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2013 Christiam Huertas www.xhuertas.blogspot.com 24/02/2013 Teoremas sobre ecuaciones polinomiales

Teoremas sobre ecuaciones

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  • 1. 2013Teoremas sobre ecuaciones polinomiales Christiam Huertas www.xhuertas.blogspot.com 24/02/2013

2. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES MathemaIntroduccinLa bsqueda de frmulas que permitan hallar las races de los polinomios fue unproblema central del lgebra durante siglos.Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia (1499-1557), Cardano (1501-1576)mostraron como resolver ecuaciones de tercer grado, y Ferrari (1522-1565) encontrun mtodo para calcular las races de las ecuaciones de cuarto grado del FerroTartagliaCardano FerrariProf.: Christiam Huertas 2 3. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES MathemaEl objetivo del lgebra clsica es expresar las races de la ecuacin de gradoen trminos de los coeficientes que pertenecen a un cuerpo .La resolucin de ecuaciones polinomiales es un tema que ha sido muy estudiado alo largo de los aos a causa de las distintas aplicaciones, provenientes de diversasreas de la ciencia y de la tecnologa, en las que este tipo de ecuaciones aparecen.Ordenador cunticoProf.: Christiam Huertas 3 4. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES MathemaEcuacin polinomial de grado superior Forma general dondey . Ejemplos Para resolver estas ecuaciones generalmente se utiliza las tcnicas de factorizacin sobre ; aunque a veces no es muy sencillo.Prof.: Christiam Huertas 4 5. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema Ejemplo 1. Resuelva la ecuacin polinomial. Solucin Factorizamos la ecuacin y obtenemos ( )( ) son las soluciones de la ecuacin { } Prof.: Christiam Huertas 5 6. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo 2. Resuelva la ecuacin polinomial. Solucin Factorizamos la ecuacin por el mtodo de aspa doble especial. Aplicamos la frmula general{ }Prof.: Christiam Huertas 6 7. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Teorema fundamental del lgebraToda ecuacin polinomial de grado , con coeficientes complejos, posee al menos una raz compleja. Por ejemplo, la ecuacin posee al menos una raz. Gauss en su disertacin doctoral (1799) dio la primera demostracin rigurosa del Teorema Fundamental del lgebra. DAlembert haba tratado de dar una demostracin en 1746. Gauss dio dos demostraciones ms. En la tercera prueba (1816) uso integrales complejas y mostro la gran maestra de Gauss en la teora de los nmeros complejos.Prof.: Christiam Huertas 7 8. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema Corolario Toda ecuacin polinomial de gradocon coeficientes complejos, tiene exactamenteraces contadas cada una de ellas segn lo indique su multiplicidad. Ejemplos Tiene exactamente 3 races. Tiene exactamente 4 races. Tiene exactamente 5 races. Tiene exactamente 12 races. Observacin. Si la ecuacin polinomial tiene races ; entonces, la ecuacin se puede expresar como: Prof.: Christiam Huertas 8 9. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema La ecuacin de tercer grado: frmula de Cardano-Tartaglia El matemtico italiano Scipione del Ferro (1465- 1526) resolvi la ecuacin general de grado 3, pero sus descubrimientos no fueron publicados. Otro matemtico italiano, Tartaglia (1499-1557), encontr un mtodo para resolver cualquier ecuacin cbica de la forma y sus resultados fueron publicados por Cardano (1501-1576) en su obra Ars Magna. La frmula se deduce de la siguiente manera. En primer lugar la ecuacin cubica se puede llevar a una de la forma Prof.: Christiam Huertas 9 10. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema mediante la sustitucin La sustitucin anterior se llama de Tchirnhausen. Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (o Tschirnhausen) (1651-1708) fue un matemtico, fsico, mdico y filsofo alemn. Es bien conocida la transformacin de Tschirnhaus, mediante la cual eliminaba ciertos trminos intermedios de una ecuacin algebraica dada; fue publicada en su Acta Eruditorum en 1683. Por ejemplo, para la ecuacin Hacemos el cambio de variable:de donde, Al reemplazar obtenemos:. Prof.: Christiam Huertas 10 11. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema Es decir; vamos a resolver la ecuacin Seay reemplacemos en la ecuacin Esto es, Supongamos que las incgnitas y satisfacen adems la ecuacin. Nuestro problema se reduce a encontrary tales que { Como se conocey, sabemos queyson las races de la ecuacin cuadrtica Prof.: Christiam Huertas 11 12. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Resolviendo la ecuacin se obtiene y as llegamos a la frmula de Cardano:( )( ) ( ) ( ) Denotemos ( ) ( ) es el discriminante de la ecuacin cubica.Prof.: Christiam Huertas 12 13. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Sean Luego, las tres races de la ecuacin estn dadas por donde Propiedades Dada la ecuacin donde y son nmeros reales. i.Si, entonces, las tres races son reales y diferentes. ii. Si, entonces, las tres races son reales y dos de ellas iguales. iii. Si , entonces, una raz es real y las otras dos son imaginarias.Prof.: Christiam Huertas 13 14. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema Ejemplo. Resuelva la ecuacin cbica. Prof.: Christiam Huertas 14 15. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES MathemaLa ecuacin de cuarto grado La ecuacin de grado 4 fue resuelta por Ludovico Ferrari (1522- 1565). Fue un estudioso de las matemticas que se dedicaba principalmente al estudio del lgebra, con lo que le lleg al descubrimiento de la resolucin algebraica de la ecuacin general de cuarto grado. Lagrange encontr un mtodo distinto para resolver las ecuaciones de grado 2, 3 y 4, que no dependa de un cambio de variables con ciertas condiciones, sino que era el final de una sucesin de razonamientos ordenados y profundos que utilizaban la teora de los polinomios simtricos, la teora de las permutaciones de las races y la teora de las resolventes.Prof.: Christiam Huertas 15 16. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathemaTeorema de Cardano - Viette Relaciona los coeficientes de una ecuacin polinomial con sus races.1. Para una ecuacin cuadrtica.de racesy . Suma de racesProducto de races Prof.: Christiam Huertas 16 17. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema2. Para una ecuacin cbica. de races y Suma de races Suma de productos binarios Producto de races Prof.: Christiam Huertas 17 18. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema Ejemplo 1. Dada la ecuacin .Entonces, Prof.: Christiam Huertas 18 19. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema3. Para una ecuacin curtica. de races ; y . Suma de races Suma de productos binarios Suma de productos ternarios Producto de races Prof.: Christiam Huertas 19 20. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo 1. Si la ecuacin tiene dos races que suman dos, calcule lasuma de las inversas de las otras dos races.SolucinSean las races ; y . Por dato, .Se pide calcular.Por Cardano Prof.: Christiam Huertas 20 21. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema Sumando Prof.: Christiam Huertas 21 22. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema4. Para una ecuacin polinomial de grado . Dada la ecuacin polinomial de grano de races. Suma de races Suma de productos binarios Prof.: Christiam Huertas 22 23. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema Suma de productos ternarios Producto de races Prof.: Christiam Huertas 23 24. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathemaTeorema de paridad de racesTeorema 1.En toda ecuacin polinomial de coeficientes reales y grado, si una raz es , entonces otra raz es.Teorema 2.En toda ecuacin polinomial de coeficientes racionales y grado , si una raz es , entonces otra raz es .(Se considera y )Teorema 3.En toda ecuacin polinomial de coeficientes racionales y grado , si una raz es ; con { } y , entonces, ; y tambien son raices. Prof.: Christiam Huertas 24 25. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALESMathema Prof.: Christiam Huertas 25