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Teoremas geometricos

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TEOREMAS SOBRE GEOMETRÌA

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  • 1. TEOREMAS GEOMTRICOS THALES DE MILETO Naci alrededor del ao 640 a.C. en Mileto, Asia Menor (ahora Turqua). Falleci alrededor del ao 560 a.C. en Mileto, Asia Menor (ahora Turqua). Thales era un hombre esencialmente prctico: comerciante, hbil en ingeniera, astrnomo, gemetra, estadista. Se le incluye por tradicin entre los Siete Sabios. Como comerciante se cuenta de l que en un ao, previniendo una gran produccin de aceitunas, monopoliz todos los lagares para elaborar el aceite, con lo cual obtuvo una esplndida ganancia. Como lo que ahora llamaramos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidrulicas y se dice que desvi el curso del ro Halis mediante la construccin de diques. Como astrnomo fue ms clebre, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, como as mismo se cree que descubri la constelacin de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol. Tambin se cree que conoci la carrera del sol de un trpico a otro. Explic los eclipses de sol y de luna. Finalmente crea que el ao tena 365 das. A Thales se le atribuyen 5 teoremas de la geometra elemental: Los ngulos de la base de un tringulo issceles son iguales. Un crculo es bisectado por algn dimetro. Los ngulos entre dos lneas rectas que se cortan son iguales. Dos tringulos son congruentes si tienen dos ngulos y un lado igual. Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Thales busca el fundamento natural de las cosas y cree, al respecto, que el principio originario, la sustancia primordial de todas las cosas, es el agua. Su busto se exhibe en el museo del capitolio en Roma, pero no es el contemporneo de Thales.

2. SEMEJANZA DE TRINGULOS Al construir dos tringulos que tengan dos ngulos correspondientes congruentes, se puede concluir: El ngulo C correspondiente a cada uno de los tringulos es congruente con los otros dos, porque por definicin se sabe que los ngulos internos de cualquier tringulo suman 180. La medida de los lados de uno de los tringulos resulta ser proporcional a la medida de los lados correspondientes del otro tringulo. Es decir: Los ngulos C y C cada uno es igual a 95 El lado AB es proporcional al lado AB. El lado BC es proporcional al lado BC. El lado CA es proporcional al lado CA. Luego se puede afirmar que los dos tringulos son semejantes. Las anteriores conclusiones se pueden enunciar mediante la siguiente regla: Semejanza ngulo-ngulo (A-A) Si dos ngulos de un tringulo son congruentes con dos ngulos de otro tringulo, los tringulos son semejantes. Ahora observa la figura: 3. Esta figura la conforma dos tringulos: ABC y DEC, donde el ngulo C es comn a los dos tringulos, y se puede establecer la siguiente semejanza: Semejanza lado-ngulo-lado (L-A-L) Si dos lados de un tringulo son proporcionales a los lados correspondientes de otro tringulo y el ngulo comprendido entre estos dos lados es congruente, se puede afirmar que los dos tringulos son semejantes. Si se vuelve a la figura anterior: 4. Semejanza lado-lado-lado ( L-L-L ) Si los lados correspondientes de dos tringulos son proporcionales, entonces los tringulos son semejantes. 5. Dado el tringulo de la figura, encuentra los valores de x, y y z. De la figura se extraen los siguientes datos: AB = 8 cm, DA = 4,5 cm CA = 9 cm CB = 10 cm CD = 4,5 cm Se sabe tambin que: CE = y EB = z DE = x Se pueden establecer las siguientes relaciones teniendo en cuenta las semejanzas estudiadas: Como el, 6. Entonces: CA/CD = CB/CE = AB/DE Reemplazando valores conocidos en: CA/CD = AB/DE tenemos: Para hallar el valor de y: AB/DE= CB/CE, entonces: Ahora para hallar el valor de z: AB/DE = CB/EB, entonces: 7. Dado el tringulo de la figura, encuentra los valores de x, y , z. Respuesta: x = 8 cm, y = 5 cm, z = 5 cm TEOREMA DE THALES El teorema de Thales enuncia que si varias rectas paralelas entre s, cortan a dos rectas transversales, se forman en ellas segmentos correspondientes y proporcionales. Sea la figura: 8. Entonces de acuerdo con el teorema de Thales se puede decir que el segmento de recta EC es proporcional al segmento CA, como el segmento FD es proporcional al segmento DB. Lo anterior se puede resumir de la manera siguiente: 9. TEOREMA DE LA BISECTRIZ La bisectriz de un ngulo interior de un tringulo, divide respectivamente al lado opuesto en partes que son proporcionales a los otros dos lados. De acuerdo con el teorema de la bisectriz se puede decir que el segmento de recta AD es proporcional al segmento DB, como el segmento AC es proporcional al segmento CB. Lo anterior se puede resumir en la siguiente forma: 10. TEOREMA DE PITGORAS Para todo tringulo rectngulo (tringulo con un ngulo de 90) el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Sea el tringulo rectngulo de la figura: Hipotenusa = 5 unidades Cateto a = 4 unidades Cateto b = 3 unidades Con reas de: 5 unidades cuadradas 4 unidades cuadradas 3 unidades cuadradas, respectivamente. Se puede concluir que el rea del cuadrado que est sobre la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de las reas que estn sobre los catetos. 11. De esta forma es posible establecer la relacin que hay entre los cuadrados de los lados del tringulo rectngulo, que es la demostracin del teorema de Pitgoras. Teorema general En todo tringulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicados por el coseno del ngulo formado por ellos. Este enunciado es conocido como teorema del coseno, y para cada uno de los lados del tringulo se tiene: Teorema del seno El teorema del seno expresa que en todo tringulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de sus ngulos opuestos. Tambin es bueno recordar: La suma de los ngulos interiores de todo tringulo es igual a 180. En todo tringulo el lado mayor se opone al ngulo mayor y viceversa. 12. El enunciado del teorema del seno se puede expresar mediante la siguiente frmula: 8.5 TEOREMA DE EUCLIDES Euclides Floreci hacia el 300 a.C en Alejandra, y es junto con Arqumedes y Polonio, posterior a l, uno de los tres mayores matemticos de la antigedad, y tambin uno de los mayores de todos los tiempos. El nombre de Euclides est indisolublemente ligado a la geometra, al escribir su famosa obra Los elementos, prototipo en esta rama de las matemticas. El nico teorema que la tradicin asigna definitivamente a Euclides es el teorema de Pitgoras. Aunque la mayora de los tratados versan sobre geometra, tambin prest atencin a problemas de proporciones y a lo que hoy conocemos como teora de nmeros. Primer teorema de Euclides 13. "En un tringulo rectngulo el cuadrado de uno de sus catetos es igual al rectngulo que tiene por lados la hipotenusa y la proyeccin del mismo cateto en la hipotenusa". De lo anterior tambin se puede deducir que "los cuadrados de los catetos de un tringulo rectngulo son proporcionales a las proyecciones de los respectivos catetos en la hipotenusa" Segundo teorema de Euclides "En un tringulo rectngulo (que tiene un ngulo recto) el cuadrado de su altura es igual al rectngulo que tiene por lados las proyecciones de los catetos en la hipotenusa". 14. Hallar el rea de un cuadrado que est sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos miden: a = 40 cm y b = 15 cm respectivamente. 15. En la figura se tiene que el segmento de recta BC es paralelo a DE y adems se conoce que AB = 2m, BE = 3 m y BC = 4m. Hallar la altura del rbol. Respuesta: 6m