de A5 los calculamos arriba:

1, 12, 12, 15, 20

Las pocas combinaciones de esos numeros cuya suma no es mayor a 30 son

1 1 + 12 + 12

1 + 12 1 + 12 + 15

1 + 15 1 + 20

El problema es que no hay ninguna coincidencia entre los posilbes ordenes de las dos listas.Por lo tanto, no existe tal subgrupo normal N , y A5 es simple. ♣

Para el caso general necesitamos dos lemas mas.

Lema 6.2.4. Si ningun elemento no trivial de un subgrupo N ⊂ An tiene un punto fijo,entonces N tiene menos de n elementos.

Demostracion. Si N tuviese mas de n elementos, la aplicacion N −→ In que manda φ 7→ φ(1)no serıa inyectiva. Entonces, existirıan dos diferentes permutaciones en N con φ(1) = φ′(1).Pero entonces φ−1φ′ fijarıa a 1, y φ = φ′, ya que no hay elementos no triviales en N conpuntos fijos. ♣

Lema 6.2.5. Si n ≥ 5, entonces ninguna clase de conjugacion de An tiene menos que nelementos.

Demostracion. Sea C una clase de conjugacion. Si C contiene un n-ciclo o un (n− 1)-ciclo,entonces tiene al menos 1

2(n − 2)! elementos, que es claramente mas grande que n cuando

n ≥ 5. Si no, los elementos de C son productos de ciclos disjuntos de longitud menor o igualque n − 2. Hacemos induccion y concluimos que C contiene al menos (n − k)k elementos,donde k ≥ 2. ♣

Teorema 6.2.6. El grupo alternado An es simple si n ≥ 5.

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Demostracion. Aplicamos induccion en n. El caso base ya lo cubrimos en el teorema anterior.Asumamos que N ⊂ An es un subgrupo normal, no trivial y propio. Veremos que eso llevaa una contradiccion. Como es usual, anotamos In = {1, 2, . . . , n}.

Para cualquier a ∈ In, el subgrupo Ga de An, que consiste de todas las permutacionesque fijan a a, es isomorfo a An−1. Ademas, son todos conjugados: si φ fija a a, entonces(c, d)(a, b) ◦φ ◦ (a, b)(c, d) fija a b, donde (a, b) y (c, d) son disjuntos (parece irrelevante, pero(c, d) tiene que estar para hacer que la permutacion por la que conjugamos sea par).

Como N C An, las intersecciones N ∩ Ga son normales en Ga, y por induccion o bienson todos iguales a Ga, en cuyo caso N = An (pues por el Teorema 6.1.4, todo elementode An puede escribirse como producto de ciclos disjuntos, y cada ciclo esta en algun Ga yGa ⊂ N∀a), o bien son todos triviales. En este ultimo caso, ninguna permutacion no trivialen N tiene un punto fijo. Entonces, por el Lema 6.2.4, N tiene menos que n elementos.Pero por el Lema 6.2.5, ninguna clase de conjugacion de An tiene menos que n elementos,y esto contradice que N es la union de las clases de conjugacion de sus elementos (pues esnormal). ♣

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Referencias

[1] Adkins, W y Weintraub S. H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory,Springer-Verlag, New York.

[2] Bezerra dos Santos, R. (2010), O Teorema de P. Hall, Universidade Federal de MinasGerais, Belo Horizonte.

[3] Cohn, P. M. (2003), Further Algebra and Applications, Springer-Verlag, London.

[4] Haugnæss S. Z. y Lindstrøm P. (2013), Most alternating groups are simple, Universiteteti Oslo, Oslo.

[5] Rotman J. J. (1995), An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, NewYork.

[6] Rotman J. J. (2003), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall.

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