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Teoremas energeticos

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mecanica

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Resumen de los teoremas energticos fundamentales del anlisis estructural

Introduccin Celosa plana. Isosttica (cualquier tipo)o hiperesttica. Fuerzas slo aplicadas en los nudos Pi Deformaciones en la direccin de las fuerzas i

P32P2NiP11

PiNjFuerzas interiores en las barras Nj En equilibrio con las exteriores Pi

2Resumen del comportamiento de la barra articulada

NN00

00

Esfuerzo interior: fuerza axial N

NATensin axial:

LLDeformacin unitaria constante

Ecuacin constitutiva Relacin entre la tensin y la deformacin unitaria

Material elstico: La tensin depende slo de la en ese instante, no de su historia. Proceso de carga y descarga porla misma lnea (curva). Material

siempre en un punto de la lnea.

Material lineal. Ecuacin constitutiva es una lnea recta.

E

Material lineal con temperatura

=E(-EDeformaciones iniciales trmicas

0T0) Relacin tensin deformacinunitaria

E0ET

Deformacin unitaria total: suma de deformacin unitaria trmica T y la debida a la tensin /E

0/ E

Densidad de energa de deformacin (I)

)d0Se define como:U0(

Con la condicin de que sea funcin slo del estado final de deformacin unitaria (independiente del camino). Es decir U0() Existe si el material es elstico (lineal o no) Energa elstica por unidad de volumen Representa el trabajo (por unidad de volumen) efectuado por las tensiones (fuerzas interiores) al deformarse el slido. U0U0Trabajo interno unitario

ddU 0ddU0

Densidad de energa de deformacin (II)

U0Material lineal, sin temperatura:

dEd001 E2212U0

U0CDABMaterial lineal, con temperatura

dE0)d001 E220EU0

ABCOABD

Energa de deformacin elstica (I)

U 0dvvEnerga total acumulada en el slido:U

1 E220EAdxvEn una barra:Ub

L 1 EA02L22L0EA LLdx LLSustituyendoUb

Barra de propiedades uniformes:

1 EA2L2LEA0L1 k2A2LE ATLUb

Energa de deformacin elstica (II)Barra de propiedades uniformes:

NCOkALDAB1 k22ALE ATLUb

LL

1 k22ALkALUb

ABCOABD

EALT LkA

Energa de deformacin elstica (III)

1 E220EAdxvEn funcin del esfuerzo axial N:Ub

0/ E0N / EASustituyendo

1LEAL22 EAN 202NCOkALBDAUb

UbN 22E A2L2

LEABDCOAB

Flexibilidad axial

Variacin de la energa de deformacin elstica Se aplica una variacin virtual a los desplazamientos ,manteniendo fijas las fuerzas P (y por lo tanto las N y ) U0U0La produce una variacin de las deformaciones unitarias La energa sufre una variacin

U0dd

Para una barra:

UbU0dvALv

UjAjjLjj1,bLa celosa:Vlido tambin en no lineal

Frmula de Clapeyron PWTrabajo efectuado por las fuerzas exteriores en un sistema lineal.

12PiiW

Conservacin de la energa: Trabajo de las fuerzas = energa elstica acumulada

12PiiUW

Poco til. Si conocemos U, podemos hallar una . B. Clapeyron (Lam, 1852)

Principio del Trabajo Virtual (1) Se aplica una variacin virtual a las deformaciones Manteniendo las fuerzas ext. P constantes: N y constantes

iiWiPdiiPiii33P32P2P111

PWWTrabajo virtual de todas las fuerzas exteriores:

WPiii1,n

Principio del Trabajo Virtual (2) La produce una variacin en el alargamiento de las barras L Fuerzas exteriores constantes se mantiene constante el axial N Trabajo Virtual efectuado por el esfuerzo en una barra N:

LjLjWjNdjLjNjLjLj

LN

NWWLL

s

Principio del Trabajo Virtual (3) Trabajo Virtual de todos los esfuerzos interiores N

W NNjLjj1,b33P3NLL11P1NWWLL

WWNAmbos trabajos son iguales (equilibrio):

Principio del Trabajo Virtual (y 4)

WPii

NjLj

AjjjLj

ijj

Variacin de U

LLLLSustituyendoNA

WPiiNjLjUi1,nj1,b

PWWU0U0Condicin necesaria. Tambin suficiente

Primer Teorema de Castigliano (1)Estructura elstica. Fuerzas y momentos puntuales P. Deformaciones y giros en la direccin de las cargas .

P32P2P11P2

21P1

Energa elstica en funcin de las deformaciones U(i)

WPiiUi1,nPrincipio del Trabajo Virtual:

U (i )i1,nUiiLa variacin de U es:

Primer Teorema de Castigliano (y 2)

WPiiUi1,nUiii1,nPor lo tanto:

La variacin de las i es arbitraria:

2P3U=kAL/2

PiUii1, n2P2

L

kA2L/2 kALUbP11

Primer Teorema de C. A. Castigliano (1879) Fundamento del mtodo de rigidez. Requiere conocer U(i).Relacionar con L

1847-1884

Densidad de energa de deformacin complementaria (I)

)d0Se define como:

0U *(

Con la condicin de que sea funcin slo del estado final

*de tensiones (independiente del camino). Es decir U0 () Existe si el material es elstico (lineal o no) Energa elstica complementaria por unidad de volumen U*0U*0Representa el trabajo complementario (por unidad de volumen) efectuado por las deformaciones al tensionarse el slido.

Densidad de energa de deformacin complementaria (II)

Material lineal, sin temperaturas:

E

2dd00E2E12U0U0*U*0

Material lineal, con temperatura

U0*EE0

2d0d00E2E0U* 0

Energa de deformacin complementaria (I)

Energa complementaria total acumulada en el slido:

U *

En una barra

U *dv

0vN A

22

U *

Adx

NNAdx

b2E0

2EA20 A

LL

dx2EAN 2TNdxLLU *b

dxLLEnerga de deformacin complementaria (II)

Propiedades uniformes:

U *b 2 E AN 2 LT LNN 22N

1/LN

LEAFlexibilidad axial

T LAlargamiento inicial

Variacin de la energa de deformacin complementaria Se aplica una variacin virtual a las fuerzas P, manteniendo fijos los desplazamientos (y por lo tanto las )

La P produce una variacin de los esfuerzos Ny de las tensiones La energa complementaria sufre una variacin:

U *0dd

U0*

U *bU *dv0AdxbLEn una barra:

U *bA L

Para toda la celosa (propiedades uniformes) Energa complementaria:

N 2jjLj TjLj NjN 2jjj1,b2 Ej Ajj1,bj1,b2jNjj1,bU *

jj TjLjLjjE AjjFlexibilidad axialAlargamiento inicial

Variacin de la energa complementaria:

U *U *jjjjjA Lj1,bj1,b

Principio del Trabajo VirtualComplementario (0)

Definicin previa: Trabajo complementario de una fuerza:P

PdP012PW *W*

Trabajo complementario virtual de una fuerza: Se vara la fuerza P

PPW *dPPPDeformacin constante

W*P

W*P

Principio del Trabajo VirtualComplementario (1)

Se aplica una variacin virtual de las fuerzas P. Produce N y Manteniendo las deformaciones constantes: constantes

3P3P3P2P2PW*PW*P1P11

W *iPii1,nTrabajo virtual complementariode las fuerzas exteriores P:

Principio del Trabajo Virtual Complementario (2) La P produce una variacin en el axial de las barras N Se mantienen constante la deformacin y el alargamiento L Trabajo virtual comp. efectuado por el esfuerzo en una barra

NjNjNjNjW N *jLjdNjLjdNjLjNjNjNj

NN

W*N

W*NL

27

Principio del Trabajo Virtual Complementario (3) Trabajo virtual compl. de todos los esfuerzos interiores N

W N *LjNjj 1,b

3P3P3LP11P1W*N

W*NL

W *WN *Ambos trabajos virtuales son iguales (equilibrio)

28Teoremas energticos - Aplicacin a celosasPrincipio del Trabajo Virtual Complementario (y 4)

29Teoremas energticos - Aplicacin a celosasW *PWN *

NL A

iiLjjjjjj

NAijj

SustituyendoLL

Variacin de U*

W *iPijjjL AjU *i1,nj1,b

PW*PW*

Condicin necesaria. Tambin suficiente

U0*U*0

Segundo Teorema de Castigliano (1)Estructura elstica. Fuerzas y momentos puntuales P. Deformaciones y giros en la direccin de las cargas .

P32P2P11P2

21P1

Energa elstica complementaria en funcin de las fuerzas

iU *(P )

Principio del Trabajo Virtual Compl.:W *

**U

*

PUiii1,n

La variacin de U* es:U

Pii1,nPi

Segundo Teorema de Castigliano (2)

W *iPii1,nU *PiPii1,nPor lo tanto:

La variacin de las Pi es arbitraria, luego

U *iPi1, ni

P32P2TP11U*=N2/2+NN 2/2 NU*b

Teorema de Crotti (1888) - Engesser (1889) Fundamento de: mtodo de flexibilidad y clculo de i Requiere conocer U(Pi)Relacionar Nj con Pi

Segundo Teorema de Castigliano (Por fin)

U *Si no hay temperaturasU

UiPi1, ni

U=N2/2P32P2P11N 2/2 Ub

Segundo Teorema de C. A. Castigliano (1879) Fundamento del mtodo de flexibilidad. Permite el clculo de i Requiere conocer U(Pi)Relacionar Nj con Pi

2 Teorema de Engesser (I) Celosa elstica. Se aplica variacin de las cargas: Fuerzas exteriores P: todas constantes Esfuerzos axiales N: todos constantes salvo una de las barras (j) Esfuerzo Nj. Se aplica variacin Nj Dos fuerzas iguales y de sentido contrario. Cumple el equilibrio (!) Deformacin: en la direccin del esfuerzo A, perpendicular al esfuerzo t.

tANNjjNj

Nj

2 Teorema de Engesser (II)

tANjNjTrabajo virtual complementario. Slo debido a la A

W *( N )jA(N )jA0

W *0U *P. T. V. complementario:

Nj

Nj

Si somos capaces de expresar U* en funcin de la Nj (fcil)

U * U *NNj0j

2 Teorema de Engesser (III)

La Nj es cualquiera:

U *Nj0Nj

Segundo Teorema de F. EngesserMuy til para establecer condiciones de compatibilidad de deformacionesGeneralizacin:Vlido con cualquier esfuerzo interior (Flector, Cortante)

U *M0U *Q0QMtQ

1848-1931

M

Teorema de MnabraSi no hay temperaturas:

UN0Njj

Enunciado en 1858 para celosas hiperestticas por L. F. Mnabra

1809-1896

Teorema del trabajo recproco (Betty Rayleigh)

Sistema A + Sistema B

W A,B

21 PAAA21 PBBBPABASistema B + Sistema A

Trabajos iguales:

W B,A

BAPBAB21 PBBB21 PAAAPBABPA

Sistema AA

PAAAB

Sistema BB

PBBAB

Teorema de la deformacin recproca (Maxwell - 1864)

Sistemas A y B con fuerzas unidad

BAAB

Sistema AA

1B

Sistema B

1BA

AB1AB

B1A

Expresiones de la energa elstica complementaria

L dx2EAN 2T NdxmLN 22NUNU*bAxial N:*

L dx2EIM 2T MdxgLTSTIhUMMFlector M:*Tg

L dx2GA 'Q2Q UQCortante Q:*

M 2TL2GJdxU*Torsor MT:T